Transcript 第8章动态电路的时域分析

第8章 动态电路的时域分析
第8章 动态电路的时域分析
8.1 动态元件及其串并联等效
8.2 动态电路的方程与换路定律
8.3 一阶电路的零输入响应
8.4 一阶电路的零状态响应
8.5 一阶电路的完全响应
8.6 复杂一阶动态电路的分析
8.7 RLC串联电路的零输入响
习题八
第8章 动态电路的时域分析
8.1
8.1.1
第4
qC (t )
C
uC (t )
根据图8-1-1,电容的 VAR 为
duc (t )
ic (t )  C
dt
（8-1-2）
第8章 动态电路的时域分析
式（8-1-2）表明：① 任何时刻,通过电容的电流与该
时刻的电压变化率成正比。如果电容两端加直流电压,则
电流iC(t) =0,即电容相当于开路。故电容具有隔断直流的
作用。② 由于实际中电容上存储的电荷量不可能发生突
然变化,因此,电流iC(t)总是为有限值,也就是说,电压变化率
为有限值。即电容上的电压为连续函数,不能发生跃变。
将式（8-1-2）
1 t
uC (t )   ic ( )d
C 
（8-1-3）
第8章 动态电路的时域分析
电容是一种储能元件。若电压、电流采用图8-1-1所
示的关联参考方向,
du c (t )
pC(t)=uC(t)iC(t)=CuC(t)
dt
（8-1-4）
对上式,从-∞到t 进行积分,得t 时刻电容上的能量为
t
t


wC (t )   p C ( )d   Cu C ( )
duC ( )
d
d
1 2
1 2

p C ( )d  Cu c ( )  Cu c ( )
u C (  )
2
2
uC (t )
（8-1-5
第8章 动态电路的时域分析
i(t)
u(t)
£« £-
图8-1-1
第8章 动态电路的时域分析
若uC(-∞) = 0,
1 2
wC (t )  CuC (t )
2
（8-1-6）
式(8-1-6)说明： 无论电压大于零还是小于零,电容储存的
能量恒为wC≥0。
8.1.2
1． 电容元件的并联
图8-1-2（ a ）是两个电容相并联的电路,根据 KCL ,
i(t)=i1(t)+i2(t)
第8章 动态电路的时域分析
i(t)
i(t)
£«
u C(t)
i1(t)
i2(t)
C1
C2
£-
£«
u C(t)
C
£(a)
(b)
图8-1-2
第8章 动态电路的时域分析
根据式（8-1-2）,因为
duC (t )
duC (t )
i1 (t )  C1
, i2 (t )  C2
dt
dt
所以
duC (t )
i1 (t )  (C1  C2 )
dt
对于图8-1-2 (b ),有
duC (t )
i (t )  C
dt
（8-1-7）
第8章 动态电路的时域分析
效成图8-1-2(b) ,其等效电容C与C1 、C2
C = C1＋C2
（8-1-9）
若有n个电容相并联,
C = C1＋C2＋…＋Cn
（8-1-10）
由式（8-1-8）得
duC (t ) 1
 i (t )
dt
C
故在图8-1-2 （a） 中,C1上的电流i1(t)、 C2上的电流 i2(t)
与总电流i(t)
duC (t ) C1
i1 (t )  C1
 i (t )
dt
C
duC (t ) C2
i2 (t )  C2

i (t )
dt
C
（8-1-11）
第8章 动态电路的时域分析
2．
图8-1-3是两个电容相串联的电路,根据 KVL ,
uC(t) = u1(t)＋u2(t)
根据式(8-1-3),对图8-1-3 （a） , 因为
1 t
1
u1 (t )   iC ( )d , u2 (t ) 
C1 
C2
1 t
uC (t )   iC ( )d
C 

t

iC ( )d
(8-1-12)
(8-1-13)
第8章 动态电路的时域分析
iC(t)
£«
C1
u C(t)
C2
£-
£«
u 1(t)
££«
u 2(t)
£-
(a)
£«
u C(t)
C
£(b)
图 8-1-3
第8章 动态电路的时域分析
比较式（8-1-12）和式（8-1-13）,
8-1-3（a)等
效成图8-1-3(b) ,其等效电容C与C1、 C2的关系为
1 1
1


C C1 C2
C1C2
C
C1  C2
若有n个电容相串联,
(8-1-14)
1 1
1
1


 ... 
C C1 C2
Cn
由式(8-1-13)
t
CuC (t )   iC ( )d

(8-1-15)
第8章 动态电路的时域分析
故在图8-1-3（a）中,C1上电压u1(t)、 C2上电压 u2(t)
与总电压uC(t)
1 t
C
u1 (t )   iC ( )d  uC (t )
C1 
C1
1
u2 (t ) 
C2
C
 iC ( )d  C2 uC (t )
t
(8-1-16)
第8章 动态电路的时域分析
8.1.3
第4章已经介绍了电感元件的定义为
L
 (t )
（8-1-17
i (t )
根据图8-1-4,电感的 VAR
di (t )
uL (t )  L
dt
（8-1-18
第8章 动态电路的时域分析
iL(t)
£«
L
uL(t)
图 8-1-4
£-
第8章 动态电路的时域分析
将式（8-1-18）改写成积分形式为
1 t
iL (t )   uL ( )d
L 
（8-1-19）
电感是一种储能元件。若电压、 电流采用图8-1-4所
示的关联参考方向,
di L (t )
pL (t )  uL (t )iL (t )  LiL (t )
dt
（ 8-1-20 ）
对于上式,从-∞到t 进行积分,得t 时刻电感上的能量为
diL ( )
wL (t )   p L ( )d   LiL ( )
d


d
i L (t )
1 2
1 2

LiL ( )diL ( )  LiL (t )  LiL ( )
iL (  )
2
2
t
t
（8-1-21）
第8章 动态电路的时域分析
若iL(-∞) = 0,
1 2
wL (t )  LiL (t )
2
（8-1-22）
式8-1-22说明：无论电流大于零还是小于零,电感
储存的能量恒为wL≥0。
第8章 动态电路的时域分析
i L(t)
£«
i L(t)
L1
u L(t)
L2
£-
£«
u 1(t)
££«
u 2(t)
£-
(a)
£«
u L(t)
L
£(b)
图 8-1-5
第8章 动态电路的时域分析
8.1.4
1．
8-1-5（a）是两个电感相
串联的电路,根据KVL ,有
uL(t)=u1(t)+u2(t)
因为
diL (t )
diL (t )
u1 (t )  L1
, u2 (t )  L2
dt
dt
根据式(8-1-18),有
di L (t )
uL (t )  ( L1  L2 )
dt
（8-1-23）
第8章 动态电路的时域分析
对于图8-1-5( b ),有
di L (t )
uL ( t )  L
dt
（8-1-24）
比较式（8-1-23）和式（8-1-24）,将图8-1-5( a)等
效成图8-1-5(b) ,其等效电感L与L1、L2的关系为
L = L1＋L2
（8-1-25）
若有n个电感相串联,
L = L1＋L2＋…＋Ln
（8-1-26）
第8章 动态电路的时域分析
由式（8-1-24）得
di L (t ) 1
 uL (t )
dt
L
故,在图8-1-5（a）中,L1 上电压u1(t)、 L2 上电压u2(t)与
总电压uL(t)的关系为：
diL (t ) L1
u1 (t )  L1
 uL (t )
dt
L
diL (t ) L2
u2 (t )  L2
 uL (t )
dt
L
（8-1-27）
第8章 动态电路的时域分析
2．
图8-1-6是两个电感相并联的电路,根据 KCL ,有
i(t)
i(t)
i 1(t)
£«
u L(t)
L1
i 2(t)
L2
£-
£«
u L(t)
L
£(a)
(b)
图 8-1-6
第8章 动态电路的时域分析
i(t) = i1(t)＋i2(t)
根据式(8-1-19),对图8-1-6（ a ）, 因为
1 t
i1 (t )   uL ( )d
L1 
1
i2 (t ) 
L2
所以有

t

uL ( )d
1 1 t
i (t )  (  )  uL ( )d
L1 L2 
(8-1-28)
(8-1-29)
第8章 动态电路的时域分析
比较式（8-1-28）和式（8-1-29）,将图8-1-6（ a）等
效成图8-1-6(b) ,其等效电感L与L1、 L2
1 1 1
 
L L1 L2
L1L2
L
(8-1-30)
L1  L2
若有n个电感相并联,则其等效电感为
1 1 1
1
   ... 
L L1 L2
Ln
(8-1-31)
第8章 动态电路的时域分析
由式(8-1-19)得
t
LiL (t )   uL ( )d

故在图8-1-6（a）中,L1 上的电流i1(t)、L2 上的电流
i2(t)与总电流i(t)
1 t
L
i1 (t )   uL ( )d  i (t )
L1 
L1
1
i2 (t ) 
L2
L
 uL ( )d  L2 i(t )
t
(8-1-32)
第8章 动态电路的时域分析
思考与练习
8-1-1 已知题8-1-1图（a）所示电路中C = 1 F ,电容
端电压uC(t)变化的波形如题8-1-1图（b）所示,求电容
上流过的电流i(t)、 功率pC(t)和储存的能量wC(t),并画出
它们的波形。
第8章 动态电路的时域分析
uC / V
i(t)
ÓÐÔ´¶þ
¶ËÍø Âç
C
£«
u C(t)
£-
2
1
0
(a)
1
2
(b)
题8-1-1图
3
t/ s
第8章 动态电路的时域分析
8-1-2 已知题8-1-2图（a）所示电路中的L = 2 H ,电
感电流i(t)变化的波形如题8-1-2图（ b ）所示,求电感的
端电压uL(t)、功率pL(t)和储存的能量wL(t),并画出它们
的波形。
第8章 动态电路的时域分析
i/A
i(t)
ÓÐÔ´¶þ
¶ËÍø Âç
L
£«
u L(t)
£-
2
1
0
(a)
1
2
(b)
题8-1-2图
3
4
5
t/ s
第8章 动态电路的时域分析
8.2
8.2.1
对图8-2-1所示的RC电路,若开关 S 在t = t0时刻闭合,
根据 KVL ,
uR(t)＋uC(t) = u s (t)
因为
duC (t )
duC (t )
iC  C
, uR (t )  RiC (t )  RC
dt
dt
第8章 动态电路的时域分析
代入上式,
duC (t )
RC
 uC (t )  uS (t )
dt
(8-2-1 )
在us (t)、 R、 C已知的条件下,式（8-2-1）是电压
uC(t)关于时间t的一阶线性微分方程。
第8章 动态电路的时域分析
£«
uR
£-
S
R
£«
us
£-
图 8-2-1
C
iC
£«
uC
£-
第8章 动态电路的时域分析
对图8-2-2所示的RL电路,开关 S 在t = t0时刻闭合后,
根据 KCL ,
iR(t)＋iL(t)= is (t)
因为
di L (t )
uL (t ) L di L (t )
uL  L
, iR ( t ) 

dt
R
R dt
代入上式,
L diL (t )
 iL (t )  iS (t )
R dt
第8章 动态电路的时域分析
S
iR
is
R
图8-2-2
iL
L
£«
uL
£-
第8章 动态电路的时域分析
在is (t)、 R、 L已知的条件下,式（8-2-2）是电流
iL(t)关于时间t的一阶线性微分方程。
对图8-2-3（a）所示电路,根据 KCL和电容的VAR ,
所建立的微分方程为
duC (t ) uC (t )
C

 is (t )
dt
R
（8-2-3）
对图8-2-3（ b）所示电路,根据KVL和电感的VAR ,
diL (t )
L
 Ri L (t )  uS (t )
dt
（8-2-4）
第8章 动态电路的时域分析
iR
is
R
(a)
图 8-2-3
iC
C
£«
uC
£-
第8章 动态电路的时域分析
£ « uR £ £«
us
£-
R
iL
L
(b)
图 8-2-3
£«
uL
£-
第8章 动态电路的时域分析
£ « uR £ £«
us
£-
i
R
£«
L
uC
£- £«
C
(c)
图 8-2-3
uL
£-
第8章 动态电路的时域分析
综上所述，建立动态电路的方程,必须遵循电路分
析的基本定律——基尔霍夫定律,电阻元件的欧姆定律,以
及动态元件的电压、 电流关系。
第8章 动态电路的时域分析
例8-2-1 列出求解图8-2-4所示电路的微分方程。
£ « uR £ £«
us
£-
i
R
£«
L
uC
£- £«
C
图 8-2-4
uL
£-
第8章 动态电路的时域分析
解 该电路是一个RLC串联电路,列写其微分方程必
然要用到 KVL 和电阻、 电容、 电感的 VAR 。
根据 KVL ,有
uL(t)＋uR(t)＋uC(t) = us (t)
考虑
duC (t )
i (t )  C
dt
di(t )
d 2uC (t )
uL ( t )  L
 LC
dt
dt2
duC (t )
uR (t )  Ri(t )  RC
dt
第8章 动态电路的时域分析
将它们代入上述所列写的 KVL 方程,得
d 2uC (t )
duC (t )
LC
 RC
 uC (t )  uS (t )
2
dt
dt
第8章 动态电路的时域分析
8.2.2
结论：无论换路前电路的状态如何,如果换路瞬间电
容上的电压和电感上的电流为有限值,则在换路后的一瞬
间,电容上的电荷和端电压及电感中的磁链和电流都应保
持换路前一瞬间的数值而不能跃变,这个规律称为换路定
律（switching law）。
用数学公式表示换路定律,
qC(t 0+)=qC(t 0-)
ψL(t0+)=ψL(t0-)
uC(t0+)=uC(t0-)
iL(t0+)=iL(t0-)
（8-2-5）
第8章 动态电路的时域分析
式中, qC(t0+)、uC(t0+)和ψL(t0+)、 iL(t0+)分别为电容
电荷和电容电压以及电感磁链和电感电流的初始值
（ initial value）。
还应指出,换路定律只说明与电场和磁场能量有直
接关系的物理量（ qC 、 uC 、ψL 、 iL）不能跃变,至于
其它物理量（如流过电容元件的电流、电感元件上的
端电压等）则是可以跃变的,因为它们的跃变不会导致
能量的跃变。
第8章 动态电路的时域分析
8.2.3 直流激励下动态电路稳定时的两个重要特征
直流激励下动态电路达到稳定(又称稳态)时具有的两个
特征：电容元件相当于断路,通过电容的电流为零； 电感元
件相当于短路,其端电压为零。
若用数学表达式表示,可表述为：
iC(∞)=0
uL(∞)=0
（8-2-6）
这里需特别注意,在直流稳定状态,电容电流等于零,但电
荷和电压不一定为零； 电感电压等于零,但磁链和电流不一
定为零。
第8章 动态电路的时域分析
8.2.4 动态电路初始值的计算
例8-2-2 图8-2-5（ a ）所示电路已处于稳定(态),已
知Ro = 4 Ω ,R1 = R2 = 8 Ω ,U
s =12
V ,在t = 0时刻开关
S 闭合,求 S 闭合后各支路电流的初始值和电容电压
uC(0＋) 、电感电压uL(0＋)。
第8章 动态电路的时域分析
i
£«
us
£-
iL
S
iC
C
Ro
£«
uC
£R1
(a)
图 8-2-5
£«
L
uL
£R2
第8章 动态电路的时域分析
i(0£«)
£«
us
£Ro
iL(0£«)
iC(0£«)
C
R1
(b)
图 8-2-5
£«
L u L(0£«)
£R2
第8章 动态电路的时域分析
解 (1) 求uC(0-),iL(0-)。
根据题意,电路在 S 闭合前为直流稳定电路,故C相当于开
路,L相当于短路,显然ic(0-) = 0, uC(0-) = 0。应用 KCL、 KVL
iL(0-) =- ic(0-) =0,uC(0-) =uL(0-)＋RLiL(0-)-R1iC(0-)= 0
(2) 求uC(0＋), iL(0＋)。
S 闭合后,
uC(0＋) = uC(0-) = 0
iL(0＋) = iL(0-) = 0
第8章 动态电路的时域分析
(3) 画t=0＋等效电路。
应 用 置 换 定 理 , 在 t=0 ＋ 时 刻 将 电 路 等 效 成 图 8-2-5
（ b ）。
(4) 在等效电路中求所需要的初始值。
在图8-2-5（ b ）中求i(0＋)、 iC(0＋)和uL(0＋)。
由图知iL(0＋) = 0,所以有
US
12
i (0)  iC (0) 

 1A
R0  R1 4  8
uL(0+)=iC(0+)R1=1×8=8 V
第8章 动态电路的时域分析
例8-2-3 已知图8-2-6（a）所示电路中,Ro = 30 Ω ,R1
= 20 Ω ,R2 = 40 Ω , U s = 10 V,S 闭合前电路稳定,求S在
t= t0时刻闭合后,图中电流、电压的初始值。
iL £ « uL
L
£«
Us
£-
£iC
C
£«
uC
£-
Ro
i1
i2
R1
R2
S
(a)
图 8-2-6
第8章 动态电路的时域分析
i L(t 0£-)
£«
Us
£-
£«
u C(t 0£-)
£-
Ro
(b)
图 8-2-6
R1
第8章 动态电路的时域分析
i L(t 0£«)
££«
i C(t 0£«) i 1(t 0£«)
£ « u (t )
L 0£«
Us
£«
£R1
u C(t 0£«)
£Ro
(c)
图 8-2-6
i 2(t 0£«)
R2
第8章 动态电路的时域分析
解 根据题意,S 闭合前为直流稳定电路,iC(t0-) = 0,uL(t0-)
= 0,当t=t0- 时等效电路如图8-2-6（b）所示,故
US
10
iL (t0 ) 

 0.2 A
Ro  R1 30  20
uC (t0 )  uC (t0 )  4V
S 闭合后,
iL(t0+) = iL(t0-) = 0.2 A
uC(t 0+) = uC(t0-) = 4 V
第8章 动态电路的时域分析
因为iL(t)和uC(t)不能跃变,所以用电流为iL(t0+)的理
想电流源代替L,用电压为uC(t0＋)的理想电压源代替C,在
t=0＋时刻的等效电路如图8-2-6( c )所示,故
uC (t0 ) 4
i1(t0+)=
=
=0.2 A
20
R1
u
(
t
)
C
0

i2(t0+)=
=
R1
4
40
=0.1 A
iC(t0+)=iL(t0+)-i1(t0+)-i2(t0+)=0.2-0.2-0.1=-0.1 A
uL(t0+)=Us-iL(t0+)Ro-uC(t0+)=10-0.2×30-4=0 V
第8章 动态电路的时域分析
思考与练习
8-2-1 参考例8-2-2与例8-2-3,为什么在图8-2-5（b）中,
电感L相当于开路,电容C相当于短路； 而在图8-2-6（b）中,
电感L相当于短路,电容C相当于开路？ 判断的原则是什么？
求新的直流稳态值时它们是开路还是短路？
8-2-2 若题8-2-2图所示电路以电压uC作为电路的响应,列
写电路的微分方程。
第8章 动态电路的时域分析
1
is
1
题8-2-2图
£«
0 .5 F u C
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-2-3 题8-2-3图所示电路,在t < 0时电路稳定,t = 0时开关
打开,已知Us = 10 V,R1 = 1.6 kΩ ,R2 = 6 kΩ ,R3= 4 kΩ ,L = 0.2
H ,试求开关打开瞬间iL(0+)和uL(0＋) 的值。
R3
S
£«
us
£-
iL
£«
R2
R1
L uL
£-
题8-2-3图
第8章 动态电路的时域分析
8-2-4 题8-2-4图所示电路,在t < 0时电路稳定,t = 0时
开关由1打向2,求初始值i1(0+)、 i2(0+)、 uL(0＋)和稳态
值i1(∞)、 i2(∞)、 uL(∞)。
第8章 动态电路的时域分析
1
i1 2 
1
2
£«
Us 1
3V
£-
2
£«
Us 2
6V
£-
题8-2-4图
£«
0 .5 H uL
i2
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-2-5 已知题8-2-5图所示电路中,Us = 3 V ，R1 =10
Ω ，R2 = 30 Ω ，L1 = 0.1 H ,L2 = 0.2 H ,开关 S 闭合前电
路稳定,试求开关闭合后瞬间各支路电流和各元件电压
的初始值。
第8章 动态电路的时域分析
R1
L1
S
i2
£«
Us
£-
L2
R2
i1
题8-2-5图
i3
第8章 动态电路的时域分析
8.3
8.3.1 RC
图8-3-1（a）所示RC电路,t < 0时,开关在1位,电路
稳定,电容电压为uC(0-) = Us ； t = 0时,开关由1位打向2
位。根据换路定律,uC(0＋) = uC(0-) = U s ,从t = 0＋开始,
电容C通过电阻R放电,产生放电电流iC(t)。根据 KVL ,
在t > 0时,有
uC＋iCR = 0
第8章 动态电路的时域分析
duC
因为 iC (t )  C
,故
dt
duC
RC
 uC  0
dt
（8-3-1）
这是一个一阶齐次线性微分方程,
uC(0＋) = Us
应用分离变量法解方程式（8-3-1）,分离变量后方程为
duC
dt

dt
RC
第8章 动态电路的时域分析
两边同时积分,
t
ln uC  
 A
RC
式中A′为积分常数,对上式取反对数,
uC  e Aet /(RC)  Aet /(RC) t  0
式中A=e
A′,代入初始条件u
C(0＋)
（8-3-2)
= Us ,得A = uC0＋=
Us ,则
uC=Use -t/(RC)
t>0
（8-3-3
电压uC随时间变化的曲线如图8-3-1（b）所示。电路
中的电流为
duC
U S t /( RC )
iC  C

e
dt
R
t0
（8-3-3
第8章 动态电路的时域分析
电流iC随时间变化的曲线如图8-3-1（c）所示。iC < 0,
说明真实方向与参考方向相反,这也符合电容放电,电压减小
的实际情况。
当t→∞时,uC→0,iC→0,电容存储的能量全部被电阻消耗。
由图8-3-1（b）、（c） 知,电容电压uC 和电流iC是时间t的
指数函数,其变化的快慢与RC有关。我们令τ=RC, τ具有时
间的量纲,其单位为秒（ s ）,称为时间常数。将τ代入式
（8-3-3)和式（8-3-4）可得
uC=Use -t/τ
iC  
U s t / 
e
R
t>0
t0
（8-3-5）
（8-3-6
第8章 动态电路的时域分析
1
S
£«
Us
£-
R
2
iC
C
(a)
图 8-3-1
£«
uC
£-
第8章 动态电路的时域分析
uC / V
iC / A
O
Us
O
t/s
t/s
Us
£- R
(b)
(c)
图 8-3-1
第8章 动态电路的时域分析
表8-1给出了电压uC 与时间t和时间常数τ之间的一
些特殊数值。
第8章 动态电路的时域分析
表8-1 电压uC与时间t和时间常数τ之间的一些特殊数值
第8章 动态电路的时域分析
图8-3-2给出了不同时间常数的uC波形。由图可知,τ
越大放电速度越慢。
第8章 动态电路的时域分析
uC / V
u C(0£«)
 1£ ¾
 2£ ¾
3
t/s
O
图 8-3-2
第8章 动态电路的时域分析
8.3.2 RL
图8-3-3（a）所示RL电路,t< 0时,开关在1位,电路稳
定,电感电流为iL(0-) =Us /R=Io ；t = 0时,开关由1位打向
2位。根据换路定律, iL(0＋) = iL(0-) = Io ,从t = 0开始,电
感L通过电阻R释放磁场能量。根据 KVL ,在t > 0时,有
uL＋iLR = 0
因为
故
diL
uL ( t )  L
dt
diL
L
 iL R  0
dt
（8-3-7）
第8章 动态电路的时域分析
对式（8-3-7）分离变量后,方程为
R
ln iL   t  A
L
取反对数,
iL= eA′e -Rt/L
=Ae -Rt/L
（8-3-8）
t>0
代入初始条件iL(0＋) = Io ,得A = Io ,
iL =Ioe -Rt/L
t>0
（8-3-9）
令τ=L/R,
iL=I oe -t/τ
t>0
（8-3-10）
第8章 动态电路的时域分析
式（8-3-10）与式（8-3-5）具有同样的结构形式,
因此,电流iL随时间变化的规律与RC电路中uC的变化规
律相同。电感电压uL的变化规律为
di L
t / 
uL  L
  RI o e
dt
t0
（8-3-11）
iL 和uL 的变化曲线如图8-3-3（b）所示。比较式（8-35）、 式（8-3-6）与式（8-3-10）、 式（8-3-11）,若把
零输入响应用yzi (t)表示,初始值用yzi (0＋)表示,则上述
yzi = yzi (0+) e -t/τ
t > 0 （8-3-12）
第8章 动态电路的时域分析
iL , uL
R
1
S
£«
Us
£-
Io
iL
2
iL
£«
L uL
t
O
uL
££ -IoR
(a)
(b)
图 8-3-3
第8章 动态电路的时域分析
例8-3-1 图8-3-4所示电路,t < 0时电路稳定,t = 0时开关 S
断开,已知Us =12 V ,R1 = R2 =10 Ω ,C = 1 F ,求t > 0时的uC和i。
R1
£«
us
£-
S
C
图 8-3-4
iC
i
£«
uC
£-
R2
第8章 动态电路的时域分析
解 （1） 求初始值uC(0＋)： 因为t < 0时电路稳定,根
iC(0-)= 0
故
R2
10
uc (0 ) 
Us 
 12  6V
R1  R2
10  10
依据换路定律,
uC(0＋)=uC(0-)= 6 V
（2） 求uC： 开关 S 打开后,根据 KVL ,
uC-iR2 = 0
第8章 动态电路的时域分析
因为i =-iC, iC  C
duC
dt
duC
0
故 uC  R2C
dt
分离变量后,方程为
duC
dt

dt
R2C
两边同时积分,得
1
ln uC  
t  A
R2C
第8章 动态电路的时域分析
取反对数,并令A= e A′,
uC=A e -t/(R-2C)
代入初始条件,得A = 6 V ,
uC =6 e -t/(R-2C) =6 e -t/10V
t>0
由电路知
uC
6 t / 10
i
 e
 0.6et / 10 A
R2 10
t 0
第8章 动态电路的时域分析
例8-3-2 图8-3-5所示电路为一实际电感线圈与电阻并
联后和理想电压源Us 接通的电路,已知Us = 220 V , R = 40
Ω , 电感线圈的电感为L = 1 H ,线圈损耗电阻RL = 20 Ω ,设
开关 S 打开前电路稳定,在t = 0时 S 打开。求t > 0时的电
流iL(t)和电压uR(t)、 uL(t)。
第8章 动态电路的时域分析
iL
S
£«
Us
£-
R
£«
uR
£-
RL
£«
L uL
£-
图 8-3-5
第8章 动态电路的时域分析
解 （1） 求初始值：S 打开前电路稳定,根据直流
稳定电路的特征, uL(0-) = 0,
U
220
iL (0)  S 
 11A
RL
20
依据换路定律,有
iL(0＋) = iL(0-) = 11 A
(2) 求iL(t)： S 打开后,根据 KVL ,
uL＋iL(R＋RL) = 0
因为
di L
uL  L
dt
第8章 动态电路的时域分析
所以
diL
L
 iL ( R  RL )  0
dt
分离变量后代入数据,得
diL
 60dt
iL
两边同时积分,
ln iL=-60t+A′
取反对数,
iL = e A′ e -60t =A e -60t
第8章 动态电路的时域分析
代入初始值： t = 0＋时,iL(0＋)=11 A ,得A=11,
iL=11 e -60t A
t>0
（3） 求uR(t) 、 uL(t)： 由于在R上uR与iL参考方向非关
联,故
uR(t)=-iLR=-11×40 e -60t =-440 e -60t V
t>0
di L
uL(t)= L
=-iL (R+RL)=-660 e -60t
dt
t>0
V
若t = 0＋,则uL(0＋) =-660 V 。此例告诉我们：电感放电
回路的电阻不能过大,否则,电感电压过高,可能会造成电感的
绝缘击穿而损坏。
第8章 动态电路的时域分析
思考与练习
8-3-1 已知题8-3-1图所示电路中,U s=100 V ,R0 =10
kΩ ,R =10 kΩ , C = 100 pF,开关 S 在1位时电路稳定,在t = 0
时开关 S 由1打向2,求t > 0时的uC(t)
时uC、 uR的值。
、 uR(t)函数,t = 20 s
第8章 动态电路的时域分析
uC
£« £-
1
S
£«
Us
£-
C
2
R0
题8-3-1图
£«
R uR
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-3-2 已知题8-3-2图所示电路中,Us = 12 V ,R1 = 4
Ω ,R2 = 2 Ω ,R3 = 3 Ω ,C = 0.2 F , 开关 S 打开前电路稳
定,在 t = 0时 S 打开,求t > 0时的电压uC、 uR和电流i。
S
£«
Us
£-
R1
R3
i
£«
R2
uR
£-
题8-3-2图
C
£«
uC
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-3-3 已知题8-3-3图所示电路中,U s = 220 V ,R1 = 8
Ω ,R = 12 Ω,L = 0.6 H, 开关 S 闭合前电路稳定,在 t = 0
时 S 闭合,求t > 0时的电压uL和电流i。
R1
£«
Us
£-
R
i
£«
S
L uL
£-
题8-3-3图
第8章 动态电路的时域分析
8-3-4 题8-3-4图所示电路,开关S打开前电路稳定,在
t = 0时 S 打开,求t > 0时的电压u和电流iL。
L£ ½5 H
S
iL
£«
Us
9V
£-
R1
5
题8-3-4图
R2
3
£«
u
£-
第8章 动态电路的时域分析
8.4
8.4.1 RC
图8-4-1（ a ）所示RC电路,t <0时,开关S在2位,电容
电压uC(0-) = 0； t = 0时刻,开关由2打向1,根据换路定律,
uC(0＋) = uC(0-) = 0。从t = 0＋开始,电源Us 通过电阻R
给C充电,电路形成充电电流iC。根据 KVL ,在t > 0时,有
iCR+uC=Us
第8章 动态电路的时域分析
duC
因为 iC  C
,
dt
duC
RC
 uC  U s
dt
（8-4-1）
方程（8-4-1）是一个一阶非齐次线性微分方程,其
uC(0＋) = uC(0-) = 0
该方程同样可以利用分离变量法求解,其分离变量
后为
duC
dt

uC  U S
RC
第8章 动态电路的时域分析
令τ=RC,并对方程两边同时积分,得
t
ln( uC  U s )    A

对上式取反对数,
uC-Us =e A′e -t/τ=A e -t/τ
（8-4-2）
代入初始条件：t = 0＋时, uC(0＋) = 0,得A=-Us ,故
uC = Us -Us e -t/τ= Us(1- e -t/τ)
t>0
（8-4-3）
第8章 动态电路的时域分析
电流iC为
duC U S  uC U S t /
iC  C


e
dt
R
R
t 0
由 式 （ 8-4-3 ） 和 式 （ 8-4-4 ） 知 ： 随 着 时 间 的 增
长,uC(t)增大,iC减小。当t→∞时,uC→Us ,iC→0,电容充电结
束。工程实际中认为,当t =（3~5）τ时,电容充电结束。 uC
和iC的变化曲线分别如图8-4-1（ b）和(c) 所示。
第8章 动态电路的时域分析
1 S
£«
uR
R
£«
Us
£-
2
uC / V
£iC
£«
uC
C
£-
iC / A
Us
R
Us
O
(a)
t/s
(b)
图 8-4-1
O
t/s
(c)
第8章 动态电路的时域分析
8.4.2 RL
图8-4-2（ a ）所示RL电路,t < 0时,开关 S 在2位,电
感电流iL(0-) = 0； 在 t = 0
时刻,开关由2打向1,根据
换路定律,iL(0＋) = iL(0-) = 0。从t = 0＋开始,电源通过
电阻R给电感L充磁,电路形成充磁电流iL 。根据 KVL ,
在t > 0时,有
iLR+uL=Us
di L
因为 uL  L
,代入上式得
dt
diL
 iLR  U s
dt
L diL
Us
 iL 
R dt
R
L
第8章 动态电路的时域分析
1 S
£«
uR
R
£«
Us
£-
2
u L / V, iL / A
£iL
£«
Us
R
uL
Us
iL
uL
£O
(a)
t/ s
(b)
图 8-4-2
第8章 动态电路的时域分析
令τ=L/R,Is =Us /R,
di L

 iL  I S
dt
（8-4-5）
对上式分离变量后为
diL
dt

iL  I S

两边同时积分,得
ln (iL-Is )= 
t

+A′
对上式取反对数,
iL-Is = e A′ e -t/τ=A e -t/τ
（8-4-6）
第8章 动态电路的时域分析
代入初始条件：t = 0＋时, iL(0＋) = 0,得A=- Is,
iL=Is -Ise-t/τ=Is (1- e -t/τ)
（8-
t>0
4-7）
电流uL(t)为
diL
uL  L
 U S  iL R  U S e  t / 
dt
t 0
uL= L di L =Us -iLR=Use -t/τ
t > 0 （8-4-8）
dt
由式（8-4-7）和式（8-4-8）可以看出： 随着时间的增
长,iL(t)增大,uL(t)减小。当t→∞时,iL→Is ,uL→0,电感充磁结束。
工程实际中认为,当t =（3~5）τ时,过渡过程结束。iL(t)和uL(t)
的变化曲线如图8-4-2（ b ）所示。
第8章 动态电路的时域分析
比较式（8-4-3）与式（8-4-7）,若把零状态响应用
yzs (t)表示,稳定值用yzs (∞)表示,
yzs =yzs (∞)(1- e -t/τ)
t>0
（8-4-9）
例8-4-1 图8-4-3所示RC电路,开关 S 打开前电路稳
定,t = 0时刻 S 打开,求t > 0 时的uC(t)和iC(t)。
第8章 动态电路的时域分析
iR
Is
3A
S
图 8-4-3
R
2
iC
£«
C
uC
3F
£-
第8章 动态电路的时域分析
uc
duc
C
 IS
R
dt
duc
RC
 uc  I S R
dt
由t = 0-时处于稳定的电路,知uC(0-) = 0。由换路定律
可知,
uC(0+) = uC(0-) =0
uC -Is R= e -t/(RC)
代入初始条件,
uC= Is R(1- e -t/(RC))=6(1- e -t/6 ) V
u
iC(t)= Is -iR= Is - C =3 e -t/6 A
R
第8章 动态电路的时域分析
例8-4-2 已知图8-4-4（ a ）所示RL电路中, 实际电
感元件的损耗电阻为r = 2 Ω,L = 2 H ,开关 S 打开前电
路稳定。t = 0时刻,S 打开,求t > 0时的iL(t)。
iL
iR
Is
3A
L
S
R
r
(a)
图 8-4-4
第8章 动态电路的时域分析
iL
iR
Is
3A
R
£«
uR
£-
(b)
图 8-4-4
£«
L uL
££«
r ur
£-
第8章 动态电路的时域分析
解 可以将电感线圈等效成理想电感L和电阻r串联
的电路模型。对t > 0,图8-4-4（a）所示电路可等效成图
8-4-4（b）所示 电路。设各支路电流和各元件电压参
考方向如图8-4-4 （b） 所示,根据 KCL ,
iL+iR=Is
因为
di L
uR uL  ur L di L r
uL  L
, u r  iL r , iR 


 iL
dt
R
R
R dt R
代入数据,
di L
 2i L  3
dt
第8章 动态电路的时域分析
分离变量后,得
di L
 2i L  3
dt
两边同时积分并取反对数,
iL-1.5=A e -2t
代入初始条件：t = 0＋时,iL(0＋) = 0,得A =-1.5,故
iL=1.5(1- e -2t ) A
t>0
第8章 动态电路的时域分析
思考与练习
8-4-1 已知题8-4-1图所示电路中, Us=10 V ,R = 5 Ω ,C =
0.2 μF ,开关 S 闭合前电容上无电荷存储,在t = 0时刻 S 闭合,
求 t > 0时的iC(t),并画出波形图。
第8章 动态电路的时域分析
R
S
iC
£«
Us
£-
C
题8-4-1图
第8章 动态电路的时域分析
8-4-2 已知题8-4-2图所示电路中,Us = 6 V ,R = 4Ω ,L=1 H ,
开关 S 闭合前电感上无能量储存,在t = 0时刻 S 闭合,求 t > 0
时的uL(t),
第8章 动态电路的时域分析
R
S
£«
£«
Us
£-
L uL
£-
题8-4-2图
第8章 动态电路的时域分析
8-4-3 已知题8-4-3图所示电路中,Us =10 V ,R1= 5
Ω ,R2 = 2 Ω , C = 0.5 μF,开关 S 闭合前电路稳定,在t = 0时
刻 S 闭合,求 t > 0时的uC(t)和iC(t)。
R2
S
£«
Us
£-
iC
R1
题8-4-3图
C
£«
uC
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-4-4 已知题8-4-4图所示电路中,Us =12 V ,R1= 4 Ω , R1
= 2 Ω ,L =0.6 H ,开关 S 打开前电路稳定,在t = 0时刻 S 打开,
求 t > 0时的uL(t)和iL(t)。
第8章 动态电路的时域分析
R1
iL
£«
Us
£-
R2
£«
L uL
题8-4-4图
£-
S
第8章 动态电路的时域分析
8.5
8.5.1 RC
图8-5-1（ a ）所示RC一阶电路,t < t0时,开关 S 在1位,
电路稳定。t = t0时刻,S 由1打向2,根据换路定律,uC(t
=Us1=U0,对于t ≥ t0＋,电路的方程为
Us2 -iCR-uC=0
0＋
)
第8章 动态电路的时域分析
代入iC=C d uC/ d t, τ=RC,
du c

 uc  U S 2
dt
（8-5-1
式（8-5-1）同样是一个一阶线性非齐次微分方程,当t≥ t0＋
时,应用前面多次使用的变量分离法,
uC-Us2 =A e-t/τ
（8-5-2
代入初始条件：t =t0＋时,uC(t0＋) = U0,得A=(U0-U s2) et0+/τ,则
uC =U0 e-(t-t0+)/τ+Us2 (1- e -(t-t0+)/τ)
t≥ t0 （8-5-2）
第8章 动态电路的时域分析
uC的变化曲线如图8-5-1（ b ）所示。若t0=0,则上
uC = U0 e-t/τ+Us2 (1- e -t/τ)
t ≥ 0 （8-5-3）
第8章 动态电路的时域分析
R
1 S
£«
Us 1
£-
iC
2
£«
Us 2
£-
£«
C uC
£-
uC / V
Us 2
Us 1
O
ÉèUs 2£ ¾
Us 1
t0£«
t/ s
(b)
(a)
图 8-5-1
第8章 动态电路的时域分析
8.5.2 RL
图8-5-2（a ）所示RL一阶电路,t <t0时,开关 S 在1位,
电路稳定。t = t0时刻，S 由1打向2,根据换路定律,iL(t0
＋)= iL(t0-)=Us1
/R=I0,对t ≥ t0＋,
Us2 -iLR-uL=0
代入uL=L d iL/ d t,τ=L/R,
diL

 iL  I S 2
dt
（8-5-4
第8章 动态电路的时域分析
令Us2 /R=Is ,解微分方程,
iL- Is =A e -t/τ
t ≥ t0＋
代入初始条件： t = t0＋时, iL(t0＋) = I0,得A=(I0-Is ) e
t0+/τ,
iL =I0 e
-(t- t0＋)/τ+I
s
(1- e
-(t- t0＋)/τ)
t ≥ t0＋
（8-5-5）
iL的变化曲线如图8-5-2（ b ）所示。若t0=0,则上
iL =I0 e -t/τ+Is (1- e -t/τ)
t ≥ t0
（8-5-6）
第8章 动态电路的时域分析
I/A
R
1 S
iL
£«
Us 1
£-
Is
2
£«
Us 2
£-
£«
L UL
I0
£-
O
(a)
t0£«
t /s
(b)
图 8-5-2
第8章 动态电路的时域分析
8.5.3
对于一阶动态电路,其微分方程的一般形式为
dy (t )

 y (t )  c
dt
式中,y(t)为电路任何处的响应,τ为一阶电路的时间常
数,c
。
设换路时刻为t0,求解该方程的初始条件应为y(t0+)。
考虑分析方便,我们限定y(t)只为uC(t)(对RC一阶电路)或
I L(t)(对RL一阶电路),观察比较式（8-5-2）与式（8-5-5）,不
难归纳总结得到在我们限定的条件下,恒定激励一阶电路全
第8章 动态电路的时域分析
y(t)=y(t0+) e -(t-t0+)/τ+c(1- e -（t-t0+)/τ) t ≥ t0＋（8-5-7）
由式（8-5-7）可看出,当t→∞时,电路进入稳定状态,y(∞) = c,
y(t)=y(t0+) e -(t-t0+)/τ +y(∞)(1- e -（t-t0+)/τ) t ≥ t0＋
零输入响应 零状态响应
（8-5-8）
则式中右端第一项为t→∞时,函数的稳定值称做恒定激
励时的稳态响应,第二项为换路后过渡过程的函数随时间t增
长而呈指数衰减,称做暂态响应,有“暂时存在”之意。前已
提及,工程实际中,在换路后经历(3~5)τ的时间就认为暂态响
应近似为零,可忽略不计。
暂态过程就是过渡过程。
第8章 动态电路的时域分析
例8-5-1 已知图8-5-3所示电路中,R1 = R2 = R3 =3 kΩ ,C
= 103 pF ,Us =
12 V,开关 S 打开前电路稳定,在t = 0时刻 S
打开,试用三要素法求uC(t)。
解 求三要素：
（1） 初始值： 根据换路定律,
uC(0＋) = uC(0-) = 0
（2） 稳态值： 根据稳定条件,t→∞,电路稳定, iC(∞) =
0,
US
uC ( ) 
 R2
R1  R2  R3
12

 3  4V
3 3 3
第8章 动态电路的时域分析
（3） 时间常数τ： 相对于电容C来说,将Us置零后,R1与
R3串联后再与R2并联,求得等效电阻R。所以,时间常数为
( R1  R3 ) R2
  RC 
C
R1  R3  R2
(3  3)  3
2
3
12

 10  10  10  2 s
3 3 3
将三要素代入式（8-5-11）,
uC(t)=4+(4-0) e -t/(2×10-6) =4(1-e -t/(2×10-6)) V
t≥0+
第8章 动态电路的时域分析
R2
uC
£« £-
R1
iC
£«
us
£-
S
图 8-5-3
C
R3
第8章 动态电路的时域分析
R1
£«
Us
£-
R2
S
iL
£«
L uL
£-
图 8-5-4
R3
第8章 动态电路的时域分析
例8-5-2 图8-5-4所示RL电路已处于稳定,已知R1 =
R3 = 10 Ω ,R2 = 40 Ω ,L = 0.1 H ,Us = 180 V ,
t=0
时
刻开关 S 闭合,求t > 0时的iL 。
解 求三要素:
（1） 初始值iL(0＋)： 开关 S 闭合前L相当于短路,
故有
US
180
iL (0 ) 

 3.6 A
R1  R2 10  40
根据换路定律,开关 S
iL(0+)=iL(0-) =3.6 A
第8章 动态电路的时域分析
（2） 稳态值iL(∞)： 根据稳定条件,S 闭合后电路
达到稳态时uL(∞)=0,故有
US
R3
U S R3
iL (  ) 


R1  R2 // R3 R1  R3 R2 R3  R1 ( R2  R3 )
180 10

 2A
40  10  10(40  10)
（3） 时间常数τ： 相对于电感L来说,将Us 置零
后,R1 与R3 并联后再与R2 串联,求出等效电阻R。所以时
L
0.1
1



s
R1 // R3  R2 5  40 450
第8章 动态电路的时域分析
将三要素代入式（8-5-11）,
iL=2+(3.6-2) e -450t=2+1.6 e -450t A
t≥0+
第8章 动态电路的时域分析
思考与练习
8-5-1 用三要素法重解题8-3-2。
8-5-2 用三要素法重解题8-4-4。
8-5-3 已知题8-5-3图所示电路中,I s = 3 A ,R1 = 6 kΩ ,
R2 = 3 kΩ , C = 5000 μF , t < 0时电路稳定, t = 3 μs 时刻
开关 S 闭合, 求t > 0时的电压uC(t)。
第8章 动态电路的时域分析
Is
R1 C
£-
题8-5-3图
S
£«
uC
R2
第8章 动态电路的时域分析
8.6
8.6.1
一阶线性动态电路的方程为一阶常系数线性微分
方程,其一般形式为
dy
 Py  Q
dt
（8-6-1
对于恒定激励的一阶线性动态电路来说,式（8-6-1）
中P与Q为常数。若Q≠0,则为一阶非齐次线性微分方程,
其解由两部分组成,
y=yh +yp
（8-6-2）
第8章 动态电路的时域分析
式中：yh 是对应的齐次方程的通解, 称为齐次解; y
为满足该非齐次微分方程的特解。
式（8-6-1）对应的齐次方程为
dy
 Py  0
dt
（8-6-3）
λ+P=0
由上式求得λ=-P,所以,
yh =A e λt =A e -Pt
（8-6-4）
p
第8章 动态电路的时域分析
式（8-6-4）中A为待定系数。特解yp 具有与激励相同
的函数形式，在直流激励下,yp为常数,令yp =K,则（8-6-1）
y=A e -Pt+K
（8-6-5）
代入初始条件t = t0＋时,y(t) = y(t
t→∞时，y(t) = y(∞),
0＋
)和稳定条件
K=y(∞)
A=［y(t0+)-y(∞）］e Pt0+
（8-6-6）
由此可得,恒定激励的常系数一阶线性非齐次微分方程
y=y(∞)+［y(t0+)-y(∞）］e
-P(t-t
0+
)
t ≥ t0＋（8-6-7）
第8章 动态电路的时域分析
对于一阶动态电路来说,P为电路时间常数τ的倒数,
y=y(∞)+［y(t0+)-y(∞）］e -(t-t0+ )/τ t ≥ t0＋ （8-6-8）
(8-6-8)与式（8-5-11）具有完全相同的结构。
8.6.2 复杂一阶动态电路的分析
对于一阶线性动态电路,其响应具有线性关系, 所以,线
性电路的分析方法同样适用于线性动态电路。如叠加定理、
戴维南定理、 诺顿定理等,式（8-5-8）就是零输入响应与零
状态响应的叠加。同样,对于零状态响应,当电路中有几个独
立激励源同时作用时,其响应等于各个独立激励源单独作用
时所产生的响应的叠加。这里具体介绍三要素法结合应用
戴维南定理和诺顿定理分析复杂一阶动态电路的方法。
第8章 动态电路的时域分析
然后,对电路进行等效变换。对于任何一阶线性电
路,当电路换路后,都是由一个动态元件（C或L）和含
有独立激励源、受控源、线性电阻的网络N组成的,其
示意图如图8-6-1（a）所示。
若从 A、 B 间断开动态元件,电路N即成为有源二
端线性电阻性网络,根据戴维南定理,可以将其等效成实
际 电 压 源 。 这 样 , 图 8-6-1 （ a ） 即 被 等 效 为 图 8-6-1
（b）。若用诺顿定理等效网络N,则图8-6-1（a）被等
效为图8-6-1（c）。
第8章 动态电路的时域分析
A
A
N
B
Ro
¶¯Ì¬
Ôª¼þ
(a)
£«
Us
£-
¶¯Ì¬
Ôª¼þ
B
(b)
图 8-6-1
第8章 动态电路的时域分析
A
Is
¶¯Ì¬
Ôª¼þ
Ro
B
(c)
图 8-6-1
第8章 动态电路的时域分析
例8-6-1 已知图8-6-2（ a ）所示电路中,Is1 =3 A ,Us2
=10 V ,R1=2 Ω ,R2=1 Ω ,R3=4 Ω ,C=3 F ,S1、S2 闭合前电路
稳定,t = 0时刻 S2闭合,经过4.8 s 后S1再闭合,求t > 0时的电
压uC(t),并画出uC(t)的波形图。
第8章 动态电路的时域分析
t£ ½4 .8 s
S1
A
S2
t£ ½0
Is 1
R1
R2
iC
R3
C
£«
Us 2
£-
£-
B
(a)
图 8-6-2
£«
uC
第8章 动态电路的时域分析
A
R2
£«
Us 2
£-
£«
C uC
R3
£B
(b)
图 8-6-2
第8章 动态电路的时域分析
A
Rs 1
£«
u oc1
£-
C
£«
uC
£-
B
图 8-6-2
第8章 动态电路的时域分析
解 该电路在0< t <4.8 s 时间范围内,由Us2激励,属
于一阶RC电路的零状态响应。t >4.8 s 后,Is1和Us2 共同作
用,属于完全响应。可以用戴维南定理分为0 < t <4.8 s 和t
>4.8 s 两个时间段分别计算。
(1) 0 < t <4.8 s 时间段：
① 求初始值： 由图8-6-2 (a) 可知uC(0＋) = uC(0-) = 0。
② 求戴维南等效电路： S2闭合后等效电路如图8-6-2
（ b ）所示,应用戴维南定理将虚线框部分等效为电压源,
则图 8-6-2（b）可等效为图8-6-2（c） ,Rs1 = 0.8 Ω , Uoc =
8V。
第8章 动态电路的时域分析
③ 求稳态值uC(∞)和时间常数τ： 由图8-6-2 (c) 容
uC(∞) = Uoc1 = 8 V
τ= Rs1 C = 0.8×3 = 2.4 s
④ 写出uC(t)的函数式：
uC(t)=uC1 (∞)+uC1 (∞)(1- e -t/τ)=8-8 e -t/2.4
V 0 < t <4.8 s
第8章 动态电路的时域分析
(2) t > 4.8 s 时间段：
① 初始值：t = t0＋= 4.8 s 时的uC值是由前一时间段
的过渡过程来决定的,所以,应由上一时间段的uC函数式
求得,
uC(t0+)=uC(t0-)=8-8 e -4.8/2.4
=6.9 V
② 求戴维南等效电路： t > 4.8 s 后,Is1和Us2 同时作
用于电路,从 A、 B 间断开电容C后, 电路如图8-6-3（ a ）
所示,其等效电压源如图8-6-3 （b） 所示,电压Uoc2 = 4
V , 等效内阻Rs2 =4/7 Ω 。
第8章 动态电路的时域分析
A
R2
Is 1
R1
R3
£«
Us 2
£B
(a)
图 8-6-3
第8章 动态电路的时域分析
A
Rs 2
C
£«
Uoc2
£-
£«
uC
£-
B
(b)
图 8-6-3
第8章 动态电路的时域分析
uC / V
8
6 .9
6
4
2
0
1 2 3 4 5 6 7
4 .8
(c)
图 8-6-3
t/s
第8章 动态电路的时域分析
③ 求稳态值uC2 (∞)和时间常数τ2：
uC(∞) = Uoc2 = 4 V
4
12
3  s
7
7
④ 写出uC(t)的函数式：
τ=Rs2C =
s
uC(t)=uC2(∞）+［uC(t0+)-uC2 (∞)］e -(t-t0)/τ
=4+(6.9-4)e
=4+2.9e
-7(t-4.8)/12
-7(t-4.8)/12V
t≥4.8 s
第8章 动态电路的时域分析
例8-6-2 已知图8-6-4（ a ）所示电路中,Us= 250
V ,R1 = 40 Ω ,R2 = 60 Ω ,
R3 = 16 Ω ，R4= 10 Ω ,R = 10
Ω ,L = 18 mH ,S 闭合前电路稳定,t = 0时刻 S 闭合,求t >
0时R2中的电流i2。
i1
R1
R3
i3
i2
£«
Us
£-
S
R2
R4
R
A
iL
£«
L uL
£B
(a)
图 8-6-4
第8章 动态电路的时域分析
R1
£«
Us
£-
R3
R2
R
R4
i2(0£«)
(b)
图 8-6-4
iL(0£«)
第8章 动态电路的时域分析
解 根据题意,可先计算出iL和uL,再计算R4和R3中的
电流,R2上的电压,最后求得电流i2； 也可直接计算出i2(0
＋)、i2(∞)和时间常数τ,代入三要素公式得到i2 。
（1） 求初始值i2(0＋)： 根据恒定激励动态电路的
特征知,t = 0-时,uL= 0,
R2
Us
iL ( 0  )  iL ( 0  ) 

R2  R3  R R1  R2 //( R3  R )
60
Us


60  16  10 40  60 //(16  10)
 3A
第8章 动态电路的时域分析
画t = 0+时的等效电路, 如图8-6-4（ b ）所示。应
用叠加定理可求得
Us
R3  R4
R4
R1
i2 (0 ) 



IS
( R3  R4 ) // R7  R1 R2  R3  R4 R1 // R2  R3  R4 R1  R2
（2）求戴维南等效内阻：S闭合,从A、 B 间断开L,
将Us短路,如图8-6-5（ a ）所示。
R0=(R1∥R2+R3)∥R4+R
=(40∥60+16)∥10+10
=18 Ω
第8章 动态电路的时域分析
（3） 求时间常数τ：
L 18  103


 1m s
R0
18
（4） 稳定值i2(∞)： 当t→∞时,uL→0,计算i2(∞)的等
效电路如图8-6-5( b )所示。
（5） 写出i2的函数表示式：
i2= i2(∞)+［ i2(0-+)- i2(∞)］e -t/τ
=1.167+(1.54-1.167) e -1000t
=1.167+0.373 e -1000t
A
第8章 动态电路的时域分析
R1
R3
R
R1
A
R3
R
£«
R2
R4
Us
£-
R2
R4
i2(¡Þ)
B
(a)
(b)
图 8-6-5
第8章 动态电路的时域分析
例8-6-2说明,恒定激励的一阶动态电路中任何支路
的响应,都可以用三要素法计算。
第8章 动态电路的时域分析
思考与练习
8-6-1 题8-6-1图所示电路,开关 S 闭合前电路稳定,已
知U s = 6 V , R1 = 10 kΩ，R2 = 20 kΩ ，C = 103 pF ，在t
= 0时刻 S闭合，试求S 闭合后的输出电压u(t)。
第8章 动态电路的时域分析
C
S
£«
Us
£-
£«
R1
R2
u
£-
题8-6-1图
第8章 动态电路的时域分析
8-6-2 题8-6-2图所示电路,开关 S 闭合前电路稳定,
,R1 = 50 Ω ,R2 = 50 Ω ,L =
已知U s1 = 10 V ,Us2 = 20 V
0.5 H ,在t = 0时刻 S闭合,试求S 闭合后的电流i(t)。
R1
£«
Us 1
£-
R2
i
S
£«
L
Us 2
£-
题8-6-2图
第8章 动态电路的时域分析
8-6-3 题8-6-3图所示电路,S 打向2前电路稳定,已知Is= 6
A ,U s =12 V ,
R1 =R2 = 6 Ω,R3 = 3 Ω ,R4 = 6 Ω ,L = 3 H ,在t =
0时刻 S 由1打向2,试求t >0时的电压u(t)。
1 S
R1
Is
2
R2
£«
Us
£-
题8-6-3
R3
R4
L
£«
u
£-
第8章 动态电路的时域分析
8.7 RLC
图8-7-1所示RLC串联电路,t <0时开关置在1位,根据
基尔霍夫电压定律,电路的电压方程为
uL＋uR＋uC=us
由于
duc
iC
dt
第8章 动态电路的时域分析
1 S
£«
us
£-
£«
2
uR
£-
R
uC
£- £«
图 8-7-1
i
£«
L uL
£-
第8章 动态电路的时域分析
所以
2
duc
di
d uc
uR  iR  RC
, uL  L  LC 2
dt
dt
dt
故
d 2uc
duC
LC 2  RC
 uc  uS
dt
dt
d 2uc R duC
1
1


uC 
uS
2
dt
L dt LC
LC
(8-7-1)
第8章 动态电路的时域分析
式（8-7-1）是一个二阶非齐次常系数线性微分方程,在方
程 中 令 α=R/2L,ω0=1/ LC 。 α 称 做 衰 减 系 数 （ attenuation
constant ）, ω0称做谐振角频率 （resonance angular frequency）。
式（8-7-1）可改写为
2
d uc
duC
2
 2
 0 uC  0
2
dt
dt
（8-7-2）
求解该微分方程的条件为： 电路的初始值uC(0+)、u′C (0+)。
二阶微分方程解的结构形式与一阶微方程解的结构形式相类似,
同样由所对应的齐次微分方程的通解与非齐次微分方程的特解
之和组成。式（8-7-2）
第8章 动态电路的时域分析
2
d uc
duC
2
 2
 0 uC  0
2
dt
dt
（8-7-3
其特征方程为
p2+2αp+ω20=0
（8-7-4
由式（8-7-4）可求得： p1=-α+  2  02 ,p2=-α-  2  02。
当α>ω0时,p1与p2为不等实根；当α=ω0时,p1与p2为相等实根；
α<ω
0时, p1与p2为共轭复根。表8-2给出了不同p1 、 p2值
时程（8-7-4）所对应的解的形式（表中：ω2=ω20-α2,A1、 A2
为待定常数,β= arctan (A-2/A-1)）。
第8章 动态电路的时域分析
表8-2 方程（8-7-3）对应的解
第8章 动态电路的时域分析
式（8-7-2）的特解与激励us具有相同的函数形式,若
us为直流,则特解为常数K,代入原方程,再比较两端对应项
系数,即可确定K值。写全解为齐次解与特解之和,根据初
始条件可求出齐次解中的待定常数。
8.7.2
由于二阶动态电路完全响应过渡过程的分析比较复
杂,因此,这里仅对其零输入响应的过渡过程作以讨论。
图8-7-1所示的RLC串联电路,设开关 S 从1位打向2位
前电容已充电到电压U0,其极性如图中所示,且电流i为零。
现在讨论开关打向2位后电路中电压uC、 uL、 uR和电流i
随时间的变化规律。
第8章 动态电路的时域分析
根据对图8-7-1开关 S 在1位时的讨论,设在t = 0时刻
S 打向2位,则微分方程为
2
d uc
duC
2
 2
 0 uC  0
2
dt
dt
其初始值为
uC(0＋)=U0,i(0＋)=0
因i=C d uC/ d t, 所以有
duC 1
1
 i, uC (0 )  (0 )  0
dt
C
C
（8-7-5
第8章 动态电路的时域分析
特征方程的根为：
p1=-α+
 2  02 ,p2=-α-
2
 2  。
0
下面分别讨论p1 、 p2取不同值时过渡过程的变化
规律。
(1) α>ω0时,R >2
L / C , p1 、 p2为两个不相等的
实根,式（8-7-5）的解为
uC=A1 e p1t+A2 e p2t
duC
=A1p1 e p1t+ A2 e p2t
dt
（8-7-6）
第8章 动态电路的时域分析
代入初始条件： t = 0＋时,uC(0＋) = U0,u′C (0+)=0,
U0=A1+A2
0=A1p1+A2p2
（8-7-7）
解方程组（8-7-7）,得
p2U 0
p1U 0
A1 
, A2 
p 2  p1
p1 p2
将A1 、 A2代入式（8-7-6）,
p2U 0 p1t
p1U 0 p2t
uC 
e 
e
p 2  p1
p1 p2
第8章 动态电路的时域分析
考虑到i=C d uC/ d t,有
p2U 0 p1t
p1 p2U 0 p2t
i C
e C
e
p 2  p1
p1 p2
注意到p1p2=ω20=1/LC,p2-p1=-2(α2-ω20,整理uC 和i的表
达式,
uC 
i
p1U 0
2  2  02
U0
2L   
2
2
0
e
e
p2 t
p2 t


p2U 0
2  2  02
e p1t
t >0 （8-7-8 )
U0
2L   
2
2
0
e
p1t
第8章 动态电路的时域分析
电压uC和电流i的变化曲线分别如图8-7-2（a）、 (b )
所示（注意到α>ω0和p1<0、 p2<0,且| p2 |>|p1|）。
uC

uC
p2U 0
2  2   02
e
p t
1
O
t
p1U 0
2  2   02
(a)
图 8-7-2
e
p t
2
第8章 动态电路的时域分析
i

U0
2 L  2   02
e
p1t
tm
O
£ -Im
i
t
U0
2 L  2   02
(b)
图 8-7-2
e
p2t
第8章 动态电路的时域分析
当 d i/ d t=0时,电流i的绝对值最大,此时t = tm ,
p1 e p1tm =p2 e p2t m
（8-7-9）
ln( p2 / p1 )
tm 
p1  p2
Im 
U0
2 L  2  02
(e p2tm  e p1tm )
（8-7-10）
电感上的电压uL为
uL 
U0 p2
2  
2
2
0
e
p2t

p1U0
2  
电阻上的电压uR = iR,与电流i
2
2
0
e
p1t
（8-7-11）
第8章 动态电路的时域分析
uL随时间变化的曲线如图8-7-3所示。
i

p1U 0
2  2   02
e
p t
1
uL
O
tm 2tm
t
£ -U0
p2U 0
2  2   02
图 8-7-3
e p2t
第8章 动态电路的时域分析
(2) α<ω0时,即R<2
L / C ,p1、 p2为一对共轭复根。
方程（8-7-5）的解为
uC= e -αt (A1 cos ωt+A2 sin ωt)
（8-7-12）
代入初始条件： t = 0＋时,uC(0＋) = U0、 u′(0+)= 0,得
U0=A1
(8-7-13)
0=A2ω-A1α
解得
A1=U0,
A2 

U0

第8章 动态电路的时域分析
将A1、 A2代入式（8-7-12）,得

uc  U 0e (cost  sin t )

 2 t

 U 0 1  ( ) e cos(t  arctan )


t

令 arctan  

,
0  t
uC  U 0
e cos( t   )

t0
（8-7-14）
第8章 动态电路的时域分析
电流i为
duC
1 t
t
iC
 U 0Ce sin t  U 0
e sin t
dt
L
令I0=U0/(Lω),
i=-I0 e -αtsin ωt
t >0 （8-7-15）
uL
di
0 t
uL  L  U 0
e sin(t   )
dt

t0
（8-7-16）
第8章 动态电路的时域分析
由此可见,uC、 i、 uR和uL都是以ω为角频率的正弦曲线,
但振幅都随时间按指数 e
-αt
曲线衰减,衰减常数α=R/(2L)。
各物理量随时间变化的曲线如图8-7-4所示。
第8章 动态电路的时域分析
i
u
I0
uC
U0
U0
 0 t
e



t
O
U0
t
O
uL
U0
 0 t
e

(a)
£ -I0
(b)
图 8-7-4
第8章 动态电路的时域分析
由图8-7-4可知,RLC串联电路的这种过渡过程为振荡衰减
过 程 。 在 这 种 情 况 下 , 若 α=0 （ 即 R = 0 ） , 则
ω=ω0=1/
LC ,p1=p2=p=± j ω0,
uC=U0 cos ω0t
i=-I0 sinω0t=I0 cos (ω0t +90°)
uL=U0 sin (ω0t -90°)= U0 cos (ω0t -180°)
uC 、 i、 uL都是自由振荡曲线,电流i比电容电压uC超前
90°,电感电压uL与电容电压反相。
第8章 动态电路的时域分析
(3) α=ω0时,即R=2,p1、p2为相等实根。式（8-7-5）
uＣ=(A1+A2t) e -αt
（8-7-17）
代入初始条件：t = 0+时,uC(0＋) = U0、 u′C (0+)= 0,得
U0=A1
（8-7-18）
0=A2-A1α
解方程组（8-7-18）,得A 1=U 0,A 2=αU 0,故
uC=U0(1+αt) e αt
（8-7-19)
第8章 动态电路的时域分析
电流i和电感电压uL
i=-α2CU0e -αt=
uL=-U0(1-αt) e -αt
U t
 te
L
（8-7-20）
（8-7-21）
即电路仍为非振荡衰减过程。若继续减小电阻R,
使R <2 LC ,便发生振荡。所以,此时的电阻称为临界
电阻 （critical resistance）, 这一状态称为临界状态
（critical state）。
第8章 动态电路的时域分析
思考与练习
8-7-1 已 知 题 8-7-1 图 所 示 电 路 中 ,uC(0-)=U0=100V,i(0-
)=0,R=1 kΩ ,L=1 H ,C=1 μF ,试求开关 S 闭合后的电压uC。
第8章 动态电路的时域分析
R
C
i
£«
£«
uC
£-
L uL
£S
题8-7-1图
第8章 动态电路的时域分析
8-7-2 在上题电路中,已知uC(0-)=10V ,i(0-)=0,R=4
kΩ ,L=1 H ,C=1 μF ,
（1） 开关 S 闭合后的电压uC和电流i；
（2）电流出现最大值的时间tm和电流的最大值Im 。
第8章 动态电路的时域分析
习题
8-1 已知题8-1图所示电路中,C1 = 2200 μF ,C2 = C3 =
680 μF ,求该电路的等效电容。
第8章 动态电路的时域分析
C1
C2
题8-1图
C3
第8章 动态电路的时域分析
8-2 已知题8-2图所示电路中,L1 = L2 = L3 = 12 mH ,
求该电路的等效电感。
L1
L2
题8-2图
L3
第8章 动态电路的时域分析
8-3 题8-3图所示波形是通过一电感量为1 H 的电感
线圈导线横截面的电荷量,试画出通过该电感线圈的电
流的波形图。
q/C
6
4
2
0
£ -2
£ -4
£ -6
3
6
题8-3图
9
12
t/s
第8章 动态电路的时域分析
8-4 已知题8-4图(a)所示电路中的电流iL(t)的波形如
图（ b ）所示,求电流iR(t),并画出其波形图。
£«
u
iR
R
iL
0 .5 H L
£(a)
题8-4图
第8章 动态电路的时域分析
iL / A
3
2
1
0
1
2
(b)
题8-4图
3
t/ s
第8章 动态电路的时域分析
8-5 题8-5图所示电路,t<0时电路稳定,t=0时刻开 关
S 闭合,试列写t>0时以电压uR为响应的微分方程。
R1
£«
Us
£-
R2
S
R3
£«
uR
£-
题8-5图
C
£«
uC
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-6 已知题8-6图所示电路中,Us = 220 V ,R = 100 Ω ，
R1 = 1.1 kΩ , C = 0.1 μF,L = 0.1 H ,S 闭合前电路稳定,t =
0时刻开关 S 闭合,试列写t>0时以电流i(t)为响应的微分
方程,并计算初始值i(0＋)和稳定值i(∞)。
R
£«
Us
£-
S
i
C
R1
L
题8-6图
第8章 动态电路的时域分析
8-7 已知题8-7图所示电路中,Is = 10 mA ,R1 = R2 = 3
kΩ ,R3 = 6 kΩ ,C = 2 μF ,开关 S 闭合前电路稳定,t = 0时刻
开关 S 闭合,试计算各支路电流和电容电压的初始值。
R2
i2
S
Is
R0
i4
题8-7图
i1
i3
R3
R1
C
£«
uC
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-8 已知题8-8图所示电路中,Is= 3 A ,R1 = 3 Ω ,R2 = 6
Ω ,R3 = 6 Ω , L = 1 H,t<0时开关 S 在1位,电路稳定,t=0时
刻开关由1打向2,求iL(0＋)、 uL(0＋) 和uR(0＋)。
1 S
Is
R1
2
£«
R2 u R
£-
R3
iL
£«
L
uL
£-
题8-8图
第8章 动态电路的时域分析
8-9 已知题8-9图所示电路中,Us = 9 V ,R1 = 3 Ω ,R2
= 6 Ω ,L = 1 H ,t<0时电路稳定,t=0时刻开关 S 闭合,求初
始值iL(0＋)、 iR(0＋)、 uL(0＋)和uR(0＋),以及t→∞时的
稳态值iL(∞)、 iR (∞)、 uL(∞)和uR(∞)。
£«
uL
L
iL
£«
Us
£-
£-
S
iR
R1
题8-9图
R2
£«
uR
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-10 已知题8-10图所示电路中,Us= 12 V ,R0 = 2 Ω ,R1
= 3 Ω ,R2 = R 3 = 5 Ω ,L1 = 1 H ,L2 = 0.5 H ,C1 = 2 F ,C2 =
1 F ,开关 S 闭合前电路稳定,t = 0时刻 S 闭合,试计算各支
路电流的初始值和各电感上电压的初始值。
L1
£«
Us
£R0
R2
S
L2
C2
R1
R3
C1
题8-10图
第8章 动态电路的时域分析
8-11 题8-11图所示电路,S 闭合前电路稳定,t = 0时
刻 S 闭合,试写出 S 闭合后uR的表达式,并写出t = 3τ时
的uR的瞬时值。
C
R1
S
£«
Us
£-
题8-11图
R2
£«
uR
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-12 题 8-12 图 所 示 电 路 ,S 闭 合 前 , 电 容 上 已 存 储 了
1×10-4 C 的电荷,t = 0时刻 S 闭合,已知R1 = R2 = R4 = 5
kΩ ,R3 = 10 kΩ ,C = 10 μF 。
（1） 计算电路的时间常数τ；
（2） 写出uC的函数表达式；
（3） 求经过多长时间电容放电,电流下降到0.1 mA 。
第8章 动态电路的时域分析
R2
R1
S
R4
C
R3
£«
uC
£-
题8-12图
第8章 动态电路的时域分析
8-13 题8-13图所示电路,t<0时电路稳定,t=0时刻开
关 S 闭合,求t>0时的uC(t),并画出其波形。
3
Is
6A
S
3
£«
1 F uC
£-
题8-13图
3
第8章 动态电路的时域分析
8-14 题8-14图所示电路,t<0时电路稳定,t =0时刻开
关 S 闭合,求t>0时的iL(t) 和电压u(t),并画出其波形。
3
1H
L
3A
S
£«
6 u
£-
题8-14图
iL
3
第8章 动态电路的时域分析
8-15 题8-15图所示电路,开关 S 闭合前电容无电荷
存储,t =0时刻开关S 闭合,求t >0时的电压uC(t),并计算电
压uC(t)上升到0.5 V 所需要的时间。
2
S
iC
2
2A
£«
0 .2 5 F u C
£-
题8-15图
4
第8章 动态电路的时域分析
8-16 已知题8-16图所示电路中,Us =250 V ,R = 10 Ω ，
C = 4 μF ,电容原来未充电,t = 0时刻开关 S 闭合,问： 要
经过多少时间uC(t)才能达到180 V ？
S
R
£«
Us
£-
C
题8-16图
£«
uC
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-17 已知题8-17图所示电路中,Us =100 V ,R = 10
Ω ,L = 0.5 H ,
（1） 时间常数τ,电流的初始值和稳态值；
（2） 开关 S闭合后经过0.03 s和0.1 s 时的电流值；
（3） 电流增大到10 A 时所需要的时间。
第8章 动态电路的时域分析
S
£«
Us
£-
题8-17图
R
iL
L
第8章 动态电路的时域分析
8-18 已知题8-18图所示电路中,Us =10 V ,R1 = 5
Ω ,R2 = 2 Ω ,L = 0.2 H ,开关 S 闭合前电路稳定,t = 0时刻
开关 S 闭合,试求iL(t)和uL(t),并画出其波形图。
R2
S
£«
Us
£-
iL
£«
i1
R1
L
uL
£-
题8-18图
第8章 动态电路的时域分析
8-19 已知题8-19图所示电路中,Us =150 V ,R = 100
kΩ ， C = 10 μF ,电容原已存储电荷q0 = 850 μC ,t = 0时
刻开关 S闭 合,求 S 闭合后电容电压uC(t)和电流i(t),并画
出其波形图。
S
R
i
£«
Us
£-
C
题8-19图
£«
uC
£-
第8章 动态电路的时域分析
8-20 已知题8-20图所示电路中,Us =220 V ,R1 = 8 Ω ,RL
= 12 Ω ,L = 0.6 H ,开关 S 闭合前电路稳定,t = 0时刻开关 S
闭合,试求：
（1）开关 S 闭合后的电流i(t),并画出其波形图。
（2）S 闭合后要经过多少时间电流才能上升到15 A ？
第8章 动态电路的时域分析
R1
i
S
£«
Us
£-
RL
L
题8-20图
第8章 动态电路的时域分析
8-21 已知题8-21图所示电路中,Us = 10 V ,I s = 3 A ,R1 = 1
Ω ,R2 = 2 Ω ,C = 3 F ,t<0时刻 S1闭合S2 打开,电路稳定,t = 0时
刻 S1打开S2闭合,求t >0时的uC(t),并画出其波形图。
R1
£«
Us
£-
S1
S2
C
£«
uC
£-
题8-21图
R2
Is
第8章 动态电路的时域分析
8-22 已知题8-22图所示电路中,U s =10 V ,R1 = 10 Ω ，
R2 = R3 = R4 = 5 Ω ,
L = 10 H,开关 S 打开前电路稳定,t = 0
时刻 S 打开,试用三要素法计算 S 打开后的电流iL(t)。
R1
iL
£«
Us
£-
R2
S
R4
R3
题8-22图
L
第8章 动态电路的时域分析
8-23 已知题8-23图所示电路中，Us =10 V ，R1 = R2
=10 Ω ，L = 10 H ，C = 0.1 F ,t< 0时开关 S 断开,电路
稳定,t = 0时刻 S 闭合,试用三要素法计算t >0时uC(t)和
uL(t),并画出其波形图。
R1
£ « uL
L
£C
£«
Us
£-
£«
uC
£-
S
R2
题8-23图
第8章 动态电路的时域分析
8-24 已知题8-24图所示电路中,U
Ω ,R 2 = 7 Ω ,L = 0.5 H ,
t<0
s = 6 V ,R-1 = 5
时刻开关 S 闭合,电
路稳定,t = 0时刻 S 打开,试用三要素法计算电流i(t)的零
输入响应、 零状态响应、 稳态响应和暂态响应。
i(t)
L
R1
£«
Us
£-
S
题8-24图
R2
第8章 动态电路的时域分析
8-25 题8-25图所示电路,t < 0时开关均未闭合,且电
路处于稳定。t = 0时刻 S1 闭合,t = 6 s 时刻 S2 闭合,试计
算t >0时的uC(t) ,并画出其波形图。
R1
3
£«
Us
6V
£-
t£ ½0
t£ ½6 s
S1
S2
R2
6
C
3F
题8-25图
R3
3
Is
3A
第8章 动态电路的时域分析
8-26 题8-26图所示电路,t < 0时开关 S 在1 位,电路稳定,t
= 0时刻S 打向2位,求t >0时的uC(t),并画出其波形图。
R2
2
i1
2A
4
S
R3
2
R1
4
£«
2i1
£-
题8-26图
1
£«
8V
£-
£«
C
u
0 .1 F £ - C