Transcript 上課要求 - 個人通訊系統實驗室

線性代數
Linear Algebra
教師：賴薇如
[email protected]
Office: 70812 Telephone: 7330
Lab: 70807
Telephone: 7011-807
Text Book and Reference
 Text Book:
– Linear Algebra with Applications, 6th Edition. Steven J. Leon.
Seven Edition. (台北圖書代理)
 Reference:
– 1.Linear Algebra and Its Applications, 2nd Edition. David C. Lay.
Addison-Wesley Publishing Company. (偉明圖書代理)
– 2. Introductory Linear Algebra with Applications, 7th Edition.
Bernard Kolman and David R. Hill. Prentice Hall International,
INC. (華泰文化代理)
– 3. Linear Algebra with Applications, 2nd Edition. Otto Bretscher.
Prentice Hall. (全華科技代理)
– 4. 鸚鵡定理, 丹尼斯．居耶德著, 漢斯譯. (究竟出版)
– 5. 從數學看人類進步的軌跡, 小島寬之著, 鄭宇淳譯. (世茂出版)
Course Time
 Wednesday 2 (9:10-10:00) at 70204R
 Thursday 3,4 (10:10 - 12:00) at 70105R
上課要求
 請抄筆記。
 筆記本請用活頁紙。
 上課請不要私下說話，開手機，有問題請馬
上發問。
 請在上課聽不懂的同時，馬上發問，造福自
己與同學。
 請按時交作業。
請尊重你的老師,助教與同學
心態的改變
 請唸英文原文書
 唸書的時間應該比老師準備的時間長
 作業自己寫
 不用功一定會付出代價
 唸書的目的，為自己的未來唸書
 選擇你喜歡的科系，尊重你的選擇
努力去具備系上要求的基本能力
Resources (1/2)
 請一定要上網參考這些資料
 PCS Lab web site
– IP address：140.138.178.54
–考古題與解答
 Portal
–公布作業與解答
–學習與討論
–最新資訊， ex：考試時間與地點
 請參考“數理天地” 瞭解數學家的生平
http://www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php
Resources (2/2)
 Teacher Assistant
– 心腸很好的助教會幫助大家！請多多利用。
– TA考前復習 for tests, midterm and final-term
– 陳建男
• Office: 80642
• Tel: 7011-642
–請班代與助教約好，每週固定能夠在實驗室找到助
教的時間，讓同學發問。
 Office Hours
– Wednesday 13:30-14:30 at Room 70812
–特殊狀況，請先寫email約時間。
Evaluation
 Homework (2% × 12 = 24%)
 Quizzes in Class (6%)
 Tests (6% × 5 = 30%)
– Wednesday 13:10-14:00
– 10/8. 10/22, 12/3, 12/17, 12/31
 Midterm:11/6 (20%)
 Finalterm:1/8 (20%)
早就學過的Linear Algebra
 其實大家早就學過 Linear Algebra：
– 解一次聯立方程式(linear equations)、行列式、矩陣
(matrix)、向量(vector)、向量內積(inner product)
– 把實際的系統抽象化轉換成數學式，求出解答，再
帶回實際應用系統中。
 Example：
–九章算術卷第八 -- 方程
–雞兔同籠
雞兔同籠
 共7隻的小雞與兔子放在同一個籠子，共有20
隻腳。請問有幾隻雞與幾隻兔子?
 Answer：
– 把小雞的數目稱為 x1，把兔子的數目稱為 x2。
– 雞與隻雞與兔子的關係可以用2個二元一次方程式
來表示：
x1+x2=7
2x1+4x2=20
– 把 x1和 x2當做一般數字計算。
– 計算後 (代入消去法或行列式) 可以得知有 x1=4 隻
雞與 x2=3 隻兔子。
九章算術
 九 章 算 術 卷 第 八
 〔 一 〕
實
秉
禾
秉
 荅
 方
秉
方
如
各
三
，
三
各
曰
上
中
下
程
，
。
上
得
十
實
秉
幾
：
禾
禾
禾
術
實
以
禾
一
-- 方 程
今 有 上 禾 三 秉 ， 中 禾 二 秉 ， 下 禾 一 秉 ，
九斗 ； 上 禾 二 秉 ， 中 禾 三 秉 ， 下 禾 一
三 十 四 斗 ； 上禾 一 秉 ， 中 禾 二 秉 ， 下
， 實 二 十 六 斗 。 問 上 、 中、 下 禾 實 一
何 ？
一 秉 ， 九 斗 、 四 分 斗 之 一 ，
一 秉 ， 四 斗 、 四 分 斗 之 一 ，
一 秉 ， 二 斗 、 四 分 斗 之 三 。
曰 ， 置 上 禾 三 秉 ， 中 禾 二 秉 ， 下 禾一
三 十 九 斗 ， 於 右 方 。 中 、 左 禾 列 如 右
右行 上 禾 遍 乘 中 行 而 以 直 除 。 ... 餘
秉 數 而 一 ， 即 上 禾 之 實 。 實 皆 如 法 ，
斗 。
What is Linear Algebra?
 What is Algebra?
– 丟番圖 (Diophantus, 代數之祖, about 275年希臘 )
 What is Linear?
 What is Linear Algebra?
– Algebra is the art of solving equations and systems of
equations.
– Linear Algebra 就代表 the art of solving of linear
system。
What is Algebra?
 Algebra這個字來自阿拉伯文al-Jabr，代表還原、
修復、恢復、修補破損地方的意思。
– Jabr 是指 整理東西的人 .
– al-Jabr是 接骨師 的意思.
 在西元八世紀一個名叫 阿爾花拉子密
(Mohammed al-Khowarizmi)的人首先把這個字
放入數學的領域，表示解出equations of system。
Examples of Algebra
 阿爾花拉子密
對於我要找的東西，我先命名，但因為我不
知道這是什麼，我就稱之為某物。雖然不知
道這是什麼，但可以如同其他數字運算，對
它加減乘除，試圖找出其值。
 雞兔同籠，九章算術
 高斯(1777-1855德) :代數基本定理
– Ex: x3+6x+2=0 有 3 個解
 十七世紀數學家費瑪(1601-1665法)最後定理
– xn+yn=zn , n>2 無整數解
–英國數學家 Andrew John Wiles 在1995年證明出來
Definition of Algebra
 一個System中有許多未知數(unknown)，找出這
些未知數的關係，並使用equations來表示。
– Equation (方程式)，從 Equal 來, 表示兩個表示式間
的相等性, 至少其中有一個包含未知數。
 把未知數當作一般的數字運算，想辦法解出這
些未知數。
 既然Algebra 代表修復、修補破損。所以，
Algebra is the art of solving equations and systems
of equations。
What is Linear?
 Equation中未知數都只是一次項。
x+y-z=0
x+y=1
x-y=3
-x+2y=-2
Non-Linear
 如果未知數中有二次項或二次項以上，圖形就
會變複雜。
 Ex: 求 x3+6x+2=0 的解。
y
y=x3+6x+2
x
Linear System
 A linear system
= a system of m linear equations in n unknowns
linear equation: 多元一次方程式
一個系統中有n 個未知數 x1,x2,...,xn，這 n 個未知數之
間的關係可以用 m 個 linear equations 來表示，此系
統就稱為 linear system。
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b1
:
am1x1+am2x2+...+amnxn=b1
 針對 Linear system 求解，就形成 linear algebra
這門學科。
西方代數學的歷史 (1/2)
 第一階段:古希臘數學 (800 B.C.–700 A.C.)
– 西元三世紀:丟番圖 (Diophantus, 代數之祖)
 第二階段:阿拉伯數學 (800 –1400 A.C.)
– 西元九世紀
• 阿爾花拉子密 (代數,一次與二次方程式)
x1+x2=7
• 阿布．哈密爾(多變數多方程式)
2x1+4x2=20
– 西元十世紀晚期
• 伊本．阿爾豪瓦姆
– 西元十一世紀晚期
• 奧瑪珈音 (代數家)、薩拉丁．阿爾圖西
– 西元十二世紀晚期
x3+y3=z3
xn‧xm=xn+m
• 卡拉吉與阿爾薩茂阿勒(促成代數的算數化)
西方代數學的歷史 (2/2)
 第三階段:西方文明世界的數學 (1500 –1900 A.C.)
– 西元十六世紀：基礎代數的黃金時期
• 波隆納的義大利學派 (三次與四次方程組)：塔爾塔利亞、卡
丹諾、費拉里、邦貝利
• 代數符號的重要進展：維塔阿布、史帝文
– 西元十七世紀：
• 代數：吉拉爾、哈里奧特、奧特雷德
• 解析幾合(利用代數連接空間與數目的關係)：費瑪、笛卡兒
– 西元十九世紀：新數學的產生
• 代數：阿貝爾、加羅瓦、雅可比(Jocobi)、庫莫
• 矩陣：凱萊(Arthur Cayley)
• 布林代數：布爾(Boole)
丟番圖的墓誌銘
 在《希臘詩文選》有46首和代數問題有關的短
詩。以下所引的是第126題：
這個墓裡長眠著丟番圖。啊！多麼偉大的
人呀！他一生的1/6為童年，經過1/12的歲
月，臉頰已長滿了鬍鬚，其後的1/7，完成
終身大事，結婚五年之後，生了一個兒子
。啊！可憐的孩子，他在這世上的璀璨人
生，只過了他父親的一半就撒手塵環。而
其父丟番圖也在充滿悲傷的四年後，走完
了他的一生。
Why is Linear?
 高冪次方的Equations比較精確?比較有水準?
No!
 Linear system 容易求解。
 相對的Non-linear system 不容易求解。
 所以線性系統( linear system )成為在應用數學
領域中最簡單的，也是最常見的模型。
– 估計約有 75% 的應用數學問題會衍生出找線性系統
的解
– 社會學、生態學、人口統計、遺傳學、物理、電
學、...
線性代數的範圍 (1/3)
雞兔同籠
1 1
Ax = 2 4 x=
7
20 =b

Linear system 可以簡化用矩陣來表示、計算
與求解：Ax=b
4
 各個 solution 都可以用 vector x = 3 方式來
表現。
 我們將一個 linear system 的所有的解答合稱
為 solution set。
4
solution set = 3

我們可以發現某些特殊的 solution sets 均滿足
某些特性，故將他們歸納，形成 vector space
的領域，並探討其基本定義。
線性代數的範圍 (2/3)
 在討論完 vector space 的性質後，更進一步想
知道兩個 vector spaces 間的關係，是否相等或
是可以互相轉換。因此衍生出 linear
transformation 的領域。
– 電腦圖學
**這個轉換也可寫成
矩陣 A 的形式**
 有一種特殊的 space，各個 space 中的 vector 彼
此 orthogonal (i.e., 內積為0)。這樣的orthogonal
subspace很有用。
– Fourier Transform、大哥大系統的CDMA
線性代數的範圍 (3/3)
 給與一個 vector x，若乘上一個矩陣 A，會有
怎樣的效果呢 (Ax) ? 如果乘 100 次又如何
(A100x) ? 是不是有比較簡單的方式來解答這樣
的問題?
 如果 x 乘 A 會等於 x 乘上一個常數 l (i.e.
Ax=lx)，就會使得計算變得容易得多
(A100x=l100x)。找出 A 的特徵值 eignevalue l 與
相對於此 l 的特徵向量 eignevector，就成為很
重要的課題。
用電腦解決線性代數的問題
 大型電路分析、氣象學、地震學、太空科學等
推演出的偏微分方程，經離散化後導出的線性
系統，一般來說都有成千上萬個未知數。
 所以如何應用電腦來解決這些問題是線性代數
實務上要具備的能力。
–
–
–
–
把實際的系統抽象化轉換成數學式。
要把數學公式改成可以執行的程式。
使用Matlab求解。
Floating point 計算會產生的round-off error。
Content of the Text Book (1/2)
 Ch1. Matrices and Systems of Equations
 Ch2. Determinants
 Ch3. Vector Spaces
 Ch4. Linear Transformations
 Ch5. Orthogonality
 Ch6. Eigenvalues
 Ch7. Numerical Linear Algebra
Content of the Text Book (2/2)
 Appendix: Matlab
 Bibliography
 Answers to Selected Exercises
 Index
 http://www.prenhall.com/leon
 Ch8. Iterative Methods
 Ch9. Canonical Form
為什麼要唸Linear Algebra?
 線性代數是必選修。一定要修過一次，若被當
掉就如同選修課不需要重修，但不管如何成績
單上都會有這科的成績。
 舉凡數學統計、電機電子、資工資管、工管企
管等有關系所的入學考試，線性代數都佔有相
當份量之比重。
 線性代數是一門完整體系的學科，其應用的涵
蓋範圍相當廣泛。我們常常使用相關的理論知
識，卻不知道這就是線性代數。
線性代數很難嗎?
 其實線性代數並不是一門很難的數學！
 一般學生學不好線性代數的原因大都是因為線
性代數是一個整體的系統，一個各個主題連貫
性很重的數學。往往前面的章節不是很懂就會
造成後面的章節也學不來。
 所以學習線性代數必須從頭到尾一氣呵成，千
萬不可有部分一知半解而跳過，否則會唸到後
來覺得愈困難。所以念線代一定要由第一章觀
念開始入手，一步一步循序漸進地打好基礎。
如何念線性代數?
 線性代數僅念一、二次是不夠的，須花較多的
時間，因為關連性大，要融會貫通一定要多念
幾次，熟悉各定理後再去練習考古題與分析預
測題。
 數學科目最重要的部分就是在於練習題目。課
本例題與習題一定要自己做一遍。最好是不看
課本解答做一遍。
 基本的名詞定義往往是最重要的，一定要背起
來，否則保證看不懂也聽不懂。