Transcript 幻灯片1
第七节
方向导数与梯度
一、方向导数
二、梯度
一、问题的提出
一块长方形的金属板，受热
产生如图温度分布场.
设一个小虫在板中逃生至某
处，
问该虫应沿什么方向爬行，
才能最快到达凉快的地点？
问题的实质：
应沿由热变冷变化最剧烈的
方向爬行．
需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，
方向导数问题
从而确定出温度下降的最快方向
梯度问题
引入两个概念：方向导数和梯度
二、方向导数
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点P沿某一方向的
变化率问题．
y
设函数 z f ( x , y ) 在点
P ( x , y ) 的某一邻域
内有定义，自点
l
P
U (P )
P 引射线 l ．
P
设 x 轴正向到射线 l的转角
为 , 并 设 P ( x x , y y )
为 l 上 的 另 一 点 且 P U ( P ).
o
y
x
x
| P P |
(x ) (y ) ,
2
2
y
且 z f ( x x , y y ) f ( x , y ),
考虑
z
P
,
当 P 沿着 l 趋于P 时，
lim
P
o
f ( x x, y y) f ( x, y)
0
是否存在？
l
y
x
x
定义
函 数 的 增 量 f ( x x, y y) f (x, y)
与 PP 两 点 间 的 距 离
( x ) ( y ) 之 比 值 ，
2
当 P 沿着 l 趋于 P 时，
2
y
l
P
如果此比的极限存在，
则称这极限为函数在点
P沿 方 向 l 的 方 向 导 数 ．
P
记为
f
l
x
o
lim
0
f ( x x, y y) f ( x, y)
.
f
l
lim
f ( x x, y y) f ( x, y)
0
.
若偏导 f x 存在,则 f ( x , y ) 在点 P 沿着 x 轴正向
i {1, 0 } 的方向导数为
f
l
lim
0y ) f ( x , y )
f ( x x, y
x 0
x
f
x
fx
此时 x x
同理,沿y轴正向e 2 { 0 ,1 }的方向导数分别为 f y .
沿 着 x 轴 负 向 、 y 轴 负 向 的 方 向 导 数 是 f x , f y .
若方向导数存在，则偏
例如，z
方向导数
z
导数未必存在 .
x y 在 O 0, 0 处 沿 l i 方 向 的
2
2
f
l
0 ，0
lim
( 0 ,0 )
原因：
0
l
1 ，而偏导数
z
x
0 , 0 不存在
.
f ( x , y ) f ( 0 ,0 )
2
2
方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限.
(x ) (y )
lim
0
(x ) (y )
2
2
1
偏导数存在 沿任意方向的方向导数存在.
方向导数的存在及计算公式
定理 如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分，
那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，
且有
f
l
f
x
cos
f
y
sin
计算公式
其中 为 x 轴到方向l的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f ( x x, y y) f ( x, y)
f
x
x
f
y
y o( )
f ( x x, y y) f ( x, y)
f
x
x
f
y o( )
y
两边同除以 , 得到
f ( x x, y y) f ( x, y)
f x f y o( )
x
y
故有方向导数
f
l
lim
cos
sin
f ( x x, y y) f ( x, y)
0
f
x
cos
f
y
sin .
l
x
y
求 函 数 z xe
例 1
2y
在 点 P (1 ,0 ) 处 沿 从 点 P (1 ,0 )
到 点 Q ( 2 , 1) 的 方 向 的 方 向 导 数 .
解 方向l 即为 PQ { 1 , 1 }
故x轴到方向l 的转角
z
x
e
2y
(1,0 )
(1,0 )
1;
4
z
y
2 xe
(1,0 )
所求方向导数
z
l
4
4
cos( ) 2 sin( )
2
2
.
2y
(1,0 )
2,
例2 求函数
f ( x , y ) x xy y
2
在点(1,1)沿与 x轴方向夹角为
2
的方向射线 l
的方向导数.
并问在怎样的方向上此方向导数有
（1）最大值; （2）最小值； （3）等于零？
解
由方向导数的计算公式知
f
l
f x ( 1 ,1 ) cos f y ( 1 ,1 ) sin
( 1 ,1 )
( 2 x y ) ( 1 , 1 ) cos ( 2 y x ) ( 1 , 1 ) sin ,
f
l
f x ( 1 ,1 ) cos f y ( 1 ,1 ) sin
( 1 ,1 )
cos sin
2 sin(
),
4
故
（ 1） 当
时 ，方 向 导 数 达到 最 大 值
4
（ 2） 当
（ 3） 当
5
4
3
4
2;
时 ， 方向导数达到最小值
和
7
4
2;
时 ，方 向 导 数 等 于 0.
推广:三元函数方向导数的定义
对于三元函数
u f ( x, y, z)
它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向l的方向导数 ，
可定义为
f
l
lim
f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z)
0
（ 其中
(x ) (y ) (z ) ）
2
2
2
,
z
设方向 l 的方向角为 , ,
x cos ,
l
y cos ,
z cos ,
x
o
y
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点
沿任意方向 l 的方向导数都存在，且有
方向导数的计算公式
f
l
f
x
cos
f
y
cos
f
z
cos .
例3 设 n是曲面 2 x 2 3 y 2 z 2 6 在点 P ( 1 ,1 ,1 )
1
1
处的指向外侧的法向量, 求函数 u ( 6 x 8 y ) 2
2
2
z
在此处沿方向 n 的方向导数.
解 令 F ( x , y , z ) 2 x 2 3 y 2 z 2 6,
F x
P
4x
P
4 , F y
P
6y
P
6 , F z 2 z
P
故 n ( F x , F y , F z) (4, 6, 2),
n
4 6 2 2 14 , 方向余弦为
2
3
1
cos
, cos
, cos
.
14
14
14
2
2
2
P
2,
2
cos
14
u
x
u
y
z
z 6x 8y
z 6x 8y
P
P
2
6x 8y
z
P ( 1 ,1 ,1 )
(
2
8y
2
u
故
n
14
6x
2
P 1 ,1 ,1
u
, cos
2
P 1 ,1 ,1
3
, cos
6
14
8
14
1
14
.
;
;
P
2
14 .
2
P
u
x
cos
u
y
cos
u
z
cos )
P
11
7
.
三、梯度
问题 :
函数在点 P 沿哪一方向增加的速度最快 ?
定义
设函数 z f ( x, y)在平面区域 D 内具有
一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则对 于 每 一 点 P( x, y) D ，
f f
i
j ，这向量称为函数
都可定出一个向量
x
y
z f ( x, y)在 点 P ( x, y)的 梯 度 ， 记 为
f f
gradf ( x , y )
i
j.
x
y
设 e cos i sin j 是方向 l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f
cos
sin { , } {cos , sin }
l x
y
x y
f
f
f
gradf ( x , y ) e | gradf ( x , y ) | cos ,
其 中 ( gradf ( x , y ) , e )
f
当 cos( gradf ( x , y ), e ) 1 时 ， 有 最 大 值 .
l
结论
函数在某点的梯度是这样一个向量，
它的方向与取得最大方向导数的方向一致,
而它的模为方向导数的最大值．
l
梯度的模为
2
| gradf ( x , y ) |
当
f
x
gradf
f
f
x
y
不为零时，
2
P
gradf
f
y
x轴到梯度的转角的正切为 tan
f
x
等值线
在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面 z c
z f ( x, y)
所截,得曲线
,
z c
它在xoy面上投影方程：
y
f ( x , y ) c 称为等值线.
f ( x, y ) c2
几何上，称为等高线.
f ( x, y ) c
f ( x , y ) c1
o
x
等高线
例如,
函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
等值线 f ( x , y ) c 上任一点处的一个法向量为
f
(
x
,
y
)
c
n =grad f ( x , y )
n ( f x , f y ) grad f y
2
f 0
n
n
grad f
P
f ( x, y ) c
f
n
f ( x , y ) c1
o
c1 c c 2
x
表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，
它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等
值线， 梯度的模就等于函数在这个法线方向的
方向导数.
问题：
上山时，如何选择最快的方向？
计算方法课程中的一种计算策略：
“瞎子下山法”
梯度的概念可以推广到三元函数
三 元函数 u f ( x , y, z )在空间区域 G 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x, y, z) G ，
都 可 定 义 一 个 向 量 (梯 度 )
f f f
gradf ( x , y , z )
i
j
k.
x
y
z
类似于二元函数，此梯度也是一个向
量，其方向与取得最大方向导数的方向
一致，其模为方向导数的最大值.
例4 求函数 u x 2 y 3 z 3 x 2 y
在点 (1,1, 2 ) 处的梯度，并问在何处梯度为零？
2
2
2
解 由梯度计算公式得
u u u
gradu ( x , y , z )
i
j
k
y z
x
故
( 2 x 3 )i ( 4 y 2 ) j 6 zk ,
gradu ( 1 ,1 , 2 ) 5 i 2 j 12 k .
令 grad f ( 2 x 3 ) i (4 y 2 ) j 6 zk 0 ,
3 1
则在 P0 ( , , 0 ) 处梯度为 0 .
2 2
小结
一、方向导数
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
1.定义
f
l
lim
l
f
x
0
2.计算公式
f
f ( x x, y y) f ( x, y)
f
l
cos
f
x
f
y
cos
cos
f
y
sin
f
z
cos .
.
二、梯度 （注意梯度是一个向量）
定义
f f
grad f ( x , y )
i
j
x
y
f
y
方向：x轴到梯度的转角的正切 tan
f
x
2
模：| gradf ( x , y ) |
f
f
x
y
2
三、方向导数与梯度的关系
梯度：
方向与取得最大方向导数的方向一致,
模为方向导数的最大值.
f
l
f
x
cos
f
sin | gradf ( x , y ) | cos ,
y
其中 ( gradf ( x , y ) , l )
某 点 梯 度 的 方 向 就 是 函 数 f ( x, y) 在 这 点 增 长
最 快 的 方 向.
思考题
问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？
答：梯度方向
求 函 数 u xy z 在 点 P (1, 1, 2) 处 方 向 导 数 的
2
最 大 值.
答： grad f
fx f y fz
2
2
2
P
21
作业
P.51 习题8-7
1; 4; 7; 8; 10.
练习题
一、填空题:
1 、 函 数 z x y 在 点 (1 , 2 ) 处 沿 从 点 (1 , 2 ) 到 点
2
( 2 ,2
2
3 ) 的 方 向 的 方 向 导 数 为 _____________ .
2
2
2
2 、 设 f ( x , y , z ) x 2 y 3 z xy 3 x 2 y 6 z ,
则 gradf ( 0 , 0 , 0 ) __________________.
3、已 知 场 u( x , y, z )
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
2
,则 u 沿 场 的 梯 度
方 向 的 方 向 导 数 是 __________________ .
4、 称 向 量 场 a 为 有 势 场 ,是 指 向 量 a 与 某 个 函 数
u ( x , y , z ) 的 梯 度 有 关 系 __________________.
二、求函数 z 1 (
x
2
a
2
y
2
b
2
x
2
a
2
y
2
b
2
)在点(
a
2
,
b
)处沿曲线
2
1在 这 点 的 内 法 线 方 向 的 方 向 导 数.
三 、 设 u , v 都 是 x , y , z 的 函 数 ,u , v 的 各 偏 导 数 都 存 在 且
连 续 , 证 明 : grad ( uv ) vgradu ugradv
四、求 u
x
2
2
y
2
2
z
2
2
在 点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处 沿 点 的 向
a
b
c
径 r0 的 方 向 导 数 , 问 a , b , c 具 有 什 么 关 系 时 此 方 向 导
数等于梯度的模?
练习题答案
3、
(
a
2
) (
2
2、 3 i 2 j 6 k ；
一 、 1、1 2 3 ；
2x
2y
b
2
) (
2
2z
c
2
)
2
gradu ；
4 、 a gradu .
1
2
2
2(a b ) .
二、
ab
2u( x 0 , y 0 , z 0 )
u
;a b c .
四、
M
2
2
2
r0
x0 y0 z0