第3章暂态电路分析

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第3章暂态电路分析
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3.1 电容元件与电感元件
3.2 换路定则
3.3 一阶电路的响应
3.4 一阶动态电路的三要素法
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引言
S
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3


电路暂态的物理意义是指电感、电容元件
（动态元件）的充放电过程；通常把含有
动态元件的电路称为动态电路。
暂态过程主要研究两个问题：第一，暂态
过程中电压和电流随时间的变化规律；第
二，影响暂态过程快慢的时间常数。
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3.1 电容元件与电感元件
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一、电容元件
1.电容器和电容元件
i
i
+
+
q
++ + +
u
u
C
q
-
-
电容器
电容元件
电容器具有存储电场能量的作用；电容元件（简
称电容）就是反映这种物理现象的电路模型。
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3.1 电容元件与电感元件
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2.电容的大小
C
q
u
其中 q 为电容元件上的电荷量，u为其上电压。
当 C 为常数时，称其为线性元件。
常见电容元件的单位的换算关系为：
1F = 106 µF = 109 nF = 1012 pF
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3.1 电容元件与电感元件
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3.电容的主要参数
电容值和电容最大耐压值。
4.电容的伏安关系
i
电压与电流方向关联时有：
+
u
-
C
i
dq d (Cu )
du

C
dt
dt
dt
u (t )  i (t0 ) 
微分形式
1 t
i ( )d

t
C 0
积分形式
电容电压的连续性质和记忆性质
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3.1 电容元件与电感元件
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5.电容的瞬时储能
WC (t ) 
1 2
Cu (t )
2
当电容值一定的情况下，瞬时储能仅由瞬时电压确定。
电压降低时，电容元件释放能量（放电）；电压升高时，
电容元件吸收能量（充电）。
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3.1 电容元件与电感元件
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二、电感元件
1.电感线圈和电感元件
i

+
u
+
i
e
u
L
-
-
电感线圈
电感元件
电感线圈也存储能量，能量以磁场能形式存储；电感元件
（简称电感），就是反映这种物理现象的电路模型。
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3.1 电容元件与电感元件
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2.电感的大小
N
L
i
其中 N 为线圈匝数， 为磁通，i 为流过线圈的电流。
常见电容元件的单位的换算关系为：
1H= 103 mH = 106 µH = 109 nH
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3.1 电容元件与电感元件
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3.电感的主要参数
电感值和电感允许电流最大值。
4.电感的伏安关系
电压与电流方向关联时有：
i
+
uL
u
-
L
di
dt
微分形式
1 t
i (t )  u (t0 )   u ( )d
L t0
积分形式
电感电流具有连续性质和记忆性质
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3.1 电容元件与电感元件
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2
5.电容的瞬时储能
WL (t ) 
1 2
Li (t )
2
当电感值一定的情况下，瞬时储能仅由瞬时电流确定。电流
减小时，电感元件释放能量（放电）；电流增大时，电感元
件吸收能量（充电）。
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3.1 电容元件与电感元件
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三、电容和电感串并联等效
以两个元件为例：
连接方式等效电阻等效电容等效电感
串联
R  R1  R2
1 1
1


C C1 C2
L  L1  L2
并联
1 1
1


R R1 R2
C  C1  C2
1 1
1
 
L L1 L2
四、思考题
根据电容和电感元件的伏安关系，分析直流状态
下元件如何等效？
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3.2 换路定则
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一、换路定则内容
1.换路的概念
通常电路中开关的闭合、打开或元件参数突然变化等统
称为换路。为方便叙述，以后用电路中开关打开或闭合
来代替换路。
2.换路的原因
外因：电路发生换路
内因：电路中含有储能元件（电容或电感）
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3.2 换路定则
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3. 定则内容(设 t  0 时刻发生换路 )
换路前后电感元件上的电流连续即 iL (0  )  iL (0  ) ；
电容元件上的电压连续即 uC (0 )  uC (0 ) 。
特别注意换路前后对其它的电压和电流未加约束。
二、初始值的计算
1. 计算步骤
利用换路定则求初始值的解题步骤为:
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3.2 换路定则
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2
Step1：画出换路前（t=0-）的等效电路，计算出电容电压
uc(0-)和电感电流 il(0-) ；
Step2：利用换路定则，确定uc(0+) 和il(0+)；
Step3：画出换路前（t=0+）的等效电路，计算初始值。
2. 关键点
如何将含有储能元件的电路等效成电阻电路，然后利用前
两章分析电路的方法求解即可。
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3.2 换路定则
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3. 例题分析
例题1 电路如图所示，换路前电路已处于稳态，求uc(0+)、
u1(0+)以及u2(0+)。
R1
+
+
US
-
u1
S
C
t 0
+
uC
-
电路图
+
u2
-
R2
分析：初始值的求解关键问题是正
确的画出等效电路。换路前电路处
于稳态，电容元件在直流稳态时用
开路代替，因此换路前的等效电路
如图等效图1所示。
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3.2 换路定则
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R1
+
+
uC (0  )
US
等效图1中，可以计算uc(0-) 。根据
R2
换路定则可求出uc(0+) ，换路后将
-
-
电容元件用一电压源uc(0+) 代替，
此时其等效电路如图等效图2所示。
等效图1
R1
+u (0
1

)
-
+
+
-
-
US
uC (0  )
等效图2
R2
+
u 2 (0  )
等效图2中，计算u2(0+)， u1(0+)。
-
结论：关键是画等效电路图。
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3.2 换路定则
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2
例题2 电路如图所示，换路前电路已处于稳态，求
换路后各电流的初始值。
i
2
4
2
iL
iS
+
6V
S
4
t 0
L
-
+
iL (0  )
6V
-
电路图
等效图1
分析：换路前电路处于稳态，电感元件在直流稳态时用短
路代替，因此换路前的等效电路如图等效图1所示。
i L (0  ) 
根据换路定则有：
6
1 A
24
iL (0 )  iL (0 )  1 A
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3.2 换路定则
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i (0  )
2
4
+
iS ( 0  )
6V
换路后电感元件用一电流源 iL (0 )
代替，此时等效电路如等效图2
所示。
iL (0  )
-
6
3A
2
iS (0 )  i(0 )  iL (0 )  2 A
i (0  ) 
等效图2
例题3 例题1电路再次达到稳态时的 uC ()、u1 ()以及 u2 () 。
R1
+u () -
+
1
+
+
-
-
US
uC ()
R2
u 2 ( )
分析：电路再次达到稳态，电
容元件用开路代替，等效电路
如图等效图3所示。
-
等效图3
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3.3 一阶电路的响应
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一、一阶电路的零输入响应
1. 一阶电路的概念
动态电路在换路后只含有一个动态元件（L
或C），或者可等效为一个动态元件的电路称为
一阶电路。
2. 零输入响应的概念
当动态电路在换路前有初始储能，换路后无独立
电源作用，电路在初始储能作用下产生的响应称
为零输入响应。
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3.3 一阶电路的响应
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3. 一阶RC零输入响应
电路如下图所示，已知换路前电路处于稳态，
求换路后、uC 以及
u 。iC
R
1 t 0
+
US
-
2
iC
R
+
uR
C
分析：换路前电路处于稳态，电
+ 容元件有初始储能，换路后电路
uC
- 无电源作用，该电路的响应为RC
零输入响应。
R
换路前等效电路为：
+
US
所以 uC (0 )  U S
-
+
uC (0  )
-
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3.3 一阶电路的响应
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根据换路定则有：uC (0 )  uC (0 )  U S
iC
换路后等效电路为：
R
+
C
可列方程为：
uR (t )  uC (t )  0
整理有：
uR
uR  iC  R
+
uC
-
du C
iC  C
dt
du C
1

uC  0
dt
RC
该方程为一阶常系数齐次微分方程！其解的形式为：

uC (t )  Ae
t
RC
其中A为常数，可由初始值确定，代入电压初始值有：
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3.3 一阶电路的响应
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uC (t )  U S e

t
RC
该响应为一指数函数。
这里令  RC ，称为时间常数。其标准单位为秒。
时间常数的物理意义表示电容电压衰减到初始值的
36.8%时所需要的时间。
时间常数的大小反映放电快慢，越大说明放电越慢。
理论上，只有 t   放电结束，实际工程上，时间经过
3 ~ 5 认为放电结束。
其波形为：
uC
US
0.368U S
0
同理，其它响应为：

t
uR (t )  U S e

t

t
U 
iC (t )   S e 
R
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3.3 一阶电路的响应
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4. 一阶RL零输入响应
例题：电路如下图所示，已知U S  10 V，R1  2 KΩ，
R2  R3  4 KΩ， L  200 mH。换路前电路处于稳态，
求换路后 u L 和 i L 。
t0
+
US
R1
R3
iL
S
R2
+
L
uL
-
分析：换路前电路处于稳态，电
感元件有初始储能，换路后电路
无电源作用，该电路的响应为RL
零输入响应。
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3.3 一阶电路的响应
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换路前等效电路为：
R3
+
US
i L (0  ) 
US
1
  1.25mA
R1  R2 // R3 2
iL (0  )
R2
R1
根据换路定则有：
iL (0 )  iL (0 )  1.25mA
R3
换路后等效电路为：
iL
R2
+
L
可列出回路方程为：
uL
-
di L
L
 ( R2  R3 )iL  0
dt
di L
代入数值方程为： 0.2
 8iL  0
dt
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3.3 一阶电路的响应
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2
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该方程为一阶常系数微分方程，其解为：

iL (t )  Ae
t
2.5105
代入初始值，有
iL (t )  1.25e

R3
t
2.510 5
mA
+
R2
以下利用等效电源的方法求 uL 。等效电路为：
iL
uL  iL ( R2  R3 )
 10e

t
2.510 5
V
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uL
-
3.3 一阶电路的响应
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二、一阶电路的零状态响应
1. 零状态响应的概念
当动态电路在换路前无初始储能，换路后由
独立电源作用下产生的响应称为零状态响应。
2. 例题分析
电路如图所示，已知换路前储能元件无储能，
求换路后的和uC 。 uR
t0
+
US
-
S
R
+ u R -iC
C
+
u
-C
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3.3 一阶电路的响应
t0
+
US
S
S
1
3
R
+ u R -iC
+
u
C
-C
-
分析：已知换路前电容无初始储能，因而有：
uC (0 )  uC (0 )  0 V
电路再次达到稳态，有
uC ()  U S
换路后，电路的等效电路为：
R
+
+ u R -i
C
US
-
C
+
uC
-
可列微分方程为：
du C
RC
 uC  U S
dt
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3.3 一阶电路的响应
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3
该方程为一阶常系数非齐次方程，方程的解为：
非齐次方程的解=齐次方程的解+非齐次的特解

对应齐次的解为： uC (t )  Ae
t
RC
非齐次的特解为： uC ()  U S

非齐次方程的解为： uC (t )  Ae
t
RC
代入初始条件有： uC (t )  U S  U S e

 US

t
RC
 U S (1  e

t
RC
)
t
令  RC ，有 uC (t )  U S (1  e  )
同理有：
u R (t )  U S e

t

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3.3 一阶电路的响应
S
1
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三、一阶电路的完全响应
1. 完全响应的概念
当动态电路在换路前有初始储能，换路后有
独立电源作用下产生的响应称为完全响应。一阶
完全响应可用一阶非齐次方程表示。
2. 例题分析
电路如图所示，已知换路前电路处于稳态。
求换路后的 i L 响应。
S1
+
2V
-
4
S2
t0
t0
iL
0.5H
1
+
1V
-
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3.3 一阶电路的响应
S
1
1
分析：换路前等效电路为：
+
iL (0  )
1V
-
此时有： iL (0 )  1A
根据换路定则有： iL (0 )  iL (0 )  1 A
电路再次达到稳态的等效电路为：
换路后等效电路为：
+
2V
iL ()
-
可列微分方程有
4
0 .5
+
-
4
iL ()  0.5 A
此时有：
2V
3
iL (t )
di L
 4iL  2
dt
0.5H
该方程为一阶常系数非齐次方程。
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3.3 一阶电路的响应
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该方程的最终解为：
iL (t )  0.5e

t

 0.5 A
其中  L / R  0.5 / 4  0.125 S
该响应也可以利用分解的方法求解，将响应分为零
输入响应和零状态响应之和。等效电路如下图所示：
A
S1
4
S2
t 0
t 0
iL
0.5H
1
+
+
1V 2V
-
零输入响应
4
S1
S2
1
t 0
t 0
iL
0.5H
-
零状态响应
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3.3 一阶电路的响应
零输入响应为： e
S
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3
t


零状态响应为： 0.5  0.5e

t

另外完全响应也可以分为稳态响应（0.5）和暂态
A
响应（ 0.5e

t

）。
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3.4 一阶动态电路的三要素法
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2
3
一、三要素法公式
根据3.3节一阶电路响应的形式为：
f (t )  f (0 )e
A

t


t
 f ()(1  e  )  f ()  [ f (0 )  f ()]e
因此只要得到 f (0 )、 f ( )和

t

三个参数，代入上公式即可。
我们把这种方法称为三要素法，上公式称为三要素法公式。
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3.4 一阶动态电路的三要素法
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2
二、利用三要素法求解响应
只有在求解直流电源作用下的一阶电路的电压或电流响应
时，才可以使用三要素法。
求解步骤为：
A
Step1：根据条件计算电路换路前的 uC (0 ) 或 iL (0 ) ；
Step2：计算换路后的 f (0 ) ；
Step3：计算电路再次达到稳态时的 f ( ) ；
Step4：计算电路时间常数  。
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3.4 一阶动态电路的三要素法
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RC电路   RC RL电路   L / R
其中R为换路后从储能元件看过去整个电路的
戴维宁等效电阻!
A
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第3章暂态电路分析

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