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应用概率统计
主讲:刘剑平
2.3. 随机变量函数的分布
离散型随机变量函数的概率分布:
X
x1
x2
...
g(X) g(x1) g(x2)
…
P
...
p1
p2
xn
...
g(xn) …
pn
...
注意
离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求:
(1)由y=g(x)计算出随机变量Y的所有取值y1,y2,...,yn,...;
(2)P(Y=yn)为yn 对应的随机变量X的取值的概率和.
连续型随机变量函数的概率密度函数
定理1 设X~fX(x),y=g(x)是x的单调可导函数,其导数不为0,
值域为(a,b),-∞<a<b<+∞,记x=h(y)为y=g(x)的反函数,则
Y=g(X)的概率密度函数为:
 f X [ h( y )]  | h( y ) |
fY ( y )  
0
a yb
其它
第3章
随机向量
•随机向量及其概率分布
•随机向量的联合分布函数
•随机变量函数的分布
第3.1节
随机向量及其概率分布
例如射击一次.问击中否?击中几环?击中点的坐标?击中
点到靶心的距离?
1. n 维随机向量
以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 为分量的向量
X=(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量。
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。
2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布
定义 如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限
个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。
易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量
X与Y分别都是一维离散型的。
联合概率分布
称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,)为(X,Y)的联合概率分布.其
中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:
Y
X
x1
x2
…
xi
…
y1
p11
p21
…
pi1
…
联合概率分布性质
① pij≥0 ;i,j=1,2,…
y2
p12
p22
…
pi2
…
…
…
…
…
…
…
yj …
p1j …
p2j …
… …
p ij …
… …
②∑∑pij = 1;
计算P{(X,Y)∈D }=
p
( xi , y j )D
ij
边缘概率分布
(1) 定义 随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，
称为X关于Xi的边缘分布。
(2) 边缘分布列
对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为
边缘分布列。
若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
P ( X  xi )  P{( X  xi )  [ (Y  y j )]}
(i=1,2,...)
j
  P{( X  xi )  (Y  y j )}   P ( X  xi , Y  y j ) 
j
同理
P (Y  y j )   pij
j
(j=1,2,...)
i
一般地,记: P(X=xi)
概率分布表如下:
Pi .
P(Y=yj)
P. j
p
j
ij
Y
X
y1 y2  y j  P
. i
x1
p11 p12  p1 j 
p1.
x2
p 21 p 22  p 2 j 
p 2.

xi

P. j


  
pi 1 pi 2  pij 

pi.
    

p.1 p.2  p. j 
独立性 若(X,Y)的联合概率分布满足
P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
称X与Y独立。
例1 某盒子中有形状相同的2个白球， 3个黑球。从中
一个个取球，令
第i次取白球
1
Yi  
i  1,2
第i次取黑球
0
分放回或不放回情形
求 : (1)(
（Y 1，Y 2） 的联合概率分布；
( 2)边缘概率分布;
( 3)讨论Y1与Y2的独立性。
不放回 Y1
0
Y2
1
放回
Y1
Y2
0
1
0
3/10
3/10
0
9/25
6/25
1
3/10
1/10
1
6/25
4/25
Y1
0
1
Y1
0
1
P
3/5
2/5
P
3/5
2/5
Y2
0
1
Y2
0
1
P
3/5
2/5
P
3/5
2/5
P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj )
不独立
P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
独立
例2 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
X Y
0
1
2
-1
0.05
0.1
0.1
0
0.1
0.2
0.1
1
a
0.2
0.05
求:(1)常数a的取值;
(2)P(X≥0,Y≤1);
(3) P(X≤1,Y≤1)
解 (1)由∑pij=1得: a=0.1
(2)由P{(X,Y)∈D}=
 p 得 P(X≥0,Y≤1)=
( xi , y j )D
ij
P(X=0,Y=0)+
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6
(3)P(X≤1,Y≤1)
=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)
+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
二维随机向量区域概率图:
Y
2
1
P(X≤1,Y≤1}
-1
P{X≥0,Y≤1}
0
1
X
例3 设(X,Y)的联合概率分布为:
X Y
0
1
2
-1
0.05
0.1
0.1
0
0.1
0.2
0.1
1
0.1
0.2
0.05
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解 (1)由分析得:
X
-1
0
1
P
0.25
0.4
0.35
Y
0
1
2
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
P
0.25
0.5
0.25
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2
P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4
同理,P(X+Y=2)=0.3, P(X+Y=3)=0.05
所以
X+Y -1
P
0
0.05 0.2
1
2
3
0.4 0.3 0.05
例4 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整.
X
x1
x2
p j
Y
y1
y2
y3
pi
1/24
1/8
1/12 1/4
1/8
3/8
1/4
3/4
1/6
1/2
1/3
1
第3.2节
定义
随机向量的联合分布函数
二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y )=P{X≤x,Y≤y} (x,y)∈R2
二维联合分布函数区域演示图:
Y
y
{ X≤x
, Y≤y
(x,y)
}
x
X
联合分布函数性质
(1) 0  F ( x, y)  1;
( 2) F ( ,)  1, F ( ,)  F ( , y )  F ( x ,)  0;
(3) P( x1  X  x2 , y1  Y  y2 ) 
F ( x2 , y2 )  F ( x2 , y1 )  F ( x1 , y2 )  F ( x1 , y1 )
(4)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为
P( X  xi , Y  y j )  pij (i  1,2, , j  1,2,)
则 F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=
p
xi  x y j  y
ij
(3) P( x1  X  x2 , y1  Y  y2 ) 
F ( x2 , y2 )  F ( x2 , y1 )  F ( x1 , y2 )  F ( x1 , y1 )
Y
y2
(x1,y2) (x2,y2)
y1
(x1,y1)
(x2,y1)
x1
x2
X
3. 连续型随机向量的联合概率密度
F(x, y)  P{X  x, Y  y}  
x

y
 
性质
f ( s ,t ) dtds
(1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2
 
 
 
f ( x , y )dxdy  1
计算 P{(X, Y)  D}   f(x, y)dxdy
D
特别
其中D为任意可度量区域.
在f(x,y)的连续点有
 F ( x, y )
 f ( x, y )
xy
2
 Ae ( 2 x 3 y ) , x  0 , y  0
例5设(X,Y)～f ( x , y )  
0,
其它

试求:(1)常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1};
(3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
解 (1)
 
 
0
0
Ae
( 2 x  3 y )
(4) P（X≤x,Y≤y）.
dxdy  
 
0
b
d
b
d
a
c
a
c

0
 2 x 3 y
Ae e
据 dx  f ( x )g( y )dy  f ( x )dx  g( y )dy得


 A e dx  e
2 x
0
0
=A/6 =1
所以,
A=6
3 y
1  2 x   1 3 y  
dy  A(  e ) (  e )
0
0
2
3
dxdy
(2) P{(X, Y)  D}   f(x, y)dxdy
Y
D
所以,P{ X<2,Y<1}=  f(x, y)dxdy
{X  2,Y 1}
2
1
  dx  6 e
0
( 2 x  3 y )
0
2
 6 e
0
2 x
dy
1
{X<2, Y<1} 0
1
dx  e 3 y dy
0
1 2 x 2 1 3 y 1
4
3
 6(  e ) (  e )  (1  e )(1  e )
2
0 3
0
2
X
(3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
Y
P{(X, Y)  D}   f(x, y)dxdy

D
 f(x, y)dxdy
2
2x+3y=6
2x  3y 6
1
( 6 2 x )
3
0
3
  dx 
dy
0
1
3
(6  2 x )
1 3 y
2 x
 6 e (  e ) 3
dx
0
3
0
 2 (e
3
0
2 x
6e
( 2 x  3 y )
6
 e )dx  1  7 e
6
0
3
X
Y
(4) F(x, y)  P{X  x, Y  y}

x

y
 
f (s, t ) dtds
所以, 当x≥0,y≥0时,
x
y
0
0

x
 6 e
0
即:
2 s
y
0
x
X
6e ( 2 s 3t ) dtds
y
ds  e
0
3t
1 2 s x 1 3t y ( 1  e 2 x )( 1  e 3 y )
dt  6(  e ) (  e )
0 3
0
2
(1  e 2 y )(1  e 3 x )
P ( X  x,Y  y )  
0
x  0, y  0
其它
0  x  1,0  y  1
4 xy
例6 设(X,Y)~ f ( x , y )  
0
其它
求(X,Y)的联合分布函数.
Y
解 (1)x<0,或y<0时,F(x,y)=0
1
y
(2)x≥1,y≥1时,F(x,y)=1
(3)0≤x≤1,0≤y≤1时,
F(x,y)=
x
y
0
0
 ds 
4xy
x 1
2 2

x
y
4stdt
x
1
 
2
0
x

0
或
y

0

ds 4stdt  x
(4)0≤x≤1,y>1时,F(x,y)=
 2 20
0
 x y 1 0  xy  1,0  y  1
 2
2
综合即得:
F
(
x
,
y
)

x
0

x

1
,
y

1
ds
4
stdt
y
(5)x>1,0≤y≤1时,F(x,y)=
 y 2 0 x  10,0  y  1

1
x  1, y  1

 
X
联合分布函数与边缘分布函数的关系
定义
则称
设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),
FX ( x)  F ( x,)  P( X  x, Y  )  P( X  x)
x 

x 
x
  f (s, t )dtds   (  f (s, t )dt )ds   f

 
X
( s)ds

FY ( y )  F (, y )  P( X  , Y  y )  P(Y  y )
y 

y

y
  f (s, t )dsdt   (  f (s, t )ds)dt   f
  
 
Y
(t )dt

分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
边缘密度函数
对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y),分量X,Y的密度函数称
为边缘密度函数。
已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。

f X ( x)  f1 ( x) 

f ( x, y ) dy


f Y ( y)  f 2 ( y) 

f ( x, y ) dx

(2) 若a<b,则
事实上, (1)f1(x)≥0,
b

P{a<X<b}=P{a<X<b,-∞<Y<+∞}=  dx  f ( x , y )dy
b
a

  f 1 ( x )dx 所以,f1(x)是X的概率密度,同理可证f2(y).
a
随机变量的相互独立性
定理1
离散型
 pij  pi . p. j
随机变量X与Y是相互独立的  
 f ( x , y )  f 1 ( x ) f 2 ( y ) 连续型
定理2
若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X )与h(Y)也相互
独立。
特别有 aX+b与cY+d相互独立.
例7： 已知X , Y的分布函数为
x
y
F ( x , y )  A( B  arctan )(C  arctan ).
2
3
求： 1）A , B , C；
2） ( X , Y )的概率密度；
3） 边缘概率密度和边缘分布函数；
4） 讨论的独立性。
(1) A 
1

2
,B 

2
,C 

2
;
6
(2)( X , Y )的概率密度f ( x, y) = 2
;
2
2
 (4  x )(9  y )
2
1 
x
( 3) f X( x) =
, F(
+ar ct an ) ;
X x) = (
2
 (4  x )
 2
2
3
1 
y
f Y( y) =
, F(
+ar ct an ) ;
Y y) = (
2
 (9  y )
 2
3
( 4) f ( x, y) =f X( x) f Y( y) or F( x, y) =F(
X x) F(
Y y) 独立.
常见的二维连续型随机向量
(1) 均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为
 1

f ( x, y )   S D
0

( x, y )  D
其它
其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.
则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.
对于D中任意可度量子区域G有
P{( x, y)  G}  
G
SG
1
f ( x, y)dxdy  
dxdy 
SD
SD
G
其中:SG为区域G的面积.
例8 设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
1
解 (1)由题意得: f ( x , y )  

0

x2  y2  1
其它
f 1 ( x )   f ( x , y )dy
y  1  x2
Y

当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0
-1
当|x|≤1时,
 1 x
1 x

均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布
f (x) [


] f ( x , y )dy

1

1 x 2
1
 1 x


2
2
dy 
2

1  x2

2
 1 x 2

所以,
1
1 x 2
y   1  x2
2
2
2
2
1

x
|
x
|

1
1

y
| y | 1


f 1 ( x )  
不独立
同理,f 2 ( y )  
0
0
| x | 1
| y | 1
X
(2) 二维正态分布
定义 如果(X,Y)的联合密度函数为
f ( x, y ) 
1
21 2
1
exp{
2
2
2
(
1


)
1 
x  1 2
x  1 y   2 y   2 2
 [(
)  2
(
) ]}
1
1
2
2
其中    1 ,  2  ,  1  0,  2  0, |  | 1,
2
2
则称(X,Y)服从参数为 1 ,  2 ,  12 ,  2 2 ,  的二维正态分布,
简记为
( X , Y ) ~ N ( 1 ,  2 ,  1 ,  2 ,  )
2
2
可以证明 若
( X , Y ) ~ N ( 1 ,  2 ,  1 ,  2 ,  )
2
2
则X,Y的边缘概率密度分别为
X~N(μ1,σ12), Y~ N(μ2,σ22);
即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布.
由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概
率密度,反之不一定成立.
例9 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为
1
f ( x, y) 
e
2
x2  y2

2
(1  xy) (  x, y  )
求(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度.
解
f X ( x)  


x2  y2
 
2

x2  y2
 
2
同理可得
Y

1
f ( x, y)dy 
2
2
2

e
(1  xy)dy
x  yx 2
y2





1  1 2

1

2
(fxy()ydy
) 
e 2
即 fX ( x)  e e dy   e
2  2
2


x2 
y2
y2

 
1  2    2
2

X,Y的边缘概率密度为一维正态分布.

e
e
dy

x
e
y
dy

 

2


2
x2
y2
所以,边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不
x
1  2 1   2
1 2
一定是二维正态分布.

e
e dy 
e

2
2 
2
课堂练习
1. 设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地
取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的分布列。
解
X
0
1
P
1/2
1/2
Y
0
1
P
1/2 1/2
(X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
Z=max(X,Y)的取值为:0,1
P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4
P(Z=1)= P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =3/4
所以,Z的分布列为 Z
P
0
1
1/4
3/4
2.
已知随机向量(X,Y)的联合密度为
e  x  y , x  0 , y  0;
f ( x, y )  
其他.
 0,
(1)问X与Y是否独立？(2)求概率P{X<Y}.
解 (1)

( x  y )
y


 e ( x  y ) dy  e  x x  0
e
dx

e
y 0
0
f2( y )  
f 1 ( x )  0
0
y0
0
x0
f ( x, y )  f 1 ( x ) f 2 ( y )
(2)P(X<Y)= 
x y
f ( x , y )dxdy 
所以,X,Y独立.


0

dx  e
x
( x  y )
1
dy
2
3.
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
e  y , 0  x  y ⑴ 求随机变量X的密度函数；
f ( x, y )  
其他
⑵ 求概率P{X+Y≤1}.
 0,
解 (1)x≤0时,f1(x)=0;
ey

x>0时,f1(x)=  f ( x , y )dy 

所以,
e  x
f1( x )  
0
⑵ P{X+Y≤1}=

1/ 2
0


x
e dy  e  x
y
x 0
x0
dx 
1 x
x
 1  e 1  2 e

y=x
x+y=1
1/2
e  y dy
1
2
小结:
联合概率分布
Y
X
x1
x2
…
xi
…
y1
p11
p21
…
pi1
…
联合概率分布性质
① pij≥0 ;i,j=1,2,…
y2
p12
p22
…
pi2
…
…
…
…
…
…
…
yj …
p1j …
p2j …
… …
p ij …
… …
②∑∑pij = 1;
计算P{(X,Y)∈D }=
p
( xi , y j )D
ij
边缘概率分布
(1) 定义 随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，
称为X关于Xi的边缘分布。
(2) 边缘分布列
对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为
边缘分布列。
Y
X
y1 y2  y j  P
. i
x1
p11 p12  p1 j 
p1.
x2
p 21 p 22  p 2 j 
p 2.

xi

P. j


  
pi 1 pi 2  pij 

pi.
    

p.1 p.2  p. j 
随机向量的联合分布函数
定义
二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y )=P{X≤x,Y≤y} (x,y)∈R2
联合分布函数性质
(1) 0  F ( x, y)  1;
( 2) F ( ,)  1, F ( ,)  F ( , y )  F ( x ,)  0;
(3) P( x1  X  x2 , y1  Y  y2 ) 
F ( x2 , y2 )  F ( x2 , y1 )  F ( x1 , y2 )  F ( x1 , y1 )
(4)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为
P( X  xi , Y  y j )  pij (i  1,2, , j  1,2,)
则 F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=
p
xi  x y j  y
ij
连续型随机向量的联合概率密度
F(x, y)  P{X  x, Y  y}  
x

y
 
性质
f ( s ,t ) dtds
(1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2
 
 
 
f ( x , y )dxdy  1
计算 P{(X, Y)  D}   f(x, y)dxdy
D
其中D为任意可度量区域.
特别
在f(x,y)的连续点有  F ( x, y )  f ( x, y )
2
xy
联合分布函数与边缘分布函数的关系
定义
则称
设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),
FX ( x)  F ( x,)  P( X  x, Y  )  P( X  x)
x 

x 
x
  f (s, t )dtds   (  f (s, t )dt )ds   f

 
X
( s)ds

FY ( y )  F (, y )  P( X  , Y  y )  P(Y  y )
y 

y

y
  f (s, t )dsdt   (  f (s, t )ds)dt   f
  
 
Y
(t )dt

分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
边缘密度函数
对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y),分量X,Y的密度函数
称为边缘密度函数。
已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。

f X ( x)  f1 ( x) 

f ( x, y ) dy


f Y ( y)  f 2 ( y) 


f ( x, y ) dx
随机变量的相互独立性
定理1
离散型
 pij  pi . p. j
随机变量X与Y是相互独立的  
 f ( x , y )  f 1 ( x ) f 2 ( y ) 连续型
定理2
若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X )与h(Y)也相互
独立。
特别有 aX+b与cY+d相互独立.
常见的二维连续型随机向量
(1) 均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为
 1

f ( x, y )   S D
0

( x, y )  D
其它
(2) 二维正态分布
定义 如果(X,Y)的联合密度函数为
f ( x, y ) 
1
21 2
1
exp{
2
2
2
(
1


)
1 
x  1 2
x  1 y   2 y   2 2
 [(
)  2
(
) ]}
1
1
2
2
   1 ,  2  ,  1  0,  2  0, |  | 1,
2
2
其中
则称(X,Y)服从参数为 1 ,  2 ,  12 ,  2 2 ,  的二维正态分布,
简记为
( X , Y ) ~ N ( 1 ,  2 ,  1 ,  2 ,  )
2
2
可以证明 若
( X , Y ) ~ N ( 1 ,  2 ,  1 ,  2 ,  )
2
2
则X,Y的边缘概率密度分别为
X~N(μ1,σ12), Y~ N(μ2,σ22);
即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布.
由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概
率密度,反之不一定成立.
应用概率统计
主讲:刘剑平
3.3 随机向量函数的分布
离散型随机向量函数的分布
例10设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项 B(n1 , p)
分布和 B(n2 , p)，求Y=X1+X2的概率分布.
解 依题知X+Y的可能取值为0,1,2,...,n1+n2,因此
对于k (k= 0,1,2,...,n1+n2)，由独立性有
 P( X
P (Y  k ) 
k1  k 2  k


1
 k1 , X 2  k 2 )
k1
k2
k1
n1  k1
k2
n2  k 2
C
p
(
1

p
)
C
p
(
1

p
)
 n1
n2
k1  k 2  k
C
k1  k 2  k
k1
n1
C p (1  p)
k2
n2
k
n1  n2  k
k1
k2
k
k
C
C

C
由  n1 n2
P
(
Y

k
)

C
n1  n2 得
n1  n2
k1  k 2  k
p k (1  p) n1 n2 k
所以Y=X1+X2服从二项分布 B(n1  n2 , p)
即:
若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)，
则
X+Y～B(n1+n2,p)
二项分布的可加性
类似可得:
若X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2),
则
X+Y~P(λ1+λ2)
Possion分布的可加性
离散型随机向量函数Z=g(X,Y)的概率分布:
(X,Y)
( x1,y1 )
(x1,y2)
g(X,Y) g(x1,y1)
g(x1,y2)
P
p11
p12
...
(xn,ym)
...
… g(xn,ym)
…
...
pnm
...
注:g(x1,y1) , … g(xn,ym) …从小到大排,相同的并在一起
例11 设(X,Y)的联合概率分布为:
0
1
2
-1
0.4
0.1
0.1
0
0.1
0.2
0.1
X
Y
求:(1)X+Y,XY,X2+Y2的概
率分布.
(X,Y) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (0,0) (0,1) (0,2)
X+Y
-1
0
1
0
1
2
XY
0
-1
-2
0
0
0
X2+Y2
1
2
5
0
1
4
0.4
0.1
0.1
0.1
0.2
0.1
P
X+Y
-1
0
1
2
P
0.4
0.2
0.3
0.1
XY
-2
-1
0
P
0.1
0.1
0.8
1
2
4
0.6
0.1
0.1 0.1
X2+Y2 0
P
0.1
5
随机变量函数的概率密度函数求法----分布函数法
设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y).
(1) 求Z的分布函数
F ( z )  P( Z  z )  P( g ( X , Y )  z )

 f ( x, y)dxdy
g ( x , y ) z
(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).
例12 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为
 2  x2
e

f X ( x)   
0

 2  y2
x0
e

, fY ( y )   
0
其他

求Z  X 2  Y 2的概率密度函数.
 4 ( x
 e
解 (X,Y)的联合密度函数为 f ( x, y )  
y0
其他
2
 y2 )
0
(1) z  0 时, FZ ( z )  P(Z  z )  P( X 2  Y 2  z )  0
2 ze  z z  0 4
(2)所以,
z  0时, FZ ( z ) fZ ( z )  f ( x, y )dxdy 
0
z0 
2
2
x  y  z

x  0, y  0
其他
f Z ( z)  0
2
z
4 2
 z2
r 2
  d e rdr  1  e
0
 0
 e
( x 2  y 2 )
X 2 Y 2  z
f Z ( z )  2 ze
 z2
dxdy
连续型随机变量和的概率密度函数
例13 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)
和f2(y),求Z= X+Y的概率密度函数.
解
z x

f ( x , y )dy dx
FZ ( z )  P{ X  Y  z }   f ( x , y )dxdy    
  

x  y z

f Z (z)  


独立
f ( x , z  x )dx 



f1 ( x）f 2 ( z  x )dx
同理
z y

f ( x , y )dx dy
FZ ( z )  P{ X  Y  z }   f ( x , y )dxdy    
  

x  y z

f Z (z)  


独立
f ( z  y , y )dy 



f1 ( z  y）f 2 ( y )dy
例14 设随机向量(X,Y)的概率密度为.
2e ( x  2 y ) x  0, y  0
f ( x, y)  
其他
0
解：F
Z
, 求Z  X  Y 的概率密度
( z )  P{ X  Y  z } 
 f ( x, y )dxdy
x  y z
0
z
   x z  x 2 y
  e dx  2e dy
0
0
z0
0
z0


z
2 z
z0
1

2
e

e
z0

z0
 0
f Z (z)   z
z
2
e
(
1

e
) z0

例15 设随机变量X和Y相互独立,且均服从标准正态分布
N~(0,1),求Z= X+Y的概率密度函数.
Z ~ N (0,2)
解 由题意得
f1 ( x ) 
1
e
2
x2

2
, f2 ( y) 
1
e
2
y2

2
X和Y相互独立,故
f Z (z)  


z2

4
1
f1 ( x ) f 2 ( z  x )dx
2
x2
 
2


e
e
( z  x )2

2
z
t
z
  ( x  )2
1
令
 x

e  e 2 dx
2
2

2
2
z2
t2
z

 
1
1 4
4
2

e  e dt 
e

2 2
2 
dx
结论 两个独立正态分布随机变量的和仍服从正态分布.
即:若X1~N(μ1,σ12), X2~N(μ2,σ22), X,Y独立,则
X+Y~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22)
正态分布的可加性
推论 有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.
即:若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2,...n), X1,X2, ...Xn相互独立,
实数 a1 , a2 , an 不全为零,则
n
a X
i 1
i
i
n
n
i 1
i 1
~ N (  ai  i ,  ai  i )
2
2
特别, 若X1,X2, ...Xn独立同服从正态分布N(μ,σ2) ,记:
1 n
X   Xi ,
n i 1
则
2
X ~ N(  ,
)
n
例16 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为
1
f X (x)  
0
0  x 1
e  y y  0
, f Y ( y)  
其他
y0
0
求Z  2X  Y的概率密度f Z (z ).
1

解：f 2 X ( x )   2

0
f Z ( z)  


0 x 2
,
其他
e  y
fY ( y )  
0
y0
y0

f 2 X ( x) fY ( z  x)dx 
z0
 0
 z 1
1
( z x)
  e
dx  (1  e z ) 0  z  2
2
0 2
 21
1
( z x)
 e
dx  (e2  1)e z z  2
2
 0 2
另解:
FZ ( z ) 

2 x y z

z0
0

z
z
 2 z  2 x
e
1
z
y
0 z2
f X ( x ) fY ( y )dxdy    dx  e dy   
2 2 2
0
0
 1 z2x
z
2
e
1)

e
(
  dx  e y dy  1 
z2
2
 0
0




f Z ( z )  F 'Z ( z )  




0
1  e z
2
(e2  1)e  z
2
z0
0 z2
z2
例17 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)
和f2(y),求Z= X-Y的概率密度函数.
解
FZ ( z )  P{ X  Y  z} 

f ( x, y )dxdy 
x y z
fZ ( z)  


独立
f ( y  z, y )dy 



 


y z

f1 ( y  z）f 2 ( y )dy
同理
fZ ( z)  


独立
f ( x, x  z )dx 




f ( x, y )dx dy
f1 ( x) f 2 ( x  z )dx
例18 设随机向量(X,Y)的概率密度为.
e ( x  y ) x  0, y  0
f ( x, y)  
其他
0
解:FZ ( z )  P{ X  Y  z} 
, 求Z  X  Y 的概率密度

f ( x, y )dxdy
x y z
   y y  z  x
z

e
z0
  e dy  e dx

z

0
2
  


yz
z
e
 e  y dy e  x dx

1
z

0




2
0
0
 ez
z0
z
 2
e
fZ ( z)    z

2
e
z0
 2
z0
z0
另解
fZ ( z)  





fZ ( z)  




e
z
f ( y  z , y )dy 
( y z  y )
z
e
dy 
2
z0


z
e
( y z  y )
dy 
0 e
2
z0
e
z
2
例19 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)
和f2(y),求Z= X／Y的概率密度函数.
解 FZ ( z )  P{ X / Y  z} 

0

fZ ( z)  




x / y z

yz
f ( x, y )dxdy

f ( x, y)dx dy  

0
独立
y f ( yz, y )dy 


yz




f ( x, y)dx dy
y f1 ( yz）f 2 ( y )dy
例20 设随机变量X与Y独立，同服从N(0,1),求Z=X/Y的
概率密度.
解：f Z ( z )  


y2

2
1 

ye e

2 
(  z  )
独立

y f ( yz , y )dy 

( yz )2

2
(1 z 2 ) y 2

2
dy 
1


0
ye

y f1 ( yz）f 2 ( y )dy
1
dy 
 (1  z 2 )
例21 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)
和f2(y),求Z= XY的概率密度函数.
解
FZ ( z )  P{ XY  z} 

0

fZ ( z)  




xy  z

z/x
f ( x, y )dxdy

f ( x, y)dy dx  
独立
1
z
f ( x, )dx 
x
x


z/x

0




f ( x, y )dy dx
1
z
f1 ( x) f 2 ( )dx
x
x
同理
fZ ( z)  


独立
1
z
f ( , y)dy 
y
y



1
z
f1 ( ) f 2 ( y)dy
y
y
例22 设随机变量X与Y独立，同服从 U(0,1),求Z=XY的
概率密度.
解：f Z ( z )  


独立
1
z
f ( x, )dx 
x
x


 0
 1 1
 
11dx   ln z
z x


1 1
1 0dx  0
 
0 x




1
z
f1 ( x) f 2 ( )dx
x
x
z0
 ln z
0  z 1  
 0
z 1
0  z 1
其他
极值分布 设随机变量X和Y相互独立, 分布函数分别为
FX(x)和FY(y),求Z=max(X,Y), Z=min(X,Y) 的分布函数.
解 FZ ( z )  P{max( X , Y )  z}  P{ X  z , Y  z}
独立
 P{ X  z}P{Y  z}  FX ( z ) FY ( z )
同理
FZ ( z )  P{min( X , Y )  z}  1  P{ X  z , Y  z}
独立
 1  P{ X  z}P{Y  z}  1  (1  FX ( z ))(1  FY ( z ))
例23 系统如图,每个元件寿命服从E ( ) , 求系统
寿命的概率密度.
L11
L12
L13
L21
L22
L23
1  e
Lij ~ E ( ), Fij ( x)  
解
 0
i  min( Li1 , Li 2 , Li 3 ), i  1, 2
 x
x0
;
x0
3 x
x0

1 e
3
Fi ( y )  1  (1  F ( x))  
;
x0
 0
L11
L12
L13
L21
L22
L23
  max{1 ,2 },
(1  e3 z )2 z  0
F ( z )  F1 ( y ) F2 ( y )  
;
z0
0

3 z
3 z

6 e (1  e ) z  0
'
f ( z )  F  ( z )  
.
z0
0

1. 设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地
取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的概率分布。
解
X
0
1
P
1/2
1/2
Y
0
1
P
1/2 1/2
(X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
Z=max(X,Y)的取值为:0,1
P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4
P(Z=1)= P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =3/4
所以,Z的分布列为 Z
P
0
1
1/4
3/4
课堂练
习
1:已知二维随机变量 ( , ) 的概率分布为

1
2
1
1/2
1/4
2
1/4
0

求：1.  ,  的边缘概率分布。
2.  ,  是否相互独立？为什么？

1
2
P
3/4
1/4

1
2
P
3/4
1/4
1
3 3 9
 P{  1,  1}  P{  1}P{  1}    ; 不独立
2
4 4 16
小结:
离散型随机向量函数Z=g(X,Y)的概率分布:
(X,Y)
( x1,y1 )
(x1,y2)
g(X,Y) g(x1,y1)
g(x1,y2)
P
p11
p12
...
(xn,ym)
...
… g(xn,ym)
…
...
pnm
...
注:g(x1,y1) , … g(xn,ym) …从小到大排,相同的并在一起
若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)，
则
二项分布的可加性
X+Y～B(n1+n2,p)
若X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2),
则
X+Y~P(λ1+λ2)
Possion分布的可加性
结论 两个独立正态分布随机变量的和仍服从正态分布.
即:若X1~N(μ1,σ12), X2~N(μ2,σ22), X,Y独立,则
X+Y~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22)
正态分布的可加性
随机变量函数的概率密度函数求法----分布函数法
设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y).
(1) 求Z的分布函数
F ( z )  P( Z  z )  P( g ( X , Y )  z )

 f ( x, y)dxdy
g ( x , y ) z
(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).
连续型随机变量和的概率密度函数
设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和
f2(y),求Z= X+Y的概率密度函数.
解
z x

f ( x , y )dy dx
FZ ( z )  P{ X  Y  z }   f ( x , y )dxdy    
  

x  y z

f Z (z)  


独立
f ( x , z  x )dx 



f1 ( x）f 2 ( z  x )dx
同理
z y

f ( x , y )dx dy
FZ ( z )  P{ X  Y  z }   f ( x , y )dxdy    
  

x  y z

f Z (z)  


独立
f ( z  y , y )dy 



f1 ( z  y）f 2 ( y )dy
设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和
f2(y),求Z= X-Y的概率密度函数.
解
FZ ( z )  P{ X  Y  z} 

f ( x, y )dxdy 
x y z
fZ ( z)  


独立
f ( y  z, y )dy 



 


y z

f1 ( y  z）f 2 ( y )dy
同理
fZ ( z)  


独立
f ( x, x  z )dx 




f ( x, y )dx dy
f1 ( x) f 2 ( x  z )dx
设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和
f2(y),求Z= X／Y的概率密度函数.
解 FZ ( z )  P{ X / Y  z} 

0

fZ ( z)  




x / y z

yz
f ( x, y )dxdy

f ( x, y)dx dy  

0
独立
y f ( yz, y )dy 


yz




f ( x, y)dx dy
y f1 ( yz）f 2 ( y )dy
设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和
f2(y),求Z= XY的概率密度函数.
解
FZ ( z )  P{ XY  z} 

0

fZ ( z)  




xy  z

z/x
f ( x, y )dxdy

f ( x, y)dy dx  
独立
1
z
f ( x, )dx 
x
x


z/x

0




f ( x, y )dy dx
1
z
f1 ( x) f 2 ( )dx
x
x
同理
fZ ( z)  


独立
1
z
f ( , y)dy 
y
y



1
z
f1 ( ) f 2 ( y)dy
y
y
极值分布 设随机变量X和Y相互独立, 分布函数分别为
FX(x)和FY(y),求Z=max(X,Y), Z=min(X,Y) 的分布函数.
解 FZ ( z )  P{max( X , Y )  z}  P{ X  z , Y  z}
独立
 P{ X  z}P{Y  z}  FX ( z ) FY ( z )
同理
FZ ( z )  P{min( X , Y )  z}  1  P{ X  z , Y  z}
独立
 1  P{ X  z}P{Y  z}  1  (1  FX ( z ))(1  FY ( z ))