Transcript 2.5 欧拉方程的简化伯努利方程（Bernoulli equations）

2.5 欧拉方程的简化伯努利方程
（Bernoulli equations）
⒈ 伯努利方程式的微分式
欧拉方程
简
化
理想流体
伯努利方程微分
式
稳定流动
具有
一维
运动
特征
沿流线方
向
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（Bernoulli equations）
①全微分 v  v( x, y, z) P  P( x, y, z )
v
v
v
dv  dx  dy  dz
x
y
z
dv v dx v dy v dz



d x d y d z d
dv
v
v
v
 vx
 vy
 vz
d
x
y
z
dv x
v
v
v
 vx x  vy x  vz x
d
x
y
z
v x
v x
v x
dv x dv x dx
dv x
 vx
 vy
 vz

 vx
x
y
z
d
dx d
dx
1 P
 dv x
v


  gx
 x dx
 x

 dv y
1 P
    gy
v y
 y
 dy
 dv z
1 P
v


  gz
 z
 z
 dz
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② z
g

v x


v y


v z

gx 0
dv x
1 P
 
 dx
dx
 x
dv y
1 P
 
 dy
dy
 y
dv z
1 P
    g  dz
dz
 z
v x dv x  v y dv y  v z dv z  
gy 0
g z  g
1  P
P
P 
d
x

d
y

dz  gdz

  x
y
z 
v x dv x  v y dv y  v z dv z  vdv  
gdz 
1

1

dP  gdz
dP  vdv  0
伯努利方
程微分式
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⒉ 伯努利方程式
⑴ 方程式的导出
伯努利方程
积分式
1
确定
运动过程中的
能量平衡关系
1 2
1
1 2
g z1  P1  v1  g z 2  P2  v 2

2

2
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
1
1 2
g z  P  v  const N m kg (单位质量)

2


1

2
  g z  P   v  const 
2


3
N

m
m
(单位体积)


2
 z  P  v   const 


2g

2
P
v
z  
 const
N m N (单位重量)
  2g

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⑵ 方程式的讨论
适用条件 理想流体、稳定流动、不可压缩流体、沿流线方向
物理意义
① 单位：机械能守恒定律的体现
包括z项的为位能
②
包括P项的为静压能
包括v项的为动能
③ 各个能量之间可以相互转换，对理想流体而言，
其总和不变；黏性流体在流动过程中存在能量损
失—静压能的降低。
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⒊ 伯努利方程式在管流中的应用
1 2
1 2
 g z1  P1   v1   g z 2  P2   v 2
2
2
限制条件：
理想流体、稳定流动、
不可压缩流体、沿流
线方向 。
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1
1
2
 g z1  P1   v1   g z 2  P2   v 22  h 失
2
2
(1  2流动)
hf 摩擦阻力损失
h失能量损失
hr 局部阻力损失
1
1
2
 g z 2  P2   v 2   g z1  P1   v12  h 失
2
2
(2  1流动)
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伯努利方程应用
管流时的几点说明
⑴ 管道平直、流动为缓变流(流线趋于直线且平行)。反之，为
急变流。
⑵ 关于动能的计算
1 2 1 2
1 2
1 2
v  v  v   v
2
2
2
2
动能修正系数，  f (Re )
实际管流的伯努力方程应为
1
2
1
2
层流   2
 g z1  P1   1   v12   g z 2  P2   2   v 22 
紊流   1.05 ~ 1.10
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⑶ 应用管流伯努力方程应注意
① 适用条件：理想流体、稳定流动、不可压缩流体、沿流线方
向、缓变流。
② 工程上大多数都是紊流，  1.0。
③ P1、P2可以是绝对压力，也可以是表压力。
绝对压力与表压力的关系？
④ v1、v2、—实际状况下。
实际状况下的流速、密度公式？
⑤ z1、z2取决于基准面。
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方程应用
喷
嘴
设
计
流
量
测
量
烟囱设计
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（Bernoulli equations）
共同特点
方程联解
伯努利方程式 (1  2截面)

(流量公式)
q v  vA
v A  v A
(一维稳定流动,   const )
2 2
 1 1
小结
一、本课的基本要求
1．了解欧拉方程的适用条件，伯努利方程微分式的物理意
义。
2．掌握伯努利方程积分式的形式，适用条件，物理意义。
3．掌握管流伯努利方程式及应用。
二、本课的重点、难点
重点：管流伯努利方程式的应用。
难点：管流伯努利方程式的应用。
三、作业
习题P39 2-17 2-18