Transcript 第七章 一阶电路

第七章 一阶电路
内容提要
本章讨论仅含有一个储能之件（电容或
电感）的电路，描述这类电路性状的将是一
阶微分方程。
本章将介绍一阶电路的时域分析（经典
法——卷积），并引进一阶电路的时间常数
的概念。介绍零输入响应，零状态响应，全
响应，暂态响应，稳态响应，阶跃响应 ，冲
激响应等重要概念。
§7-1 动态电路及其方程
主要内容
动态元件指电容，电感。
电路中存在L，C时建立的电流，电压的约束方程为微分
方程。
仅有一个储能之件（C或L）的情况，此时所得到的为一阶线
形常微分方程，相应的电路称为一阶（线形）电路。
动态电路的一个特征：当电路的结构或元件的参数发生变化
时，例电路中电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注如入
等，可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态，
这往往需要经历一个过程，工程上称为过渡过程。并把电路结构或
参数的改变所引起的电路变化称为“换路”。换路经历的时间为0
－到0＋。
§7-2
电路的初始条件
主要内容
初始条件是指电路中所求变量（电压或电流）及其（n-1）
阶导数在t=0+时的值，也称为初始值。
独立初始条件包括独立电源的初始值和uc（0+），iL（0+）。
换路条件： uc（0-）=uc（0+）
iL（0+）=iL（0+）
任意t时，对线形C：
令to  0  ，t  0 
t
0
q (t )  q(t0 )   ic( )d
q (0  )  q (0  )   icdt
1
uc(t )  uc(t0 ) 
C
1
uc(0  )  uc(0  ) 
C
t0

t
t0
ic( )d
0

当ic(t)为有限值时，从0+到0-，∫0_0+ icdt =0
故，
q(0+)=q(0-)
uc(0+)=uc(0-)
t=0-时，不带电荷的C,
不发生跃变。
0
0
icdt
令t  0  ，t  0 
任意t时，对线形L：
0
t
 L (t )   L (t0 )   u L ( )d
 L (0  )   L (0  )   udt
1 0
iL (t )  iL (t0 )   u L ( )d
L 0
1 0
iL (0  )  iL (0  )   udt
L 0
0
t0
当uL为有限值时，从0+到0-，
∫0- 0+uLd t =0
ΨL(0+)= ΨL(0-)
iL(0+)= iL(0-)
对t=0-时，对电流为零的L来说，
iL(0+)= iL(0-)=0
开路
初始条件的确定：
① 已知uc(0-)=uc(0+),iL(0-)=iL(0+)，可求 得 uc(0+)，
iL(0+)。
②对于其他u，i，可通过独立的初始条件求得。此时，
可把uc(0+)用独立电压源， iL(0+)用电流源代替，因其值
不变，对独立电源，取t=0+时刻的值，这时获得的等效电
路为0+时的等效电路。
③对高阶电路变量（n-1）阶导数的初始值，需要通
过电路的微分方程逐阶求解。
例7-1 图7-1所示，当K打开时，求 uc(0+), iL(0+)，ic(0+), uL(0+)和
uR2(0+)。
解：
uc(0-)=UoR2/(R1+R2)=uc(0+)
iL(0-)=Uo/(R1+R2)=iL(0+)
ic(0+)=-Uo/(R1+R2)=-iL(0+)
uR2(0+)=-R2iL(0+)=-UoR2/(R1+R2)
uL(0+)=0
1
2
3
4
5
6
D
D
icC(0+)
R1
C
K(t=0)
R2
+
iL
L
R2Uo/(R1+R2)
R2
C
+
C
Uo
_
iC
uc
_
+
uL(0+)
B
Uo/(R1+R2)
_
B
§7-3 一阶电路的零输入响应
主要内容
零输入响应：一阶电路中仅有一个储能元件（L或C），如
在换路时，储能元件原来有能量储存，换路后，即使电路中无外施
独立源，电路中仍有电流、电压，此时储存能量要通过电阻消耗能
量。这种由储能元件引起的响应称为零输入响应。
图7-2所示，当K闭合前，uc(0-)=Uo，
当t≥0+时(K合上），
则， Ri+uc=0
RCduc/dt+uc=0
⑴
初始条件：uc(o+)=uc(o-)=Uo
通解为： uc=Aept
⑵
代入⑴得，RCp Aept + Aept =0
特征方程为：RCp+1=0
特征根为：p=-1/RC
将初始条件代入⑵得：
uc(o+)= Aep0+=Uo
A=Uo
故， uc=Uoe-t/RC=uR
i=-Cduc/dt= Uoe-t/RC/R
1
2
3
4
5
D
K(t=0)
+
+
C
Uo
uR R
_
_ uc
i
B
ͼ7-2
时间常数τ=RC，τ=L/R
uc(to+τ)=Uoe-(t0+τ)/ τ
=e-1uc(to)
=0.368uc(to)
在工程中认为经过3τ~5τ，将衰减为0.05Uc(o+)或0.007Uc(o+)
放电过程结束。图7-3所示。
τ的含义：τ越小，过渡过程进展越快；相反，进展较慢。
1
2
3
4
5
6
D
uc£¬u R
i
Uo
Uo /R
C
0.368Uo /R
0.135Uo
0.135Uo /R
0.368Uo
B
O
1T
2T
t
O
ͼ7-3
1T
2T
t
电压uc和i的指数曲线上任意点切距长度为τ。
τ可改变R,C来调节。如图7-3，4所示。
τ 1=50μs， τ2=100μs， τ3=200μs，
1
2
3
4
5
6
D
D
uc
Uo
C
C
uc(t0)
uc(t0+T )
0.368Uo
a
B
T1
O
b
T2
B
t
T3
T
ͼ7-3£¬4
A
A
T itle
S i ze
Nu mb er
Rev i si o n
B
Dat e:
F i l e:
1
2
3
4
5
5 -S ep -2 0 0 2
C: \ M y Do cu men t s\ M y Desi g n . d d b
S h eet
of
Drawn By :
6
如图7-5所示 t =0时，
uL+iR=0
Ldi/dt+iR=0 ⑴
令i=Aept代入⑴得：
LP Aept +R Aept =0
特征方程为： Lp+R=0
特征根为： p=-R/L
故
i=Ae-Rt/L
代入初始条件
iL(o+)=iL(o-)=Io
得： A=Io
i=Io e-Rt/L
uR=Ri=R Io e-Rt/L
uL=Ldi/dt=-R Io e-Rt/L
1
2
3
4
D
Ro
1 K(t=0)
2
C
+
i
_
+
L uL
_
Uo
B
ͼ7-5
R
图7-6所示, 令τ=L/R
则:
i=Io e-t/τ uR=Ri=R Io e-t/ τ
uL=Ldi/dt=-R Io e-t/ τ
注意：RL电路，τ与R成反比。
RC电路，τ与R成正比。
1
2
3
4
5
D
6
D
RIo
i£¬uR£¬uL
Io
uR
C
C
i
O
t
B
B
-RIo
A
ͼ7-6
A
例7-2 图7-7所示当t =0时，K打开。求时间常数；i(o+)、i(∞+)；i、
uv；uv(o+)。
解：
τ=L/(R+Rv)=79.6μs
i(o+)=i(o-)=U/R=185.2A
i(∞+)=0
i=i(o+) e-t/τ =185.2e-12560tA
uv =-Rvi=-926 e-12560t kv
uv(o+)=-926kv
1
2
3
4
5
D
K
R
+
i
+
C
uv
_
V
Rv
_
B
ͼ7-7
L
6
§7-4 一阶电路的零状态响应
主要内容
图7-8所示， uR+uc=us
RCduc/dt+uc=us
t≥0+，
非齐次微分方程特解uc′,通解uc〞=Ae-t/τ,
τ=RC
故，
uc=uc′+ Ae-t/τ
代入初始条件uc(0+)=uc(0-),
uc′ (0+)=uc′ (0-)
A=uc(0+)-uc′ (0+)
故,
uc=uc′+( uc(0+)-uc′)Ae-t/τ
三要素：特解，初始值，时间常数
强制分量： uc′与us的变化规律一致。
自由分量：uc〞 决定于的变化规律。
当us=Us, uc(0+)=uc(0-)=0时，
1
2
3
4
5
D
K(t=0)
i + u _
R
+
+
_ uc
C
RCduc/dt+uc=Us
R
us
_
B
uc′=e-∫1/RCdt(∫Us e ∫1/RCdt dt /RC )
ͼ7-8
uc ′ =e-t/RC(Use t/RC)
A
Title
S ize
Nu
uc ′ =Us
当t=0时，
uc=Us(1-e-t/τ)
i=Cduc/dt=Us e-t/τ /R
如图7-9所示。
uc=uc′+ uc〞
=Us+(-Us e-t/τ )
=Us(1- e-t/τ )

WR   i Rdt
1
2
3

0
us
( e
R
uc£¬i
uc'
Us
Us/R
2
uc
C
i
t

RC 2
) Rdt
1
 CU s2  Wc
2
5
D
0

4
t
O
uc"
B
-Us
A
T itle
如图7-10所示，当K打开时iL(0+)=iL(0-)=0
(L/R)diL/dt+iL=Is
t≥0+
iL=iL′+iL〞=iL ′+Ae-t/τ, τ=L/R
同理，
iL′=Is=iL(0+),
A=- iL ′（0+）=Is
iL=Is(1- e-t/τ)
1
2
3
4
5
6
D
iR
Is
iL
+
C
R
K(t=0)
uL
_
B
ͼ7-10
A
T itle
例7-3 如图7-11所示，求τ，uc、i，imax，uc、i的曲线，K合上后
150μs的uc、i。
解： τ=RC=50 μs
4
-t/τ
-2×10 t
uc=Us(1-e )=220(1-e4
)
K(t=0)
i=Us e-t/τ /R=2.2e-2×10 tA
i
imax=i(0+)=2.2A
R
曲线见图7-12。4
+
-2×10 t
uc= 220(1-e
)| t = 150μs
uc
C
_
Us
=209v 4
i=2.2e-2×10 t | t = 150μs
=0.11A
1
2
3
4
5
D
C
B
1
2
3
4
5
6
ͼ7-11
D
D
A
uc (v)
Title
i (A)
S ize
Nu mb er
B
C
Date:
F ile:
220
1
2.2
2
3
4
5 -S ep -2 0 0 2
C:\M y Do cu men ts\M y Desig n .d d b
5
S h eet
Drawn
C
209
0.11
B
0
3T
t
0
3T
t
B
-t/RC
RC零输入响应中，uc=U0e
-t/τ
RL零输入响应中， iL=I0 e
-t/τ
RC零状态响应中， uc=Us(1-e )
-t/τ
RL零状态响应中， iL=Is(1- e )
§7-5
一阶电路的全响应
主要内容
全响应：当一个非零初始状态的电路受到激励时，称为全响
应。图7-14，15所示。
对于线性电路，
全响应=零状态响应+零输入响应
RC全响应， uc=U0e-t/RC +Us(1-e-t/τ)
=Us+(U0-Us) e-t/τ
Us称为强制分量或稳态分量，
(U0-Us) e-t/τ称为自由分量或暂态分量。
1
2
3
4
5
K(t=0)
D
6
K(t=0)
D
R
R
+
uc_
Us
C
(1)+
C
uc_
Us
C
i(1)
(1)
uc(0+)=0
i
uc(0+)=Uo
C
K(t=0)
B
B
R
(2)+
uc_
Us
C
ͼ7-14
(2)
uc(0+)=uo
A
A
T itle
(2)
S ize
i
1
2
3
Nu mb er
Rev isio n
B
Date:
F ile:
4
5
5 -S ep -2 0 0 2
C:\M y Do cu men ts\M y Desig n . d d b
S h eet o f
Drawn By :
6
1
2
3
4
5
6
D
D
uc
i
Uo
2
C
Us
Uo
B
(Us-Uo)/R
1
3
C
3
1
O
O
t
t
2
(Us-Uo)/R
B
ͼ7-15
A
A
T itle
S ize
Nu mb er
Rev isio n
B
Date:
F ile:
1
2
3
4
5
5 -S ep -2 0 0 2
C:\M y Do cu men ts\M y Desig n . d d b
S h eet o f
Drawn By :
6
-t/Rc
ic= -U0e
-t/τ
/Ri+Us e
/R
注意：计算零输入响应时，应把输入激励去
掉，即把独立电源置零。
-t/τ
-t/τ
RL全响应， iL=I0 e +Is(1- e )
-t/τ
=Is+(I0-Is) e
仅有一个储能元件，电路的其他部分由
电阻和独立电源联接而成，这种电路仍为一
阶电路，可把储能元件以外的部分通过戴维
南或诺顿定理变换，最后求出u和i；如果求
其他支路的电压，电流，可恢复原电路进行
计算。
三要素法：
-t/τ
全响应=终值+(初值-终值) e
终值指Uc（∞）或Us，iL（∞）或is
初值指Uc（0）或U0，iL（0）或I0
时间常数
τ=RC或
τ =L/R
例7-4 图7-16所示，求K闭合后的iL和i。
解： iL(0+)=iL(0-)=-Is=-2A
iL(∞)=Uoc/Req= Us-IsR/R=3A
τ =L/Req=2s
-t/τ
iL= iL(∞)+(iL(0+)- iL(∞)) e
-0.5t
=3+(-2-3)e
-0.5t
=3-5 e
A
-0.5t
i=Is+iL=5 -5 e
A
1
2
3
K(t=0)
i
4
5
6
a
D
D
R
iL
+
L
Us
C
C
_
Is
a
b
iL
R eq
3
B
iL
B
+
L
Uoc
0
_
t(s)
b
-2
A
A
T itle
ͼ7-16
S ize
Date:
F ile:
1
2
3
4
Nu mb er
Rev isio n
B
5
5 -S ep -2 0 0 2
C:\M y Do cu men ts\M y Desig n . d d b
S h eet o f
Drawn By :
6
§7-6 一阶电路的阶跃响应
主要内容
奇异函数ε(t)= 0
t≤0-或1
t≥0+
任意时刻时，
ε(t-t0)= 0
t≤t0-或1
t≥t0+
对任意函数f(t)有，
f(t)ε(t-t0)= 0
如图7-17，18，19。
t≤t0-或f(t)
t≥t0+
1
2
3
4
5
6
D
D
u(t)
R
t=0
+
C
C
1
1v
C
u(t)
_
0
B
t
B
ͼ7-17
A
A
T itle
S ize
Nu mb er
Rev isio n
B
Date:
F ile:
1
2
3
4
5
6 -S ep -2 0 0 2
C:\M y Do cu men ts\M y Desig n . d d b
S h eet o f
Drawn By :
6
1
2
3
4
5
6
D
D
1
C
C
B
B
0
to
ͼ7-18
A
A
T itle
S ize
Nu mb er
Rev isio n
B
Date:
F ile:
1
2
3
4
5
6 -S ep -2 0 0 2
C:\M y Do cu men ts\M y Desig n . d d b
S h eet o f
Drawn By :
6
图7-20所示，f(t)= ε(t)- ε(t-t0)
f(t)= ε(t-τ1)- ε(t- τ2 )
电路阶跃响应S（t）：指电路对于单位
阶跃输入的零状态响应，即把直流输入下的
零状态响应令us= ε(t),
即可
-t/τ
uc=(1- e ) ε(t)
把阶跃响应乘以该直流激励的量值，就
可计算出任意激励下的零状态响应。
1
2
3
4
5
6
f(t)
D
D
1
1
C
C
0
to
0
t
to
0
B
0
T1
T2
B
to
1
A
t
-1
t
t
ͼ7-20
A
T itle
S ize
Nu mb er
Rev isio n
B
Date:
F ile:
1
2
3
4
5
6 -S ep -2 0 0 2
C:\M y Do cu men ts\M y Desig n . d d b
S h eet o f
Drawn By :
6
§7-7 一阶电路的冲激响应
主要内容
奇异函数δ(t)=0



t≥0+和t≤0-
 (t )  1
图7-22单位矩形脉冲函数。
0
P(t)= 1/△
0
t≤0-
0+≤t≤ △ t≥ △ +
1
2
3
5
6
Kp _(t)
^
K/ _^
p_(t)
^
D
4
D
1/_^
0 _^
C
0 _^
t
C
t
K
B
B
1
0
t
0
A
t
ͼ7-22£¬23
1
A
T itle
2
3
S ize
Nu mb er
Rev isio n
B
Date:
F ile:
4
5
6 -S ep -2 0 0 2
C:\M y Do cu men ts\M y Desig n . d d b
S h eet o f
Drawn By :
6

A   p (t )dt  1
0
f(t)δ(t)=f(0) δ(t)





f (t ) (t )dt  f (0)  (t )dt  f (t )



f (t ) (t   )dt  f ( )
单位冲激响应：一阶电路在单位冲激函
数S（t）激励下的零状态响应分两个阶段：
①t∈（0-，0+），S（t）作用引起零状态响
应 ，Uc，iL充电；②t≧0+时，S（t）=0，作
用引起零输入响应。求Us（0+），iL（0+）
是冲激响应的关键。即S（t），t∈（0-，0+）
冲激激励是阶跃激励的一阶导数，冲激响应
也是阶跃响应的一阶导数。
t

(

)
d



(
t
)

d ( )
 (t ) 
dt