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前面我们学习了二元一次方程组及
其解法——消元法。对于有两个未知数
的问题，可以列出二元一次方程组来解
决。实际上，在我们的学习和生活中会
遇到不少含有更多未知数的问题。
纸币问题
小明手头有12张面额分别是1元、2元、
5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的
数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、
5元的纸币各多少张？
提出问题：1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
（三个量关系）每张面值
×
张数
=
钱数
1元
x
x
2元
y
2y
5元
z
5z
合 计
12
22
注
1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，
即x=4y
分析：在这个题目中，要我们
求的有三个未知数，我们自然
会想到设1元、2元、5元的纸
币分别是x张、y张、 z张，根
据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
对于这个问题的角必须同时满
足上面三个条件，因此，我们
把三个方程合在一起写成
 x  y  z  12,

 x  2 y  5 z  22,
 x  4 y.

这个方程组中含有 三 个未知数，
每个方程中含未知数的项的次数
是 1 。
由此，我们得出三元一次
方程组的定义：
含有三个不相同的未知数，且
每个方程中含未知数的项的次数都
是1，并且一共有三个方程，像这
样的方程组叫做三元一次方程组．
下面我们讨论:如何解三元一
次方程组？
观察方程组：
 x  y  z  12,

 x  2 y  5 z  22,
 x  4 y.

消元
三元一次方程组
①
②
③
消元
二元一次方程组
一元一次方程
解法：消x
由③代入①②得
 y  2,
解得 
 z  2.
5 y  z  12, ④

6 y  5 z  22. ⑤
把y=2代入③，得x=8.
 x  8,

∴  y  2, 是原方程组的解.
 z  2.

总结：
解三元一次方程组的基本思路是：
通过“代入”或“加减”进行
消元
，
把 “三元”转化为 “二元”，使解三元一次方
程组转化为解 二元一次方程组，进而再转化
为
一元一次方程
解
。
例1 解三元一次方程组
3x＋4z=7
①
2x＋3y＋z=9 ②
5x－9y＋7z=8 ③
解：②×3＋③ ，得
11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
3x＋4z=7
｛11x＋10z=35
X=5
解这个方程组，得 ｛Z=-2
｛
分析：方程①中只
你还有其它解
含x,z,因此，可以由
法吗？试一试，
②③消去y，得到一
并与这种解法
个只含x，z的方程，
进行比较.
与方程①组成一个
二元一次方程组
1
把x＝5，z＝-2代入②，得y= 3
因此，三元一次方程组的解为
X=51
Y=
3
Z=-2
｛
2
例2 在等式 y=a x ＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,
Y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值
解：根据题意，得三元一次方程组
a=3
a－b＋c= 0
①
把
代入①，得
b=-2
4a＋2b＋c=3
②
25a＋5b＋c=60 ③
C=-5
②－①， 得 a＋b=1 ④
a=3
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
因此
b=-2
c=-5
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1
｛ 4a＋b=10
答：a=3, b=-2, c=-5.
a=3
解这个方程组，得｛
b=-2
｛
｛
｛
【方法归纳】
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型一：有表达式，用
代入法
.
消某元
类型二：缺某元，
.
类型三：相同未知数系数相同或相反， 加减消
元法
练习巩固
1．解下列三元一次方程组 .
 x  2 y  9,
 3 x  y  z  4,


(1)  y  z  3,
(2)  2 x  3 y  z  12,
 2 z  x  47.
 x  y  z  6.


活动
2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数
的2倍比乙数大5，乙数的三分之一等于丙
数的二分之一．求这三个数．
小结
这节课我们学习了三元一次方
程组的解法，通过解三元一次方程
组，进一步认识了解多元方程组的
思路――消元．