Transcript 第五节分块矩阵

§5分块矩阵
前言
 由于某些条件的限制，我们经常会遇到大
型文件无法上传的情况，如何解决这个问
题呢?
 这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依
次上传.
 家具的拆卸与装配
问题一：什么是矩阵分块法？
问题二：为什么提出矩阵分块法？
问题一：什么是分块矩阵？
定义1 用一些横线和竖线将矩阵分成若干个
小块，这种操作称为对矩阵进行分块；
每一个小块称为矩阵的子块；
矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵
称为分块矩阵.
 a 11

A   a 21
a
 31
a 12
a 13
a 22
a 23
a 32
a 33
a 14 
  A11
a 24   
 A 21

a 34 
A12 

A 22 
这是2阶
方阵吗？
思考题
伴随矩阵是分块矩阵吗？
 A11

A12


A 


 A1 n
A 21
A 22
A2 n
An 1 

An 2



Ann 
答：不是．伴随矩阵的元素是代数余子式
（一个数），而不是矩阵．
问题二：为什么提出矩阵分块法？
答：对于行数和列数较高的矩阵A，运算
时采用分块法，可以使大矩阵的运算化
成小矩阵的运算，体现了化整为零的思
想.
分块矩阵的加法
 a 11 a 12
A1 1

A   a 21 a 22
a A a
 31 21 32
a 13 a 14
A12
a 23 a 24
a 33A 22 a 34

 b11 b12
B11


 , B   b 21 b 22

b B b

 31 21 32
 a 11  b11 a 12  b12
A11  B11

A  B   a 21  b 21 a 22  b 22
a A
 aB3221  b 32
 31 b 31
21
b13 b14 
B 12

b 23 b 24 
b 33B 22b 34 
a 13  b13 a 14  b14 
A12  B 12

a 23  b 23 a 24  b 24 

a 33 Ab22
a

b

B
33
34
34 
22
若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即
 A11

A
A
 s1
A1 r 
 B 11


, B  
B
A sr 
 s1
 A11  B 11
则有 A  B  

A B
s1
 s1
B1 r 


B sr 
A1 r  B 1 r 


A sr  B sr 
形式上看成
是普通矩阵
的加法！
分块矩阵的数乘
 a 11 a 12
A1 1

A   a 21 a 22
a A a
 31 21 32
a 13 a 14 
A12

a 23 a 24 
a 33A 22 a 34 
  a 11  a 12
 A11

 A    a 21  a 22
  a  A a
31
21 32

 a 13  a 14 
 A12

 a 23  a 24 
 a 33 A 22 a 34 
 A11

若 是数，且 A  
A
 s1
则有
  A11

A
A
s1

A1 r 


A sr 
 A1 r 


 A sr 
形式上看成
是普通的数
乘运算！
分块矩阵的乘法
一般地，设 A为ml 矩阵，B为l n矩阵 ，把 A、B 分块
如下：
l1
m 1  A11

m 2 A 21

A


m s  As1
l2
lt
A1 t 
l 1  B 11


A2 t
l 2 B 21
, B  




A st 
lt  Bt1
A12
A 22
As 2
 C 11

C 21

C  AB 


 C s1
n1
C 12
C 22
C s2
n2
nr
B 12
B1r 

B2r
,


B tr 
B 22
Bt 2
C 1r 
t

C 2r
C ij   A ik B kj
,
k 1

 ( i  1, , s ; j  1,
C sr 
,r)
按行分块以及按列分块
mn矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作
 i  (a i1 , a i 2 ,
T
若将第 j 列记作
则
 a 11

a 21

A


 am1
a 12
a 22
am 2
 a1 j

 a2 j
j 

a
 mj
, a in )



,



a 1 n    1T
  T
a2n
  2
 
  T
amn    m


   , ,
 1 2



,n.
于是,设A为ms矩阵，B为s n矩阵，
若把 A 按行分块，把 B 按列块，则
C  ( c ij ) m  n
  1T
 T
2

 AB 

 T
m


  , ,

 1 2


c ij   i  j   a i 1 , a i 2 ,
T
  1T  1  1T  2  1T  n 
 T

T
T
2 1  2  2 2 n 

,n  


 T

T
T
m1 m2 mn 
 b1 j 


s
 b2 j 
, a is  
   a ik b kj .

 k 1
b 
 sj 
分块矩阵的转置
 A11

若A  
A
 s1
例如：
 a 11

A   a 21
a
 31
A
T
 a 11

a 12


 a 13

 a 14
A1 r 


A sr 
T
 A11

T
，则A  
 AT
 1r
a 12
a 13
a 22
a 23
a 32
a 33
a 21
a 22
a 23
a 24
As1 


T
A sr 
T
a 14 
分块矩阵不仅

a 24     1 ,  形式上进行转
, 3 , 4 
2
置，
a 34 
a 31    1 T
  T
a 32
  2
a 33    3 T
  T
a 34    4






而且每一个子
块也进行转
置．
分块对角矩阵
定义2 设 A 是 n 阶矩阵，若
1. A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，
2. 其余子块都为零矩阵，
3. 对角线上的子块都是方阵，
那么称 A 为分块对角矩阵．
例如：
5

0

A
0

0
0
0
1
0
0
8
0
5
0
  A1
0
 O
3  
  O
2
O
A2
O
O 
  B1
O 
 O

A3 
O 

B2 
分块对角矩阵的性质
 A1

A








As 
A2
A  A1 A 2
若 A i  0( i  1, 2 ,
A
1
 A1  1





A2
As .
s ), 则 A  0， 此 时
1





1 
As 
5

例1 设A   0
0

0
5

A 0

0

0
解：
3
2
，求 A－1 ．
0
  A1
1 

 O

1
3
2
A1  (5 ), A1
3
A2  
2
0

1

1 
1
O 

A2 
1
 
5
1
 1
1
 , A2  
1
 2
1 

3 
A
1
 A1  1

 O
O 
1 
A2 
1/5


0

 0

0
1
2
0 

1

3 
例2
试证 Amn = Omn的充分必要条件是方阵ATA = Onn ．
证明：把 A 按列分块，有 A  ( a ij ) m  n    1 ,  2 ,
  1T
 T
2
T

A A

 T
n
, n 

  1T  1  1T  2  1T  n 

 T

T
T
2 1 2 2 2 n 


于是
 1 , 2 , , n  
O





 T

T
T

n1 n2 nn 
 a1 j 
那么


 a2 j 
T
2
2
2
 j  j  a1 j , a 2 j , , a m j 

a

a


a
 0
1j
2j
mj



a1 j  a 2 j 
 amj  0
a 
即 A= O．
 mj 


作
P59
P60
业
6.（3）; 8.；
17.；