Transcript 第三讲中国古代数学-2
第三讲 中国古代数学(2) --宋元数学的辉煌成就 《射雕英雄传》 第二十九回 黑沼隐女 只见长桌上七盏油灯 排成天罡北斗之形，地 下蹲着一个头发花白的 女子，凝目瞧着地下一 根根的无数竹片，显然 正自潜心思索，虽听得 见有人进来，却不抬头。 黄蓉坐了片刻，精神稍复，见地上那些 竹片都是长约四寸，阔约二分，知是计 数用的算子。再看那些算子排成商、实、 法、借算四行，暗点算子数目，知她在 计算五万五千二百二十五的平方根，这 时“商”位上已计算到二百三十，但见 那老妇拨弄算子，正待算那第三位数字。 黄蓉脱口道：五！二百三十五！ 55225 235 ……郭靖扶着黄蓉跟着进去，只见那内室墙壁围成 圆形，地下满铺细沙，沙上画着许多横直符号和圆 圈，又写着些“太”、“天元”、“地元”、“人 元”、“物元”等字。郭靖看得不知所云，生怕落 足踏坏了沙上符字，站在门口，不敢入内。 黄蓉自幼受父亲教导，颇精历数之术，见到地上符 字，知道尽是些术数中的的难题，那是算经中的 “天元之术”，虽然甚是繁复，但只要一明其法， 也无甚难处（按：即今日代数中多元多次方程式， 我国古代算经中早记其法，天、地、人、物四字即 西方代数中X、Y、Z、W四未知数）。黄蓉从腰间抽 出竹棒，倚在郭靖身上，随想随在沙上书写，片刻 之间，将沙上所列的七八道算题尽数解开。…… 这些算题那女子苦思数月，未得其解，至 此不由得惊讶异常，呆了半晌，忽问： “你是人吗？”黄蓉微微一笑，道：“天 元四元之术，何足道哉？算经中共有一十 九元，‘人’之上是仙、明、霄、汉、垒、 层、高、上、天，‘人’之下是地、下、 低、减、落、逝、泉、暗、鬼。算到第十 九元，方才有点不易罢啦！” 问题 什么是“天元之术”？ “算经中共有 一十九元”吗？ “天地人物”是西方代数学的未知数吗？ 你相信黄蓉能在片刻之间将算经中的七八 道题“尽数解开”？ 宋元数学的辉煌成就 北宋 南宋 金 元 刘 益《议古根源》（佚） 贾 宪 《黄帝九章细草》 秦九绍《数书九章》（1247） 杨 辉《详解九章算法》（1261） 《乘除通变本末》（1274） 《续古摘奇算法》（1275） 《田亩比类乘除捷法》（1275） 李 冶 《测圆海镜》（1248） 朱世杰《四元玉鉴》（1303） 增乘开方法—高次方程的数值解法 大衍总数术—一次同余式组解法 天元术、四元术—半符号代数 垛积术、招差术—高阶等差级数 所有这一切，丰富了宋元数学的新思想、新 方法，在西方世界仍处于中世纪的黑暗之 中的时候，宋元数学“保持了一个西方所 望尘莫及的科学知识的水平”（G Sarton) 。 1 高次方程的数值解法 開方術曰：置積為實。借一算步之，超一 等。議所得，以一乘所借一算為法，而以 除。除已，倍法為定法。其復除，折法而 下。復置借算步之如初，以復議一乘之， 所得副，以加定法，以除。以所得副從定 法。復除折下如前。 《九章算术》 注意：“復置借算步之如初”-从头再来！ 置积234567为实。次借一算为下法。步之超一位， 至百而止。商置400于实之上，副置40000于实之 下，下法之上，名为方法。命上商400除实。除讫， 倍方法，方法一退，下法再退。复置上商80,以次 前商。副置800于方法之下，下法之上，名曰廉法。 方、廉各命上商80,以除实。除讫，倍廉法上从方 法。方法一退，下法再退。复置上商4,以次前， 副置4于方法之下，下法之上，名曰隅法。方、廉、 隅各命上商4，以除实。除讫，倍隅法从方法。上 商得484,下法的968,不尽311.是为方484 311/968步。 《孙子算经》 注意: “方法一退，下法再退”—退位开方 宋元数学的新变化 改变系数的范围—可正、可负。 刘益：《议古根源》 突破三次的限制—4次以上。 贾宪：《黄帝九章细草》 算法的完善—随乘随加：增乘开方 贾宪三角形—二项式系数 下例取自杨辉《详解算法》 例： x4 =133,6336 商 实 立方 上廉 下廉 下法 3| 3 3 3 34 133,6336 52,6336 52,6336 52,6336 52,6336 27 108 108 108 108 9 27 54 54 54 3 6 9 12 12 1 1 1 1 1 ① ② ③ ④ ⑤ 34 131584 5896 124 1 ⑥ ①实上商得数，乘下法生下廉，乘下廉生上廉，乘上廉生立方。 ②命上商除实。乘下法入下廉，乘下廉入上廉，乘上廉入立方； ③又乘下法入下廉，乘下廉入上廉； ④又乘下法入下廉；方一、上廉二、下廉三、下法四退。 ⑤又于上商之次续商，置得数。 ⑥以乘下法入下廉，乘下廉入上廉，乘上廉并为立方。命上商除实尽，得三 乘方一面之数。 霍纳法（the method of Horner）： 连续解任何次数字方程的新方法（1819） 解方程： x4 – 1336336 = 0 （1）倍根变换：x = 10y : 1000y4 – 1336336 = 0 （2）减根变换：z= y-3 : 1000(1z4 +12z3 +54z2+108z+81) – 1336336=0 （3）缩根变换：u = 10z: 1u4 +120u3 +5400u2+108000u – 526336=0 金庸大师的失误 黄蓉微微一笑，道：“天元四元之术， 何足道哉？算经中共有一十九元，‘人’ 之上是仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、 天，‘人’之下是地、下、低、减、落、 逝、泉、暗、鬼。算到第十九元，方才有 点不易罢啦！” 何为“天元术”—一元高次方程 仙a9 x9 明a8 x8 …… 天 a1 x 未知数 ：元 人 c 常数项：太 地 b1 x-1 …… 暗 b8 x-8 鬼 b9 x-9 1）“人”不是“元”，相 当于今日的常数项；后来 用“太”表示； 2）天……仙是各正数幂的 次数，“天”表示元，即 今日的未知数；故后来所 称“天元术” 3）地……鬼是各负次幂的 次数 天、地、人、物: 四元术 —四元高次方程组 四元2 “三才运元”（《四元玉鉴》元·朱世杰） -y+xyz-xy2-x-z = 0 -y-x2+x+xz-z = 0 y2 +x2-z2 = 0 其解法是：先消元变成一元高次方程 (18次变换！）， -5+6x+4x2-6x3+x4=0 求一根，再利用迭代法求其他。小黄蓉怎能在“片刻之间”， “将七八道题尽数解开”？—金庸大师太夸张了！ 《孙子算经》的“物不知数” 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数 之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 答曰：二十三。 凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数 之剩一，则置二十一；七、七数之剩一， 则置十五。一百六以上，以一百五减之， 即得。 算法分析 N（物数）=70×2＋21×3＋15×2－2×105 a[M]表示a的整倍数 70 = 3[M]+1 =5[M] =7[M] 21 = 3[M] =5[M]+1 =7[M] 15 = 3[M] =5[M] = 7[M]+1 各以所余R１、R２、R３乘之： 70 R１= 3[M]+ R１= 5[M] = 7[M] 21 R２= 3[M] = 5[M]+ R２= 7[M] 15Ｒ３= 3[M] = 5[M] = 7[M]+ R３ 三式相加： Ｎ＊＝70 R１＋21 R２＋15 R３ ＝3[M]＋ R１+5[M]＋ R２＋7[M]＋ R３ 所以：Ｎ＝Ｎ＊－105p ＝70 R１＋21 R２＋15 R３—105p (70=2×5×7) (21=1×3×7) (15= 1×3×5) 如何寻找“2, 1, 1”-- k1, k2, k3, 使得： k1 a2 a3≡1（mod a1） k2 a1 a3≡1（mod a2） k3 a1 a2≡1（mod a3） 即：已知 a（定数）, g（奇）<a ; 求k，使得： k g≡1（mod a） -----“大衍求一术” “大衍求一术” “孙子问题”可以观察试算求得，一般的 方法是： 置奇(g)于右上，定(a)居右下，立天元一于 左上。先以右上除右下，所得之数与左上 一相生，入左下；然后乃以右行上下，以 少除多，递互除之，所得商数随即递互累 乘，归左行上下；须使右上末后奇一而止 。乃验左上所得，以为乘率。 例：求 K·7≡1（mod25） 1 7 1 7 0 25 3 4 （25/7=3…4） （1*3+0=3 ） 4 7 3 1 （4/3=1…1） （1*4+3=7） 18 7 4 3 3 4 （ 7/4=1…3 ） （1*3+1=4） 1 1 （ 3/1=2…1） （2*7+4=18） k=18 求解一般同余式组 N≡R1(mod A1) ≡R2 (mod A2) ……. ≡Rn(mod An) 三个步骤： 1. 化“问数”（Ai）为“定数”（ai）; 即将不两两互素的Ai约化为两两互素的ai; 同时保证最大公约 数不变。 2. 求“乘率” ki, 使得 ki g i≡1(mod ai); 3 计算“总数” N k1R1M1 k2 R2 M 2 .... kn Rn M n (mod M ) 式中M=a1a2…an —“衍母”; Mi =M/ai—“衍数” “中国剩余定理”（Chinese reminder theorem） [比]李倍始（Libericht）:《十三世纪的中国古代数学》 给出一次同余式组解法的十种高度 (1) 设题，附特解，未述算法； (2) 零散设题，算法限于一些特殊数据； (3) 限于一套数据的某种算法； (4) 限于特例的证明； (5) 两两互素的一般算法，未解； (6) 两两互素的一般算法，有解； (7) 不两两互素的一般算法，未证； (8) 不两两互素的一般算法，并给出有解的条件； (9) 给出（5）的证明； (10) 给出（7）的证明。 历史事件 年代 1 2 孙子 400 √ √ Fibonacci 1202 √ √ √ 秦九韶 1247 √ √ √ 杨辉 1275 √ √ √ 慕尼黑手稿 1450 √ √ √ √ 哥廷根手稿 1550 √ √ √ 程大位 1592 √ √ 贝维里基 1669 √ √ 欧拉 1743 √ 高斯 1801 斯提尔吉斯 1890 3 4 5 6 7 8 9 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 10 √ √ √ √ √ 总结 —、古典数学的两种范式 希腊范式：演绎、抽象、证明 代表作：《几何原本》 东方范式：归纳、构造、算法 代表作：《九章算术》 二、中国古代数学的算法化特点 “寓理于算，不证自明” 三、西方社会对中国古典数学的认识过程 1 存在性 “欧洲中心论”：中国古代没有任何有价 值的数学成就 17、18世纪传教士的贡献 利玛窦：《中国科学札记》 近代日本学者的工作 三上义夫：《中国和日本数学之发展》 （1913,英文版） 使得西方学者承认了中国古代数学的存在。 2 独立性 “外域影响论”：受到了巴比伦、希腊、阿 拉伯、印度的影响 李约瑟（1900-1995）的贡献： Science and Civilization in China 向西方世界揭示了一个独立的中国科学的存 在 数学成果的比较： 记数法，进位制，开方法，高次方程，同余 式 数学科学范式的比较：李约瑟指出：希腊的 科学和数学偏爱抽象、演绎和纯理论，而 忽视具体的经验和应用，还是不是一种进 步？ 数学发展社会背景的比较 李约瑟指出：“近代科学的发展不是一种孤 立的现象，它是与文艺复兴、宗教改革、 商业资本主义的兴起而产生的工业机器生 产同时出现的。” 在自然观、社会结构、经济基础、文化特征 的广阔背景下分析中国古代数学。 正是李约瑟的工作才使得西方接受了中国古 代数学的独立性，并承认中国古代数学对 其它文明的影响。 3 主流性 M.克莱因《古今数学思想》“序言”：“ To keep the material within bounds I have ignored several civilizations such as the Chinese, Japanese, and Mayan because their work had no material impact on the main line of mathematical thought.” （中国古代数学“对于数学思想的主流没有 重大影响”。但又给出一个脚注：A fine account of the history of Chinese mathematics is available in Joseph Needham’s Science and Civilization in China） 何为数学发展的主流？ 17世纪微积分的出现标志近代数学的开始 20世纪计算机的发明促进了应用数学的飞速 发展 微积分和计算机都是算法化数学的产物 中国学者的重大结论 吴文俊院士：数学机械化算法体系与数学公 理化演绎体系交替成为数学发展的主流。