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§3.2 边缘分布
• 边缘分布函数
• 边缘分布律
• 边缘概率密度
边缘分布
如果  X， Y 是一个二维随机变量，则它的分量 X
 或者Y 是一维随机变量，因此，分量 X  或者Y 
也有分布．我们称X  或者Y 的分布为 X  或者Y 
关于二维随机变量 X， Y 的边缘分布．
边缘分布也称为边沿分布或边际分布
二维随机变量的边缘分布函数
由联合分布函数
边缘分布函数, 逆不真.
y
FX ( x)  P X  x 
 P X  x,Y  
 F ( x,)
FY ( y)  PY  y 
 P X  ,Y  y 
 F (, y )
x
y
x
y
x
例 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
x

F ( x, y )  A  B  arctan   C  arctan
2

   x  ,  y  
其中A , B , C 为常数.
(1) 确定A , B , C ；
(2) 求X 和Y 的边缘分布函数；
(3) 求P (X > 2).
y

2
 


解 (1) F (,)  A B   C    1
2 
2

 


F (,)  A B   C    0
2 
2

   

F (,)  A B   C    0
2 
2



1
B  ,C  , A  2
2
2

(2)
FX ( x)  F ( x,)
1 1
x
  arctan ,
2 
2
   x   .
FY ( y )  F (, y )
1 1
y
  arctan ,    y   .
2 
2
(3) P( X  2)  1  P( X  2)  1  FX (2)
1 1
2

 1    arctan 
2
2 
 1/ 4.
二维离散型随机变量的边缘分布

记作
P( X  xi )   pij  pi , i  1,2,
j 1

记作
P(Y  y j )   pij  p j ,
j  1,2,
i 1
由联合分布律可确定边缘分布律
联合分布律 及边缘分布律
Y
y1

yj

pi•
X
x1 
xi 
p• j

 
p1 j 
 
pi1
p•1





pi

1
p11
p1•


pij
•

p•
j

例(P55.1) 设随机变量 X 在 1,2,3三个数中等可能地取
值，另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能地取一整数
值，试求 X, Y 的边缘分布律。
 X， Y 的联合分布律为
Y
X
1
2
3
1
2
3
1
3
0
0
1
6
1
9
1
6
1
9
0
1
9
 X， Y 的联合与边缘分布律
Y
X
1
2
3
p j
1
2
3
pi
0
1
3
1
3
0
1
6
1
9
1
6
1
9
0
1
3
1
9
1
3
11
18
5
18
2
18
1
例 箱子里装有4只白球和2只黑球，在其中随
机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：
（1）有放回抽样，（2）不放回抽样。
我们定义随机变量 X，Y 如下，写出X和Y的联
合分布律和边缘分布律 。
0, 若第一次取出的是黑球,
X 
1, 若第一次取出的是白球.
0, 若第二次取出的是黑球,
Y 
1, 若第二次取出的是白球.
（1）有放回抽样
Y
0
1
pi
0
1
9
2
9
1
3
1
2
9
4
9
2
3
p j
1
3
2
3
1
X
（2）不放回抽样
Y
0
1
pi
0
1
15
4
15
1
3
1
4
15
6
15
2
3
1
3
2
3
1
X
p j
二维连续型随机变量的边缘分布
x

y

FX ( x)    f (u, v)dvdu
FY ( y )    f (u, v)dudv

f X ( x)   f ( x, y)dy


fY ( y)   f ( x, y)dx

已知联合密度可以求得边缘密度
例 设随机变量 X， Y  服从区域 D 上的均匀分布．
y
其中D  {( x, y ) | x  0, y  0, x   1}，
2
试求随机变量 X， Y 的边缘密度函数．
解： 区域D 的面积为
A 1
 X， Y 的联合密度函数为
1,
f x， y   
0,
x， y  D
x， y  D
y
2
D
o
1
x
当 0  x  1 时，
f X x  

0
2 (1 x )



0
2 (1 x )
 f x， y dy   0dy   1dy   0dy
 21  x
当 x  0或x  1 时， f X x   0
y
2
随机变量X 的边缘密度函数为
21  x  0  x  1
f X x   
其它
 0
D
o
1
x
同理，随机变量Y 的边缘密度函数为

fY ( y)   f ( x, y)dx

 y
1  , 0  y  2
fY  y    2
 0,
其它
y
2
D
o
1
x
例 设二维随机变量 X， Y  ~ N 1， 2， 12，  22，  
试求 X 及Y 的边缘密度函数．
解： X， Y 的联合密度函数为
f ( x, y ) 
1
21 2 1  
2
2
2



1
x  1  2  x  1  y   2   y   2   


 exp



2 
2
2
 1 2
 2  

 2 1    1


f X x  

 f x， y dy

f X x  
fY  y  
1
e
2  1
1
e
2  2

x  1 2

2 12
   x  

y   2 2

2 22
   y  


Y ~ N  ，  
这表明，X ~ N 1， 
2
2
1
2
2
通过本题，我们有以下
几条结论：
结 论 （一）
二维正态分布的边缘分布是一维正态分布．


即若 X， Y  ~ N 1， 2，  ，  ，  则有，
X ~ N  ，  
1
2
1
2
1

2
2
Y ~ N  2， 
2
2

结 论 （二）
上述的两个边缘分布中的参数与二维正态分
布中的常数 无关．
§3.3
条件分布
• 条件分布律
•
条件分布函数
•
条件概率密度
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .
在事件B发生的条件下事件A发生的概率
P ( AB)
P ( A | B) 
P ( B)
推广到随机变量
设有两个随机变量 X, Y ， 在给定 Y 取
某个值的条件下，求 X 的概率分布.
这个分布就是条件分布.
一 . 离散型随机变量的条件分布律
设 ( X ,Y ) 是离散型随机变量，其分布律为
P( X= xi ,Y= yj )= pi j , i , j=1,2,...
(X, Y )关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：

P( X  xi )  pi   pi j , i  1,2,
j 1

P(Y  y j )  p j   pi j ,
i 1
j  1,2,
由条件概率公式自然地引出如下定义：
定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，
对于固定的 j , 若P(Y= yj )>0, 则称
P( X  xi | Y  y j ) 
P( X  xi , Y  y j )
P(Y  y j )

pij
p j
, i  1,2,
为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律.
同样对于固定的 i, 若P(X= xi) > 0, 则称
P(Y  y j | X  xi ) 
P( X  xi , Y  y j )
P( X  xi )

pij
pi
, j  1,2,
为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律.
条件分布是一种概率分布，它具有概率分
布的一切性质.
例如：
P ( X  xi | Y  y j )  0,

 P( X  x
i 1
i
|Y  yj) 1
例(P55.1) 设随机变量 X 在 1,2,3三个数中等可
能地取值，另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能
地取一整数值，求Y=1时， X 的条件分布律。
Y
X
1
2
3
p j
1
2
3
pi
0
1
3
1
3
0
1
6
1
9
1
6
1
9
0
1
3
1
9
1
3
11
18
5
18
2
18
1
联
合
分
布
与
边
缘
分
布
P( X  i , Y  1)
P( X  i Y  1) 
P(Y  1)
P( X  i , Y  1)

i  1, 2 , 3
11 / 18
将表中第一列数据代入得条件分布
X
P( X  i Y  1)
1
2
3
6 / 11 3 / 11 2 / 11
二.连续型随机变量的条件分布
设(X ,Y)是二维连续型随机变量，由于
P(X=x)=0, P(Y=y)=0
所以不能直接代入条件概率公式，先利用
极限的方法来引入条件分布函数的概念。
定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ，
P( y-<Yy +)>0, 若对于任意实数 x，
lim P( X  x | y    Y  y   )
 0
P ( X  x, y    Y  y   )
 lim
 0
P( y    Y  y   )
存在，则称其为在条件Y= y下X的条件分布
函数，记为 FX|Y( x| y)= P( X x |Y= y ).
由条件分布函数可以引出条件概率密度
P{ X  x, y    Y  y   }
FX |Y ( x | y )  lim
 0
P{ y    Y  y   }
F ( x, y   )  F ( x, y   )
 lim
 0 FY ( y   )  FY ( y   )

lim [ F ( x, y   )  F ( x, y   )] / 2
 0
lim [ FY ( y   )  FY ( y   )] / 2
 0
y x


 
F ( x, y )
f (u, v )dudv

y 
y
  




d
fY ( y)
FY ( y )
dy


x

f (u, y )du
fY ( y)
,
在条件Y= y下X的条件分布函数
FX |Y

( x | y) 
x

FX |Y ( x | y)  
x

f (u, y)du
fY ( y )
,
f (u, y)
du,
fY ( y )
f ( x, y )
f X |Y ( x | y ) 
.
fY ( y)
称为随机变量X 在Y  y 条件下的条件密度函数
定义
fY  y   0 时，X 在Y  y 条件下的条件密度函数为
f ( x, y )
f X Y ( x y) 
fY ( y )
f X x  0 时，Y 在 X  x 条件下的条件密度函数为
f ( x, y )
fY X ( y x) 
f X ( x)
例 已知 ( X , Y ) ~ N 1 , ;  2 , ;  
2
1
求
2
2
f X Y ( x y)
解
f
(
x
,
y
)
f X Y ( x y) 
fY ( y )
1

2 1 2 1  
e
2
1  ( x  1 ) 2
( x  1 )( y  2 ) ( y  2 ) 2 

2 


2 
2
 1 2
2 (1  )   1
 22 
1
e
2  2
( y  2 )2

2 22

1
e


1
1
 2
( x  1 )  ( y   2 ) 
2 
2
2 1 (1  ) 

2  1 1  


2
2 
1
f X Y ( x y) ~ N  1   ( y   2 ), 1 (1   ) 
2


2
同理，

2
2
2 
fY X ( y x) ~ N   2   ( x  1 ), 2 (1   ) 
1


例设
8 xy, 0  x  y,0  y  1
f ( x, y )  
其他
 0,
求 f X Y ( x y ) , fY X ( y x)
1
解
 1 8 xydy, 0  x  1
f X ( x)  x
 0,
其他
4 x(1  x ), 0  x  1

0,
其他

2
1
 y 8 xydx, 0  y  1
fY ( y )  0
其他
 0,
4 y 3 , 0  y  1

其他
 0,
当0 < y < 1 时，
11
y
x 11
2 x , 0  x  y
f ( x, y )  2
f X Y ( x y) 
 y
fY ( y ) 
其他
 0,
当0 < x < 1 时，
2y

f ( x, y ) 
, x  y 1
2
fY X ( y x) 
 1  x
f X ( x)  0,
其他

例 已知
 2 y , x  y  1
fY X ( y x)  1  x 2
 0,
其他
4 x(1  x 2 ), 0  x  1
f X ( x)  
0,
其他


2
1
求 P( X  Y  1), P Y  X  
3
2

解 当f X(x) > 0 时，即 0 < x < 1 时，
f ( x, y )  f Y X ( y x ) f X ( x )
8 xy, x  y  1

其他
 0,
1
当f X(x) = 0 时，f (x,y) = 0
故
8 xy, 0  x  y,0  y  1
f ( x, y )  
其他
 0,
1
P( X  Y  1)
5
  0.5 dy 1 y 8 xydx 
6
1
y
2
1

P Y  X  
3
2

23
 1
  fY X  y dy
 2
23
2y
 1 2
dy
2
1  0.5
2 38y
7
 1 2
dy 
3
27
1
0.5
1
x + y =1
1
2
3
0.5
1