Transcript b******************Ca******Da**Ea**Fa**Ga**Ha**Ia**Ja**Ka**La

微積分 精華版
Essential Calculus
第 5 章 積分的應用
歐亞書局






歐亞書局
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
兩曲線之間區域的面積
體積：圓盤法
體積：圓柱殼法
弧長和旋轉面
物理和工程上的應用
微分方程：成長與衰退
第 5 章 積分的應用
5.1 兩曲線之間區域的面積
兩曲線之間區域的面積
從求曲線下覆蓋的面積到求兩曲線之間的面積，只需要將定
積分的應用略加調整。考慮在區間 [a, b] 上的兩個連續函數
f (x) 和 g(x)，如果 f 和 g 的圖形都在 x 軸的上方，並且 g 的圖
形完全落在 f 圖形的下方，從幾何的角度看來，f 和 g 圖形之
間的面積就是從圖形 f 所覆蓋的面積扣掉圖形 g 所覆蓋的面
積。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.228
圖 5.1
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.228
圖 5.2
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.228
圖 5.3
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.228
兩曲線之間區域的面積
如果 f 和 g 在 [a, b] 上連續並且 g (x) ≤ f (x) 在 [a, b] 上恆成
立，則以 f 的圖形，g 的圖形，鉛直線 x = a 和 x = b 為界的
區域面積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.229
圖 5.4
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.229
例 1 求兩曲線之間區域的面積
求以圖形 y = x2 + 2，y = –x，x = 0 和 x = 1 為界的區域面積。
解 令 g(x) = –x，f (x) = x2 + 2，則在 [0, 1] 上，恆有
g(x) ≤ f (x)，如圖 5.5 所示。圖中樣本長方形的面積是
ΔA = [f(x) – g(x)]Δx = [(x2 + 2) – (–x)]Δx
因此，區域的面積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.229
圖 5.5
以 f 的圖形，g 的圖形，x = 0 和 x = 1 為界的區域。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.229
例 2 兩相交圖形之間的區域
求以圖形 f (x) = 2 – x2 和圖形 g(x) = x 為界的區域面積。
解
在圖 5.6 中，注意到圖形 f 和圖形 g 有兩個交點，我們
令 f (x) 和 g(x) 相等來解出交點的橫坐標。
所以 a = –2，而 b = 1，又因在區間 [–2, 1] 上 g(x) ≤ f (x) 恆
成立，圖中的樣本長方形面積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.230
因而區域的面積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.230
圖 5.6
以圖形 f 和圖形 g 為界的區域。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.230
例 3 兩相交圖形之間的區域
正弦曲線和餘弦曲線相交無窮多次，圍出的區域面積都相
等，如圖 5.7 所示，請求單一圍出區域的面積。
解
所以 a = π/4，並且 b = 5π/4，又因在區間 [π/4, 5π/4 ]
上，恆有 sin x ≥ cos x，所求區域的面積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.230
圖 5.7
正弦曲線和餘弦曲線圍出的區域之一。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.231
例 4 交點數大於二的情形
求介於圖形 f (x) = 3x3 – x2 – 10x 和圖形 g(x) = –x2 + 2x 之間區
域的面積。
解 先令 f (x) 和 g(x) 相等以求交點的橫坐標。
所以，兩圖形在 x = –2，0 和 2 時相交。圖 5.8 中，在 [–2, 0]
上，g(x) ≤ f(x)，但是經過原點，上下易位，在區間 [0, 2]
上，f(x) ≤ g(x)，因此我們要作兩次積分，一次在 [–2, 0] 上，
一次在 [0, 2] 上。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.231
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.231
圖 5.8
在 [–2, 0] 上 g(x) ≤ f(x) 且在 [0, 2] 上 f(x) ≤ g(x)。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.231
例 5 水平的樣本長方形
求圖形 x = 3 – y2 和 x = y + 1 之間區域的面積。
解 考慮 g(y) = 3 – y2
和
f (y) = y + 1
這兩條曲線在 y = –2 和 y = 1 時相交，如圖 5.9 所示，由於在
[–2, 1] 上 f (y) ≤ g(y)，所以
ΔA = [g(y) – f(y)]Δy = [(3 – y2) – (y + 1)]Δy
因此，所求面積為
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.232
圖 5.9
水平的樣本長方形（對 y 積分）。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.232
圖 5.10
鉛直的樣本長方形（對 x 積分）。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.232
例 6 積分是一個累積的過程
求介於圖形 y = 4 – x2 和 x 軸間的面積，並詳述累積的積分過
程。
解 所求區域的面積是
我們可以把積分想像成從 x = –2 慢慢變化到 x = 2 時，帶動
相對應的樣本長方形，緩緩掃過區域，圖 5.11 顯示掃過的區
域越來越大，從 0 增加到 5/3、到 16/3、到 9，最後得到
32/3 。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.233
圖 5.11
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.233
5.2 體積：圓盤法

定積分不只是應用在求面積而已，另一個重要的應用是求
體積，例如旋轉體。

如果一個平面上的區域繞一條直線旋轉，得出的立體叫做
旋轉體（solid of revolution），該條直線稱為旋轉軸（axis
of revolution）。最簡單的旋轉體是一個正圓柱或圓盤
（disk），可由長方形繞自己的一邊旋轉而成。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.235
圖 5.12
旋轉體。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.235
圖 5.13
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.235
圖 5.14
圓盤法。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.236
圓盤法
 以圓盤法（disk method）求旋轉體體積，因轉軸不同而有
下列二法。

圓盤法的過程表列如下：
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.236
圖 5.15
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.236
例 1 應用圓盤法
求以圖形
和 x 軸為界的區域繞 x 軸旋轉（0 ≤ x
≤π）所得旋轉體的體積。
解 圖 5.16 顯示一個在 x 軸上方的樣本長方形，圓盤法中論
及的圓盤半徑就是
因此旋轉體的體積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.237
圖 5.16
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.237
例 2 旋轉軸非坐標軸的情形
求以 f (x) = 2 – x2 和 g(x) = 1 為界的區域繞直線 y = 1 旋轉所
得旋轉體的體積，見圖 5.17。
解 令 f (x) 和 g(x) 相等可得 x = ±1，求樣本圓盤半徑 R(x)。
R(x) = f (x) – g(x) = (2 – x2) – 1 = 1 – x2
然後，從 –1 積到 1 求體積。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.237
圖 5.17
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.237
橡皮圈法

如果以樣本橡皮圈代替樣本圓盤，就可以計算中空的旋轉
體體積，將長方形繞軸旋轉一圈會得到一個橡皮圈
（washer）。假設 r 和 R 分別是橡皮圈內緣和外緣的半徑，
而 w 是橡皮圈的厚度，橡皮圈的體積公式是
橡皮圈體積 = π(R2 – r2) w

現有一平面區域外緣半徑（outer radius）和內緣半徑
（inner radius）分別是 R(x) 和 r(x)。橡皮圈法藉由樣本橡
皮圈的體積 π(R(x)2 – r(x)2)Δx 得到體積的積分表示
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.237
圖 5.18
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.238
圖 5.19
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.238
例 3 應用橡皮圈法
求以圖形
和 y = x2 為界的區域繞 x 軸旋轉所得旋轉
體的體積，見圖 5.20。
解
在圖 5.20 中，外緣和內緣的半徑分別是
從 0 積到 1 得出
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.238
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.238
圖 5.20
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.238
例 4 對 y 積分，兩個積分的情形
求以圖形 y = x2 + 1，y = 0，x = 0 和 x = 1 為界的區域繞 y 軸
旋轉所得旋轉體的體積。
解
圖 5.21 中的區域，外緣半徑 R = 1，但是內緣半徑 r 無
法單一表示。當 0 ≤ y ≤ 1 是 r = 0，而 1 ≤ y ≤ 2 時，r 是被方
程式 y = x2 + 1 決定的，也就是說 r 應該是
，所
以
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.239
利用 r (y) 的兩種情形，將體積以兩個積分式表達
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.239
圖 5.21
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.239
圖 5.22
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.239
例 5 製造
在一個半徑 5 吋的金屬球的中心鑽通一個半徑 3 吋的洞，如
圖 5.23(a) 所示。請問如此打造的金屬環體積為何？
解
想像此金屬環是由圓的一部分旋轉出來，如圖 5.23(b)所
示，由於洞的半徑是 3 吋，令 y = 3，先解方程式 x2 + y2 = 25
來決定積分的上下限是 x = ±4，故內緣半徑是 r(x) = 3，外緣
半徑是
歐亞書局
，而體積是
第 5 章 積分的應用
p.239
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.240
圖 5.23
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.240
已知橫截面的立體體積
1. 立體垂直 x 軸的截面積是 A(x)，
2. 立體垂直 y 軸的截面積是 A(y)，
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.240
圖 5.24
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.240
例 6 三角形截面
求圖 5.25 立體的體積。它的底面是一個三角形，三邊分別是
而垂直 x 軸的截面都是正三角形。
解 每一個正三角形截面的底邊長和面積大小如下：
由於 x 的範圍從 0 到 2，此立體的體積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.240
圖 5.25
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.241
例 7 幾何上的應用
求證以正方形為底的金字塔的體積是 V = 1/3 hB，其中 h 是
高，而 B 是底的面積。
解 如圖 5.26 所示，以高度 y，平行於底的平面交此金字塔
所得的正方形截面，邊長為 b'，由相似形成比例關係，可知
其中 b 是底面的邊長，所以高度為 y 的橫截面面積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.241
對 y 從 0 積到 h 得到
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.241
圖 5.26
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.241
5.3 體積：圓柱殼法

繞水平軸或鉛直軸旋轉，以圓柱殼法（shell method）求體
積的公式如下
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.243
圖 5.27
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.243
圖 5.28
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.244
圖 5.29
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.244
例 1 以圓柱殼法求體積
求以 y = x – x3 和 x 軸為界的區域（0 ≤ x ≤ 1）繞 y 軸旋轉所
得旋轉體的體積。
解 由於是繞鉛直軸旋轉，畫一個鉛直的樣本長方形，如圖
5.30。寬度Δx 指示積分的變數是 x，從樣本長方形的中心到
轉軸的距離是 p(x) = x，並且長方形的高度是
h(x) = x – x3
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.244
從 x = 0 積到 x = 1，得到的體積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.245
圖 5.30
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.244
例 2 以圓柱殼法求體積
2
求以圖形 x = e–y 和 y 軸為界的區域（0 ≤ y ≤ 1）繞 x 軸旋轉
所得旋轉體的體積。
解 由於旋轉軸是水平的，取一個水平的樣本長方形，如圖
5.31。寬度Δy 指示積分的變數是 y，從樣本長方形的中心到
2
轉軸的距離是 p(y) = y ，而長方形的高是 h(y) = e–y ，從 y = 0
積到 y = 1，得到旋轉體的體積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.245
圖 5.31
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.245
圖 5.32
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.245
圓
圖 5.32 (續)
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.245
例 3 適用圓柱殼法
求以圖形 y = x2 + 1、y = 0、x = 0 和 x = 1 為界的區域繞 y 軸
旋轉所得旋轉體的體積。
解 從上一節的例 4，已知圓盤法需要兩個積分式來決定體
積（見圖 5.33(a)）。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.246
但是從圖 5.33(b) 看來，使用圓柱殼法只要積分一次就可求
得體積。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.246
圖 5.33
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.246
例 4 浮筒的體積
圖 5.34 是一個浮筒的圖，以
，–4 ≤ x ≤ 4 的函數圖
形繞 x 軸旋轉一圈來設計浮筒，式中 x，y 的單位是呎，求此
浮筒的體積。
解 由圖 5.35 (a)，以圓盤法處理如下。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.246
圖 5.34
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.246
圖 5.35
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.247
例 5 必須使用圓柱殼法
求以圖形 y = x3 + x + 1, y = 1 和 x = 1 為界的區域繞直線 x = 2
旋轉所得旋轉體的體積，如圖 5.36 所示。
解 在方程式 y = x3 + x + 1 之下，以 x 表 y 顯然比較容易，
所以積分的變數當然選 x，並且樣本長方形也選成鉛直的，
也就是說，非用圓柱殼法不可。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.247
圖 5.36
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.247
5.4 弧長和旋轉面
弧長

以直線段的長來近似曲線上的一段弧長，直線段長的公式
就是一般所熟悉的距離公式。

一條可求長（rectifiable）的曲線指的是一條弧長是有限值
的曲線。我們馬上會看到如果 f ' 在 [a, b] 上連續的話，那
麼 f 的圖形在 (a, f (a)) 和 (b, f (b)) 之間就是可求長的。這
樣的函數稱為在 [a, b] 上連續可微（continuously
differentiable），而它在 [a, b] 上的圖形就是一條平滑曲線
（smooth curve）。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.248
弧長的定義
令 y = f (x) 表 [a, b] 上的一條平滑曲線，f 在 a 和 b 之間的弧
長是
同理，平滑曲線 x = g(y) 在 c 和 d 之間的弧長是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.249
圖 5.37
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.249
例 1 線段的長度
求圖形 f (x) = mx + b 上兩點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之間的長度。
解 由於
因此
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.250
圖 5.38
f 圖形的弧長恰好是標準距離公式。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.250
例 2 求弧長
求圖形 y = x3/6 + 1/(2x) 在區間 [½, 2] 上的弧長（圖5.39）。
解 計算
代入弧長公式得出
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.250
圖 5.39
圖形 y 在 [½, 2] 上的弧長是 33/16。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.250
例 3 求弧長
求圖形 y = ln(cos x) 從 x = 0 到 x =π/4 的弧長（圖5.40）。
解
歐亞書局
計算
得出弧長
第 5 章 積分的應用
p.251
圖 5.40
圖形 f 在 [0, π/4] 上的弧長近似值是 0.881。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.251
例 4 電纜的長度
一條懸在距離為 200 呎的兩塔之間的電纜（如圖 5.41）形狀
如懸垂線，公式是
y = 75(ex/150 + e–x/150)
求兩塔之間電纜的長度。
解
歐亞書局
由於
，平方後得出
第 5 章 積分的應用
p.251
以及
因此，電纜的長度是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.251
圖 5.41
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.251
旋轉面的定義

將一個連續函數的圖形，繞一條直線旋轉一圈所得的曲面
就稱為旋轉面（surface of revolution）。

一般旋轉面面積的討論基礎是正圓錐台（扣去上底、下底
之後）的表面積。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.252
圖 5.42
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.252
圖 5.43
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.252
圖 5.44
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.253
旋轉面面積的定義
令 y = f (x) 在區間 [a, b] 上連續可微，圖形 f 繞一水平或鉛直
直線旋轉所得旋轉面的面積是
式中 r(x) 是圖形 f 和轉軸之間的距離，如果在區間 [c, d] 上函
數是 x = g(y)，則表面積是
式中 r(y) 是圖形 g 和轉軸之間的距離。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.253
例 6 旋轉面的面積
求區間 [0, 1] 上的圖形 f (x) = x3 繞 x 軸旋轉所得旋轉面的面
積（圖5.45）。
解 x 軸和圖形 f 之間的距離是 r(x) = f (x)，又因 f '(x) = 3x2，
旋轉面的面積是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.253
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.254
圖 5.45
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.253
例 7 旋轉面的面積
求區間
上的圖形 f (x) = x2 繞 y 軸旋轉所得旋轉面的面
積（圖 5.46）。
解 此時，圖形 f 和 y 軸之間的距離是 r(x) = x，然後利用
f '(x) = 2x，可得曲面面積。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.254
圖 5.46
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.254
5.5 物理和工程上的應用
功



如果一物沿一固定的力 F 施力的方向移動了一段距離 D，
則此力對此物的作功（work） W，就定義為 W = FD。
力有許多形式——向心力，電力，重力等等，力（force）
可以想成是一個推或拉的效果，力會改變一個物體運動的狀
態，在地表上，通常以物體的重量代表此物所受到的重力。
在公制（C-G-S）中，力的基本單位是達因（dyne）——使
1 克的物體產生每秒 1 公分的加速度所需的力，因此在公制
中，功的單位是達因－公分（爾格）或牛頓－公尺（焦耳），
其中 1 焦耳 = 107 爾格。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.256
圖 5.47
將一 50 磅的物體抬高 4 呎需要作功 200 呎－磅。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.256
圖 5.48
當物體的位置改變了（Δx）時，施力也跟著改變。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.256
定義變動的力所作的功
如果一連續變化的力 F(x) 施於一直線運動的物體，則當該物
自 x = a 移至 x = b 時，此力所作的功是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.257

許多物理定律的發現約與微積分的發展同時。
1. 虎克定律（Hooke's Law）：
2. 牛頓萬有引力定律（Newton's Law of Universal
Gravitation）：
3. 庫倫定律（Coulomb's Law）：
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.257
例 1 壓縮彈簧
將一自然長度為 15 吋的彈簧壓縮 3 吋需要 750 磅的力，求再
連續壓縮 3 吋所需作的功。
解 由虎克定律，將彈簧壓縮 x 單位所需的力 F(x)，滿足 F(x)
= kx。由題意可知 F(3) = 750 = (k)(3)。所以 k = 250 ，因而
F(x) = 250x，如圖 5.49，假設壓縮一小段Δx 時，力量接近常
數，此時所需作的功為 ΔW = (250x) Δx。因為要將彈簧從
x = 3 壓縮到 x = 6，所需的功應從 x = 3 積到 x = 6。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.258
圖 5.49
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.258
例 2 自貯油槽抽油所作的功
一半徑 8 呎的球形貯油槽只裝了一半的油，油重是每立方呎
50 磅，今將油自頂端的小孔完全抽出需作功若干？
解
將油分層，每一層是厚度Δy，半徑 x 的圓盤，如圖
5.50。由於每一層圓盤所受的力是
圓心在 (0, 8)，半徑為 8 的圓方程式是
x2 + (y – 8)2 = 82
x2 = 16y – y2
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.258
所以 ΔF = 50(πx2Δy) = 50π(16y – y2)Δy
在圖 5.50 中，注意到距離槽底 y 呎的油必須抽高 16 – y 呎，
所以對此一層的作功是
ΔW = ΔF(16 – y) = 50π(16y – y2)Δy(16 – y)
= 50π(256y – 32y2 + y3)Δy
由於只有半槽的油，y 的範圍從 0 到 8，因此總共需要作的
功是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.258
圖 5.50
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.258
例 3 吊高鐵鍊
在路面上有一 20 呎長密度 5 磅∕呎的鐵鍊，今將此鍊一端
吊起到 20 呎的高度，使鐵鍊完全拉直需作功若干？
解 想像此鍊分成若干小節，每一小節長Δy，則每一小節
所受的力為
由於一小節提高高度為 y，對此小節的作功為
ΔW = (重力)(距離) = (5Δy)y = 5yΔy
y 的範圍從 0 到 20，因此總共需要作的功是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.259
圖 5.51
將鐵條一端吊高需作的功是 1000 呎－磅。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.259
一維系統的質心

對一個物體慣性的量度稱為該物體的質量（mass），假設
在理想狀況下質量 m 集中在一點。如果該點質量 m 距離
點 P 為 x，則定 m 對點 P 的質矩（moment of m about the
point P）為
質矩 = mx
x 稱為矩臂長度（length of the moment arm）。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.260
圖 5.52
當左右力矩相等時，蹺蹺板會處於平衡。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.260
一般而言，我們引入一條數線 x 軸，原點對應蹺蹺板的支
點，如圖 5.53，假設在 x 軸上有若干點質量，此軸繞支點
旋轉的趨勢是以對原點的質矩（moment about the origin）
來測量的，質矩的定義是
M0 = m1 x1 + m2 x2 + …+ mn xn
其中 m1，m2，…是各點的質量， x1， x2，…是各點的坐
標，如果 M0 = 0，就稱為平衡（equilibrium）系統，如果系
統不平衡，而支點移到 x 這點可以重新達到平衡的話，x 點
就稱為質心（center of mass）。

歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.260
圖 5.53
如果 m1 x1 + m2 x2 +…+ mn xn = 0，則此系統處於平衡狀態。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.260
質矩和質心：一維系統
點質量 m1 , m2 , … , mn 的位置坐標分別是 x1, x2, …, xn
1. 對原點的質矩（moment about the origin）是 M0 = m1 x1 +
m2 x2 + … + mn xn。
2. 質心（center of mass）在
，m = m1 + m2 + … + mn
是此系統的總質量（total mass）。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.261
例 4 一維系統的質心
求圖 5.54 中一維系統的質心。
解
對原點的質矩是
M0 = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4
= 10(–5) + 15(0) + 5(4) + 10(7)
= –50 + 0 + 20 + 70 = 40
系統的總質量是 m = 10 + 15 + 5 + 10 = 40。質心在
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.261
圖 5.54
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.261
除了定義質矩，也可以定義力矩，此時，對應質心的就變
成了重心（center of gravity），假設點質量 m1 , m2 , ... mn
位置坐標分別是 x1, x2, ..., xn，則因重力 (質量)(重力加速
度)，系統的總受力是
F = m1a + m2a + … + mna = ma
對原點的力矩（torque）是
T0 = (m1a)x1 + (m2a)x2 + …+ (mna)xn = M0a
重心是

因此，重心和質心的位置相同。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.261
質矩和質心：二維系統
在平面上 (x1, y1), (x2, y2), ...(xn, yn) 分別有點質量 m1, m2, ...mn 。
1. 對 y 軸的質矩（moment about the y-axis）是 My = m1 x1 + m2
x2 + … + mnxn。
2. 對 x 軸的質矩（moment about the x-axis）是 Mx = m1 y1 + m2
y2 + … + mnyn。
3. 質心（或重心）
是
其中 m = m1 + m2 + … + mn 是此系統的總質量（total mass）。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.262
圖 5.55
在一個二維系統，對 y 軸和 x 軸各有一質矩
My 和 Mx。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.262
例 5 二維系統的質心
求位在 (3, –2), (0, 0), (–5, 3) 和 (4, 2)，質量分別為 m1 = 6,
m2 = 3, m3 = 2 和 m4 = 9 的質心（如圖 5.56）。
解
因此，
並且
所以質心位在 (11/5, 3/5)。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.262
圖 5.56
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.262
圖 5.57
可以把薄膜的質心
想成是一個平衡點，圓形薄膜
的質心在圓心，長方形薄膜的質心在長方形的中心。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.263
圖 5.58
均勻薄膜的密度為ρ。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.263
薄膜的質矩和質心
令 f 和 g 在 [a, b] 上連續且 f (x) ≥ g(x)。考慮一均勻薄膜，
以圖形 y = f (x) 和 y = g(x) 為界，a ≤ x ≤ b，密度為ρ，則
1. 對 x 軸和對 y 軸的質矩（moments about the x- and y-axes）
分別為
2. 質心
的橫坐標
，縱坐標
，其中
是薄膜的總質量。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.263
例 6 平面上薄膜的質心
求以圖形 f (x) = 4 – x2 和 x 軸為界，密度為ρ的均勻薄膜的
質心。
解 由於質心會落在對稱軸上，所以 x = 0。薄膜的總質量是
求對 x 軸的質矩，取一個樣本長方形，如圖 5.59 所示，長方
形中心到 x 軸的距離是
而樣本長方形的質量是 ρf (x)Δx =ρ(4 – x2)Δx
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.264
則可得
而 y 的計算是
所以質心（平衡點）的位置在
歐亞書局
，如圖 5.60 所示。
第 5 章 積分的應用
p.264
圖 5.59
歐亞書局
第 5第
章 1積分的應用
章 極限及其性質
p.264
圖 5.60
質心是平衡點。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.264
例 7 平面區域的形心
求以圖形 f (x) = 4 – x2 和 g(x) = x + 2 為界區域的形心。
解 此兩圖形交於點 (–2, 0) 和 (1, 3)，區域的面積是
區域形心的坐標是
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.264
所以，區域的形心位置在
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
。
p.265
圖 5.61
形心在
歐亞書局
。
第 5 章 積分的應用
p.264
例 8 簡單平面區域的形心
求圖 5.62(a) 中區域的形心。
解 如圖 5.62(b)，架一坐標將三個長方形的形心標出
利用這三點，我們可以找出區域的形心。
區域的形心在 (2.9, 1)。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.265
圖 5.62
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.265
定理 5.1 Pappus 定理

平面上有一區域 R，其內部與直線 L 完全分離，如圖 5.63。
如果 R 的形心和 L 的距離是 r，則以 R 繞 L 所得的旋轉體體
積是
V = 2πrA
其中 A 是 R 的面積（注意到 2πr 是 R 繞 L 一圈時，形心所
走的距離）。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.265
圖 5.63
區域 R 的面積是 A，旋轉體的體積是 2πrA。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.265
例 9 以 Pappus 定理求體積
求圓域 (x – 2)2 + y2 = 1 繞 y 軸所得的旋轉體體積，如圖5.64(a)
所示。
解
圖 5.64(b) 中，圓域的形心在 (2, 0)。(2, 0) 與 y 軸的距離
是 r = 2。又因圓域的面積 A =π，所以甜甜圈的體積是
V = 2πrA = 2π(2)(π) = 4π2 ≈ 39.5
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.266
圖 5.64
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.266
5.6 微分方程：成長與衰退

本節中，我們要學習如何求解可以分離變數的微分方程式，
解題的方法是將原方程式改寫，使得方程式的變數分屬方
程式的兩邊，這個方法叫做分離變數法。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.267
例 1 解微分方程
解微分方程 y' = 2x/y。
解
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.267
所以，解出通解
y2 – x2 = C
請利用隱微分法驗算。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.268
定理 5.2 指數成長和衰退的模型

如果 y 是 t 的可微分函數，滿足 y > 0，並且對某一個常數
k 滿足
y' = ky，則 y = Cekt。
C 是 y 的初始條件（initial value），k 是比例常數
（proportionality constant）。
當 k > 0 時，模型是指數成長（exponential growth），
當 k < 0 時，模型是指數衰退（exponential decay）。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.268
例 2 利用指數成長模型
已知 y 的變率與 y 成比例，當 t = 0 時，y = 2；當 t = 2 時，
y = 4，請問當 t = 3 時，y 值為何？
解 由於 y' = ky，因此 y = Cekt。利用兩個初始條件再解 C 和
k。
因此，模型是
y' ≈ 2e0.3466t
當 t = 3 時，y 值是 2e0.3466(3) ≈ 5.657（見圖 5.65）。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.269
圖 5.65
如果 y 的變率與 y 成比例，則 y 遵循一個指數模型。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.269
例 3 放射性衰變
假設車諾比核災變發生時有 10 克同位素鈽-239 釋出，請問
衰變的過程需時多久，這 10 克的同位素才會只剩下 1 克？
解 令 y 表鈽的質量（克），由於衰變的速率與 y 成比例，
所以 y = Cekt
t 表時間（年），代入初始條件求 C 和 k，當 t = 0 時，將
y = 10 代入得
10 = Cek(0) = Ce0 = C
再利用 t = 24,100 時，將 y = 5 代入得
5 = 10ek(24,100)
½ = e24,100k
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.270
–0.000028761 ≈ k
因此，模型是
y = 10e –0.000028761t
半衰期模型
將 y = 1 代入求 t
1 = 10e –0.000028761t
大約需時 80,059 年才會剩下 1 克。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.270
例 4 群體數量的成長
假設在實驗室中有一群果蠅，其數量的增加遵循指數成長的
規律。在實驗開始的第二天之後有 100 隻，在第四天之後有
300 隻，請問在開始實驗時有幾隻果蠅？
解
令 y = Cekt ，表示在時間 t 時，果蠅的數目，t 的單位是
天，由於當 t = 2 時，y = 100；當 t = 4 時，y = 300 ，所以有
100 = Ce2k，100 = Ce4k
由第一式，得知 C = 100e–2k，代入第二式得出
300 = 100e–2ke4k
300 = 100e2k
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.270
ln 3 = 2k
½ ln 3 = k
0.5493 ≈ k
因此，指數成長模型的公式是
y = Ce0.5493t
再解 C，因為 C = 100e–2k，將 k 值代入得到 C ≈ 33。
所以當 t = 0 時，起始的數量大約是 y = C = 33 隻，如圖 5.66
所示。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.271
圖 5.66
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.271
例 5 銷售量下滑
廣告戰截止四個月之後，公司的銷售量從每月 100,000 件下
滑到每月 80,000 件。如果下滑的情形遵循指數規律，再過兩
個月銷售量如何？
解 利用指數衰退模型 y = Cekt，t 的單位是月，如圖 5.67 所
示，令 t = 0，可知 C = 初始條件 = 100,000，而當 t = 4 時，
y = 80,000，因此
80,000 = 100,000e4k
0.8 = e4k
ln(0.8) = 4k –0.0558 ≈ k
再過兩個月，也就是 t = 6，預期的月銷售量是
y = 100,000e–0.0558(6) ≈ 71,500 件
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.271
圖 5.67
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.271
例 6 牛頓冷卻定律
令 y 表室溫維持在 60℉ 之下一物的溫度（℉），如果此物
在 10 分鐘之內從 100℉ 降到 90℉，請問要降至 80℉ 還需要
多少時間？
解
根據牛頓冷卻定律，y 的變率與 y 和 60 的差成比例，即
y' = k(y – 60)，80 ≤ y ≤ 100
我們以分離變數法解此方程式如下。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.271
由於 y > 60，| y – 60| = y – 60，可以略去絕對值記號。利用
指數符號，得到
y – 60 = ekt + C1  y = 60 + Cekt
C = eC1
再將 t = 0，y = 100 代入，得 100 = 60 + Cek(0) = 60 + C，因此
C = 40，又因 t = 10 時，y = 90，所以
90 = 60 + 40ek(10)
30 = 40e10k
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.272
因此模型是
y = 60 + 40e–0.02877t
冷卻模型
最後，y 以 80 代入，得到
80 = 60 + 40e–0.02877t
20 = 40e–0.02877t
½ = e–0.02877t
ln ½ = –0.02877t
t ≈ 24.09 分鐘
因此還需要大約 14.09 分鐘，此物才會降到 80℉。
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.272
圖 5.68
歐亞書局
第 5 章 積分的應用
p.272