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第二章
線性規劃概論
Introduction to Linear
Programming
作業研究 二版 2009
© 廖慶榮
章節大綱
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
前言
典型範例
圖解法
線性規劃模式的形式
線性規劃模式的解
線性規劃的假設
線性規劃模式的範例
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2.1 前言
 線性規劃（linear programming）簡稱LP
 線性（linear）：模式中所有函數均為線性函數
 規劃（planning）：指活動的規劃
 LP屬數學規劃（mathematical programming，
MP）
 MP：將問題以目標函數及限制式表達的數學模式
 LP：MP的所有數學式均為線性
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2.2 典型範例
 該公司每週應分別生產多少箱的P1及P2，才能獲得
最大的利潤？
生產1單位所需產能
機器
M1
M2
單位利潤
P1
1
3
$7,000
P2
2
2
$8,000
可用產能
10
18
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建立LP模式四個步驟
1. 定義決策變數
2. 寫出此問題的目標函數，並決定是予以極大
化或極小化
3. 寫出各功能限制式
4. 決定各變數是否具有非負限制式或不受正負
限制
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2.2 典型範例
 LP模式：
極大化 Z  7 x1  8 x2
受限於
x1  2 x2  10
3x1  2 x2  18
x1 , x2  0
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2.3 圖解法（graphical method）
 三個步驟：
1. 繪製非負限制式（或不受正負限制）的範圍
2. 繪製各功能限制式的範圍，並決定可行區域
3. 繪製目標函數的線條，並決定最佳解
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以圖解法求解典型範例
典型範例之目標函數線條及最佳解
8
6
4
(4,3)
2
0
2
4
6
8
10
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2.4 LP模式的形式
 標準形式
極大化 Z  c1 x1  c2 x2   cn xn
受限於
a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2   a2 n xn  b2
am1 x1  am 2 x2   amn xn  bm
x1 , x2 , , xn  0
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專有名詞
目標函數（objective function）
目標函數值（objective function value）
目標函數係數
限制式係數
右手邊常數（right-hand-side constant；
RHS）
 限制式（constraint）





 功能限制式（functional constraint）
 非負限制式（non-negativity constraint）
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其他形式
 目標可以是極小化
極小化 Z  c1 x1  c2 x2 
 cn xn
 限制式可以是「大於等於」或「等於」
 變數可以無非負限制式
 x j 不受正負限制（unrestricted in sign）或
 x j 不受限（unrestricted）
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2.5 線性規劃模式的解
 解（solution）
 包含所有變數的任何特定值
 可行解（feasible solution）
 滿足所有限制式
 不可行解（infeasible solution）
 至少違反其中一個限制式的解
 最佳解（optimal solution）
 在所有可行解中，具有最有利目標函數值的解
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LP問題四種可能解
 唯一最佳解（unique optimal solution）
 僅有一個最佳解
 多重最佳解（multiple optimal solutions）
 or 擇一最佳解（alternative optimal solutions）
 有無限多個目標函數值相同的最佳解
 無可行解（no feasible solutions）
 簡稱無解
 沒有任何可行解
 無窮解（unbounded solution）
 對於極大化問題，Z  
 對於極小化問題， Z  
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多重最佳解的情況
6
4
2
0
2
4
6
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無可行解的情況
6
4
2
0
2
4
6
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無窮解的情況
6
4
2
0
2
4
6
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2.6 線性規劃的假設
 成比例性proportionality
 各個項目對於該函數的貢獻和變數之值成比例
 可加性additivity
 函數的各項目彼此獨立，因此可相互加減
 可分性divisibility
 所有變數都可以是任何實數值，而不必是整數
 確定性certainty
 所有係數均為已知的常數
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2.7 線性規劃模式的範例




混合問題
人力安排問題
飲食問題
財務規劃問題
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混合問題
原油種類 辛烷含量 蒸汽壓力 可用數量
原油 1
87
8
1800 桶
原油 2
98
4
800 桶
最低
最高
產品 辛烷含量 蒸汽壓力 每桶利潤
產品 A
96
7
$2.1 萬
產品 B
90
5
$1.7 萬
應如何做最適當的混合才能獲得最大的利潤？
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混合問題 (1/2)
 定義決策變數：
 x1A  原油1用於生產產品A的桶數
 x1B  原油1用於生產產品B的桶數
 x2A  原油2用於生產產品A的桶數
 x2B  原油2用於生產產品B的桶數
 成分的限制式
 產品A最低的辛烷含量是96，所以
87 x1A  98 x2A
 96
x1A  x2A
 87 x1A  98 x2A  96 x1A  96 x2A
 9 x1A  2 x2A  0
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混合問題(2/2)
 LP模式： Max Z  2.1x1A  1.7 x1B  2.1x2A  1.7 x2B
sbject to  9 x1A  2 x2A
0
x1A  3x2A
0
 3x1B  8 x2B
0
3x1B  x2B
0
x1A  x1B
 1800
x2A  x2B
 800
x1A , x1B , x2A , x2B  0
Opt. Sol.: x1A  327.27, x1B  1472.73, x2A  400, x2B  400, Z  4710.91
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人力安排問題(1/2)
 問題
 考慮一家五星級飯店客房部的人力安排問題
 員工每週連續上班五天，然後休假兩天
 至少需雇用人，才能滿足人力需求？
星期
一
二
三
四
五
六
日
人力需求 14
10
11
13
16
20
18
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人力安排問題(2/2)
 定義： xi  自星期開始上班的員工數
 LP模式： Min Z  x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7
s.t.
x1  x4  x5  x6  x7  14
x1  x2  x5  x6  x7  10
x1  x2  x3  x6  x7  11
x1  x2  x3  x4  x7  13
x1  x2  x3  x4  x5  16
x2  x3  x4  x5  x6  20
x3  x4  x5  x6  x7  18
xi  0, i  1, 2,
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,7
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飲食問題(1/2)
 問題：
 狗主人每個月應如何以最低的狗糧費用餵食這三隻
狗，並滿足狗所需要的營養？
狗糧
營養成分%
蛋白質
纖維
脂肪
狗糧 A
32
11
15
狗糧 B
22
9
10
營養需求 至少 8 磅 至少 3 磅 至少 4 磅
成本/磅
$35
$25
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飲食問題(2/2)
 定義：x1  每月餵食每隻狗狗糧A的磅數
x2  每月餵食每隻狗狗糧B的磅數
 LP模式：
Min Z  35 x1  25 x2
s.t.
0.32 x1  0.22 x2  8
0.11x1  0.09 x2  3
0.15 x1  0.10 x2  4
x1 , x2  0
 最佳解： x1  24, x2  4, Z  $940
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財務規劃問題(1/2)
 目前有4億的資金
 未來的第二、三、四年年初已確定各需支付1億
 四項計畫：
 計畫A：以一年為期，每期的預估報酬率為2.5%
 計畫B：以兩年為期，每期的預估報酬率為5.2%
 計畫C：以三年為期，每期的預估報酬率為8.5%
 計畫D：以四年為期，每期的預估報酬率為10.5%
A 2 , B2 , C2
A1 , B1 ,C1 , D1
1
A3 , B3
2
$1 億
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A4
3
$1 億
4
$1 億
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財務規劃問題(2/2)
 定義： Ai  第 i 年年初投資計畫A的金額
（其餘同）
 LP模式：
極大化 Z  1.025A4  1.052B3  1.085C2  1.105D1
受限於
A1  B1  C1  D1  4
1 . 0 2 51 A
1 . 0 2 52 A
1 . 0 2 53 A
2
A
2
B
1 . 01 5 2 3B
1 . 02 5 2 B
2
C
A
3
1. 0 84 5 C
1
1
B
1
A
A1 , A2 , A
, 4A 1, B 2, B 3 , B1 ,C
3
2 , 1C , D
1
0
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