Transcript 圆的确定

九年级数学(下)
26.3 确定圆的条件
想一想
生活生产中的启示
问题：
车间工人要将
一个如图所示的破损
的圆盘复原，你有办
法吗？
确定圆的条件


类比确定直线的条件:
经过一点可以作无数条直线；
A
A
●

经过两点只能作一条直线.
●
B
●
确定圆的条件
想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？

●
●
O O
●
A
●
O
●
O
O
●O
O
●
●
A
●
O
●
B
●
O
●
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?

2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?

确定圆的条件
2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的分布有什么特点?与线
段AB有什么关系？
A
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB
的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意
一点为圆心,这点到A或B的距离为
半径作圆.

●
O
●O
●
O
●
O
●
B
●
确定圆的条件
3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直
线上),你能作出几个这样的圆?
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？
A
老师提示:
能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆
●O
的圆心在线段AB的垂直平分线上.
┏
C
B
经过两点B,C的圆的圆心在线段BC的垂
直平分线上.
经过三点A,B,C的圆的圆心应该在这两
条垂直平分线的交点O的位置.

●
●
●
确定圆的条件
请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条
直线上).
 以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可.F
A
请你证明你做的圆符合要求.

●
E
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
●O
∴OA=OB.
┏
B
同理,OB=OC.
∴OA=OB=OC.
这样的圆可
G
∴点A,B,C在以O为圆心的圆上.
以作出几个?
∴⊙O就是所求作的圆,
为什么?.

●
C
D
●
三点定圆




定理
不在一条直线上的三个点确定一个圆.
在上面的作图过程中.
F
A
∵直线DE和FG只有一个交点O,并
且点O到A,B,C三个点的距离相等,E
●
∴经过点A,B,C三点可以作一个
圆,并且只能作一个圆.
B
●
老师期望:
将这个结论及其证明作为一种模型对待.

O
●
┏
G
C
D
●
三角形与圆的位置关系

因此,三角形的三个顶点确定一
个圆,这圆叫做三角形的外接圆.
这个三角形叫做圆的内接三角形.
外接圆的圆心是三角形三边垂直
平分线的的交点,叫做三角形的外 B
心.
老师提示:
多边形的顶点与圆的位置关系称为接.

A
O
●
C
三角形与圆的位置关系

分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外
接圆,并说明与它们外心的位置情况
A
A
A
●
B
O
O
O
●
C
B
┐
●
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位
于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.

现在你知道了怎样要将一个如
图所示的破损的圆盘复原了吗？
?
反证法
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王
戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树
上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有
王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的吗?
他运用了怎样的推理方法?
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立,
从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛
盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,
从而得出假设命题不成立，是错误的,
即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
试一试
c
已知：如图，直线a,b被直线c所截，
∠1 ≠ ∠2
1
求证：a∥b
b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立
∴a∥b
a
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于
点P.
l
求证: l3与l2相交.
l3与l2 不相交.
证明: 假设____________,
l3∥l2
那么_________.
l1∥l2
因为已知_________,
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
经过直线外一点,有且只有一条直
这与“_______________________
线平行于已知直线
_____________”矛盾.
所以假设不成立,即求证的命题正确.
3
P
l1
l2
用反证法证明（填空）:在三角形的内角
中，至少有一个角大于或等于60°.
已知:
求证:
∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于
或等于60°.
证明: 假设所求证的结论不成立，即
∠A ___
< 60° ，∠B ___<60° ，∠C ___60°
<
则∠A+∠B+∠C < 180°.
这与________________________________
三角形三个内角的和等于180°相矛盾.
所以______
假设 不成立，所求证的结论成立.
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直
线平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法?
(2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
l１
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
l２
p
求证： l１∥l３
l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３
都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且
只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立，
即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那
么这两条直线也互相平行.
l
(3)不用反证法证明
2
l1
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
p 1
l2
求证: l1∥l3
3
证明:作直线l交直线l2于点p，
l3
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3
∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内，
如果一条直线和两条平行直线中的一条相
交，那么和另一条直线也相交）
∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
练一练
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相
交,且 l1∥l3,l2∥l3,
l
求证:∠1=∠2
2
证明:
1
l1
l2
∵l1∥l3,l2∥l3(已知)
l3
∴l1∥l2
(在同一平面内,如果两条直线
都和第三条直线平行,那么
这
两条直线也互相平行)
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
[能力测试]
写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
a∥b
（2）a≥0；
a<0
（3）b是正数；
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
变式训练
1、“a＜b”的反面应是（ D
）
（A）a≠＞b （B）a ＞b
（C）a=b
（D）a=b或a ＞b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有
一个是直角”时，应如何假设？
假设三角形中有两个或三个角是直角
___________________________________
总结回顾:
1、反证法的概念;
2、反证法的一般步骤:
归谬
假设
假
设
命 从假设出发
题
不
成
立
引
出
矛
盾
结论
假
设
不 得出结论
成
立
求
证
的
命
题
正
确
结束寄语
•
盛年不重来,一日难再晨,
及时宜自勉,岁月不待人.