馬克斯威爾方 程式 Maxwell's Equations
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Transcript 馬克斯威爾方 程式 Maxwell's Equations
馬克斯威爾方
程式
(Maxwell's Equations)
• James Clerk Maxwell提出馬克斯威爾四大方程式，完整地描述所有
的電磁理論。馬克斯威爾方程式是由靜電學和靜磁學的基本模型，再
加上修正項可得時變電磁場的物理特性。
靜電模型
靜磁模型
D v
B 0
E 0
H J
馬克斯威爾方程式
D v
B 0
B
E
t
D
H J
t
8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations)
A.1.靜電學和靜磁學的模型和方程式
靜電模型
靜磁模型
D v
B 0
E 0
H J
E
稱為電場強度 (electric field intensity)
D
稱為電通密度 (electric flux density)
H
稱為磁場強度 (magnetic field intensity)
B
稱為磁通密度 (magnetic flux density)
2.線性、均勻性、同向性的簡單介質而言，必須滿足以下關係：
D e E
B H
e
稱為介電常數 (dielectric constant)
稱為導磁常數 (permeability constant)
8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations)
3.靜電學和靜磁學的物理量，必須滿足下列積分型式及物理意義：
積分型式
Dds Q
物理意義
高斯定律
s
E d 0
靜電場是保守場
c
Bds 0
無磁單極
H d I
安培定律
s
c
8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations)
B.時變電磁場的模型馬克斯威爾和方程式
微分型式
積分型式
B
E
t
D
H J
t
D ds Q
E d
c
t
D
H d I
ds
t
c
D v
c
B ds 0
c
B 0
物理意義
法拉第定律
修正安培定律
電高斯定律
磁高斯定律
8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations)
法拉第定律 (Faraday‘s Law) 及物理意義
B
對於時變電磁場而言，滿足以下模型： E
t
將上式左右兩邊同時作開放的面積分
E ds
s
s
d
Ed
B ds
dt
c
s
應用旋度定理可得
其中
V E d 邊界為 C 迴路中的感應電動勢
in
c
B ds 通過開放表面 S 的磁通量
s
法拉第電磁感應定律
B
ds
t
Vin
d
dt
8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations)
D.修正安培定律 (Modified Ampere's Law)
1.
靜磁學的安培定律
H J ( 靜磁學安培定律微分 )
v
J
( 連續方程式 )
t
v
( H ) J
t
2.
電磁波的修正安培定律
D
H J
t
( H ) J
D
t
8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations)
3.
安培定律修正項的物理意義
D
H J
t
4.
位移電流密度 (displacement current density) 的物理意義
D(t )
導
線
電容器
交流訊號 Vo sin t
RL
8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations)
高斯定律和磁通量守恆定律
E.
1.
高斯定律 (Gauss Law)：亦稱為電高斯定律
D dv v dv
v
E
v
Dds Q
Q
高斯面 S
s
2.
磁通量守恆定律：亦稱為磁高斯定律
v
B dv B d s 0
s
8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations)
F.
馬克斯威爾方程式的獨立性
旋度方程式
B
E
t
連續方程式
v
J 0
t
D
H J
t
1.
由法拉第定律推導磁通量守恆定律
2.
由修正安培和連續方程式推導高斯定律
B 0
v
D
t
t
D v
0
散度方程式
D v
B 0
8-1-1
振幅為 V0、角頻率為 的交流電壓源 vc V0 sin t，連接到距離為 d
，面積為
A 的平行板電容器 C1，如圖所示。(a) 證明電容器中的位移電流iD
等於電線中的傳導電流 iC ；(b) 求距電線
r 處的磁場強度 H
？
H
C1
r
ic
S1
電容器
C
vc V0 sin t
解
：(a)
iC C1
C1 e
dVC
C1V0 cos t
dt
A
d
D eE e
iD
VC
V
e 0 sin t
d
d
D
A
ds e V0 cos t C1V0 cos t
t
d
A
由
討論可得 iC iD
(b)根據修正安培定律
C
H d I
S1
D
ds
t
對於導線而言 D 0 ，對 S1 而言僅包圍 iC 電流
2 rH iC C1V0 cos t
CV
H 1 0 cos t (A/m)
2 r
時變電磁場的邊界條件
8.2
E1 D1
時變電磁場的邊界條件計算
A.
aˆ n 2
1.
電通密度 D 滿足的邊界條件
介質Ⅰ
e11
e2 2
介質Ⅱ
S
E 2 D2
D1
h . 0
介質 I
介質 II
D2
[ Din D2 n ] [ ] s [ ]
D1n D2n s
向量型式表示
aˆn 2 ( D1 D2 ) s
B1 H 1
JS
B2 H 2
h
時變電磁場的邊界條件
8.2
2.
E1 D1
磁通密度 B 滿足的邊界條件
介質Ⅰ
e11
e2 2
介質Ⅱ
aˆ n 2
B2n B1n
aˆ n 2
3.
S
E 2 D2
( B1 B2 ) 0
電場強度 E 所滿足的邊界條件
E1t E2t
aˆ n 2 ( E1 E2 ) 0
E1
介質Ⅰ
介質Ⅱ
h 0
E2
B1 H 1
JS
B2 H 2
h
時變電磁場的邊界條件
8.2
4.
E1 D1
磁場強度 H 滿足的邊界條件
H1t H 2t J s
aˆ n 2
aˆ n 2 ( H1 H 2 ) J s
5.
介質Ⅰ
e11
e2 2
介質Ⅱ
S
E 2 D2
時變電磁場 E , H , D , B 邊界條件圖形歸納整理如下
D1n
介質 1
介質 2
E1t
E2t
H 1t
H 2t
JS
B1n
S
D2 n
aˆ n 2
B2 n
B1 H 1
JS
B2 H 2
h
時變電磁場的邊界條件
8.2
6.
邊界條件公式歸納整理
物理量
電場強度
微分式
B
E
t
邊界值公式
an ( E1 E2 ) 0
電通密度
D v
an ( D1 D2 ) s
磁通密度
B 0
an ( B1 B2 ) 0
磁場強度
D
H J
t
an (H 1 H 2 ) J s
物理意義
E切
連續
D 法相減 s
B法
連續
H 切 相減 J s
時變電磁場的邊界條件
8.2
B.
時變電磁場邊界值類型
類型I：兩種非損耗性線性介質之間的界面對於非損耗性介質 1 2 0
非損耗介質 I
非損耗介質 II
邊界條件整理
e1 1
e2 2
E1t E2t
→
D1t
e
1
D2 t
e2
H1t H 2t
→
B1t
1
B2t
2
D1n D2n
→
e1 E1n e2 E2n
→
1 H 1n 2 H 2n
B1n B2 n
時變電磁場的邊界條件
8.2
類型II：理想導體和非損耗性介質的界面理想導體
具有無窮大的導電率，因此在理想導體的
內部其電場 E 和 D 為零
非損耗介質Ⅰ
非損耗介質 I
理想導體 II
e1 u1
2
理想導體
E1t 0
E2 t 0
aˆn 2 Hˆ 1 J s
H 2t 0
aˆ n 2
D1 s
D2n 0
B2n 0
B1n 0
E1
介電質
導體
S
JS
H1
aˆ n 2
時變電磁場的邊界條件
8.2
理想導體內部的電磁場特性
在半徑為 b ，無窮長載電流 I 的導線內部的存在有靜磁場
B內
0 Ir
2 b 2
靜電學
靜磁學
E0
D0
時變電磁場
E0
D0
H 0
B0
H 0
B0
波動方程式 (Wave Equations)
8.3
8.3.1 A.場函數的波動方程式
A.
波動方程式推導方法
步驟1： 利用馬克斯威爾方程式的“旋度方程式”為出發點
步驟2：
利用雙旋度向量恆等式，產生 2 符號
步驟3： 利用馬克斯威爾方程式轉換成單一的物理量
步驟4： 將方程式整理成左式為波動方程式，右式為電源
8.3
波動方程式 (Wave Equations)
B. 時變磁場 H 的波動方程式
D
步驟1： 馬克斯威爾方程式中的磁場旋度方程式 H J
t
步驟2： 運用雙旋度向量恆等式，將上式左右取旋度可得
( H ) J ( D)
t
[ H ] 2 H J (e E )
t
步驟3： 利用馬克斯威爾方程式轉換成單一變數
步驟4： 整理方程式
2
H
2 H e 2 J
t
B 0 H 0
B
H
E t t
2
1 H
2H 2
J
v t 2
8.3
波動方程式 (Wave Equations)
C. 時變電場 E 的波動方程式
步驟1： 馬克斯威爾方程式中的電場旋度方程式
B
E
t
步驟2： 運用雙旋度向量恆等式，將上式左右取旋度可得
( E )
( B )
t
[ E ] 2 E
( H )
t
步驟3： 利用馬克斯威爾方程式轉換成單一變數
v
D v E e
H J D H J e E
t
t
步驟4： 整理方程式
2
J
E
2 E e 2
v
t
t
e
2
E
2 E e 2 0
t
2
v
E
E
2 E e 2
t
e
t
波動方程式 (Wave Equations)
8.3
D.
場函數波動方程式歸納整理
1.
無源區域 (source free)： v 0 且 J 0
2 1
E 2
v
2 H 1
v2
2.
2E
0
t 2
2H
0
t 2
寫成矩陣型式的齊次向量波動方程式
2 1 2 E
2 2 0
v t H
且
0
J
0
v
有源區域 (source region)：
寫成矩陣型式的非齊次向量波動方程式
2 1 2E
J
v
E 2
2
t
v t
e
2
2 H 1 H J
v 2 t 2
J
v
2 1 2 E
2 2 t e
v t H
J
波動方程式 (Wave Equations)
8.3
位函數和場函數的關係式
B.
向量磁位和磁場關係式
1.
B A
位函數和電場關係式
2.
A
E V
t
(1)
第一部份 V ：對應於電荷分佈
V (x , y , z , t)
1
4e0
(2)
R dv
A(x , y , z , t) 0
4
v
特例：在靜電學中
A
第二部份 ：對應於時變電流
t
J (x , y , z , t)
A
0 因此 E V
t
J
v R dv
波動方程式 (Wave Equations)
8.3
C. 向量磁位 A 的波動方程式
1.
向量磁位 A 波動方程式推導
步驟1： 磁場旋度方程式
D
H J
t
B H , D eE
E
B J e
t
A
B A , E V
t
A
( A) J e V
t
t
步驟2： 利用雙旋度的向量三重積恆等式
2 A
V
( A) 2 A J e
e
t
t 2
2 A
V
2 A e 2 J A e
t
t
步驟3： 轉換成相同變數
2
A
2 A e 2 J
t
(位函數的勞倫茲規範 )
V
A e
0
t
2 A
A e 2 J
t
2
向量磁位的非齊次方程式
8.3
波動方程式 (Wave Equations)
特例：無電流源的波動方程式：
2 A
A e 2
t
2
靜態場即柏桑方程式： A J
2
2.
向量磁位
A
A( R , t )
4
波動方程式數學函數解
J (t R / v)
d
R
延遲向量位
波動方程式 (Wave Equations)
8.3
D.
純量電位V的波動方程式
1.
純量電量 V 波動方程式推導
E v
e
A v
V
2V ( A) v
t e
t
e
2V
t
V
e
t
v
2V v
2V e 2
e
t
e
純量電位V的非齊次方程式
2V
V e 2
t
2
特例： 無電荷源的波動方程式：
靜態場即柏桑方程式：
2V
v
e
波動方程式 (Wave Equations)
8.3
2.
純量電位
V (R , t)
V 波動方程式的數學函數解
1 (t R / v)
d
4e
R
V (R , t) ?
(延遲純量位 )
R
(t )
8-3-1
推導並證明無源區域中 (source free)、線性 (linear)、同向性 (isotropic) 但非均勻
(nonhomogeneous) 的介質其波動方程式如下：
2E
e
E e
E
t
e
2
解
：無源區域 v 0：馬克斯威爾方程式 D 0 (eE) 0
由 ( f g ) (f ) g f ( g ) 恆等式可得[e] E e E 0
非均勻介質其電場散度如下：
[e] E
E
e
電場 E 計算波動方程式的步驟如下：
B
E
t
E
( E ) ( H ) e
t
t t
2
E
( E ) 2 E e 2
t
將上式 E 代入
2
[e] E
E
2
E e 2
e
t
2
[e] E
E
2 E e 2
t
e
8-3-2
對於無電荷分佈區域，但存在損耗性介質，求 E 和 H 滿足的波動方程式。
解
：
有源區域
J
v
2
2 E
e 2 t e
t
H
J
若 J v E 0且 v 0
J
E
t
t
J E H H
t
t
2
E
e 2 0
t
t H
2
8.4 時間諧波場 (Time Harmonic Fields)
A.
時間諧波場及相量的意義
1.
時間諧波場 (time harmonic field) 或稱為穩態弦波場 (steady-state sinusoidal
E
H
field) ：代表“單一相同頻率”的弦波函數描述場函數
和 的變化情形
2.
相量 (phasor) 的意義：相量場被描述成“只與空間座標有關”，而與時間無關。
以 cos t 餘弦函數為參考函數 ，則時間諧和電場
電場型式 E ( x , y , z ) 表示：
E ( x , y , z , t ) Re [ E ( x , y , z )e j t ]
E ( x , y , z , t ) 代表時間諧波場
E ( x , y , z ) 代表相量函數，通常是複數
正弦函數
E( x , y , z , t ) I m [E( x , y , z) e j t ]
E( x , y , z , t ) 以相量
8.4 時間諧波場 (Time Harmonic Fields)
3.
時間諧波場分析步驟：
物理量 ( R , t )
cos( t 1 )
sin( t 2 )
4.
(1)
相量 (phasor)
物理量 ( R , t )
e j1
Re [e j1 e j t ]
e j 2
I m [e j 2 e j t ]
相量函數的運算：相量運算的目的，是將微分或積分運算轉換成代數運算。
微分計算：
E( x , y , z , t ) Re [E( x , y , z)e j t ]
E Re E e j t Re [ j Ee j t ]
t
t
微分運算法則
j
t
(2)
積分計算：
E( x , y , z , t ) Re [E( x , y , z)e j t ]
E j t
E dt Re E e j t dt Re
e
j
積分運算法則
dt
1
j
8.4 時間諧波場 (Time Harmonic Fields)
B.
馬克斯威爾方程式的相量型式
時域馬克斯威爾方程式
應用1：對於無源區域
E j H
H j eE
E 0
H 0
相量型式
B
E
t
E jB j H
D
H J
t
H J jD J j eE
D v
D v
B 0
B 0
應用2：無源區域如何由相量電場 E
，推導計算相量磁場 H
E j H
相量 H
E
j
應用3：無源區域如何由相量磁場
H 推導計算相量電場 E
H j eE
相量 E
H
j e
8.4 時間諧波場 (Time Harmonic Fields)
漢姆霍茲方程式 (Helmholtz's Equation)：波動方程式的相量型式
類型I：無源區域 (source free) 波動方程式
2
E
2
E e
t 2
相量的微分運算原則
2
2 H e H
t 2
定義波數 k (wave number)
波數 k e
2 E k 2 E 0
2 H k 2 H 0
(漢姆霍茲相量方程式 )
2 E e ( j ) 2 E
2
H e ( j ) 2 H
2 E 2 e E 0
2
H 2 e H 0
8.4 時間諧波場 (Time Harmonic Fields)
類型II：有源區域的波動方程式
2
2
J
v
E e 2 E
t
t
e
2
2 H
e 2 H J
t
相量的微分運算原則
2
v
2
E e ( j ) E ( j ) J
e
2 H e ( j ) 2 H J
將波數 k 代入上式可得非齊次漢姆茲方程式
1
2 E k 2 E j J ( v )
e
2
2
H k H J
8-4-1
推導電場 E 和磁場強度H 在有源區域 ( 包含 v 和 J ) 簡單介質的波動
方程式和Helmoltz's方程式。
解
：(a)參考課文推導有源區域的波動方程式
2
2E
J
v
E
e
2
t
t
e
2
H
2 H e
J
t 2
(b)相量型式有源區域的Helmoltz's方程式如下
2
v
2
E
k
E
j
J
e
2 H k 2 H J
k e
8-4-2
已知在空氣中，磁場 H 時間諧波場如下：
H aˆ y 2 cos (15 x) sin(6 109 t z )
求電場 E 時間諧波場和相位常數 值？
解
： 相量 H aˆ y 2 cos (15 x) e j z aˆ y H y
6 10 9
2
(a) 0e0
8
c
3 10
2
2
(20 ) 2
[(15 ) 2 0 2 ] (20 ) 2 0
175 41.5 (rad/m)
(b) E H
je0
aˆ x
H
x
0
aˆ y
y
Hy
aˆ z
aˆ x
H y aˆ z H y
z
z
x
0
H aˆ x ( j 2 cos(15 x) e j z ) aˆ z (30 sin(15 x) e j z )
相量 E aˆ x 158 cos(15 x) e j z aˆ z j180 sin(15 x) e j z
E aˆ x 496 cos (15 x) sin(t z) aˆ z 56.5 sin (15 x) cos(t z)
8-4-3
已知在空氣中，電場 E 時間諧波場如下：
E aˆ y 0.1sin (10 x) cos(6109 t z )
求磁場 H 和相位常數 值？( 參考書目 [3] )
解
：cos函式的相量 E aˆ y E y aˆ y 0.1sin (10 x) e j z
(a)相量 H 滿足漢姆霍茲方程式
2 H 2 0 e0 H 0
2
2
2
2 2 2 H H 0
y
z
c
x
2
2
6 109
2
2
2
0
(10 ) 0
8
3 10
10 3 54.4 (rad/m)
(b)
H
E
j
aˆ x
E
x
0
aˆ y
y
Ey
aˆ z
aˆ x
E y aˆ z E y
z
z
x
0
E aˆ x j 0.1 sin(10 x) e j z ) aˆ z cos(10 x) e j z
相量 H
0.1 sin(10 x) j z
j cos(10 x) j z
E
aˆ x
e
aˆ z
e
j 0
j 0
0
H aˆ x (2.3 10 4 ) sin (10 x) cos( t z )
aˆ z (1.33 10 4 ) cos (10 x) sin( t z )
8-4-4
已知在自由空間中，球面波的電場強度如下：
E
E aˆ 0 sin cos( t kR)
R
求磁場強度 H 和波數 k 值？( 參考書目 [3] )
E0
sin e jkR aˆ E
R
球面波必須滿足漢姆霍茲方程式： 2 E 2 0e0 E 0
球面波電場相量型式 E aˆ
解
：
由於球座標的拉氏運算太複雜，必須利用雙旋度公式
2 E ( E) ( E)
由於無源區域 E 0 2 E ( E)
1
RE aˆ
R R
aˆ R
1
( E ) 2
R sin R
0
E aˆ
jk
E 0 sin e jkR aˆ A
R
Raˆ
0
R sin aˆ
R sin A
ˆ
ˆ
R
a
(
R
sin
A
)
a
( R sin A )
R
R
E
1
.
aˆ
( jkE0 sin 2 e jkR ) k 2 aˆ 0 sin e jkR
R sin
R
R
k 2 aˆ E
1
R 2 sin
代入上式可得
k 2 2 0e0 0 k 0e0
相量 E 推導磁場
E aˆ
H
H 公式如下：
1
jk
RE aˆ
E0 sin e jkR
R R
R
E sin
E
aˆ 0
j 0
R
E
H Re [ He j t ] aˆ 0
R
| H |
e0
0
e0
0
e jkR
sin cos( t kR)
|E|
0
|H |
0
0
e0
377
E0 sin cos( t kR)
e
0
R
0
8-4-5
推導證明電場強度 E 可以用磁位向量A表示，其相量型式如下：
1
E j A 2 ( A)
k
其中波數 k e 。
解
：(a)電場與電位和磁位關係式如下：
A
E V
t
相量型式 E V j A
(b)電位與磁位關係式 ( 勞倫茲方程式 )
V
A e
0
t
相量型式 A e j V 0
A
1
E
( A)
jA j A 2
e
j e
1
j A 2 ( A)
k
8.5
A.
波恩庭定理Poynting theorem
波恩庭向量 (Poynting vector) 的意義
定義：單位面積上的功率流向量，它是電磁場的功率密度向量。
波恩庭向量 P E H
B.
W
單位： 2
m
波恩庭定理的微分型式
P (E H ) H ( E) E ( H )
馬克威爾方程式代入上式
B D
E J
P H
t
t
D B
微分型式 P E J E
H
t
t
波恩庭定理Poynting theorem
8.5
波恩庭定理的積分型式
C.
1.
D
B
( P) dv E J dv E
dv H dv
t
t
微分型式的左右兩邊作體積分
流入體內的功率計算：
( P) dv P ds
2. 傳導電流密度 E
在體積內的“歐姆功率密度”( 或稱為焦耳熱功率密度 ) 計算：
E J E ( E) E 2 P
3.
儲存於體積內的“電能密度增加率”計算：
4.
儲存於體積內的“磁能密度增加率”計算：
D
1
E
E (eE ) eE 2 e
t
t
t 2
t
B
1
H
H ( H) H 2 m
t
t
t 2
t
1 2 1
2
P ds E 2 dv
eE H dv
t v 2
2
s
v
積分型式 P ds P dv
( e m ) dv
t v
s
v
8.5
波恩庭定理Poynting theorem
瞬時功率密度和平均功率密度
D.
1.
瞬時功率密度 (spontaneous power density) 定義
P( z , t ) E ( z , t ) H ( z , t )
2.
平均功率密度 (average power density) 定義如下：
Pav
3.
1
T
T
P( z , t )dt
0
相量波恩庭計算平均功率密度
1
時域 E ( z , t ) Re [ E ( z )e j t ] [ Ee j t ( Ee j t ) * ]
2
1
時域 H ( z , t ) Re [ H ( z )e j t ] [ He j t ( He j t ) * ]
2
瞬間功率 P( z , t ) E ( z , t ) H ( z , t )
1
1
[ Ee j t E * e j t ] [ He j t H * e j t ]
2
2
1
[ E He j 2 t E * H * e 2 j t E * H E H * ]
4
1
{Re [ E He j 2 t ] Re [ E H * ]}
2
平均功率密度 Pav
1
1
Re [ E H * ] Re [ E * H ]
2
2
8-5-1
H
P
試求在一載有直流電流 I 的長直導線 ( 半徑為 b
，導電率為
E
z
) 表面之波恩庭向量。並驗證波恩
庭定理。
E
P
解
：(a) 導線內之直流電流乃平均地分佈在橫截面上
J aˆ z
I
b2
J
E
aˆ z
I
b2
H
I
H aˆ
2 b
P E H (aˆ z aˆ )
I2
2 b
2
3
aˆ r
I2
2 2 b 3
波恩庭向量的方向皆是從導線側表面指向內，而上下底面並
無波恩庭向量。
I2
2
ˆ
P
ds
P
a
ds
2
b
I
(b)
r
2 2 b 3
b2
s
s
其中直導線的電阻公式 R
總功率轉為電阻熱功率。
I 2 R
，上式代表由側面流進的
b2
8-5-2
在球座標的原點上，有一段垂直放置，短的電流元素 Id
，在自由空間中，其遠場 (far field) 之表示式如下：
60 I d
E ( R , ) aˆ E aˆ j
sin e j R (V/m )
R
E
I d
H ( R , ) aˆ aˆ j
sin e j R (V/m )
0
2R
其中波長 2 /
(a)寫出波恩庭向量的瞬時表示式。
(b)求電流元素所輻射的總功率。
解
：(a)由於空氣阻抗 E / H 0 120 ()， 波恩庭向量的瞬時表示式如下：
P( R , , t ) Re [ E ( R , ) e j t ] Re [ H ( R , ) e j t ]
Id 2
2
(aˆ aˆ ) 30
sin sin ( t R)
R
2
Id
2
2
aˆ R 15
sin [1 cos 2 ( t R)] ( 單位：W/m )
R
(b)平均功率密度計算如下：
1
Re [ E H * ]
2
60 I d
I d
1
Re aˆ j
sin e jR aˆ j
sin e jR
2
R
2R
Pav
2
Id
2
aˆ R 15
sin
R
總輻射功率 Pr
P
S
2
av
0
( R , ) ds
0
( 單位：W/m 2 )
Id 2
2
2
15
sin
R sin d d
R
2
d
40 2 I 2
( 單位：W )
1.說明Maxwell方程式 (a) 微分式；(b) 積分式；(c) 物理意義；(d) 應用；(e) 相量式。
2.推導 E , H , A , V (a) 非齊次波動方程式；(b) 齊次波動方程式。
3.說明時間諧波場 E , H , D , B 邊界條件。
4.說明Maxwell四個方程式是否彼此獨立。
5.說明勞侖茲規範與電荷守恆的關連性。
6.說明波恩廷定理 (a) 微分型式；(b) 積分型式；(c) 物理意義。