Transcript 第十二章 能量方法 §12–1 变形能的普遍表达式 §12–2 莫尔定理(单位力法) §12–3 截面上的应力及强度条件 §12–1 变形能的普遍表达式 一、能量原理： 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作 的功，即 UW 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法。 二、杆件变形能的计算： 1.轴向拉压杆的变形能计算： U  L n N i Li N 2 ( x) dx 或 U   i 1 2 Ei Ai 2 EA 比能 : u 

第十二章
能量方法
§12–1
变形能的普遍表达式
§12–2
莫尔定理(单位力法)
§12–3
截面上的应力及强度条件
§12–1
变形能的普遍表达式
一、能量原理：
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作
的功，即
UW
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形
和内力的方法称为能量方法。
二、杆件变形能的计算：
1.轴向拉压杆的变形能计算：
U 
L
2
n
N i Li
N 2 ( x)
dx 或 U  
i 1 2 Ei Ai
2 EA
1
比能 : u  
2
2.扭转杆的变形能计算：
U 
L
M n2 ( x )
dx
2GI P
M ni2 Li
或 U 
i 1 2Gi I Pi
n
1
比能 : u  
2
3.弯曲杆的变形能计算：
U 
L
M 2 ( x)
2 EI
M i2 Li
或 U 
i 1 2 Ei I i
n
dx
1
比能 : u  
2
三、变形能的普遍表达式：
变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能
可以相互叠加。
N 2 ( x)
M n2 ( x )
M 2 ( x)
U 
dx  
dx  
dx
L 2 EA
L 2GI
L 2 EI
P

L
Q 2 ( x)
S
dx
2 EA
S  剪切挠度因子
细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。
N 2 ( x)
M n2 ( x )
M 2 ( x)
U 
dx  
dx  
dx
L 2 EA
L 2GI
L 2 EI
P
例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作
用，求A点的垂直位移。
解：用能量法（外力功等于应变能）
①求内力
P
P
R
A
MN
j
A
N
T
B
MT
Q
A
弯矩 : MT (j )  PR sin j
扭矩 : M N (j )  PR(1  cosj )
②变形能：
U 
L


0
M 2 ( x)
N 2 ( x)
M n2 ( x )
dx  
dx  
dx
L
L
2 EA
2GI P
2 EI
2 2
2
 P R (sin j )
P 2 R 2 (1  cos j )2
Rdj  
Rdj
0
2GI P
2 EI
3P 2 R 3 P 2 R 3


4GI P
4 EI
③外力功等于应变能
P
W 
fA  U
2
3PR3 PR3
 fA 

2GI P
2 EI
例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
解：外力功等于应变能
P
A
B
a
C
1
Pf C
2
M 2 ( x)
U 
dx
L
2 EI
P
M ( x) 
x ; (0  x  a )
2
W 
a
f
1 P 2
P 2a 3
在应用对称性，得：
U  2
( x ) dx 
0 2 EI
2
12 EI
Pa 3
W  U  f C 
6 EI
思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？
q
a
§12–2
q(x)
莫尔定理(单位力法)
一、定理的证明：
A
fA
图a
P0 =1
求任意点A的位移f A 。
U 
L
U0 
A
M 2 ( x)
dx
2 EI
2

L
UC  
图b
L
P0 =1
q(x)
图c
M 0 ( x)
dx
2 EI
[ M ( x )  M 0 ( x )]2
dx
2 EI
A
U C U U 0 1 f A
f
fA 
A

L
M ( x) M 0 ( x)
dx
EI
M ( x) M 0 ( x)
f A 
dx
L
EI
莫尔定理(单位力法)
二、普遍形式的莫尔定理
M n ( x) M n 0 ( x)
N ( x) N0 ( x)
A  
dx  
dx 
L
L
EA
GI P
M ( x) M 0 ( x)
L EI dx
三、使用莫尔定理的注意事项：
① M(x)：结构在原载荷下的内力。
② M0——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求
广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。
③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。
④ M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可
自由建立。
⑤莫尔积分必须遍及整个结构。
例3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。
q
A
B
x
a
P0 =1
A
C
C
a
a
解：①画单位载荷图
②求内力
qx 2
M ( x )  aqx 
2
x
; (0  x  a )


M 0 ( x)   2
 x ( 2a  x ) ; ( a  x  2a )

2
a
B
③变形
q
A
B
x
a
P0 =1
A
C
C
a
a
a
M ( x) M 0 ( x)
fC  
dx 
EI
0
2a
M ( x) M 0 ( x)
a EI dx
a
对称性
a
M ( x) M 0 ( x)
2
dx
EI
0
2
qx 2 x
5qa 4

( qax 
) dx 

EI 0
2 2
24 EI
a
B
④求转角，重建坐标系（如图）
q
A
qx12
AC : M ( x )  qax1 
2
x
M 0 ( x)   1
2a
qx22
BC: M ( x)qax2 
2
x2
M 0 ( x) 
2a
B
C
a
a
x2
x1
MC0=1
A
a
M ( x)M 0 ( x)
c  
dx
EI
0 ( AB )
B
C
a
a
a

a
a
M ( x)M 0 ( x)
dx

EI
0 ( BC )
1
qx12 x1
1
qx22 x2

( qax1 
) dx1 
( qax2 
) dx2


EI 0
2 2a
EI 0
2 2a
0
例4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能
上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。
P=60N
解：①画单位载荷图
B
A
C
A
C
x
500
P0 =1
B
x
500
20
②求内力
5
10
10
x1
20
M AB ( x)  Px
M nCA ( x1 )  0.3P
M 0 AB ( x )  x
M n 0CA ( x1 )  0.3
5
M AB ( x)  Px M 0 AB ( x )  x
M nCA ( x1 )  0.3P M n 0CA ( x1 )  0.3
③变形
B  
L
M n ( x1 ) M n 0 ( x1 )
M ( x) M 0 ( x)
dx1  
dx
L
GI P
EI
0.3P  0.3

dx1 
GI P
0
0.5
0.3
Px 2
0 EI dx
PL3AB
PLAB LAC

 LAB
3EI
GI P
60  0.33  12
60  0.3  0.5  32
3
3


10

0
.
3


10
3  210  5  103
0.4  210  204 
 8.22mm
§12–3 卡氏定理
一、定理证明
1. 先给物体加P1、 P2、•••、 Pn 个力，则：
P1
P2
UU ( P1 ,P2 ,...,Pn )
给Pn 以增量 dPn ，则：
U1  U 
n P
n
U
dPn
Pn
2.先给物体加力 dPn ，则：
1
U 2  (dPn )(d n )
2
再给物体加P1、 P2、•••、Pn 个力，则：
U1  U  U 2   n  (dPn )
P1
P2
U
n 
Pn
U
n 
Pn
第二卡氏定理
意大利工程师—阿尔
n P
n
伯托·卡斯提安诺(Alberto
Castigliano， 1847～1884)
二、使用卡氏定理的注意事项：
P1
P2
①U——整体结构在外载作用下的线
弹性变形能
② Pn 视为变量，结构反力和变形能
等都必须表示为 Pn的函数
③ n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。
n P
n
④ 当无与 n对应的 Pn 时，先加一沿 n
方向的 Pn ，求偏导后， 再令其为零。
三、特殊结构（杆）的卡氏定理：
U 
L
2
2
n
M 2 ( x)
N ( x)
M ( x)
dx
dx
dx
L 2GI
L
2 EA
2 EI
P
U
N ( x ) N ( x )
n 

dx
L
Pn
EA Pn

L
M n ( x ) M n ( x )
M ( x ) M ( x )
dx  
dx
L
GI P
Pn
EI
Pn
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。
解：求挠度，建坐标系
P
EI
A
L
③变形
x
O
①求内力
M ( x)  xPA  xP
②将内力对PA求偏导
M ( x )
x
PA
U
M ( x ) M ( x )
fA 

dx
L
PA
EI
PA
L
3
Px 2
PL

dx 
EI
3EI
0
求转角 A
没有与A向相对应的力（广义力），加之。
P
A
L
x
MA
M ( x)  xP  M A
①求内力
②将内力对MA求偏导后，令M A=0
M ( x )
 1
M A M 0
O
A
③求变形（ 注意：M A=0）
A  
L
A 
M ( x) M ( x)
dx
EI M A
2
PL
2 EI
L
PL2
Px
 
dx  
2 EI
EI
0
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。
例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。
Px
B
x
A
L
f
没有与f（x）相对应的力，加之。
①求内力
x1
O
P
C
解：求挠曲线——任意点的挠度 f（x）
x
M AB ( x1 )   P( L  x1 )  Px ( x  x1 )
M BC ( x1 )   P( L  x1 )
②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
M AB ( x )
 x1  x
P

0
x
Px
M BC ( x )
Px
Px 0 0
③变形（ 注意：Px=0）
U
M ( x ) M ( x )
f ( x) 

dx
L
Px
EI
Px
x
1

 P( L  x1 )( x1  x )dx1

EI 0
P x3 ( L  x) x 2

( 
 Lx 2 )
EI 3
2
例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。
0.5 L
A
解：1.依
P
B
f C  0 求多余反力，
①取静定基如图
C
②求内力
L
M AB ( x)  RC ( L  x)  P(0.5L  x)
P
0.5 L
A
O
f
B
L
M BC ( x )  RC ( L  x )
C
RC
③将内力对RC求偏导
M AB ( x )
 L x
RC
x
M BC ( x )
 Lx
RC
④变形
U
M ( x ) M ( x )
fC 

dx
L
RC
EI
RC
0.5 L
L


1
2

   P(0.5L  x )( L  x )dx   RC ( L  x ) dx 
EI  0
0

1
5PL3 RC L3

(

)0
EI
48
3
5P
 RC 
16
2.求
f B 0
①求内力
5P
M AB ( x ) 
( L  x )  P (0.5L  x )
16
5P
M BC ( x ) 
( L  x)
16
②将内力对P求偏导
M AB ( x ) 11x  3L

P
16
M BC ( x )
5( L  x )

P
16
③变形
U
M ( x ) M ( x )
fB 

dx
L
P
EI
P
0.5 L
L


1
11x  3L 2
5 2
2

) dx   P( ) ( L  x ) dx 
  P(
EI  0
16
16
0.5 L

7 PL3

768EI
例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离。
1
P
B
A
P
解：①画单位载荷图
②求内力
③变形
1