拋物線的內接直角三角形直 角頂點固定斜邊恆過定點 及其應用 國立宜蘭高中 李維昌 研究目的: 試圖以斜率的概念來證明拋物線的內接直角三角形, 直角頂點固定,斜邊恆過定點,並利用此通過定點的 概念來解決軌跡問題。 研究過程: 方法一: 已知平面直角坐標系中,22 : y 4 cx , A ( ct 0 , 2 ct 0 ),
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Transcript 拋物線的內接直角三角形直 角頂點固定斜邊恆過定點 及其應用 國立宜蘭高中 李維昌 研究目的: 試圖以斜率的概念來證明拋物線的內接直角三角形, 直角頂點固定,斜邊恆過定點,並利用此通過定點的 概念來解決軌跡問題。 研究過程: 方法一: 已知平面直角坐標系中,22 : y 4 cx , A ( ct 0 , 2 ct 0 ),
拋物線的內接直角三角形直
角頂點固定斜邊恆過定點
及其應用
國立宜蘭高中
李維昌
研究目的:
試圖以斜率的概念來證明拋物線的內接直角三角形,
直角頂點固定,斜邊恆過定點,並利用此通過定點的
概念來解決軌跡問題。
研究過程:
方法一:
已知平面直角坐標系中,
2
2
2
2
: y 4 cx , A ( ct 0 , 2 ct 0 ), B ( ct1 , 2 ct1 ), C ( ct 2 , 2 ct 2 )
為 上的相異三點,若 A 點坐標固定且
2
B A C 9 0 ,則直線 B C 恆過定點 D ( ct 0 4 c , 2 ct 0 ) 。
證明:
1.
: y 4 cx
2
若
圖形上相異兩點
( c , 2 c ), ( c , 2 c ) ,
2
0,則這兩點形成的直線斜率
證明:直線斜率
(1)
(2)
m AB
m AC
2 c 2 c
c c
2
2
t1 t 0
2
t2 t0
2
2
2
。
2 c ( )
c ( )( )
2
(3)
BAC 90
m AB m AC 1
2
2
t1 t 0 t 2 t 0
1
( t1 t 0 )( t 2 t 0 ) 4
(a )
2.分成 t1 t 2 0 與 t1 t 2
(1) t1 t 2 0 :
將1.的 ( a ) 式
等式,m B C
0
兩種情況來討論:
( t1 t 0 )( t 2 t 0 ) 4
2
t1 t 2
2 c ( t1 t 0 )
c ( t1 t 0 )[( t1 t 0 ) ( t 2 t 0 )]
代入底下的
(2 ct1 ) ( 2 ct 0 )
ct1 ct 0 c [( t1 t 0 )( t 2 t 0 )]
2
2
(2 ct1 ) ( 2 ct 0 )
( ct1 ) ( ct 0 4 c )
2
2
m BD
直線 B C 恆過定點
D(ct 0 4 c , 2 ct 0 )
2
。
(2) t1 t 2
0:
t1 t 2 0
t 2 t1 代 入 1.的 ( a )
( t1 t 0 )( t1 t 0 ) 4
式
( t1 t 0 )( t 2 t 0 ) 4
t1 t 0 4
2
2
ct1 ct 2 ct 0 4 c
2
2
2
B ( ct 0 4 c , 2 ct1 ), C ( ct 0 4 c , 2 ct1 )
2
2
直線 B C 垂直 x
直線 B C
軸
過定點 D ( ct 02 4 c , 2 ct 0 )
3.結論:
由1.、2.的討論,得知以下的結論:
已知平面直角坐標系中,
2
2
2
2
: y 4 cx , A ( ct 0 , 2 ct 0 ), B ( ct1 , 2 ct1 ), C ( ct 2 , 2 ct 2 )
為 上的相異三點,若點 A 坐標固定且 B A C
不論 ( t1 t 2 ) 是否等於0,則直線 B C
恆過定點 D ( ct 02 4 c , 2 ct 0 ) 。
90
以上是利用斜率的概念來證明拋物線的內接直角三角
形,直角頂點固定,斜邊恆過定點的整個思路過程。
如此的證法可以讓我們迅速地推得定點的坐標。
由於GeoGebra數學繪圖軟體具有強大圖形動畫效果,
我們舉了一個簡單的例子 : y 8 x
2
,直角頂點 A (2, 4)
固定,斜邊 B C 變動,產生無限多條線段,這些線段
透過GeoGebra繪圖,用滑桿設計,產生動畫效果,使
我們清楚地看到都相交於同一點 D (10, 4) 。如次頁圖
形所示:
方法二:
已知平面直角坐標系中,
: y 4 cx , A ( x 0 , y 0 ), B ( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 )
2
為 上的相異三點,若 A 點坐標固定且
B A C 9 0 ,則直線 B C 恆過定點 D ( x 0 4 c , y 0 ) 。
證明:
0
m
0
BAC
=90
A
B
4.(1)設
的斜率為
且
則 AC
的斜率為 1 。
m
(2) A B 的直線方程式為 y mx mx 0 y 0
代入 y 2 4 cx 得
( m x m x 0 y 0 ) 4 cx m x [2 m ( m x 0 y 0 ) 4 c ] x ( m x 0 y 0 ) 0
2
2
2
2
2 m x0 2 m y 0 4 c
2
x 0 x1
x1 x 0
2 y0
m
y1 m ( x 0
m
4c
m
2 y0
m
B ( x1 , y1 ) ( x 0
2
2 x0
2 y0
m
4c
m
2
4c
m
2 y0
m
2
) m x0 y 0
4c 4c
,
y0 )
2
m
m
4c
m
y0
2
(3)
AC
1
x0
(
m
的直線方程式為
代入 y 2 4 cx 得
x
m
y 0 ) 4 cx
2
2(
x0 x2
1
m
)(
1
m
x0
m
m
1
)(
m
y0 ) 4c
1
x0
m
x
x0
m
y0
y0 ) 4c ]x (
x0
y0 ) 0
2
m
2 x 0 2 m y 0 4 cm
2
2
x 2 x 0 2 m y 0 4 cm
y2
m
2
m
1
y
x [2(
2
1
2
( x 0 2 m y 0 4 cm )
2
x0
m
y 0 4 cm y 0
C ( x 2 , y 2 ) ( x 0 2 m y 0 4 cm , 4 cm y 0 )
2
5.分成 x1 x 2 0 與
(1) x1 x 2 0 :
x1 x 2 0
y1 y 2
4c(
m BC
x1 x 2
4c(
4c
4c(
1
m
1
m )(
m ) 2 y0
( x1 ) ( x 0 4 c )
直線
1
m ) 2 y0 (
m
4c
4c(
1
m
2
1)
1
m)
m
(
m
( y1 ) ( y 0 )
m)
m
m
1
兩種情況來討論:
2 y0
m
( x0
m BD
BC
恆過定點 D ( x 0 4 c , y 0 )
4c
m
4c
m
2
y0 ) ( y0 )
2 y0
m
) ( x0 4 c )
(2)
x1 x 2 0
:
x1 x 2 0 x1 x 2 表示直線 BC
垂直 x 軸
2
y 2 且 B , C 兩點相異
y1 4 cx1 4 cx 2
y1 y 2
4c
4c 2 y0
y 0 ( 4 cm y 0 ) 代入 x1 x 0 2
m
m
m
1
y0 2c ( m )
1
m
4c( m )
4c 2 y0
4c
m
x1 x 0 2
x0 2
m
m
m
m
4c
4c
x1 x 0 2 2 4 c
m
m
x1 x 0 4 c B ( x1 , y1 ) ( x 0 4 c , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) ( x 0 4 c , y1 )
2
直線 B C
過定點 D ( x 0 4 c , y 0 ) 。
6.結論:
由4.、5.的討論,得知以下的結論:
已知平面直角座標系中
2
: y 4 cx , A ( x 0 , y 0 ), B ( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) 為 上的相異三
點,若 A 點坐標固定且 B A C 9 0 ,不論 ( x1 x 2 )
是否等於0,則直線 B C 恆過定點 D ( x 0 4 c , y 0 ) 。
方法三:
已知平面直角坐標系中,
: y 4 cx , A ( x 0 , y 0 ), B ( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 )
2
為 上的相異三點,若 A 點坐標固定且
B A C 9 0 ,則直線 B C 恆過定點 D ( x 0 4 c , y 0 ) 。
證明:
1.
: y 4 cx
2
若
圖形上相異兩點
( x , y ), ( x , y ) ,
y y 0 ,則這兩點形成的直線斜率
證明:直線斜率
y y
x x
4c
4c
y y
y y
2
2
4c
y y
。
y y
4 cx 4 cx
4c
y y
( y y )( y y )
4c
y y
(1)
(2)
(3)
4c
m AB
m AC
y1 y 0
4c
y2 y0
BAC 90
m AB m AC 1
4c
y1 y 0
4c
y2 y0
1
( y1 y 0 )( y 2 y 0 ) 16 c
2
(b )
8.分成 y1 y 2 0 與
(1) y1 y 2 0 :
將7.的 ( b ) 式
的等式,
m BC
4c
y1 y 2
y1 y 2 0 兩種情況來討論:
( y1 y 0 )( y 2 y 0 ) 16 c
4c
[( y1 y 0 ) ( y 2 y 0 )]
4 c ( y1 y 0 )
( y1 y 0 )[( y1 y 0 ) ( y 2 y 0 )]
4 c ( y1 y 0 )
( y1 y 0 )( y1 y 0 ) ( y1 y 0 )( y 2 y 0 )
2
代入底下
4 c ( y1 y 0 )
(4 cx1 4 cx 0 ) ( 16 c )
2
( y1 y 0 )
( x1 x 0 ) ( 4 c )
( y1 ) ( y 0 )
( x1 ) ( x 0 4 c )
m BD
4 c ( y1 y 0 )
( y1 y 0 ) ( 16 c )
2
2
2
直線B C 恆過定點 D ( x 0 4 c , y 0 ) 。
(2)
y1 y 2 0 :
y1 y 2 0
y 2 y1 代 入 7. 的 ( b )
式
( y1 y 0 )( y 2 y 0 ) 16 c
2
( y1 y 0 )( y1 y 0 ) 1 6 c
2
y 0 y1 1 6 c
2
2
2
4 cx 0 4 cx1 1 6 c
2
x1 x 0 4 c
2
又 x1
y1
4c
( y2 )
2
2
4c
y2
4c
x2
x1 x 2 x 0 4 c
B ( x 0 4 c , y1 ), C ( x 0 4 c , y 1 )
直線 BC 垂直 x 軸
直線 B C 恆過定點 D ( x 0 4 c , y 0 ) 。
9.結論:
由7.、8.的討論,得知以下的結論:
已知平面直角座標系中
2
: y 4 cx , A ( x 0 , y 0 ), B ( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) 為 上的相異三
點,若 A 點坐標固定且 B A C 9 0 ,不論 ( y1 y 2 )
是否等於0,則直線 B C 恆過定點 D ( x 0 4 c , y 0 ) 。
10.應用:
(1)已知平面直角座標系中,
2
2
2
2
: y 4 cx , A ( ct 0 , 2 ct 0 ), B ( ct1 , 2 ct1 ), C ( ct 2 , 2 ct 2 )
為 上的相異三點,若點 A 坐標固定且
B A C 9 0 ,試求點 A 投影到直線 B C 的投
影點 P 的軌跡方程式。
解法:設投影點 P ( x , y ) ,利用3.的結論,直
線 B C 恆過定點 D ( ct 02 4 c , 2 ct 0 ) ,
可得 A P ×D P = 0
2
2
Þ ( x - ct 0 , y - 2 ct 0 ) ×( x - ct 0 - 4 c , y + 2 ct 0 ) = 0
2
2
Þ ( x - ct 0 )( x - ct 0 - 4 c ) + ( y - 2 ct 0 )( y + 2 ct 0 ) = 0
2
2
2
2 2
2
2
2
2 4
2
2 2
Þ x + y - 2 c ( t 0 + 2) x + c t 0 ( t 0 + 4) - 4 c t 0 = 0
Þ x + y - 2 c ( t 0 + 2) x + c t 0 = 0
所求投影點
2
2
2
P 的軌跡方程式為
2 4
x + y - 2 c ( t 0 + 2) x + c t 0 = 0
但不包含點 A ( ct 02 , 2 ct 0 ) 。
(2)已知平面直角座標系中,
2
: y 4 cx , A ( x 0 , y 0 ), B ( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 )
為 上的相異三點,若點 A 坐標固定且
B A C 9 0 ,試求點 A 投影到直線 B C 的投
影點 P 的軌跡方程式。
解法:設投影點 P ( x , y ) ,利用6.的結論,直
線 B C 恆過定點 D ( x 0 4 c , y 0 ) ,
可得 A P ×D P = 0
Þ ( x - x 0 , y - y 0 ) ×( x - x 0 - 4 c , y + y 0 ) = 0
Þ ( x - x 0 )( x - x 0 - 4 c ) + ( y - y 0 )( y + y 0 ) = 0
2
2
2
2
2
Þ x + y - 2( x 0 + 2 c ) x + x 0 ( x 0 + 4 c ) - y 0 = 0
2
Þ x + y - 2( x 0 + 2 c ) x + x 0 = 0
所求投影點
2
2
P 的軌跡方程式為
2
x + y - 2( x 0 + 2 c ) x + x 0 = 0
但不包含點
A ( x0 , y 0 )
。
11.附記:
全國第52屆中小學科展高中組數學科,
「大里高中」提出的作品《圓錐曲線內接直角三
角形的定點與包絡線》作品中五之(二)的結論可
用本文論述的方法去得到相同的結論:
已知平面直角坐標系中,
2
2
2
2
: y 4 cx , A ( ct 0 , 2 ct 0 ), B ( ct1 , 2 ct1 ), C ( ct 2 , 2 ct 2 )
為 上的相異三點,若點 A 坐標固定,且
m A B m A C k 0 ,則直線 B C 恆過定點
2
D ( 2 ct 0 , ct 0 4 ck ) 。
證明:
1.
: y 4 cx
2
圖形上相異兩點
這兩點形成的直線斜率
(2 c , c ), (2 c , c )
2
2
,
。
2
c c
2
證明:直線斜率
(1)
m AB
(2)
m AC
t1 t 0
2
t2 t0
2
2
2 c 2 c
。
。
c ( )( )
2 c ( )
2
。
(3)
m AB m AC k
t1 t 0 t 2 t 0
k
2
2
( t1 t 0 )( t 2 t 0 ) 4 k
(4)將 ( c ) 式
m BC
( t1 t 0 )( t 2 t 0 ) 4 k
t1 t 2
2 c ( t1 t 0 )
2
c ( t1 t 0 ) c ( t1 t 0 )( t 2 t 0 )
2
2 ct1 ( 2 ct 0 )
c ( t1 t 0 ) c (4 k )
2
代入底下的等式,
c ( t1 t 0 )[( t1 t 0 ) ( t 2 t 0 )]
2
(c )
2
2 ct1 ( 2 ct 0 )
直線 B C
ct1 ( ct 0 4 ck )
2
2
2 ct1 ( 2 ct 0 )
m BD
恆過定點 D( 2 ct 0 , ct 02 4 ck )