Transcript 3.分数阶控制-曾庆山

分数阶控制
Fractional Order Control
曾庆山
郑州大学电气工程学院自动化系
1
讲 座 内 容
分数阶微积分
分数阶控制系统
分数阶PID控制器
分数阶微积分和分数阶控制的应用
2
一、分数阶微积分
分数阶微积分(Fractional Calculus)是
研究任意阶微分和积分的理论，是普通的
整数阶微分和积分向非整数阶（任意阶）
的推广。
术语“分数阶微积分”是在Leibniz时
代被采用的，许多学者认为实际上称为“
任意阶微积分”(Integration and
Differentiation of Arbitrary Order)更为合
适。
3
分数阶微积分的发展
In a letter to L`Hopital in 1695 Leibniz raised the
following question: "Can the meaning of derivatives
with integer order be generalized to derivatives with
non-integer orders?"
Pictures from I. Podlubny’s PPT
4
许多数学家对分数阶微积分的发展付出了辛勤的劳动
 L. Euler，
 P．S．Laplace，
 J．B．J．Fourier，
 N．H．Abel，
 J．Liouville，
 B．Riemann，
 A．K．Grunwald，
 A．V. Letnikov，
 H．Weyl，
 ……．
J．Liouville
B．Riemann
L. Euler
A．K．Grunwald
5
A．V. Letnikov
关于分数阶微积分的论著
S. F. Lacroix, Traité du calcul différential et du
calcul intégral. Paris: Courcier, 1819
K.B. Oldham, J. Spanier, The Fractional Calculus:
Integrations and Differentiations of Arbitrary
Order. New York: Academic Press, 1974
B. Ross, Fractional Calculus and its Applications.
Berlin: Springer Verlag, 1975
I. Podlubny, Fractional Differential Equations. San
Diego: Academic Press, 1999
6
分数阶微积分的定义
Fractional calculus is a name for the theory of
integrals and derivatives of arbitrary order, which
unify and generalize the notions of integer-order
differentiation and integration. ——Igor Podlubny

a
Dt
 d


dt


  1
t

d



a
7
  0
  0
  0
Gamma 函数
(z) 


 t z 1
e t
dt
0
Gamma函数的性质
 ( z  1)  z  ( z )
 (1)  1
 (2)  1   (1)  1!
 (3)  2   (2)  2 !
 (4)  3   (3)  3!
 ( n  1)  n  ( n )  n  ( n  1) !  n !
8
基本定义
分数阶积分的定义：

a
Dt

f (t )  a J t f (t ) 
t
1
(t   )

 ( )
 1
( 0    1)
f ( ) d 
a
如果 f ( t )  t 

，则有
(   1  0)

J t f (t )  J t t


 (   1)
 (    1)
对分数阶积分取Laplace变换可得
L{ J

f ( t )} 
F (s)
s
 0

9
t
 
(  0 )
Grünwald-Letnikov定义的分数阶微分
( t  ) / h

a
D t f (t )  h


j0

(  1) 
 j
j

 f ( t  jh )

(n1  n)
G

n
D f (t ) 
f
(k )
(0) t
  (k  
k 0
k 
 1)

1

 ( n    1)
其Laplace变换为


L { 0 D t f ( t ); s }  s F ( s )
10
t
0
(t   )
n 
f
(n)
( )d 
Riemann-Liouville定义的分数阶微分
t
 dn 

1
f ( )
d 
 n 

0 ( t   )   n 1
dt

(
n


)




D f (t )  
n
d

f (t )
n

dt

D f (t )  D J
n
如果 f ( t )  t 

n 
 n
f (t )
(   1  0)

n 1    n
Dt f (t )  Dt t


，则有
 (   1)
 (     1)
t
 
(  0 )
其Laplace变换为
n 1
L { D f ( t )}  s F ( s )   s

t

n  k 1
k 0
11
k
D J
n 
f (0)
n 1    n
Caputo定义的分数阶微分
t
(n)

1
f ( )
d

  n 1

  ( n   ) 0 (t   )
c

D f (t )  
n
d

f (t )
n

dt
J
n 
n 1    n
 n

D f (t )  D f (t )
n
c
其Laplace变换为

n 1

L { 0D t f ( t ); s }  s F ( s ) 
s
  k 1
f
(k )
(0 )
k 0
(n1  n)
12
二、分数阶控制系统
分数阶微分方程

 n 1
a n D t n y ( t )  a n 1 D t



y (t )      a1 D t 1 y (t )  a 0 D t 0 y (t )
 m 1
 b m D t m u ( t )  b m 1 D t


u ( t )      b1 D t 1 u ( t )  b 0 D t 0 u ( t )
分数阶传递函数
G (s) 
Y (s)
U (s)

bm s
an s
m
 b m 1 s
 m 1
     b1 s
1
 b0 s
0
n
 a n 1 s
 n 1
     a1 s
1
 a0s
0
13
分数阶系统的状态空间描述
n 1
n
a n (t )  D t y (t ) 
a
m
i
i
(t )  D t y (t ) 
i0
 k 1
[0 Dt
y ( t )] t  0  0
k
,
a
k
Dt  a Dt
 k 1
a
k
k 

j
Dt
b

j
(t )  D t u (t )
j
j0
( k  1,  , n )
 k 1
1
  a D t
( k  1,  , n )
 k 1
[0 Dt
a
Dt
0
j
u ( t )] t  0  0
 k 1
 a Dt
( k  1,  , m )
 k 1
a
 1
Dt
1
  a D t
( j  1,  , n )
j 1
x1 (t )  y (t )
i
x i 1 ( t )  D t y ( t )

D X (t )  A(t ) X (t )  B (t )u (t )
y (t )  C (t ) X (t )
14
( i  1, 2 ,  , n  1 )
分数阶线性定常系统

D X ( t )  AX ( t )  Bu ( t )
y ( t )  CX ( t )
t
X ( t )    ,1 ( t ) X (0) 
    ( t   ) B u ( ) d 
,
0

状态转移矩阵
  , (t ) 

k 0
k
A t
 k   1
 ( k   )
当   1 时，有：

  , ( t )    , 1 ( t ) 
k
A t

k
  ( k  1) 
k 0
15

k 0
( At )
k!
k
 e
At
三、分数阶PIλDμ控制器
 如果控制器的数学描述中包括分数阶微分或分数
阶积分，则该控制器为分数阶控制器。
 分数阶 PID 控制在时域中 的输出为：
u(t )  K p e(t )  K I D


e(t )  K D D e(t )
 分数阶 PID 控制器的传递函数为：
Gc ( s ) 
U ( s)
E ( s)
 K p  KI s
16

 KDs

(,   0)
17
分数阶控制器阶次变化对控制系统的影响
分数阶闭环控制系统具有如下形式：
( s) 
Y ( s)

R( s )
G c ( s )G ( s )
1  G c ( s )G ( s )


b0 ( K P s  K I  K D s
n
a s
i 
i

 
)
 b0 ( K P s  K I  K D s
 
)
i 0
q
d

j
s

j
j 0
p
 ci s
i
i 0
18
( q  1, p  n)
积分阶次λ变化对系统的影响
n
a s
i  
i

 b0 ( K P s  K I  K D s
 
p
)
i 0
b0 ( K P s
( s ) 
i
i
i 0
如果阶次 λ 的变化为
，
c s
  
0    1
 KI  KDs
    
    0
d
)

n
a s
 i    
i
 b0 ( K P s
  
 KI  KDs
q
    
)
 ai s
 i    
 b0 ( K P s
  
i 0
p

c s
i
 i  
 c0
i 1
19
 KI  KDs
 j  
 d0
 i  
 c0
p
c s
i
特征多项式具有如下形式：
n
s
j 1
i 1
i 0
j
    
)
微分阶次μ的变化对系统的影响
n
a s
i 
i

 b0 ( K P s  K I  K D s
    
i 0
，
p1  p  1
 Case 2
p1  p
 Case 3:
p1  p  1
a s
i
i  
)  c s
'
i
i 0
 Case 1
n
p1

 b0 ( K P s  K I  K D s
i 0
0    1
 
p
)   ci s
i 0
    0
20
i
 i'
仿真例子
研究下列分数阶微分方程描述的控制系统，其
具体参数如下所示：
a2 D
2
y (t )  a1 D
1
y (t )  a 0 y (t )  u (t )
1
G( s) 
a2 s
2
 a1 s
1
 a0
a 2  0 . 7943 , a 1  5 . 2385 , a 0  1 . 556 ,  2  2 ,  1  0 . 5
21
y (t ) 
1
a2

1
 m! (
 KI
m 0
 {K D t
 KPt
 KIt
2.5 m  2.5 0.5 k
)
a2
2.5 m 1.5 0.5 k
2.5 m  2  0.5 k
m
m

k 0
 m ( a 0  K p ) k
k
 
KI
E1.5, 2.5 m  0.5k ( 
(m)
E1.5, 3 m 0.5k ( 
(m)
E1.5, 3.5 m 0.5k ( 
(m)
22
a1  K D
t
a2
a1  K D
t
1.5
)
t
1.5
)}
a2
a1  K D
a2
1.5
)
阶次λ变化时系统的单位阶跃响应
23
阶次μ变化时系统的闭环特征多项式
当分数阶控制器的阶次是λ=μ=0.5时，闭环特征
多项式为：
D( s )  a 2 s
2.5
 ( a1  K D ) s  ( a 0  K P ) s
0.5
 KI
如果阶次 μ 在 (0,0.5) 范围内变化，则闭环特征多
项式变为如下形式：
D( s )  a 2 s
2.5
 a1 s  K D s
0.5 
 (a 0  K P ) s
0.5
 KI
(   0.5)
如果阶次 μ在 (0.5,1)范围内变化，则闭环特征多项式
变为如下形式：
D( s )  a 2 s
2.5
 KDs
0.5 
 a1 s  ( a 0  K P ) s
24
0.5
 KI
(   0.5)
阶次μ变化时系统的单位阶跃响应曲线
25
结论
分数阶控制器具有较强的鲁棒性
分数阶 PID控制器对阶次 的变化不敏感
在实际应用中，如果分数阶PID的参数已
经整定好，应尽量避免阶次 变化。
26
基于神经网络的参数自调整分数阶PID控制器
Li Wen.
Design and implement of neural network based
fractional-order controller
Intelligent.& Automation，2007
Sadati N, Ghafforkhah A，Ostadabbas S,
A new neural network based on PID controller
IEEE International Conference on Networking,
Sensing and Control, USA:IEEE, 2008
27
模糊自适应分数阶PID控制器
当被控对象具有饱和非线性环节时，模糊PID 控
制器出现了较长时间的稳态误差，而模糊分数阶PID
控制响应的时间不变，稳态误差较小。模糊分数阶
PID 控制器具有对饱和非线性较强的抑制作用。
28
基于遗传算法的分数阶PID控制器
step1：采用二进制编码方法对(KP,KI,KD,λ,μ)五个
参数进行编码，生成初始群体；
step2：确定参数的初始整定范围；
step3：计算适应度函数值；
step4：对种群进行复制、交叉及变异操作；
step5：通过复制、交叉及变异操作后生成新种群
，重新计算适应度，检查是否满足结束条件，若不
满足，重复以上操作，直至满足结束条件。
29
分数阶滑模变结构控制器
把传统模糊控制的输入误差或其微积分信号扩
展到以其误差的分数阶导数构成的滑模面，只要模
糊控制律驱使系统的状态到切换面，则系统的跟踪
误差就会在有限时间内到达平衡点，并且具有对系
统扰动和参数时变的强鲁棒性 。
“智能分数阶滑模控制及系统参数整定方法的研究
”
张碧陶 华南理工大学博士论文 2012年6月
30
基于粒子群的分数阶PID控制器
Nasser Sadati, Majid Zamani, Deyman Mohajerin.
Optimum design of fractional order PID for MIMO
and SISO systems using particle swarm optimization
techniques.
Proceeding of International Conference on
Mechatronics. Kumamoto,Japan,2007
M.Zamani,M.K.Ghartemani,N.Sadati.
Design of an H∞ Optimal FOPID Controller Using
Particle Swarm Optimization.
Proceedings of the 26th Chinese Control Conference,
Zhangjiajie,China, 2007
31
四、分数阶微积分和分数阶控制的应用
分数阶微积分正在被应用到不同学科的各个
领域，而且分数阶微积分对其中的一些领域产生
了深远的影响，包括粘弹性和流变学、物理学、
电化学、生物学、生物工程、机械工程、信号和
图像处理、力学、控制理论等等。
32
在图像处理中的应用
主要包括图像增强、图像去噪、图像边缘提取、
图像分割、图像奇异性检测等。
图像处理中的分数阶微分算子则可以认为是DOG
感受野模型的推广和延伸。基于分数阶微积分理论的
感受野模型较整数阶微积分模型更符合人类视觉特性
。
黄果，许黎，蒲亦非
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
计算机应用研究，第29卷第2 期，2012年2月
33
选择适当阶次的分数阶微分算子在增强图
像过程中可以大幅提升边缘和纹理细节的
同时非线性地保留了图像平滑区域的纹理
信息 。（蒲亦非等）
用分数阶梯度算子对图像进行边缘检测，
能够有效地解决整数阶梯度算子对噪声敏
感的问题，准确地定位噪声图像的边缘。
（杨柱中等 ）
34
分数阶奇异值分解的人脸识别方法，该
方法可以有效缓解面部的变化，并且在
脸部出现剧烈变化时，比传统分类方法
的分类性能高。（ Liu 等）
将分数阶微积分理论和偏微分方程相结
合，提出了基于分数阶偏微分方程的图
像去噪模型，该方法可以解决传统低阶
次整数阶偏微分方程去噪模型容易产生
阶梯效应，以及高阶次整数阶偏微分方
程去噪模型去噪效果不佳的缺点。（Bai
等）
35
在飞行控制系统中的应用
结合导弹的飞行特点, 对俯仰、偏航和滚
转三通道分别进行设计分析, 在不同的干扰
和参数拉偏条件下对各种典型飞行状态进
行数字仿真, 考察控制器的精度及鲁棒性。
分数阶PID控制器可极大地改善导弹控制
器的控制品质, 增强导弹的快速反应能力、
生存能力和打击精度。
张邦楚, 李臣明, 韩子鹏等，
分数阶微积分及其在飞行控制系统中的应用
上海航天，2005年第3期
36
在电力系统中的应用
M.K.Ghartemani应用分数阶控制器设计电力
自动稳压器（AVR）
基于分数阶因素对电力系统的影响, 应用FOC
理论建立了分数阶电力系统模型, 通过仿真分
析了系统的混沌现象, 并基于Backstepping 方
法对分数阶混沌振荡进行控制
M.K.Ghartemani, M.Zamani, N.Sadati,etc.
An optimal fractional order controller for an AVR
system using particle swarm optimization algorithm.
Power Engineering,2007 Large Engineering Systems
Conf. IEEE Press,2007 244-249.
“分数阶动力学系统的混沌、控制和同步的研究”
高心， 西安电子科技大学 博士论文, 2005年
37
在永磁直线同步电机中的应用
在永磁直线同步电机中的应用
对永磁直线同步电机的仿真研究表明:
与常规PID控制器相比，模糊自适应
分数阶PID控制器具有更快的响应速度、
更高的跟踪精度，对外界干扰具有更强的
鲁棒性。为永磁直线同步电机提出了一种
有效的控制方法。
王宏文，孙浩，荆锴等
永磁直线同步电机的模糊自适应分数阶PID控制
机床与液压，第40卷第13期，2012年7月
38
在超高速飞行器中的应用
将分数阶微积分引入到高超声速飞行器下压
段末导引律设计中，提出了再入下压段分数
阶导引律，并结合最优控制理论得到导引律
参数。仿真结果表明，相对于传统最优导引
律，分数阶导引律提高了制导精度，对导引
系数变化不敏感，同时由于分数阶微积分的
引入，对下压初始点的参数偏差有良好的修
正能力和较强的鲁棒性。
“高超声速飞行器分数阶PID及自抗扰控制研究”
秦昌茂
哈尔滨工业大学博士论文 2011年6月
39
分数阶控制的研究应重点关注
1. 分数阶系统的辨识与建模；
2. 分数阶PID控制器参数的整定；
3. 分数阶控制在非线性系统中的应用；
4. 分数阶控制系统的分析与综合
5. 分数阶控制在实际过程中的应用
40
Thank you!
41