Transcript 之拉氏轉換。

Chap. 12 Introduction to the
Laplace Transform
Contents
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
Definition of the Laplace Transform
The Step Function
The Impulse Function
Functional Transforms
Operational Transforms
Applying the Laplace Transform
Inverse Transforms
Poles and Zeros of F(s)
Initial- and Final-Value Theorems
Objectives
1. 利用拉氏轉換的定義、拉氏轉換表，且／或運算轉換表計
算函數的拉氏轉換。
2. 利用部分分式展開與拉氏轉換表計算反拉氏轉換。
3. 瞭解並知道如何利用初值定理與終值定理。
1
12.1 Definition of the Laplace Transform
函數 f(t) 的拉式轉換(Laplace Transform of f(t)):
拉氏轉換將時域的問題轉換成頻域的問題。
將時域的微積分方程式轉換成頻域的代數方程式。
在頻域中找出未知數後，再利用反轉換回到時域。
優勢：
1. 可同時考慮以微分方程式組描述之多節點或多網目電路。
2. 可分析不同信號源的暫態響應。
3. 以拉氏轉換為分析工具，分析弦波電源頻率改變時之電路穩態響應。
4. 可找出電路在時域與頻域之間的關係。
上式的積分下限為0-， 所以又稱為單邊(one-sided)
或單向拉氏轉換(unilateral Laplace transform)。
函數轉換(functional transform) :
計算特定函數f(t)之拉氏轉換。
運算轉換(operational transform):
一般數學性質如f(t)導數的拉氏轉換。
0點連續
0點不連續
2
2
12.2 The Step Function
步階函數(Step Function):
單位步階函數(Unit Step Function): 當K = 1
步階函數在t = 0 處不予定義，若需定義0- 及
0+ 之變動時，假設變動為線性，亦即
不連續點也可能發生在 t  0，步階變動
若發生在 t = a 時
注意: K [ u ( t -1 ) - u ( t - 3 ) ] 代表脈波函數在
1 < t < 3 之間的值等於K，其他時間為0。
3
3
EX 12.1 Using Step Functions to Represent a Function of Finite Duration
4
12.3 The Impulse Function
脈衝(impulse) 信號的特性是振幅無限大，且持續時間為0。
假設函數在不連續處呈線性變化。
當 ∊ → 0 時，原點處突然不連續。
對其微分時，
在∊ 與∊ 間的導數為定值1/2∊ 。
在t > ∊ 的導數為 a e -a(t - ∊ )。
當∊ → 0時，∊ 之間的 f '(t)值→。
在 ∊ 之間 f '(t)圖形的面積等於1。
在∊區間的函數稱為單位脈衝函數
(Unit Impulse Function): δ(t)
脈衝函數Kδ(t) : K 代表此脈衝函數之面
積，又稱為脈衝函數的強度(strength)。
5
5
The Impulse Function (Contd.)
脈衝函數是由參數趨近於零的可變參數函數所產生，當參數趨
近於零時，可變參數函數必須存在下列三項特徵：
1. 振幅趨近無限大。
2. 函數的持續時間趨近於零。
3. 當參數改變時，可變參數函數所涵蓋的面積為定值。
另一個可變參數函數的例子: 指數函數
f t   K t  as   0
脈衝函數
定義
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Sifting Property of the Impulse Function
篩選性質(Sifting Property):
除了t = a 處之 f(t) 外，脈衝函數把 f(t) 所有的值全都篩掉。

 f t  δt  a  dt  f a 
-

a 
a 
-
a-
a-
 f t  δt  a dt    f t  δt  a dt  f a   δt  a dt  f a
δt  a 在 t  a皆為0
f t  在 t  a 連續
Laplace Transform of the Impulse Function
L  t    δt  e

0
 st

dt   δt  dt  1
0
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Derivative of the Impulse Function and Its Laplace Transform
Moment Function, or Unit Doublet
 
 0 1  st

1 
L  t   lim  2 e dt      2  e  st dt
0
  0  
  


e s  e  s  2
 lim
 0
s 2
l’Hôpital’s rule
se s  se  s
 lim
 0
2 s
l’Hôpital’s rule
s 2 e s  s 2 e  s
 lim
 0
2s
s
f t    t 
as   0
f t    t 
as   0
L [ n  t ]  s n
du t 
脈衝函數可視為
 t  
步階函數之導數
dt
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Derivative of the Step Function
du t 
脈衝函數可視為
 t  
步階函數之導數
dt
f t   ut  as   0
f t    t  as   0
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12.4 Functional Transforms
L u t     f t  e

 st
0
  
L e
 at

0
e

 at
e
 st

dt    1e
 st
0

dt    e
 st 
e
dt 
s
a  s  t
0
0
1

s
1
dt 
sa
L sin t     sin t  e  st dt

0
 e jt  e  jt   s t
e dt
   
0
2j


  s  j t
 e
 e  s  j t

dt
0
2j

1  1
1 




2 j  s  j  s  j 

 2
s 2
e jωt  cosωt  j sin ωt; e jωt  cosωt  j sin ωt
e j t  e  j t
e j t  e  j t
 sin t 
; cost 
2j
2
10
Laplace Transform Pairs
11
12.5 Operational Transforms
運算轉換: 對 f(t) 或 F(s) 作數學運算，以得到相對應領域的轉換關係。
主要的運算有： (1) 乘上一個常數；(2) 加法（減法）；(3)微分；(4) 積分；
(5)比例改變；(6)時域的位移；(7)頻域的位移。
Differentiation
Let
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Integration
By definition,
Let
Scale Changing
Let
L  f at   f at e

0
 st
dt  

0
1
f z  e
a
s
  z
a
1 s
dz  F  
a a
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Translation in the Time Domain
若從函數 f(t)u(t) 開始，若將此函數位移a 單位，
即 f(t-a)u(t-a)，則其拉氏轉換如上式所示。
EX:
Translation in the Frequency Domain
EX:
14
Operational Transform Pairs
15
12.6 Applying the Laplace Transform
By KCL,
拉式轉換:
若
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12.7 Inverse Transform
一般而言，我們會針對上式之方程式做反拉氏轉換。
若m > n，則稱N(s)/D(s)為適當有理函數(Proper Rational Function)。
若m ≤ n，則稱為非適當有理函數(Improper Rational Function)。
只有適當有理函數可展開為部分分式的和。
Partial Fraction Expansion: Proper Rational Functions
將等號左邊展開成等號右邊之分式，直接求等號右邊之反拉氏轉換即可。
求部分分式中的各項係數(K1, K2,⋯)，可依D(s)根的四種情況討論：
(1) 相異實數根；(2) 相異複數根；(3) 實數重根，及(4) 複數重根。
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Partial Fraction Expansion: Distinct Real Roots of D(s)
求K1 值時，將等號左右兩邊均乘上s，且令s = 0，即可求出K1 = 120。
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Partial Fraction Expansion: Distinct Complex Roots of D(s)
分母中(s2 + 6s + 25) 可分解成(s+3-j4)(s+3+j4)，展開後求K1, K2, K3。
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Partial Fraction Expansion: Distinct Complex Roots (Contd.)
D(s)含有(s + α- jβ)(s + α + jβ) 的項目，可相對應部分分式展開式：
其中K 與K* 可表示成
而反拉氏轉換即可寫成
Alternative Way: Using Quadratic Factors
K3  4
100( s  3)
K1
K 2 ( s  3)
K1 ( s 2  6s  25)  K 2 ( s  3)  4K3 ( s  6)




( s  6)(s 2  6s  25) s  6 ( s  3) 2  42 ( s  3) 2  42
( s  6)(s 2  6s  25)
100(s  3)  K1 (s 2  6s  25)  K2 (s  3)  4K3 (s  6)
s : 0  K1  K 2
K1  -12
s: 100  6 K1  9 K 2  4 K 3
K 2  12
s 0: 300  25K1  18K 2  24K 3
K 3  16
2

For s  -6  K1  -12
或 For s  3  0  K 3  K 4
1
3
3
For s  0  2  K61  3K252  4K
25



f t   -12e-6t  12e3t cos4t  16e3t sin4t u(t )  -12e-6t  20e3t cos(4t - 53.13 ) u(t )
20
Partial Fraction Expansion: Repeated Real Roots of D(s)
其中s = -5 為3重根，求K1 與K2 的方法與前述相同。
求K3 將等號兩側乘上(s + 5)3
對s 微分並代入 s = -5
100( s  25) K1 ( s  5)3

 K 2  K 3 ( s  5)  K 4 ( s  5) 2
s
s
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Partial Fraction Expansion: Repeated Real Roots (Contd.)
求K4 將等號兩側乘上(s + 5)3
100( s  25) K1 ( s  5)3

 K 2  K 3 ( s  5)  K 4 ( s  5) 2
對s 微分兩次並代入 s = -5
s
s
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Partial Fraction Expansion: Repeated Complex Roots of D(s)
23
Four Useful Transform Pairs
注意：
24
Partial Fraction Expansion: Improper Rational Functions
非適當有理函數指的是，分子次方數高於分母的分式函數。
此函數經長除法後，可展開成多項式函數加上一個適當有理函數。
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12.8 Poles and Zeros of F(s)
分母的根  p1,  p2,  p3, …, pm 稱為 F(s) 的極點(Poles of F(s))，
這些s 的值代入會使 F(s) 變成無限大。
分子的根 z1,  z2,  z3, …,  zn 稱為 F(s) 的零點(Zeros of F(s))，
這些s 的值代入會使F(s) 變成零。
EX:
EX:
 極點
 零點
極點：-1, -2, -3, -4.
零點：-5, -10.
26
12.9 Initial- and Final-Value Theorems
利用初值定理與終值定理，可由 F(s) 計算 f (t) 在t = 0 及t = ∞ 的值
初值定理
Initial-Value Theorem
終值定理
Final-Value Theorem
初值定理是基於假設 f(t) 不含脈衝函數，且 f(t) 與 df/dt 之拉式
轉換均存在才成立。
終值定理須 f(t) 與 df/dt之拉式轉換均存在，且f()存在才成立。
若F(s) 的極點都在s 平面的左半面時，則f()存在。
EX:
27