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第 3 章
線性規劃 :
敏感度分析
Slide 1
敏感度分析

敏感度分析 (或稱為事後最佳化分析)用來
決定在特定範圍內改變以下值，對最佳解
有何影響:
•目標函數係數
•右手邊(RHS)值
敏感度分析對管理者很重要，因其必須在
係數估計值不精確的動態環境中運作.
 敏感度分析讓他詢問關於某些若-則的問題
.

Slide 2
Slide 3
例題 1

LP 數學式
Max z = 5x1 + 7x2
s.t.
x1
< 6
2x1 + 3x2 < 19
x 1 + x2 < 8
x1, x2 > 0
Slide 4
例題 1

圖解法
x2
x1 + x2 < 8
8
Max 5x1 + 7x2
7
x1 < 6
6
5
最佳解:
x1 = 5, x2 = 3, z = 46
4
3
2x1 + 3x2 < 19
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1
Slide 5
例題 1

改變目標函數的斜率
8
7
6
5
5
4
3
可行區域
4
2
3
1
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1
Slide 6
最佳解的範圍
目標函數係數的最佳區間(range of
optimality)告知一個維持最佳解不變的範
圍，只要係數的改變不超出此一區間，最
佳解將不會改變。
 最佳區間所反映的事實只有在每次改變一
個係數時是有效的。

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最佳解的範圍
以圖解法,經由改變斜率限制範圍內的目標
函數斜率，而找出最佳解的上下限範圍.
 一條目標函數線, Max c1x1 + c2x2,的斜率為
-c1/c2,而限制式, a1x1 + a2x2 = b, 的斜率為
-a1/a2.

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例題 1
 c1
和 c2的最佳解範圍
Adjustable Cells
Final Reduced Objective
Cell Name Value
Cost
Coefficient
$B$8
X1
5.0
0.0
5
$C$8
X2
3.0
0.0
7
Allowable
Increase
Allowable
Decrease
2 0.333333333
0.5
2
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable
Allowable
Cell Name Value
Price
R.H. Side
Increase
Decrease
$B$13 #1
5
0
6
1E+30
1
$B$14 #2
19
2
19
5
1
$B$15 #3
8
1
8 0.333333333 1.666666667
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例題 1
 c1
和 c2的最佳解範圍
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例題 1

LP 數學式
Max z = 5x1 + 7x2
s.t.
x1
< 6
2x1 + 3x2 < 19
x 1 + x2 < 8
x1, x2 > 0
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右手邊
讓我們探討限制式右手邊值的改變，會如
何改變可行區域.
 右手邊每增加一單位時，對最佳解改善的
值，稱為 對偶價格.
 可行解範圍 為涵蓋可用對偶價格的範圍.
 當 RHS 增加時,其他限制式將變成關鍵限
制式，而限制了目標函數值的改變.

Slide 12
Shadow Prices
When the functional constraints are in ≤
form, we interpreted the bi (the right-hand
sides) as the amounts of the respective
resources being made available for the
activities under consideration
 The shadow price for resource i (denoted by
yi*) measures the marginal value of this
resource, the rate at which Z could be
increased by (slightly) increasing the
amount of this resource (bi) being made
available

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可行解範圍 (Range of feasibility)

右手邊值之對偶價格的有效區間，當右手
邊值超出此範圍時，問題必須重解以求得
新的最佳解與對偶價格。
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例題 1
 c1
和 c2的最佳解範圍
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例題 1

LP 數學式
Max z = 5x1 + 7x2
s.t.
x1
< 6
2x1 + 3x2 < 19
x 1 + x2 < 8
x1, x2 > 0
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對偶價格(Dual price; Shadow price)
對偶價格只有在右手邊值做小幅度改變有
效，當改變太大時，其他限制式可能變成
關鍵限制式而改變目標函數值。
 非關鍵限制式的對偶價格都會是0。

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例題 1

圖解法
x2
x1 + x2 < 8
8
Max 5x1 + 7x2
7
x1 < 6
6
5
最佳解:
x1 = 5, x2 = 3, z = 46
4
3
2x1 + 3x2 < 19
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1
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相關成本和沉沒成本
若資源的成本的值隨著決策變數值而改變
，則稱為相關成本.
 相關成本反映在目標函數係數上.
 若資源成本與決策無關，無論決策變數值
為何，都會發生，則稱為 沉沒成本.
 沉沒資源的成本不會反映在目標函數係數
上.

Slide 19
固定成本與變動成本

在經濟學及會計學上常探討變動成本與固
定成本，當某一種成本與產量多少無關，
這種成本，我們就可視為固定成本，反之
，成本與產量之多少有關之成本就是變動
成本，那麼，總成本就包括這兩種成本。
總成本=固定成本+變動成本。
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例題 1

LP 數學式
Max z = 5x1 + 7x2
s.t.
x1
< 6
2x1 + 3x2 < 19
x 1 + x2 < 8
x1, x2 > 0
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例題 1

對偶價格
限制式 1: 由於 x1 < 6 不是一個關鍵限制
式，故其對偶價格=0.
限制式 2: 將第二個限制式的 RHS 改變成
20 ，並重新求解由最後兩個限制式: 2x1 +
3x2 =20 和 x1 + x2 = 8所決定的最佳點.
解答為 x1 = 4, x2 = 4, z = 48. 因此, 對
偶價格 = z新 - z舊= 48 - 46 = 2.
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例題 1

對偶價格
限制式 3:將第三個限制式的 RHS 改變成 9
，並重新求解由最後兩個限制式: 2x1 + 3x2
= 19 和x1 + x2 = 9所決定的最佳點.
解答為 : x1 = 8, x2 = 1, z = 47.因此, 對偶
價格 = z新 - z舊= 47 - 46 = 1.
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例題 1
 c1
和 c2的最佳解範圍，可行解範圍
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允許的增量與允許的減量
允許的增量(allowable increase)與允許的減
量(allowable decrease)
 對目標函數而言，為在不改變最佳解的狀
況下目標函數係數所能增減的最大量。
 對對偶價格而言，為在不改變對偶價格的
效能下，右手邊值所能增減的最大量。

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例題 1

圖解法
x2
x1 + x2 < 8
8
Max 5x1 + 7x2
7
x1 < 6
6
5
最佳解:
x1 = 5, x2 = 3, z = 46
4
3
2x1 + 3x2 < 19
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1
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最佳解的範圍
目標函數係數的最佳區間(range of
optimality)告知一個維持最佳解不變的範
圍，只要係數的改變不超出此一區間，最
佳解將不會改變。
 最佳區間所反映的事實只有在每次改變一
個係數時是有效的。

Slide 27
最佳化範圍和 100% 規則

100% 規則：說明目標函數中的係數同時
改變，只要改變百分比的總和除以相對各
係數最佳化範圍的最大容許改變量不超過
100% ，將不會改變最佳解.
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可行解範圍和 100% 規則

100% 規則：說明右手邊值的同時改變，
只要改變總和的百分比除以相對各右手邊
值可行解範圍的最大容許值不超過 100%，
將不會改變對偶價格。
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例題 2

探討以下的線性規劃:
Min 6x1 + 9x2
s.t.
($ cost)
x1 + 2x2 < 8
10x1 + 7.5x2 > 30
x2 > 2
x1, x2 > 0
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例題 2

管理科學的輸出
目標函數值 = 27.000
變數
x1
x2
限制式
1
2
3
值
1.500
2.000
減少的成本
0.000
0.000
惰/剩餘 對偶價格
2.500
0.000
0.000
-0.600
0.000
-4.500
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例題 2

管理科學的輸出(續)
目標係數範圍
變數
x1
x2
下限
0.000
4.500
右手邊值範圍
限制式
下限
1
5.500
2
15.000
3
0.000
目前值
6.000
9.000
上限
12.000
無上限
目前值
8.000
30.000
2.000
上限
無上限
55.000
4.000
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例題 2

最佳解
依照輸出結果
x1 = 1.5
x2 = 2.0
目標函數值 = 27.00
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敏感度報表
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例題 2

最佳解範圍
問題
假設 x1 的單位成本減少為$4. 目前的解
是否仍為最佳? 而此時的目標函數值為何?
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例題 2

最佳解範圍
答案
輸出說明了解答仍是最佳的－只要目標
函數 x1 的係數介於0 和 12之間. 由於 4 在
此範圍內，故最佳解不會改變. 但是，最
佳總成本將受到影響: 6x1 + 9x2 = 4(1.5) +
9(2.0) = $24.00.
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例題 2

最佳解範圍
問題
x2 在減少多少單位成本之內，才不用擔
心最佳解會改變?
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例題 2
目標係數範圍
變數
x1
x2
右手邊值範圍
限制式
1
2
3
下限
目前值
上限
0.000
4.500
6.000
9.000
12.000
無上限
下限
5.500
15.000
0.000
目前值
8.000
30.000
2.000
上限
無上限
55.000
4.000
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敏感度報表
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例題 2

最佳解範圍
答案
輸出說明了解答仍是最佳的－只要目標
函數 x2 的係數不低於4.5.
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例題 2

最佳解範圍和 100% 規則
問題
若同時將 x1 的成本增加到$7.5 和x2 的成本減
少為$6, 則目前解是否仍為最佳?
答案
若 c1 = 7.5, 則 c1 的改變量為7.5 - 6 = 1.5. 最
大容許增量為 12 - 6 = 6, 故改變 1.5/6 = 25% . 若
c2 = 6, 則 c2 改變量為 9 - 6 = 3.最大容許減量為 9
- 4.5 = 4.5,故改變 3/4.5 = 66.7%. 改變百分比的總
和為 25% + 66.7% = 91.7%. 由於其未超過 100%
故最佳解不會改變.
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