Transcript 第三节基本初等函数

§3.
基本初等函数
§3. 基本初等函数
☆
常函数
☆
指数函数:
☆
☆
幂函数:
y  x
y  ax
(  R)
(a  0且a  1)
三角函数
反三角函数
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1、指数函数
y  ax
(a  0, a  1)
1 x
y( )
a
y  ex
y  ax
(a  1)

(0,1)
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2、对数函数 y  loga x
(a  0, a  1) y  ln x
y  log a x
(1,0)

(a  1)
y  log 1 x
a
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
y

x
(是常数)
3、幂函数
y
y x
y  x2
y
1
(1,1)
o
1
x
x
1
y
x
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4、三角函数
☆ 正弦函数 y  sin x
y  sin x
下页
☆ 余弦函数 y  cos x
y  cos x
下页
☆ 正切函数 y  tan x
y  tan x
下页
☆ 余切函数 y  cot x
y  cot x
下页
☆ 正割函数 y  sec x
y  sec x
下页
☆ 余割函数 y  csc x
y  csc x
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5、反三角函数
☆ 反正弦函数 y  arcsin x
y  arcsin x
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☆ 反余弦函数 y  arccos x
y  arccos x
下页
☆ 反正切函数 y  arctanx
y  arctan x
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☆ 反余切函数 y  arccot x
y  arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反
三角函数,双曲函数统称为基本初等函数.
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6、双曲函数
由
x
e, e
x
构成.
y  cosh x
e x  ex
双曲正弦 sinh x 
1 x
2
y e
D : ( , ),
奇函数.
e e
双曲余弦 cosh x 
2
x
D : ( , ),
2
偶函数.
1 x
y e
2
x
y  sinh x
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sinh x e x  e  x
☆ 双曲正切 tanh x 
 x
x
cosh x e  e
D : ( , )
奇函数,
有界函数,
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☆ 双曲函数常用公式
sinh( x  y )  sinh x cosh y  cosh x sinh y ;
cosh( x  y )  cosh x cosh y  sinh x sinh y ;
cosh2 x  sinh2 x  1;
sinh 2 x  2 sinh x cosh x ;
cosh 2 x  cosh x  sinh x .
2
2
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☆反双曲函数
反双曲正弦 y  arsinh x ;
y  ar sinh x
y  arsinh x
 ln( x 
x 2  1).
D : ( , )
奇函数,
在 (,) 内单调增加.
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☆ 反双曲余弦 y  ar cosh x
y  arcosh x
y  ar cosh x
 ln( x  x 2  1).
D : [1, )
在 [1,) 内单调增加.
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☆ 反双曲正切 y  ar tanh x
y  artanh x
1 1 x
 ln
.
2 1 x
y  ar tanh x
D : ( 1,1)
奇函数,
在 (1,1) 内单调增加.
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凡是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及
有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数，
称为初等函数.
例 : y  loga x 
esin
x
2
1
, y
3  x  ex
1 x2
是初等函数，而Dirichlet函数、y  sgn x、y  [ x]等
都不是初等函数.
x
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例 : 设f ( x)  x, (0  x  1), 将它延拓为整个实轴
上的周期为2的偶函数.
y
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
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解：借助几何图形，延拓后的函数
 x, 0  x  1,
 x,  1  x  0,

g ( x)  
( x  2n), 2n  x  2n  1 (n  1,2, ),
 ( x  2n), 2n  1  x  2n (n  1,2,).

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500
☆附注：
400
1 常函数
200
2
幂函数
x-3
x-5
300
yx

幂函数 x 3 , x 5
clf,x=-1:0.02:1;
100
0
-100
-200
-300
y1=x.^(-3);y2=x.^(-5);
-400
-500
-1
plot(x,y1,x,y2),hold on
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
axis([-1,1,-500,500]);
legend('x^-3','x^-5');
plot([-2,2],[0,0],'r',[0,0],[-500,500],'r')
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1
幂函数
2
1/2
x ,x
图象
500
x -2
450
x -4
400
clf,x=0:0.02:1.6;
350
300
y1=x.^2;y2=x.^(1/2);
250
200
axis([-0.1,1.4,-0.1,1.2])
legend('x^','x^1/2')
150
100
50
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
plot(x,y1,x,y2,'linewidth',2),hold on
plot([-0.1,2],[0,0],'r',[0,0],[-0.1,1.5],'r')
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1
x 2 , x1/2 图象
幂函数
1.2
x
x 1/2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
下页
x3 , x1/3
1.2
x3
x 1/3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
下页
1.4
2 x , log2 x
图像
8
log2x
2x
6
4
2
0
-2
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
下页
5 三角函数
反三角函数 arcsinx ,
6
arccosx 图像
asin (x )
acos (x )
1.5
3
1
2.5
0.5
2
0
1.5
-0.5
1
-1
0.5
-1.5
0
-1
-0.5
0
x
0.5
1
-1
-0.5
0
x
0.5
下页
1
arctgx 图 像
atan(x)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
下页
☆练 习 题
一、填空题:
 1 5
2
1、若 f     2t ,则 f ( t )  __________ ,
t t
f ( t 2  1)  __________ .


1
,
x


3
2、若( t )  
,
 sin x , x  

3


则( ) =_________，( ) =_________.
6
3
3、不等式 x  5  1 的区间表示法是_________.
x  U ( 0,  )
y  U ( 0, 2 )
2
4、设 y  x ,要使
时，
,

须 __________.
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二、证明 y  lg x 在( 0, ) 上的单调性.
三、证明任一定义在区间(  a , a ) ( a  0 ) 上的函数可表
示成一个奇函数与一个偶函数之和.
四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数，
 x 2 ,1  x  0
且 f ( x)  
,试在(  , ) 上绘出
 0, 0  x  1
f ( x ) 的图形.
五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的
乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
ax  b
六、证明函数 y 
的反函数是其本身.
cx  a
e x  ex
七、求 f ( x )  x
的反函数，并指出其定义域.
x
e e
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☆ 练习题答案
2
2
2
5
(
t

1
)

,
； 2、1,1；
2
2
2
t
( t  1)
3、(4,6)；
4. (0, 2 ] .
1 x
, ( 1,1) .
七、 y  ln
1 x
一、1、5t 
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好好学习
天天向上
The Class is over. Goodbye!