Transcript 第七章

本章要点
（1）梁绕曲线近似微分方程
（2）叠加法求梁变形
（3）简单静不定梁的求解
重要概念
挠度、转角、边界条件、连续性条件、变形比较法
目录
§7-1 概 述
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分
§7-3 用叠加法求梁的变形
§7-4 简单静不定梁的解法
§7-5 梁的刚度校核及提高梁的刚度措施
§7-6 梁内的弯曲应变能
§7-1 概述
*在上一章中，我们对各种截面梁中横截面上的应力，作
了比较详尽的介绍和分析，但是，对一根梁来说，它是不是只
要满足了应力要求，即强度条件，就能够使得整个构件正常，
安全的工作呢？为了回答这个问题，下面我们先看一看几个简
单的例子：
齿轮轴弯曲变形过大，就要影
响齿轮的正常啮合，加速齿轮
的磨损，产生较大的噪音。
齿轮轴弯曲
吊车梁若变形过大，一方面会使
吊车在行驶过程中发生较大的振
动，另一方面使得吊车出现下坡
和爬坡现象。
吊车梁变形
* 从上面两个例子我们可看出：梁即使满足了强度条件，若变
形过大的话，它仍然不能够正常安全的工作。由此，我们可
以得出：要使梁正常安全的工作，一方面梁不仅要满足强度
条件，另一方面梁还必须满足一定的变形条件。只有在这两
方面同时得到满足的条件下，整个构件才能正常安全工作。
第九章的内容就告诉了我们上面所提到的梁所必须满足
的变形条件以及计算这种弯曲变形的方法，下面我们首先来
看几个基本概念：
举例：如图所示：取梁变形前的轴线为x 轴，与 x 轴垂直的
为y 轴。弯曲变形后，在 xy 平面内，AB——弧AC1B，挠曲
线——平面曲线AC1B。

F
B
A
C1
x

y
x
1．挠度——梁的轴线上某一个点在垂直于x轴的方向（y方向）
所发生的位移。
2．转角——梁上某一横截面在梁发生变形后，绕其中性轴转
动的角度 ，就称为该横截面的转角。
3．挠曲线方程——从图中我们可以看出：梁的轴线上每一点
的挠度y是随着点的位置x的改变而变化的，因此它是x的函数,
即：
y  f x  ——挠曲线方程
4．转角方程——由截面的平面假设可知：变形前垂直于轴线
的横截面，变形后仍垂直于挠曲线，故，当我们通过挠曲线上
任意一点C1作切线时，它与水平线的夹角  显然等于C1点所在
横截面的转角  ，于是：
挠曲线： y  f x 
dy
 tg
任一点的斜率与转角之间的关系为：
dx
  tg
由于：  极其微小
 
dy
 f ' x 
dx
——转角方程
物理意义：
反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切
线的斜率等于该点处横截面的转角。
结论：由转角方程我们可看出：梁上某点处横截面的转角等于
f '  x  在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出
挠曲线方程 y  f x 。
5．挠度，转角的正负号规定：
挠度：向下的挠度为正，向上的挠度为负
转角：顺时针的转向为正，逆时针的转向为负
目录
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分
一.挠曲线近似微分方程（的推导）
在上一章，讨论纯弯曲变形时，得出：梁纯弯曲时轴
线的曲率为：
1
M

K

EIZ
（a）
在横力弯曲中，我们知道梁的横截面上的内力除弯矩外，
还有剪力，但同时我们又知道：工程上常用的梁，由
于L（跨长）远大于h（横截面高度），剪力的影响很小，
可忽略不计。故我们仍可将其当作纯弯曲梁来处理。有(a)
式来表示曲率大小。但由于在横力弯曲中，曲率和弯矩都
是x的函数。故而应写为：
1
M x 

 K x 
 x  EI Z
又：
1

 x 
(b)
y
1   y 
3
2 2
1
M x 

 y 
 x 
EIZ
1
y M x 

 
 x 
1
EIZ
(9-3)
——挠曲线近似微分方程
注:上式之所以称为梁的挠曲线近似微分方程，主要是略去
了剪力的影响和  y2 项的结果。
二.讨论：
从（9-3）式可看到：在等式的右边有一个+号。到底是取
正号还是取负呢？
我们大家都知道，梁变形后的形状，不外乎<a><b>两种。
我们现在分别讨论：
''
<a>:在如图所示的坐标系中，显然 y  0 （因为 y ''  0 时，函数
出现极小值）而此时：M<0故，等式的右边应取“—”号，
即：
M x 
y 
EI Z
''
y ''  0
<b>：在如图所示的坐标系中，显然，此时函数出现了极大值
而此时：M>0
y   
故等式的右边应取“—”号，即：
M x 
综上所述，得出： y  
EI Z
M x 
EI Z
''
——挠曲线的近似微分方程
三.积分：
对等截面梁来说：I Z  常量 故（9-3）可写成：
EI Z y ''  M x 
积分得：
EI Z y ''    M  x dx  C
EI Z y     M  x dxdx  Cx  D
（9-4）
（9-5）
 由此我们可看出：根据（9-4）（9-5）就可以把某点处截
面的转角和挠度求出来。
 但由（9-4）（9-5）我们还看到，有两个积分常数C、D。
如果这两个常数不知道的话，我们还是无从求出  和y。
下面我们还要对C、D进行确定：
四.积分常数的确定：
一般情况下，积分常数可通过梁的支座处的变形条件（称
为边界条件或支承条件）或梁的挠曲线的变形连续性条件来确
定。
1.变形条件：所谓变形条件，一般是指梁的支承处的变形特点，
如铰支座及连杆支座处的挠度为零。固定端处的挠度为零。见
下图：
A
A
B
B
yA  0
yB  0
yA  0
yB  0
yA  0
A  0
yA  0
A  0
2.连续性条件：指梁被载荷分成几段时，我们将分段列出弯矩
方程，由于梁的挠曲线是一光滑连续曲线，所以段与段之间连
接处的挠度，转角在两段上的数值必须相等。
例如：<b>中c点为AC段与CB段的连接点，则AC段上C点的挠度
yC  AC ，转角 C  AC应该与CB段上C点的 挠度 y CB，
C
转角  C CB 相等，即：
yC  AC  yC CB
 C  AC   C CB
分别或同时利用上述两种条件就可以将积分常数确定出来。
''
直接积分法：对式 EI Z y  M x 进行积分求梁的变形方法。
五.举例：
例7-1.图示简支梁受均布载荷作用，载荷集度为q，梁的跨长
为L，求梁跨中点C处的挠度与支座A点处的转角。
A
B
解： （1）求支反力：
根据对称性，可得：
R A  RB 
1
qL
2
（2）建立挠曲线微分方程
以梁的左端A为坐标原点建立坐标系如图，则：
q 2
M x   R A x  x
2
EI Z y ''  M x 
q 2
q
q 2
 EI Z y   R A x  x   Lx  x
2
2
2
''
q 2 q 3
 EI Z y   Lx  x  C
4
6
——（1）
q
q 4
3
 EI Z y   Lx 
x  Cx  D
12
24
——（2）
'
（3）利用边界条件确定积分常数C、D
x=0, y A  0 得：D=0
qL3
得：C 
24
x=L, y B  0
将C、D代入（1）（2）得：
3

q
q
qL
'
2
3
EI
y


Lx

x

Z


4
6
24

3
q
q
qL
4
EI y   Lx 3 
x

x
Z

12
24
24

（4） x 
L
2
时，（将
x
L
2
代入（4）式得yC ）
5
5
4
EI Z yC 
qL  yC 
qL4
384
384EI Z
（3）
（4）
将x=0代入（3）得：
'
  A  yA
1
qL3


EI Z
24
（5）讨论：如若我们将x=0代入（1）（2），即可得到
y A 、 A 分别为：
D
yA 
EI Z
C
， A 
EIZ
D  EI Z y A
（5）
C  EI Z   A
（6）
即：一次常数C表示原点的转角与抗弯刚度的乘积
二次常数D表示原点的挠度与抗弯刚度的乘积
从上面可看出：把原点取在简支梁的铰支座上时，二次积分常数
D=0, 这正是因为原点是铰支座，而铰支座处的
挠度为零。
注：这一点可作为一个标准来检验上面积分常数的正确与否，并
且对其它类型的梁也成立。
例7-2.图示一悬臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B处的
挠度和转角。
解：建立坐标系如图：
（1）求支反力
RA  P ，M A  PL
（2）建立挠曲线微分方程
M x  RA x  M A  P  x  PL
EI Z y ''  M x  Px  PL
1
 EI Z y '   Px 2  PLx  C
2
1 3 1
 EI Z y   Px  PLx 2  Cx  D
6
2
——（a）
——（b）
（3）利用边界条件确定积分常数C、D
由x=0, 时
yA  0
A  0
1
 EI Z y '   Px 2  PLx
2
1 3 1
 EI Z y   Px  PLx 2
6
2
(4) 将X=L代入（c）(d)式得：
D=0
C=0
——（c）
——（d）
2
PL
  B  yB' 
2 EIZ
（5）讨论：
PL3
 yB 
2 EI Z
由上面可看到：由于固定端处的转角和挠度都为零，故
C=D=0，即：它也满足例1中得出的结论。
例7-3.图示一简支梁，在梁跨度中点C处作用一个集中力P。求
该跨中点C的挠度及支座A点处横截面的转角。
P
解：[分析]象这样类型习题的传统
B
解法是：以A点为原点,建立坐标系 A
L/2
RB
，分AC段，CB段分别列出弯矩方程 RA x
L
及挠曲线方程，然后根据变形条件
和连续条件确定积分方程。从而求
解，我们的书中用的就是这种解法，但是，我们只要稍微注意一
下，就可发现，此梁为一对称结构，因此，我们只需取其一半结
构即可得出结果。
取AC段为研究对象：
(1)求支反力：
1
由对称性可得：R A  P
2
（2）建立挠曲线微分方程
M x   R A x 
P
x
2
P
EI Z y   M x    x
2
P 2
'
 EI Z y   x  C
4
P 3
 EI Z y  
x  Cx  D
12
''
（3）利用边界条件确定积分常数C、D
——（1）
——（2）
由x=0, y A  0 得：D=0
由对称性可得：
x=L/2,  C 
PL2
0，得：C 
16
将C、D代入（1）（2）得：
P 2 PL2
 EI Z y   x 
4
16
'
P 3 PL2
 EI Z y  
x 
x
12
16
（4）求结果：
x=0时，
x=L/2时，
1 PL2
PL2
A  y 


EI Z 16 16EI Z
PL3
yC 
48EI Z
'
A
思考题：
图示一简支梁，在梁中点处作用一个集中力偶Me，求梁跨中
点C处的挠度与铰支座A点处的转角及连杆支座B点处的转角。并
求梁上最大挠度值。
Me
A
RA x
B
C
L/2
L
RB
目录
§7-3 用叠加法求梁的变形
一.概述：
我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法，
但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很
多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加
法，基本上克服了这一缺点，为工程上常采用的较方便的
计算方法之一。
我们在本门课的一开始就曾讲过，材料力学所研究的
范围是线弹性范围，变形是小变形，梁的挠度和转角与作
用在梁上的载荷成线性关系。故而当梁同时受几个载荷作
用而使梁产生的变形，就等于每一个载荷单独作用下梁产
生的变形的代数和。
这种用每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和来代
替梁同时受几个载荷共同作用下产生的总变形的方法，我们就
称其为叠加法。在用叠加法求梁的变形时，每一个载荷单独作
用下产生变形可从本书附录中查到。
二.举例：
例7-4.图示一简支梁受均布载荷及集中力偶作用，试用叠加法
求梁跨中点处的挠度和支座处的转角。
Me
A
RA x
B
C
L/2
L
RB
Me
A
RA x
B
C
RB
L
A
RA x
B
RB
L
解：
（1）首先将梁上的载荷分成两种，如下图，并由附录中查得
它们单独作用下，跨中处的挠度和支座处的转角为：
 Aq
qL3

24EI Z
 AM
MeL

3EI Z
 Bq
qL3

24EI Z
 BM
MeL

6 EI Z
yCq
5qL4

384EI Z
yCM
MeL2

16EI Z
(2).进行代数相加，求得：
yC  yCq  yCM
5qL4
MeL2


384EI Z 16EI Z
 A   Aq   AM
qL3
MeL


24EI Z 3EI Z
 B   Bq   BM
qL3
MeL


24EI Z 6EI Z
例7-5.图示，一受载荷的悬臂梁，求自由端A点处的挠度和转角
C
B
A
a
L
解：
q
B
yc
C
C
A
yA
在分析这种梁的时候，我们把它分成两段来考虑：
由附录中，我们可查得：
qa4
yC 
8EI Z
C
qa3

6EI Z
由CA段上无载荷，CA段又是自由端，所以CA段梁变形后仍保
持直杆，如图所示，由杆件的变形连续条件可知：
C   A
y A  yC  L  a C
qa4
qa3
 yA 
 L  a 
8EIZ
6 EIZ
qa3
C   A 
6 EI Z
思考题
图示，一悬臂梁受集中力作用，试用叠加法求自由端A点
处的挠度和转角
P1
B
P2
C
a
A
L
目录
§7-4 简单静不定梁的解法
一.概述
对于静不定梁，一般的解决办法有三种：叠加法，能量法，
力法，其中的能量法和力法我们将在以后的几章中介绍，现在
我们就用叠加法来解静不定梁。
二.方法：
(1).首先将多余约束解除，代之以支座反力，从而使静不定结构
成为静定结构。
(2).根据解除约束处的原来约束性质，即变形特点，列出变形关
系。
(3).利用物理关系得出补充方程
(4).联立求解补充方程与静力平衡关系
三.举例：
例7-10.图示超静定梁上作用均布载荷，集度为q，试求其支座
反力并绘出该梁的内力图。
q
(1).由附表可查得：
A
B
L
y Bq
qL4

8EI Z
(a)
y BRB
RB L3

3EI Z
(b)
q
A
B
RB
q
(2).变形相容条件：
A
y Bq
yB  0
得：
y B  y Bq  y BRB
y Bq  y BRB  0
(c)
(3).将(a)(b)代入(c)得：
RB L3
qL4

0
8EI Z 3EI Z
 RB 
3
qL
8
yBRB
A
RB
目录
§7-5 梁的刚度校核及提高梁的刚度措施
一.刚度条件：
土建工程：以强度为主，一般强度条件满足了，刚度要求也
就满足了，因此刚度校核在土建工程中处于从属地位。
机械工程：对二者的要求一般是平等的，在刚度方面对挠度
和转角都有一定的限制，如机床中的主轴，挠度过大影响加工
精度，轴端转角过大，会使轴承严重磨损。
桥梁工程：挠度过大，机车通过时将会产生很大的振动。
综上所述：在工程设计中，我们有必要对梁的挠度和转角进行限
制，对梁的挠度的限制，通常以梁的挠度与跨长的比值作为标准。
对梁转角的限制，就以梁的容许转角 为标准。
 
f 
 L 
土建工程：
1
~1
250
1000
一般要求不大
机械工程：
1
~ 1
5000 1000
0.005 ~ 0.001rad
由以上的分析：可建立刚度条件如下：
f max
 f 

 L

L
   
二.举例
例7-6.图示一矩形截面的悬臂梁，载荷集度q=10KN/m, L=3m。容
许单位跨度内的挠度值  f L   1 250，材料的容许正应力
   12MPa，弹性模量E  2104 MPa 截面尺寸比：h b  2
求截面尺寸h、b。
矩形横截面
解：[分析]：今后大家一定要注意：在材料力学中，凡是遇到确定
截面的问题，决不会超出两个方面，一个是强度条件，另一个是
刚度条件，如果已知条件中给了强度容许值，只需要按强度条件
来确定就行了，反之只需要按刚度条件确定就行了，若两方面的
容许值都给出了，那就必须分别确定，然后进行比较选择.
(1).按强度条件设计：
 max 
M max
  
Wz
q
2
（其中：M max  L2  45 KNm
b3
3M max
 178m m
2 
(2).按刚度条件设计：
由附录查得：
f max
代入刚度条件得：
Wz 
b 2
2 3
h  b ）
6
3
h  2b  356 mm
f max  f 
 
L
L
qL4

8EI z
bh3
2 4
IZ 
 b
12
3
b
4
3qL3
 159m m
f
16  E
L
h  2b  318 mm
综上所述，截面尺寸应按强度条件计算时，刚度条件一
定满足。
三.提高梁的刚度的措施
从附录2的变形计算式中可看出：梁的变形不仅与梁的
支承和载荷有关，而且还与梁的材料，截面形状和跨长有
关，总的来说，可用下式表示：
载荷 (跨长) n
变形 
抗弯刚度
从上式可发现，当承受的载荷一定时，要想提高梁的弯曲
刚度，必须从抗弯刚度和跨长两方面来考虑：
1.增加梁的抗弯刚度：
(1).增加E：对钢材来说，E的变化不大，故不常采用。
(2).增加Iz：尽量采用工字钢等型钢，组合截面空心截面。
2．减小梁的跨长：
(1).采用外伸梁，从而缩短跨长。
(2).增加支座，从而缩短跨长。
目录
§7-6 梁内的弯曲应变能
F1
F2
q
A
B
x dx
d
M ( x)  dM ( x)
M (x)
d (x)
图(a)为一横向力作用的梁，我们现在从中取出一微段(b)
进行研究：由于该梁的跨长远远大于截面高度，故两边的剪力
可略去不计，又由于dM x  为一阶微量，相应于 M  x  来说，也
非常微小，故也可略去，故在线弹性范围内，M x  所做的功为：
∵
又∵
1
dW 
M x d
2
1
dU  dW ，dU  M  x d
2
d
1
M x 


dx  x  EI Z
∴
d 
M x 
dx
EI Z
M 2 x 
 dU 
dx
2 EI z
 dU 
U 
L
L
M 2 x 
dx
2 EI z
注：（1）当弯矩方程式在梁的各段中不相同，或抗弯刚度 EI z
在梁的各段中不相同时，则上式积分必须分段进行。
（2）注意对称结构。
例7-7.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载
q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 vmax。
解：M ( x )  ql x  q x 2
y
2
q
EIv  
x
l
2
ql
q
x  x2
2
2
ql 2 q 3
EIv  
x  x C
4
6
ql 3
q 4
EIv 
x 
x  Cx  D
12
24
由边界条件：
y
x  0时，v  0
q
x  l时，v  0
得：
x
ql 3
C
, D0
24
l
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
 
q
( 6lx 2  4 x 3  l 3 )
24 EI
v
qx
( 2lx 2  x 3  l 3 )
24 EI
最大转角和最大挠度分别为：
 max   A   B
v max  v
x
l
2
ql 3

24 EI
5ql 4

384 EI
例7-8：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作
用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。
y
P
解：M ( x)   P(l  x)
EIv   P x  P l
A
P 2
EIv  
x  Pl x  C
2
P 3 Pl 2
EIv 
x 
x  Cx  D
6
2
y
B
l
P
由边界条件：
x  0时，v  0,v  0
得： C  D  0
x
A
B
x
l
x
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px

( x  2l )
2 EI
Px 2
v
( x  3l)
6 EI
y
P
A
B
x
l
最大转角和最大挠度分别为：
Pl 2
 max   B  
2 EI
Pl 3
v max  v B  
3EI
例7-9：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P
作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 vmax。
x
P
解： AC 段： M ( x)  x
2
P
EIv   x
2
y
P
B
A
P 2
EIv   x  C
4
P 3
EIv 
x  Cx  D
12
x
C
l
2
由边界条件：
x  0时，v  0 得： D  0
由对称条件：
2
l
Pl
x  时， v  0 得： C  
16
2
l
2
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
P

(4 x 2  l 2 )
16 EI
Px
v
(4 x 2  3 l 2 )
48 EI
最大转角和最大挠度分别为：
 max
v max
P
B
A
x
C
x
l
2
l
2
Pl 2
  A   B 
16 EI
Pl 3
v l 
x
48 EI
2
例7-10：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、
挠曲线方程，并确定θmax和vmax。
解：由对称性，只考虑半跨梁ACD
M1 ( x1 )  qax1 (0  x1  a)
q
y
B
A
C
a
q
M 2 ( x2 )  qax 2  ( x2  a) 2 ( a  x2  2 a )
2
y
EIv1  qax1
A
C
q

2
EIv2  qax2  ( x2  a )
x1 x2
2
qa
a
qa 2

EIv1 
x1  C1
2
EIv   qax
1
1
qa 3
EIv1 
x1  C1 x1  D1
6
EIv 2   qax 2 
q
( x2  a ) 2
2
D
a
x
E
a
a
q
B
D
E
x
qa
a
a
a
qa 2 q

EIv2 
x 2  ( x2  a ) 3  C2
2
6
qa 3 q
EIv 2 
x2 
( x 2  a ) 4  C2 x 2  D2
6
24


由连续条件：x1  x2  a　时 ,　v1  v2 ,v1  v2
由边界条件： x1  0时,v1  0
得D1  0
由对称条件： x2  2a时,v2  0
1  
qa
11 3
得C2   qa
6
( 11 a 2  3 x1 2 )
0  x1  a
[  3 ax 2 2
a  x2  2 a
6 EI
2  
q
6 EI
 C1  C 2
得
 D1  D2
 ( x 2  a ) 3  11 a 3
v1
 
v2  
qa
3
( 11 a 2 x 1  x1 )
6 EI
q
4
3
[  4 ax 2 3  ( x 2  a )  44 a x 2 ]
0  x
1
 a
a  x2  2 a
24 EI
谢谢大家!
 max   A   1
v max  v2
x2  2 a
x1  0
11qa 3

6 EI
19qa 4

8 EI
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