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宋代日食计算精度分析
报告人：滕艳辉
西北大学
数学与科学史研究中心
2010,6

宋代日食原理及算法模型

《纪元历》的日食计算精度

《纪元历》日食时差精度分析
一、宋代日食原理及算法模型
1、定朔时刻修正为食甚时刻
定朔
Tre  Trm   x
3、视食甚时真月亮到真黄白交点距
离与视月亮到视黄白交点距离的修正
Lrj  Lpj  q  k  k0
真食甚
Tre
h
视食甚
E
l
10
q  k
入交定日 Lrj
Tse
4、判断交食并计算食分
l  Lrj
入交泛日L pj
x
2、真食甚时刻到视食甚时刻的修正
Tse  Tre  h
Trm
食分 E
食延
二、《纪元历》的日食计算精度
可以根据《纪元历》的推算日食的过程恢复出历法推算任何一次
日食的食甚时刻，食分大小以及食延情况。
食甚历法值：
Tse
食分历法值：
E
而按照中国古代推算日食的思路,可以建立日食的理论模型。这
个模型计算出的结果就是日食的真实值。这与用现代天文学方法计
算的数据理论上是一致的。
食甚理论值：
Tse*
食分理论值：
E*
如果将已经复原出的日食数据与理论值相比较，就可以得到历
法计算日食的精度。这里理论值采用现代的计算值，我们用张培
瑜《三千五百年历日天象》中“十三都日食典”中所给出的数据。
食分误差：
食甚误差：
 m  E  E*
 se  Tse  Tse*
周琮《明天历》中指出：
……校日月交食，若一分二刻以下为亲，二分四刻以下为
近，三分五刻以上为远…… （2688页）
共35次日食的推算中，
 3次“当食不食”，其余则全能计算出来。
 食甚最大误差1.2588小时。食分最大为5.96分。
 计算精密的，即食甚误差在半小时以内有21次，占三
分之二；食分误差在1分以下的20次，一半以上。
 食甚误差在70分钟以上仅有1次。食分误差在3分以上
的1次。
 误差绝对值的平均值：食甚为0.4246小时，食分为
1.18分。
0
5
10
15
20
25
30
食甚误差
8
6
误差/分
误差/小时
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
4
2
0
-2 0
10
20
-4
食分误差
《纪元历》日食误差图
30
35
《纪元历》行用期间日食计算精度
序号
食分
日期
食甚
食分误差
历法值
理论值
食甚误差
历法值
理论值
1
11071216
8.14
7.90
0.24
14.0922
15.3833
-0.9144
2
11080611
3.40
2.40
1.00
12.5541
13.0500
-0.1192
3
11101015
1.62
1.90
-0.28
16.8216
16.9333
0.2650
4
11120923
1.48
不食
-
(4.7390)
不食
-
5
11130319
3.25
0.60
2.65
13.9006
14.7333
-0.4560
6
11150723
5.44
5.40
0.04
11.6928
12.1667
-0.0972
7
11180522
2.32
2.80
-0.48
18.4204
18.7167
0.0804
8
11190511
6.34
3.70
2.64
18.8275
19.2167
-0.0125
9
11201024
8.83
8.90
-0.07
13.5898
14.1500
-0.1835
10
11220310
7.51
7.50
0.01
13.6496
14.5667
-0.5604
11
11230823
9.06
3.10
5.96
（5.7544）
（5.8833）
0.2478
12
11340723
1.89
1.80
0.09
13.0021
12.7833
0.5955
13
11350116
9.68
8.90
0.78
10.3419
11.3500
-0.6314
三、《纪元历》的时差计算精度
中国古代日食理论的核心部分就是视差理论。月亮视
差的存在，会对日食的食甚、食分计算产生影响。中
国古代历算家设计出了一系列算法来修正视差，自唐
《宣明历》后，称日食三差算法。唐泉等根据中国古
代日食视差算法的思路建立起了视差算法的理论模型，
并与历法中的算法做了比较，给出古代视差算法的理
论精度。而当用历法来推算日食时，其视差算法的实
际精度与整体水平又是怎样，需要做进一步的讨论。
我们借肋已经得到的日食计算误差结果，试图对《纪
元历》视差算法之一的时差算法精度做出分析。
食甚历法值：
Tse  Trm   x  h
食甚理论值：
Tse*  Trm*  *x  *h
定朔误差 ：
Trm T rm*  rm
定朔到食甚的修正误差 ：
 x  *x   x
时差误差 ：
 h  *h   h
食甚误差：
 se  Tse  Tse*   rm   x   h
 h   se   rm
《纪元历》定朔、时差及食甚误差统计
误差项
平均值（h） 绝对值平均值（h）
标准差
最大误差
>0.5h比重
定朔
-0.0661
0.2162
0.2053
0.9417
6.25%
时差
0.1533
0.4780
0.4529
1.2836
43.75%
食甚
0.0872
0.4246
0.5373
1.2588
34.38%
定朔的最大误差是0.9417小时，其平均值为负值，说明《纪元
历》的定朔迟于真朔；时差误差平均值为正值，表明《纪元历》
的视差修正要大于实际的数值。但也正是由于此，才使得食甚
误差的平均值更接近于0，从而提高了食甚时刻的推算精度，
其绝对值的平均值在25分钟左右。
《纪元历》中时差的绝对误差的平均值为0.4780小时，近
30分钟，且有四成以上的误差在30分钟以上，这个误差
值是很大的。比《授时历》中的时差误差22.14分钟也大
一些。日食的时差主要受黄经与时角两个因素的影响，因
黄经的影较时角的作用要小的多，中国古代时差算法中就
只考虑了时角一个因素，这个算法是不完整的。用时差算
法理论模型推出误差的在二分时最大，可达到29分钟左右，
但其平均值仍要小于我们得到的实际时差结果。因此理论
模型中除了考虑黄经与时角对视差的影响外，还应加入其
它因素的修正。
两点说明
1、《纪元历》推算日食的总体水平是：食甚在25分钟左右，
食分在1分左右，总体上满足当时的精度需要。而其时差误
差比理论值要大，这是由于其定朔迟于真朔，为了保证最
终视食甚时刻的计算精度，就要使得其时差修正比理论值
要大一些。正因为这样，我们就不能单独评价其时差的精
度，其精度的高低也就不能反映历法中日食算法模型的优
劣。而定朔对经朔的修正及时差对食甚的修正这些中间过
程都是为了最终的食甚时刻计算而设计的，只要食甚时刻
的计算精度高，能够达到一定的标准，我们就可以断定
《纪元历》推算日食的这一整套数值算法系统是合理的，
是优秀的。
2、《纪元历》推算日食的过程清晰直观，算法模型也简单方便。
其推算的整体思路是：先假设一个最简单的模型，忽略一些
复杂的和随机的因素，这样，这个模型是很容易得到和计算
的；然后能通过加入各种影响因素，一步一步的对简单模型
进行修正，得到复杂的模型，使之更接近于实际。这是不同
于现代天文学中计算日食的一种方法。而这个算法模型已经
总体上满足当时的精度需要，是合理的，那么，能不能继续
按照中国古代计算日食的思路，进一步对理论模进行修正，
而建立起一套不同于现代天文学，但依然精确可用的数值算
法系统，将是我们下一步要深入研究和讨论的问题。
谢 谢 大 家