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The 12th International Conference on History of Science in China 中算家对微积分的早期理解与运用 ——以夏鸾翔与李善兰为例 The Early Comprehension to Calculus of Traditional Chinese Mathematicians ——Two Cases Study of XIA Luan-xiang夏鸾翔＆LIShan-lan李善兰 报告人：高红成GAOHongcheng ([email protected]) 天津师范大学数学学科学院 (School of Mathematical Science ,Tianjin Normal University, Tianjin300387,China) 2010-06-28 1 问题的提出 晚清对微积分吸收薄弱的问题。 《代微积拾级》(1859)，从算法的角度 而言，微積分还是比较完备的。 但还是以难读著称： 徐有壬：是书壬叔外鲜能通晓，書中 文义语气多乃西人之旧，奥涩不可读， 惟图式皆可据。 梁启超：《代微积拾级》依西人文法， 不敢稍有变动，故极诘屈难读。 卢靖：然不立题不设数，愈讲微分为何 物，愈令人迷惑恍惚，而不可捉摸. 微积分传入后，晚清数学家怎样理解和 运用？ 2.1 夏鸾翔 夏鸾翔(1825～1864)，算学师从于项名达(1789～1850)与戴 煦(1805～1860). 《少广缒凿》（约1850） 《洞方术图解》二卷（1857） 《致曲术》、《致曲图解》(1860－1861) 《万象一原》九卷（卷首一卷，1862自序） 后三部著作是对《代微积拾级》的反映之作。 《致曲术》、《万象一原》：二次曲线求积问题（弧长、面 积、旋转体表面积、体积算法） 2.2夏鸾翔二次曲线求积问题： 递加数+积分术 知识基础： 其一：《洞方术图解》（1857）的递加数 《洞方术图解》：算学之递加图犹农夫之耒耜，渔人 之纲罟也，亦犹璇玑回文，纵横反复皆成文也。数虽 至约，理则无穷。凡算法之精深者，皆不外乎是。 《万象一原》 ：此卷共十题，每题二术，皆设一借数 以求本数，理本同原，术皆一贯。有此十术而递加数 之神明变化悉自此生，犹农夫之耒耜，渔人之网罟。 其二：《代微积拾级》（1859）的积分术 《拾级》卷十八椭圆弧长公式 《拾级》中椭圆弧长公式 《拾级》椭圆弧长公式——关于l的级数展开——椭圆积分 e2 2 a 1 2 x 2 4 4 x x a e e 3 e a 4 6 L dx (1 2 x 2 x x )dx 4 6 2 2 2 2 0 0 2a 2 4a 2 4 6a a x a x e2 e4 3e6 l0 l2 l l (1) 3 4 5 6 2a 2 4a 2 4 6a c e a x x a x x2 a x l0 dx a arcsin ；l2 dx l0 a2 x2 0 0 a 2 2 a2 x2 a2 x2 l4 x4 3a 2 x3 dx l2 2 2 4 4 a x x 0 l2 m x 0 a 2 x 2； (2m 1) a m x 2 m 1 dx l2 m 2 2 2 2m 2m a x x2m a 2 x 2 (m 1, 2,3, ) 夏鸾翔椭圆弧长公式递加数表示 椭圆正弦为第一数；次置第一数以椭圆正弦幂乘之，椭半径幂除之，一乘之，又 一乘之，二除之，三除之为第二数；次置第二数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，三 乘之，又三乘之，四除之，五除之为第三数；次置第三数以椭正弦幂乘之，椭半径幂 除之，五乘之，又五乘之，六除之，七除之为第四数；顺是以下皆如是，求至单位 下，乃相并為总第一数（凡用大半径幂者总第一数正以下均负。用小半径幂者总一二 数正以下负正相间）。 置半心差自乘方以椭正弦立方乘之，椭半径三乘方除之，二而一，三除之 为第一数；次置第一数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，一乘之，三乘之，二除之， 五除之为第二数；次置第二数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，三乘之，五乘之，四 除之，七除之为第三数；次置第三数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，五乘之，七乘 之，六除之，九除之为第四数；顺是以下皆如是，求至单位下，乃相并為总第二数。 置半心差三乘方以椭正弦四乘方之，椭半径七乘方除之，二而一，又四而 一，五除之为第一数；次置第一数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，一乘之，五乘 之，二除之，七除之为第二数；次置第二数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，三乘 之，七乘之，四除之，九除之为第三数；次置第三数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除 之，五乘之，九乘之，六除之，十一除之为第四数；顺是以下皆如是，求至单位下， 乃相并為总第三数。 …… 如是迭次求之，求得总数降至单位下止，乃以诸总数正负并减为椭圆弧背。 椭圆弧长关于x的级数表示 12 3 12 32 5 12 32 52 7 L (x x x x ) 2 4 6 3! a 5! a 7!a 2 2 c2 c 1 3 c 3 5 7 ( x x x ) 4 6 8 2 3a 2 2 5a 2 2 4 7a 4 c4 c 5 7 ( x x ) 8 10 2 4 5a 2 4 2 7a c6 7 ( x )－ (2) 12 2 4 6 7a 此式(2)夏鸾翔《致曲术》得到，《拾级》中没有。 夏鸾翔《洞方术图解》 （1857年自序） 算皆之“ 法成纲算 之文罟学 精也也之 深。，递 者数亦加 ，虽犹图 皆至璇犹 不约玑农 外，回夫 乎理文之 是则，耒 。无纵耜 ”穷横， 。反渔 凡复人 1859年 《拾级》 递加数=微分术 !？ 夏鸾翔《万象一原》 （1862年自序） 网悉贯借“ 罟自。数此 。此有以卷 ”生此求共 ，十本十 犹术数题 农而，， 夫递理每 之加本题 耒数同二 耜之原术 ，神，， 渔明术皆 人变皆设 之化一一 董佑诚递加数图 项名达递加图 夏鸾翔递加图 3 李善兰 《拾积》：此书为算学中上乘工夫，此书 一出非特中法几可尽废，即西法之古者亦 无所用之矣。 可他练习“上乘工夫”的痕迹也就是仅仅 在《椭圆拾遗》中用级数处理椭圆轨道问 题时用到了积分术，而级数的建立则还是 承续董祐诚的那种级数系数与垛积术结合 的办法。 《椭圆拾遗》 《则古昔斋算学》（1867年）之九 《椭圆拾遗》卷一由第1－20款组成，第1－12款介绍椭圆 的几何性质，第13－21款主要目的就是运用综合几何方法 推导椭圆向径与平行角、实行角之间的关系，主要结论是 第14款和和第17款——椭圆向径与实引角之间的关系。 《椭圆拾遗》卷三，由第30－44款组成，运用“ 微积分”方法和级数回求法在卷一的基础上得到 椭圆轨道运动问题的级数解答。 主要有三项内容：其一，第30－35款得到借积角 (E)与平引角(M)的级数互求术，其中涉及到开普 勒方程。其二，第36－41款得到椭圆向径(r)关于 实引角(θ)的级数展开式，即椭圆极坐标方程的 级数展开式。其三，第42－44款得到实引角度与 平引度的级数互求术。 这三项成果的推求反映了李氏对微积分的理解和 运用。 Q S AOP '＝S AF1 P C Q' P S AF1Q 平引面积 P' r E B F2 M O D F 1 D' 开普勒方程(1),(8) 级数回求(2) (3),(5) AF1P 实引角 AOQ ' 平引角- M AOQ 借积角- E E A (12) M r 级数回求 极坐标方程(4),(11) 《椭圆拾遗》 Q dS AF1Q SQRH dS AF1Q P H r B QR 0 E F2 O D F1 1 a QH QR QH dE 2 2 a rdE 2 a cE cE cE cE (a c )dE 2 2! 4! 6! 8! 2 dS AF1Q K C 第33款:距心线之 级数为借积度求平 引面积之微分。 R 4 6 8 A 第39款：距心线级数自乘大小二半径各除依次得 实引度求平引度之微分。 1 2 dM r d ab 其中 c 2 c 2 c 4 c 3 c 2 c 6 r ( a c ){1 ( ) [6( ) ( )] [90( ) 30( ) ( )] a c 2! a c a c 4! a c a c a c 6! c 4 c 3 c 2 c 8 [2520( ) 1260( ) 126( ) ( )] a c a c a c a c 8! c 5 c 4 c 3 c 2 c 10 [113400( ) 75600( ) 13230( ) 510( ) ( )] } a c a c a c a c a c 10! 4 对微分、代数的认识 夏鸾翔对微分术的认识 李善兰对微分术的解释：级数 伟烈亚力的认识：有近微分者，不用代数 华蘅芳对代数的认识：代数是不得已而为之 卢靖的改进与认识： 代－微－积 对于符号代数 李善兰的级数表达法，得到级数的方法秉承董吸收积分术 华蘅芳对符号代数的认识（溯源》（1874）序）： “代数种种记号之法，皆出于不得已而立者。” 伟烈亚力《拾级》序 微分、积分为中土算书所未 有，然观当代天算家，如董 方立氏、项梅侣氏、徐君青 氏、戴鄂士氏、顾尚之氏、 暨李君秋纫所著各书，其理 有甚近微分者，因不用代数 式，故或言之甚繁，推之甚 难。 李善兰《拾级》序 “……。而迭求微系数可得线面体之级数、曲线 之诸异点。是谓微分术。” 夏鸾翔 夏氏在曲线求积问题上的成果是他在自身的知识基础（“递 加数”）上吸收《拾级》中积分术取得的。 自身的知识构成：（递加数）+《拾级》积分术 特色与创新性显然，不足亦显然 递加数：董——项——夏 较之项名达成果更丰富，方法更具一般性 没有吸收《拾级》中级数的代数表示法。从微积分知识的 吸收的角度而言，夏带偏微积分学习的轨道，不利于传播 。 李善兰 在《拾级》中运用泰勒（B.Taylor,1685－1731）公式和麦 克劳林(C.Maclaurin,1698－1746)公式求幂级数展开式。 李氏并没有理会这两个公式，他得到幂级数展开式的方法 运用“连比例法” 与中国传统数学中垛积术以及级数回求 术。这种方法是董祐诚(1791－1823年)《割圆连比例术图 解》（三卷，1819）为探求“杜氏三术”立术之原而发展起 来的。 中算家对微积分的吸收 《 代数学》 《 代微积拾级》 杜氏三术 《 数理精蕴》 1701 宋元数学 1723 1774～1839 1857 1859 传统(宋元)数学典籍复现： 《 洞方术图解》 天元术、垛积术 清代中期形成的幂级数研究领域: 割圆连比例+垛积术 明安图——————董————项————戴————徐 (1692~1766) (1791~1823) （ 1789~1850） (1805~1860） （ 1800~1860) 1860～1861 1862 《 致曲术》 《 万象一原》 《 致曲图解》 1901～1902 《 沿沂亭算稿》 （ 徐异） 《 曲线剩义》 （ 沈保枢） 《 万象一原演式》 （ 卢靖） 夏鸾翔：囿于自身的知识结构，守住“递加数”不放，于《 拾级》中的级数代数表示法和微分术不顾，其所得成果显 得很笨拙，也不利于《拾级》中微积分知识的传播。 李善兰：将微分术等同于幂级数展开式的求法，而幂级数 展开式的求法则秉承董祐诚割圆连比例术和级数回求法， 并不求助于《拾级》中的泰勒公式和麦克劳林公式。 《椭圆拾遗》中，李氏倒是吸收了《拾级》中算式的表示 法，较之夏要简洁。 中算家是根据自己有的知识构成对传入的数学知识进行选 择、解读。这种方式决定了西方数学在中国传播的效果、 速度和影响的大小，也决定了中算家在优势科学传入之后 还能作出有特色的成就，当然也决定了他们的不足。在这 个过程中他们在逐渐修正自己的知识结构，中西数学走向 合流。 请批评赐教 谢谢！ Thanks