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第3章 多维随机变量及其分布

§3.3 条件分布


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第3章 多维随机变量及其分布

主要内容
§ 3.1 多维随机变量及联合分布

§ 3.2 二维随机变量的边缘分布


边缘分布函数



边缘分布律



边缘概率密度

§ 3.3 条件分布


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§3.3 条 件 分 布

3.3.1

离散型随机变量的条件分布

【定义3.7】设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为
P{ X  x i , Y  y j }  pij , i  1,2,, j  1,2,


对一切使 P{Y  y j }  p j   pij  0的yj ,称
i 1

pi j  P{ X  x i | Y  y j } 

P{ X  x i , Y  y j }
P{Y  y j }

为给定Y=yj条件下X的条件分布律．



pij
p j

, i  1,2,


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§3.3 条 件 分 布

3.3.1

离散型随机变量的条件分布

【定义3.7】设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为
P{ X  x i , Y  y j }  pij , i  1,2,, j  1,2,


同理，对一切使 P{ X  x i }  pi    pij  0的 xi，称
j 1

p j | i  P{Y  y j | X  x i } 

P{ X  x i , Y  y j }
P{ X  x i }

为给定X=xi条件下Y的条件分布律．



pij
pi 

, j  1,2,


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§3.3 条 件 分 布

【 例 3-12】 一 名 射 手 进 行 射 击 ， 击 中 目 标 的 概 率 为
p(0次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射
击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律．
解：按题意Y = n表示在第n次射击时击中目标，且在
第1次，第2次，…，第n– 1次射击中恰有一次击中目标，
已知各次射击是相互独立的．于是不管m(m概率
P{ X  m , Y  n}  p 2 q n 2
其中q

= 1 – p，m = 1，2，…，n – 1，n = 2，…．


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§3.3 条 件 分 布

【 例 3-12】 一 名 射 手 进 行 射 击 ， 击 中 目 标 的 概 率 为
p(0次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射
击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律．
解：

P{ X  m , Y  n}  p 2 q n 2

其中q
又

= 1 – p，m = 1，2，…，n – 1，n = 2，…．

P{ X  m } 

 p2



 P { X  m , Y  n} 

n m 1

n 2

q

n m 1

P{Y  n} 

n 1

2 n 2
p
 q

n m 1

m 1
q
 p2
 pq m 1 , m  1,2,
1 q

 P { X  m , Y  n} 

m 1



n 1



m 1

p 2 q n  2 ( n  1) p 2 q n 2 , n  2,3,


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§3.3 条 件 分 布

【 例 3-12】 一 名 射 手 进 行 射 击 ， 击 中 目 标 的 概 率 为
p(0次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射
击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律．
解：

P{ X  m , Y  n}  p 2 q n 2

其中q
又

= 1 – p，m = 1，2，…，n – 1，n = 2，…．

m 1
P{ X  m }  pq , m  1,2,

所求条件分布律为：
当m

= 1，2，…时

p 2 q n 2
n  m 1
P{Y  n | X  m } 

pq
, n  m  1, m  2,
m 1
pq


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§3.3 条 件 分 布

【 例 3-12】 一 名 射 手 进 行 射 击 ， 击 中 目 标 的 概 率 为
p(0次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射
击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律．
解：

P{ X  m , Y  n}  p 2 q n 2

其中q
又

= 1 – p，m = 1，2，…，n – 1，n = 2，…．

P{Y  n}  ( n  1) p 2 q n 2 , n  2,3,

所求条件分布律为：
当n

= 2，3，…时

p 2 q n 2
1
P{ X  m | Y  n} 

, m  1,2,, n  1
2 n 2
( n  1) p q
n1


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§3.3 条 件 分 布

【例3-13】设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X
服从泊松分布P()，每个顾客购买某种物品的概率为p，
并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店
的顾客购买这种物品的人数Y的分布律．
m


解：由题意知
P{ X  m } 

在进入商店的人数X

m!

e , m  0,1,2,

= m的条件下，购买某种物品的人
数Y的条件分布为二项分布B(m，p)，即
P{Y  k | X  m }  C mk p k (1  p) m  k , k  0,1,2, , m
由全概率公式有

P{Y  k } 



 P{ X  m }P{Y  k X  m} 

mk



m

 m!

mk

e   C mk p k (1  p) m  k


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§3.3 条 件 分 布

【例3-13】设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X
服从泊松分布P()，每个顾客购买某种物品的概率为p，
并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店
的顾客购买这种物品的人数Y的分布律．
解：P{Y  k } 




m

 m!e



 P{ X  m }P{Y  k X  m}

mk



mk

( p ) k
k!

C p (1  p)
k
m

k

mk





m

 m! e

mk



m!
p k (1  p) m  k
k!(m  k )!

mk
k
[(
1

p
)

]
(

p
)

e
 e 
e ( 1 p ) 

( m  k )!
k!
mk
k
(

p
)
即Y~P(p)

e  p ,
k  0, 1, 2,
k!



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§3.3 条 件 分 布

3.3.2

连续型随机变量的条件分布

设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，(X，Y)关于Y的边缘概

率密度为fY(y)，给定y，对于任意固定的 >0，对于任意x，
考虑条件概率
P{ X  x | y  Y  y   }
设P{y0,

则有

P{ X  x , y  Y  y   }
P{ X  x | y  Y  y   } 
P{ y  Y  y   }
y 

[



x



y
y 
y

f ( x , y )dy ]dx
f Y ( y )dy


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§3.3 条 件 分 布

3.3.2

连续型随机变量的条件分布
y 

[

P{ X  x | y  Y  y   } 

x



y
y 
y

f ( x , y )dy ]dx
f Y ( y )dy

在某些条件下，当  很小时，上式右端分子、分母分别

近似于  f ( x, y )dx 和 fY ( y) 于是当很小时，有
x



P{ X  x | y  Y  y   } 



x



f ( x , y )dx

 fY ( y)



x



f ( x, y )
dx
fY ( y)

与一维随机变量概率密度的定义比较，给出以下的定义：


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§3.3 条 件 分 布

3.3.2

连续型随机变量的条件分布

【定义3.8】 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x, y)，
(X，Y)关于X，关于Y的边缘概率密度为分别为fX(x)和
fY(y)，若对于固定的y，fY(y) > 0，则称 f ( x , y ) 为在Y = y
fY ( y)
的条件下的条件概率密度，记为
f ( x, y)
f X |Y ( x | y ) 
fY ( y)

f ( x, y)

若对于固定的x，fX(x) > 0，则称
为在X = x的条
f X ( x)
件下Y的条件概率密度，记为
f ( x, y )
fY X ( y x) 
f X ( x)


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§3.3 条 件 分 布

3.3.2

连续型随机变量的条件分布

【例3-14】设(X,Y)服从G={(x,y)|x2+y21}上的均匀分布，

试求给定Y = y的条件下X的条件概率密度fX|Y (x | y)．
解：因为

1 2
 , x  y 2  1；
f ( x, y )   

其它
 0,

由此得y的边缘概率密度为

2

1  y 2 ,  1  y  1;
fY ( y)  

0,
其它



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§3.3 条 件 分 布

3.3.2

连续型随机变量的条件分布

【例3-14】设(X,Y)服从G={(x,y)|x2+y21}上的均匀分布，

试求给定Y = y的条件下X的条件概率密度fX|Y (x | y)．
1 2
2
2
 , x  y  1；

1  y 2 ,  1  y  1;
f ( x, y )   
fY ( y)  


其它
0,
其它
 0,

f ( x, y )
当-1fY ( y )
1

1



,  1  y2  x  1  y2
 2
1  y2 2 1  y2
 

0,
其它

解：

当-1

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§3.3 条 件 分 布

3.3.2

连续型随机变量的条件分布

【例3-15】设数X在区间(0，1)上随机地取值，当观察到
X = x（0 < x < 1）时，数Y在区间(x，1)上随机地取值，
求Y的概率密度．
解：按题意X具有概率密度
1,
f X ( x)  
 0,
对于任意给定的值x（0

的条件概率密度为

0 x1
其它

< x < 1），在X = x的条件下，Y

 1

, x y1
fY X ( y x)  1  x

0, 其它



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§3.3 条 件 分 布

3.3.2

连续型随机变量的条件分布

【例3-15】设数X在区间(0，1)上随机地取值，当观察到
X = x（0 < x < 1）时，数Y在区间(x，1)上随机地取值，
求Y的概率密度．
解：

1,
f X ( x)  
 0,

 1
0 x1

, x y1
, fY X ( y x)  1  x
其它

0, 其它


于是(X，Y)的概率密度为

 1

, 0 x y1
f ( x, y )  fY X ( y x ) f X ( x )  1  x

0,
其它



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§3.3 条 件 分 布

3.3.2

连续型随机变量的条件分布

【例3-15】设数X在区间(0，1)上随机地取值，当观察到
X = x（0 < x < 1）时，数Y在区间(x，1)上随机地取值，
求Y的概率密度．
解：

 1

, 0 x y1
f ( x, y )  fY X ( y x ) f X ( x )  1  x

0,
其它


即得关于Y的边缘概率密度为

fY ( y)  





f ( x, y )dx

 y 1
  ln( 1  y ), 0  y  1

dx 0  y  1

  0 1 x
0,
其它


0,
其它



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★小结

1. 二维离散型随机变量的条件分布律
设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为

P{ X  x i , Y  y j }  pij , i  1,2,, j  1,2,

则关于X和Y的条件分布律为
pi j  P{ X  x i | Y  y j } 
p j | i  P{Y  y j | X  x i } 

P{ X  x i , Y  y j }
P{Y  y j }
P{ X  x i , Y  y j }
P{ X  x i }




pij
p j
pij
pi 

, i  1,2,
, j  1,2,


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★小结

2.二维连续型随机变量的条件概率密度
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,

y)，(X，Y)关于

X，关于Y的边缘概率密度为分别为fX(x)和fY(y)，若
对于固定的y，fY(y) > 0，则称 f ( x , y )为在Y = y的条件

下的条件概率密度，记为

fY ( y)

f ( x, y)
f X |Y ( x | y ) 
fY ( y)

f ( x, y)
若对于固定的x，fX(x) > 0，则称
为在X = x的条
f X ( x)

件下Y的条件概率密度，记为

f ( x, y )
fY X ( y x) 
f X ( x)


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作业
习题三 (A) (P81)
三、解答题

10, 12