Transcript 空间向量的坐标运算

3.1.4
空间向量的正交分解及其坐
标表示
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的
三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个
基底叫做单位正交基底，常用来 I , j , k
表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一
个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点，
分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、
y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了
一个空间直角坐标系O--xyz
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通
过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向
量 a ,且设i、j、k为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组( a1, a2,a3)使
a = a1i+a2j+a3k
有序数组(a1, a2, a3)叫做 a 在空
间直角坐标系O--xyz中的坐标，
记作.
a =( a 1 ,a 2,a 3)
z
a
A(x,y,z)
k
i
x
O j
y
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，
A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数
组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有
序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中
的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，
y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
三、向量的直角坐标运算.
设
a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) 则
a  b  (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 );
a  b  (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 );
 a  (a1 , a2 , a3 )(  R);
a  b  a1b1  a2b2  a3b3 ;
a // b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 (  R)
a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表
示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起
点的坐标.
空间向量坐标运算法则，关键是注意空
间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在
利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，
首先要选定单位正交基，进而确定各向量的
坐标。
四、练习与例题：
1、练习：课本P102.
1、2、3；
2、例题：课本P101. 例4
3、练习：课本P102.
3
作业：课本P42：习题3.1
4