Transcript 地球表面重力加速度为g
万 有 引 力 定 律 的理论成就 知识回顾 简化模型2：1.均匀球体。2.无自转角速度。 两极：万有引力等于重力， Mm G 2 mg极 r地 Mm G mg赤 2 赤道：万有引力等于向心力加重力， r地 其他纬度： Mm G 2 mg其 r地 结论：地球各处g都相同。 应用：题目中已知（或求解）“地球表面重力加速度为g”， 则认为 Mm G 2 地 r mg地 应用1：考虑地球自转影响问题 1．假如地球自转的速度增大，关于物体的 重力，下列说法中正确的是 （ ） A.放在赤道地面上的物体的万有引力不变 B.放在两极地面上的物体的重力不变 C.放在赤道地面上的物体的重力不变 D.放在两极地面上的物体的重力增大 应用2：地球（或星球）自转加速度增大直至瓦解问题 2.地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤 道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上 的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为 原来的（ ） 3.假设地球自转角速度达到使磁道上的 物体能飘起来（完全失重）。试估算一 下，此时地球上的一天等于多少小时？ （地球半径R=6.4x106m，g取10m/s2） 4. 均匀的球体以角速度ω绕自身对称轴自转， 若维持球体不被离心现象所瓦解的唯一作 用力为万有引力，则球的最小密度应是多 少？ 应用3：地球与其他星球表面重力加速度问题 5.1990年5月，紫金山天文台将他们发现的 第2752号小行星命名为吴健雄星,该小行星的 半径为16km.若将此小行星和地球均看成质量 分布均匀的球体,小行星密度和地球相同.已知 地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g. 这个小行星表面的重力加速度为（ ） A.400g B. 1/400 g C.20g D.1/20 g • 6．据报道，最近在太阳系外发现了首 颗“宜居”行星，其质量约为地球质量 的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N 的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知该行星的半径与地球半 径之比约为( ) • A．0.5 B．2. C．3.2 D．4 应用4：地球表面重力加速度与自由落体、竖直上抛、 平抛相结合问题 7．某星球的质量约为地球的9倍，半径 约为地球的一半，若从地球上高h处平抛 一物体，射程为60m，则在该星球上， 从同样高度以同样的初速度平抛同一物 体，射程应为 （ ） A．10m B．15m C．90m D．360m 8.宇航员站在一个星球表面上某高处，沿水 平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星 球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则 抛出点与落地点之间的距离为 3L。已知两 落地点在同一水平面上，该星球的半径为R， 万有引力常数为G，求该星球的质量M。 2 3LR 2 3Gt 2 问题2：轨道重力加速度 地球表面轨道： G 地球高轨道： G Mm mg表 2 r地 Mm r地 h 2 mg高 结论： g随着高度的增大而减小。 9.地球表面重力加速度为g，在距地面高 度为h的空中重力加速度是地面上重力 加速度的几倍？已知地球半径为R。 例题分析 人造卫星的超失重问题 在火箭的实验平台上放有测试仪器，火箭起动后 以g/2的加速度竖直匀加速上升，到某一高度时 仪器对平台的压力为起动前对平台压力的17/18， 求：此时火箭离地面的高度？ （已知地球半径为R,地面重力加速度为g) 地面时： F mg ma 17 空中时： F mg ma 18 Mm mg G 2 ( R h) GM gR 2 g ? h? 10. 某物体在地面上受到的重力为160N将它放 置在卫星中，在卫星以a=g/2的加速度随火箭 加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持 物相互挤压力为90N，卫星距地面有多高？ （地球半R=6400km，地面的重力加速度 g=10m/s2） 例题分析 分析： 在地球表面： mg 160 N m 16kg 加速升空时： 超重： F mg ma Mm mg G 2 ( R h) 黄金代换式：GM gR 2 h 1.92 104 km 友情提示 本堂课公式较多，请注意认真做点笔记。 一、重力和万有引力的关系 N 1、不考虑地球自转的条 思考：F 件下，地球表面的物体 向 Mm 当ω达到多大时，赤道上的物体将脱离地 mg G 2 球？ F引 G R o 2、重力则随纬度升高而 增大 Mm 2 赤道 mg G 2 m R R 地球表面的物体所受的 Mm 重力的实质是物体所受 两极 mg G 2 万有引力的一个分力 R 应用－－星球表面的物体 在星球（如地球）表面的物体，在忽略自转的情 况下，此时物体所受重力与星球对它的万有引力 视为相等。 M 行星表面的重力加速度：g G 2 R Mm mg G 2 R 3g 4GR gR 测中心天体的质量： M 称量地球的质量 G 黄金代换式：GM gR 2 2 一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动 基本思路：F引＝F向 Mm v 2 2 2 G 2 m m r m( ) r r r T 2 注意：一般r是指轨道半 径，R是指星球半径。 r R H 一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动 1、计算中心天体的质量 2 Mm v 2 2 2 G 2 m m r m( ) r r r T 4 r M 2 GT 2 3 如已知中心天体半径，则可求天体的平均密度 M M 3 r 3 3 4 R V GT 2 R 3 3 此方法只能求解中心天体的质量和密度，而不能 求出做圆周运动的行星或卫星的质量和密度 例题： 某宇航员驾驶航天飞机到某一星球，他使 航天飞机贴近该星球附近飞行一周，测出 飞行时间为4.5103s，则该星球的平均密 度是多少？ 分析：当天体的卫星环绕天体的表面运动时，其轨 道半径r =R 解析：航天飞机绕星球飞行， 2 2 万有引力提供向心力，所以 G Mm mr ( ) 2 r T 近地飞行时， r R星 该星球的平均密度为： M M 4 V 3 R星 3 3 联立上面三式得： 2 GT 代入数值：G 6.67 1011 N m2 kg 2 可得： 6.98 10 kg / m 3 3 T 4.5 10 s 3 天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量（ ABC） A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 2008年高考北京卷 据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨 道高度200 km,运用周期127分钟。若还知道引力常量 和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是（ ） A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力 C．卫星绕月球运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度 答案：B 【解析】因为不知道卫星的质量，所以不能求出月球对卫 星的吸引力。 2007年高考江苏卷 假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和 天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕 太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理 量变化正确的是 （ ） BC A．地球的向心力变为缩小前的一半 B．地球的向心力变为缩小前的 C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同 D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半 04年北京20 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752 号小行星命名为吴键雄星，该小行星的半径为16 km。 若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体， 小行星密度与地球相同。已知地球半径R=6400km， 地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加 速度为 （ B ） A．400g B．g/400 C．20g D．g/20 解： 设小行星和地球的质量、半径分别为m 、M 、r 、R 吴 密度相同 ρ吴=ρ地 地 吴 m吴/r吴3=M地/R地3 由万有引力定律 g吴=Gm吴／r吴2 g地=GM地／R地2 g吴/ g地=m吴R地2／M地r吴2= r吴／R地=1/400 地 2008年高考理综全国卷Ⅰ.17 17．已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约 为390，月球绕地球旋转的周期约为27天。利用上述 数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球和 地球对月球的万有引力的比值约为，（ B ） A. 0.2 B. 2 C. 20 D. 200 解：太阳到月球的距离近似于太阳到地球的距离。 4 2 太阳对月球的万有引力 F日月 m 2 r1 T1 2 4 地球对月球的万有引力 F地月 m r 2 2 T2 2 F日月 T2 r1 27 2 2 （ ） 390 2.14 F月地 T1 r2 365 【例1】 （2000北京春招）地核的体积约为整个地 球体积的16％，地核的质量约为地球质量的34％， 4 3 1.2 10 kg/m 经估算，地核的平均密度为＿＿＿＿ (结果取两位有效数字)．已知地球表面g=9.8m/s2， 6 R地 6.4 10 m ，G 6.7 1011 N m2 / kg 2 ． 2 M 地m 解： G 2 mg， M gR地 ， 地 R地 G M地 M 地 0.34 3g 地 ， 地 , 核 ， 4 3 4 3 4 GR 地 R地 R地 0.16 3 3 3g 0. 34 4 3 核 =1.2 10 kg/m ， 4 GR地 0. 16 例题精讲 （错误率90%） 某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处， 用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤 测得同一物体重为0.9P，星球的平均密度是多少？ 解析：设被测物体的质量为m，星球的质量为M，半径为R 在两极处： 在赤道上: Mm P G 2 (1) R Mm 2 2 F向 G 2 0.9 P m( ) R (2) R T 40 R 由以上两式解得星球的质量为： M GT 2 4 3 30 又：M V R 3 2 2 GT 3 04年浙江23 (16分)在勇气号火星探测器着陆的最后 阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳 才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后， 到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大 小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计 算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆 轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均 匀球体。 解： 以g′表示火星表面附近的重力加速度，M 表示火星的质量， m表示火星的卫星的质量， m′表示火星表面处某一物体的质量， 由万有引力定律和牛顿第二定律，有 Mm Mm 2π 2 G 2 mg ① G 2 m( ) r r0 r T 设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度 ，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0， 有 v12 2 g h ③ v v v 2 1 ② 2 0 由以上各式解得 ④ 8 2 h r 3 2 v v0 2 2 T r0 ⑤ 二、发现未知天体 １、海王星的发现 英国剑桥大学的学生，23岁的亚当斯，经过计算， 提出了新行星存在的预言．他根据万有引力定律和天 王星的真实轨道逆推，预言了新行星不同时刻所在的 位置． 同年，法国的勒维列也算出了同样的结果，并把 预言的结果寄给了柏林天文学家加勒． 当晚（1846.9.23），加勒把望远镜对准勒维列预言的 位置，果然发现有一颗新的行星——就是海王星. ２、冥王星的发现 海王星发现之后，人们发现它的轨道 也与理论计算的不一致．于是几位学者用 亚当斯和勒维列的方法预言另一颗新行星 的存在． 在 预 言 提 出 之 后 ， 1930 年 3 月 14 日 ， 汤 博 （Tom baugh）发现了这颗行星——冥王星．冥王 星的实际观测轨道与理论计算的一致，所以人们 确认，冥王星是太阳系最外一颗行星了． 3、人造卫星的运动规律 GMm v 2 2 2 F 2 m r m m r m(2 f ) r ma r r T 2 2 Mm v2 G 2 m r r GM v r Mm 2 G 2 m r r GM r3 Mm 2 2 G 2 m( ) r r T r3 T 2 GM 1 v r 1 3 r T r 1 a 2 r 3 Mm GM G 2 ma向 a向 2 r r 可见：v、ω、T 、a与 r 为 一 一对应关系 例5．三颗人造地球卫星A、B、C 绕地球作匀速圆周 运动，如图所示，已知mA=mB< mC，则三个卫星 ABCD A．线速度关系为 vA > vB = vC B B．周期关系为 TA< TB = TC 地球 A C．B所需的向心力最小 C D．半径与周期关系为 R R R 3 A 2 A T 3 B 2 B T 三者的向心加速度比较？ 3 C 2 C T 例6、人造地球卫星在绕地球运行的过程中，由于高 空稀薄空气的阻力影响，将很缓慢地逐渐向地球靠 近（近似看成匀速圆周运动），在这个过程，卫星 A C 的 ( ) (A)机械能减小 (B) 速率逐渐减小，角速度逐渐减小 (C) 运行周期逐渐减小 (D) 加速度逐渐减小 例题分析 根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星 的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度V 与该层到土星中心的距离R之间的关系。下列判断正 确的是： AD A、若V与R成正比，则环为连续物； B、若V2与R成正比，则环为小卫星群； C、若V与R成反比，则环为连续物； D、若V2与R成反比，则环为小卫星群。 “双星”问题 天文学中把两颗距离比较近，又与其它 星体距离比较远的星体叫做双星，双星 的间距是一定的。设双星的质量分别是 m1、m2，星球球心间距为L。问： （1）两星的轨道半径各多大？ （2）两星的角速度各多大 ？ （3）两星的周期为多少 ? ①双星的向心力大小相同 ②双星的角速度相同 gk012.2008年高考理综宁夏卷23 23、（15分）天文学家将相距较近、仅在彼此的引 力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银 河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特 征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗 恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周 运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推 算这个双星系统的总质量．（引力常量为G） 解： 设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的 半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1，ω2．根据题意 有 ω1＝ω2 ① r1+r2＝r ② 根据万有引力定律和牛顿定律，有 2 m1m2 4 G 2 m112 r1 m1 2 r1 ③ 得 r T m 2 4 2 r ④ 2 2 1 r GT m1m2 4 2 G 2 m2 2 r2 m2 2 r2 ⑤ 得 r T m1 4 2 r 2 2 2 ⑥ r GT 2 4 2 3 ④⑥式相加得： m1 m2 GT 2 r ⑦ 2001年春18. 两个星球组成双星，它们在相互之间 的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀 速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期 为T，求两星的总质量。 解答：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点 作周期为T 的圆周运动，星球1和星球2到O 的距离分 别为l 1和 l2 ．由万有引力定律和牛顿第二定律及几 何条件可得 M 1M 2 2 2 G M 1 ( ) l1 2 R T M 1M 2 2 2 G M 2 ( ) l2 2 R T l 1 + l2 = R 联立解得 4 2 R 3 M1 M 2 2 GT l1 l2 M1 O M2 013.南昌二中08届第二次阶段性考试8 8．银河系的恒星大约四分之一是双星。某双星由 质量不等的星体S1 和S2 构成，两星在相互之间的万有 引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动， 由天文观察测得其运动周期为T， S1到C点的距离为r1， S1和S2的距离为r ，且r1 >r/2 ，已知引力常数为G，那 么以下正确的是 （ ） ACD A．两星向心力相等 B．S1质量大于S2质量 C．两星作圆周运动角速度相等 4 2 r 2 r1 D．S2质量为 GT 2 解见下页 r1 S1 r2 C S2 解：设两星质量分别为M1和M2 ， S1 、 S2 到C点的距 离为r1 、 r2 , 由万有引力定律和牛顿第二定律可得 M1 M 2 2 2 G M1 ( ) r1 ⑴ 2 r T r1 r2 M1 M 2 2 2 G M2 ( ) r2 ⑵ S2 2 S C 1 r T ∴ M1 r1 = M2 r2 ⑶ 万有引力作为向心力，所以A对 r1+r2= r r1 >r/2 >r2 M1 < M2 ， B错 它们的运动周期为T，所以角速度相等,C对 4 r 由⑴+⑵得 M 1 M 2 2 GT 2 2 2 3 由⑶⑷得 4 r r1 M2 GT 2 D对 ⑷ 宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以两者 连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，从而不致 因万有引力作用而吸引到一起． （1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都 等于质量之反比． （2）设两者的质量分别为m1、 m2，两者相距L, 试写出它们角速度的表达式． （2006江苏14）如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫 星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h．已知 地球半径为 R，地球自转角速度为 ωo，地球表面的重力 加速度为 g，O为地球中心． ⑴求卫星 B的运行周期； ⑵如卫星 B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B 两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过 多长时间，它们再一次相距最近？ 解：( 1) 由G 2 Mm R h 2 2 Mm m R h 和G 2 mg得 R TB R h TB 2 2 3 gR , （2006江苏14）如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫 星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h．已知 地球半径为 R，地球自转角速度为 ωo，地球表面的重力 加速度为 g，O为地球中心． ⑴求卫星B的运行周期； ⑵如卫星 B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B 两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过 多长时间，它们再一次相距最近？ 2 解：⑵ B TB 2 t B 0 gR 2 R h 3 , 2 gR . 2 R h Bt 0t 2 , 3 0 例3、设地面附近重力加速度为g0，地球半 径为R0，人造地球卫星圆形运行轨道半径为R， 那么以下说法正确的是 [ ABD ] [思考讨论]．在月球上以初速度 vo 竖直上 抛一个小球，经过时间 t 落回到抛出点， 已知月球的半径为R，试求月球的质量． 例题精讲 若已知某行星绕太阳公转的轨道半径为r, 公转周期为T,引力常量为G，则由此可求 出（ ） A、行星的质量 2 3 B、太阳的质量 4 r C、行星的密度 M 2 GT D、太阳的密度 B