Transcript 离散型随机变量的概率分布

2.2
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量是指只能取有限个或可列个数
值的随机变量．要掌握离散型随机变量X的分布规
律或概率分布，就必须且只需知道X的所有可能取
值以及取每一个可能值的概率．
概率统计（ZYH）
设离散型 随机变量X的所有可能取值为 x1 , x2 ,,
而X取各个可能值的概率（即概率分布）为
P{ X  xk }  pk , k  1,2,
则称此式为离散型随机变量X的分布律. 分布律也可
用表格形式或矩阵形式表示如下
X
x1
x2
…
xk
…
pk
p1
p2
…
pk
…
 x1
X ~
 p1
概率统计（ZYH）
x2  xk
p2  pk



由概率定义不难知道
pk  0, k  1,2,
pk (k＝1,2,…) 是

某离散型随机变
p
量 X 的分布律
分布函数: F ( x) 
k 1
p
xk  x
k
计算概率: P{ X  S } 
1
分布律: P{ X  xk }
 F ( xk )  F ( xk  0)
 P{ X  x }   p
xk S
概率统计（ZYH）
k
k
xk S
k
离散型随机变量的概率分布完全由 分布律 反映：
概率统计（ZYH）
例1 袋中有2个白球和3个黑球，每次从袋中任
取1个球，直至取得白球为止，若每次取出的黑球
不再放回去，求取球次数X 的分布律．
解 因为每次取出的黑球不再放回去，所以X
的所有可能取值是1, 2, 3, 4．故由古典概型易知
2
P{ X  1}   0.4
5
3 2
P{ X  2}    0.3
5 4
3 2 2
P{ X  3}     0.2
5 4 3
概率统计（ZYH）
3 2 1 2
P{ X  4}       0.1
5 4 3 2
故X的分布律为：
X
1
2
3
4
pk
0.4
0.3
0.2
0.1
例2 袋中有2个白球和3个黑球，每次从袋中任
取1个球，直至取得白球为止，若每次取出的黑球
仍放回去，求取球次数X 的分布律．
解
因为取出的黑球仍放回去，所以X的所有
可能取值是1,2,· · · . 故由相互独立的乘法定理可知
 2  3
P{ X  k}      
 5  5
k 1
 0.4  0.6k 1 , k  1,2,
几何数列
几何分布
故X的分布律为：
X
1
2
···
k
···
pk
0.4
0.40.6
···
0.40.6k－1
···
概率统计（ZYH）
几何分布的一般形式为
X
1
2
3
4
…
k
…
pk
p
pq1
pq2
pq3
…
pqk
…
例3 设一批产品共有N个, 其中有M个是次品.
从这批产品中任意抽取n个，求取出的n个产品中
次品数X的分布律．
解 这是一章讨论过的抽球问题, 所求分布律为
CkM CnNkM
, max(0, n  N  M )  k  min(n, M )
P{ X  k } 
n
CN
这种分布称为超几何分布
概率统计（ZYH）
三种重要的离散型随机变量的概率分布
1) 0-1分布
设随机变量 X 只可能取a与b两个值（不失一
般性, 总可以取a＝0, b＝1）, 其概率分别为(1-p)
和p, 则 X 的概率分布为
P{ X  0}  1  p
P{ X  1}  p
1
 0
或 X ~

 1 p p 
称该分布为0-1分布或两点分布, 记作X~B(1, p)
概率统计（ZYH）
应用与背景：抛掷均匀硬币, 令
1,
X 
0,
出现正面
出现反面
则随机变量 X 服从0-1分布 p{ X
1
 1}  p{ X  0}
2
两点分布是最简单的分布,任何一个只有两种
可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男是女、明
天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于0-1分布.
概率统计（ZYH）
2) 二项分布
伯努利资料
将试验E重复进行n次, 若各次试验的结果互不
影响, 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它
各次试验的结果, 则称这n次试验是相互独立的.
设试验E只有两个可能结果：事件A或者发生,
或者不发生. 将试验E重复独立地进行n次 , 则称这
一串重复独立试验为n重伯努利（Bernoulli）试验.
简称伯努利试验.
n重伯努利（Bernoulli）试验有着广泛的应用.
概率统计（ZYH）
n重伯努利试验 的概率分布:
设 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次
数, p为一次试验中事件A发生的概率, 即P(A)=p, 则
X是一个随机变量, X 的所有可能取值为 0,1,2,…,n.
由于各次试验相互独立, 因此事件A在指定的k次试
验中发生而其它n-k次试验中不发生的概率为
 k
k



 n
k n k
P( AA A A A A )  p q
由于这种指定的方式共有 C kn 种, 故
P { X  k }  C kn p k q n k ( k  0, 1, 2, , n ; q  1  p)
概率统计（ZYH）
不难验证上述分布正是二项式展开的各项, 且
n
k k n k
n
C
p
q

(
p

q
)
1
 n
k 0
故称该分布为二项分布. 记为 X ~ B ( n, p ).
用矩阵表示即得分布矩阵:
1

k
 n
0
X ~ n
1
n 1
k k n k
n
q
C
pq

C
p
q

p
n
n


特别地:
二项分布
n1
0-1分布
应用与背景：
n重伯努利试验的概率分布就是二项分布
概率统计（ZYH）
二项分布的图形
概率统计（ZYH）
例4 设某考卷上有10 道选择题, 每道选择题
有4个可供选择的答案
, 其中一个为正确答案
, 今有
一考生仅会做
6道题, 有4道题不会做, 于是随意填
写, 试问能碰对m(m  0,1,2,3,4)道题的概率.
解 设X表示碰对的题数
, 则X ~ B(4, 1 / 4)
m 1 m 3 4 m
P{ X  m}  C4 ( ) ( )
(m  0,1,2,3,4)
4 4
0 1 0 3 4 0
经计算得 P( X  0)  C4 ( ) ( )  0.316
较大
4 4
1 3 3 4 3
P( X  3)  C ( ) ( )  0.048
4 4
3
4
概率统计（ZYH）
很小
例5 一工人负责维修20台同类型的机床, 在一段
时间内每台机床需要维修的概率为0.05. 求：
(1) 在这段时间内有2~4台机床需要维修的概率；
(2) 在这段时间内至少有2台需要维修的概率．
解 将对每台机床的维护看成一次试验, 设在这段
时间内出现故障的机床数为X, 则X~B(20, 0.05). 故
所求概率为
P{2  X  4} 
4
4
k 2
k 2
k
k
20 k
P
{
X

k
}

C

0
.
05

0
.
95
 0.2616

 20
P{ X  2}  1－[ P{ X  0}＋P{ X  1}]
1
 1  [0.9520  C20
 0.051  0.9519]  0.2642
概率统计（ZYH）
例6 已知每枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为
96﹪,问至少需要发射多少枚导弹才能保证有99.9﹪
的把握击中敌机？
解 将导弹的每次发射看成一次
试验, 设共发射n次, 击中的次数为X,
则X~B(n,0.96). 故击中敌机的概率为
P{ X  1}  1  P{ X  0}  1  0.960 (1  0.96)n  1 0.04n
因此，要保证有99.9﹪的把握击中敌机, n就应满足
ln 0.001
 2.15
1  0.04  99.9% 或 n 
ln 0.04
n
亦即n≥3, 即至少需要发射3枚导弹才能满足要求．
概率统计（ZYH）
例6的解法二 将导弹的每次发
射看成一次试验, 设第1次击中敌机
的次数为X, 则X服从几何分布. 故发
射n枚导弹能击中敌机的概率为
n
1

0.04
 1 0.04n
P{ X  n}   0.96  0.04k 1  0.96 
1  0.04
k 1
n
因此, 要保证有99.9﹪的把握击中敌机, n就应满足
ln 0.001
 2.15
1  0.04  99.9% 或 n 
ln 0.04
n
亦即n≥3, 即至少需要发射3枚导弹才能满足要求．
概率统计（ZYH）
3) 泊松分布
泊松资料
从上述几例及二项分布的分布公式不难看出:
当n比较大时, 要计算二项分布概率是非常麻烦的.
不过当n很大, p很小时, 我们有著名的二项分布的泊
松逼近：
泊松逼近定理 设X服从二项分布B(n, p), 则当
n充分大时有下面的近似等式：
k n k
P{ X  k}  C p q
k
n
其中   np
概率统计（ZYH）


k
k!
e  , k  0,1,2,, n
泊松逼近公式
二项分布与泊松逼近对比表
按二项分布直接
计算概率 P {X＝k}
k
0
1
2
3
4
k＞4
n＝10
p＝0.1
0.349
0.385
0.194
0.057
0.011
0.004
概率统计（ZYH）
按泊松
逼近计算
n＝20
n＝40
n＝100
＝np＝1
p＝0.05 p＝0.025 p＝0.01
0.358
0.377
0.189
0.060
0.013
0.003
0.363
0.373
0.186
0.060
0.014
0.004
0.366
0.370
0.185
0.061
0.015
0.003
0.368
0.368
0.184
0.061
0.015
0.004
如果令 n→∞, 并取
P{ X  k} 


k
k
 k!
e  1
k 0
e , k  0,1,2,
k!
则X已构成一个取全体非负整数的随机变量,我们
把由此定义的X的分布叫做泊松分布, 记作X~P()
二项分布
概率统计（ZYH）
n很大, p 很小
泊松分布
泊松分布的图形
概率统计（ZYH）
应用与背景：
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
与分析放射性物质放出的α粒子数时, 做了2608次
观察(每次时间为7.5 秒), 发现放射性物质在规定的
一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.
概率统计（ZYH）
再如 下列各事件发生的次数等, 都服从泊松分布
地震次数
火山爆发次数
特大洪水次数
商场接待顾客数
电话呼唤次数
交通事故次数
概率统计（ZYH）
例7 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,
设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为
0.0001, 若每天在该段时间内有1000辆汽车通过, 问
出事故的次数不小于2的概率是多少?
解 设出事故的次数为 X , 则
X ~ B(1000,0.0001), 故所求概率为
P{ X  2}  1  P{ X  0}  P{ X  1}
可利用泊松定理计算   1000 0.0001  0.1
e0.1 0.1 e0.1
P{ X  2}  1 

 0.0047
0!
1!
概率统计（ZYH）