Transcript Slide 1

Универзитет у Нишу
Факултет заштите на раду
РИЗИК ОД МЕХАНИЧКИХ ДЕЈСТАВА
Предавање 7.
ДИНАМИКА-3
Проф. др Драган Т. Стојиљковић
ДИНАМИЧКА ДЕЈСТВА: КОЛИЧИНА КРЕТАЊА, ИМПУЛС
СИЛЕ, ЗАМАХ, РАД СИЛЕ, СНАГА, МЕХАНИЧКА ЕНЕРГИЈА
Количина кретања


K  mv
K x  m  vx




K  Kx  i  K y  j  K z  k
K z  m  vz
K y  m  vy



 
dK d
dv
 m  v   m
 ma  F
dt dt
dt
 

t 
 

dK  F  dt  dI
K-K 0   F  dt  I
 
KF
t0


K  const.  c  m  x  c1; m  y  c2 ; m  z  c3
MLT  kgm/ s
1
Закон о моменту количине кретања (замаху)

 
L0  r  K




L  Lx  i  Ly  j  Lz  k


 F
      F
dL0     
 r  K  r  K  v  mv  r  K  r  F  M 0  L0  M 0
dt










L  Lx  i  Ly  j  Lz  k  M x  i  M y  j  M z  k
 
L  C  Lx  C1; Ly  C2 ; Lz  C3
ML T 
2
2 1
1
2 1
grcm s , kgm s
Момент силе за тачку

z
F

n


M 0  F  r  sin ( F , r )  F  h

 F
Mo


 r F
Mz


F
 F
Mo
900
О

r
Mx
y
My
h
900
N
x




Mo  M x i  M y  j M z  k
Диференцијалне једначине обртног кретања крутог тела
око непокретне осе
n
dLz 
L z   M z
dt
i 1
s
Fi
M ,
s
z
vi  ri    ri  
n
Lz   M z
i 1
n

Ki
n
n
i 1
i 1
  ri  mi  vi   ri  mi  ri   
    mi  ri  J z    J z  
2
i 1
J z    M z
s
Fi
M
s
z
J z   M
s
Fi
z
M
s
z
Диференцијалне једначине равног кретања крутог тела
xC , yC , 
s
Fi ( i  1,2,...,n )

rC 

 mi  ri
M
 s  "s

M  aC  Fi  FR
J z    M zs
J C    M
s
C
 M

Fi s
C
M  xC   X is ; M  yC   Yi s ; JC ζ    M
s
FI
C
Рад силе. Кинетичка енергија и закон о промени
кинетичке енергије
 
dA  F  ds



 
 
dA  F  ds  F  ds  cos F,ds



 
ds  dr ; ds  dx  i  dy  j  dz  k ; dA  FT  ds



 

dA FT  ds
P


 FT  v
A  F s  0 .
F  X i  Y j  Z k
dt
dt
 
dA  F  r  X  dx  Y  dy  Z  dz
M
A( M 0 M1 ) 
M
F
T
M0
 ds 
 X  dx  Y  dy  Z  dz
M0
1Ј=1Nm; 1W=1Ј/s


2 2
1
 FL
2 Ek   ML T
E k  mv

2

  
dA  F  dr F  m  a
 dv
a
dt


dv
F  m
dt

 
v 
 mv
 
dv 
dr  v  dt dA  m  dt  vdt  m  v  dv  m  d  2   d  2
2
 v2 
 
v  dv  d  
2
dEk  dA
 
2
v v  v
 
 
2  v  dv  d v2
2

  dEk

2


  1
v
2

v  dv  d v  d  
2
2
 
Ek 2  Ek1  AM 1 M 2 
dEk
dA
P

dt
dt
 
ds
1 d
1
dv
2
P  FT   FT  v  
m  v   m  2  v   m  aT  v  FT  v  F  v
dt
2 dt
2
dt


Закон о одржању механичке енергиј
 

 Eko   dA   F  ds   ( gradU , ds )   dU
Ek  Ek 0  AM M 0 
s


  


F  F r  F  X  i  Y  j  Z  k ; X  X x, y, z , Y  Y x, y, z , Z  Z x, y, z 

U  U x, y, z   gradF
-функција силе
dU  dU  dU 
gradU 
i
j
k
dx
dy
dz




U  U  U 
U
U
U
F  X  i  Y  j  Z  k  gradU 
i
j
kX
;Y 
;Z 
x
y
z
x
y
z
- U  Ep
- ПОТЕНЦИЈАЛНА ЕНЕРГИЈА

 


 U  U  U 

E k  E ko   dA   F  ds   ( gradU, ds )    i 
j
k , dx  i  dy  j  dz  k  
y
z
 x

s
 U
U
U 
    dx 
 dy 
 dz    dU  U  U 0   E p  E p 0  A
y
z
 x

Ek  E p  Ek 0  E p0  h  const.
Следеће силе су конзервативне:
1.Сила земљине теже;
G  mg
2.
Сила
растојању;
сразмерна


F  c  r
3. Њутнова гравитациона сила;

m 
F    2  r0
.
r
4. Сила која произвољно зависи од растојања;


F   f (r )  r0
x1
x2
A   Fe  dx  c   x  dx  c 
2
M 0 M 1 
x0
x1
x0

c 2
  x0  x12
2
x0  0 A   c  x 2
2


F    FN  T A 
x1
 F  ds     F
M 0 M 1
AM 0 M1    FN  s
N
x0
 ds

Кинетичка енергија крутог тела.
Ek tr 
1
1
1
1
 mi  vi2   mi  vC2   vC2  mi   M  vc2 ,
2
2
2
2
E k rot
1
1 2
1
2
2
  mi  ri         mi  ri   J z   2
2
2
2

Ek rk

1
 JP 2
2
J P  JC  M  d 2 ; d  PC
Ek rk 


1
1
1
1
1
2
 J C  M  d 2   2   J C   2  M  d      J C   2   M  vC2
2
2
2
2
2
Рад спољашњих сила које дејствују на круто тело
s 
dAi  Fi  dr;
 's 
dA   Fi  dr  FR  dr ;
n
s
i 1
 's 
dA  FR  drC
Елементарни рад спољашњих сила које дејствују на
круто тело које врши транслаторно кретање једнак је
елементарном раду главног вектора спољашњих сила
које дејствују на круто тело .
s 
s 
s
dAi  Fi  dsi  Fi  ri  d  cos Fi , dri 

s 
s
Fi s
 ri  Fi cos Fi , dr  d dA  M z d
i

Ai   M

Fi s
z
s
i

 d
A  A  M
s


 's 
dA  FR  drC  MCz  d

Fi s
z
 d;
dAs  MCz  d
Закон о промени кинетичке енергије крутог тела
Прираштај кинетичке енергије тела које врши
транслаторно кретање једнак је диференцијалу рада
спољашњих сила које дејствују на то тело:
 M  vC2   s 
  FR  drC  dEktr  dAS
d 
 2 
Прираштај кинетичке енергије тела које врши обртно
кретање око непокретне осе једнак је диференцијалу
рада спољашњих сила обртања тела око непокретне
осе:
 J z 2 
s
s
d

M
d


d
E

d
A

Cz
k
2


Прираштај кинетичке енергије тела које врши равно
кретање једнак је диференцијалу рада спољашњих
сила које дејствују на то тело:
dEk  X Rs dxC  YRsdyC  M Cs d  dEk  dAs
ОПШТИ ПРИНЦИПИ МЕХАНИКЕ
Диференцијални принципи:
1. Даламберов,
2. Лагранжов и
3. Лагранж-Даламберов принцип
Интегралн принципи:
1. Хамилтонов и
2. Лагранж-Мопертијев принцип итд
Даламберов принцип
  
ma  F  FW

FW -РЕЗУЛТАНТА СИЛА ВЕЗА
Fe  ma
- ЕФЕКТИВНА СИЛА

 
Fe  F  FW


F j  ma - СИЛА ИНЕРЦИЈЕ


F j  Fe  0
  
  
 ma  F  FW  0  ma  F  FW
  
F j  F  FW  0

F
-РЕЗУЛТАНТА СВИХ АКТИВНИХ СИЛА
ДАЛАМБЕРОВ ПРИНЦИП
ЗА СИСТЕМ МАТЕРИЈАЛНИХ ТАЧАКА

 u
  u
Fij  Fi  Fi  0  mi ai  Fi  Fi  0

u


Fij   Fi  0 Fi  0
-РЕЗУЛТАНТА
УНУТРАШЊИХ СИЛА
 F j
 F
 F
     
r  Fj  r  F  r  FW  0  M O  M O  M OW  0 - ЗА МТЕР. ТАЧКУ
 Fij
 F
 F u
     u
i
ri  Fij  ri  Fi  ri  Fi  0  M O  M O  M Oi  0 - ЗА i-ту МТЕР. ТАЧКУ

 Fij
 F
 F u
 
 
 u
ri  Fij   ri  Fi   ri  Fi  0   M O   M Oi   M Oi  0
- ЗА СИСТЕМ МАТЕРИЈАЛНИХ ТАЧАКА
Лагранжев принцип виртуалних померања
(виртуалног рада)

s

r

n

k
y
y

s

s2

s1
Виртуалним (могућим)
померањима
неслободне
материјалне тачке
назива се скуп било
којих бесконачно малих
померања тачке, која, у
датом тренутку
времена, допуштају
везе којима је
подвргнута тачка.
А
l
r
x


B
x
xB
 s A  r
xB  r cos   l cos
 xB  r sin     l sin  
r
r
r sin   l sin  r  l        
l
l
r  r
 xB  (r sin   l sin     ( ))
l  l
Виртуална померања морају да испуне следеће услове:
- мора да буду бесконачно мала, јер при коначном
померању тачака , систем може да пређе у други
положај;
- мора да буду таква да се све везе, којима је подвргнут
систем, одрже и даље не смеју да се наруше јер би се
тако прешло на неки други механички систем
Лагранжов принцип се односи на неслободну материјалну
тачку или на систем материјалних тачака у стању
мировања, што значи да су инерцијалне силе једнаке
нули .
 
F  FW  0
   
F  s  FW  s  0  A  AW  0
Лагранжев принцип померања (виртуалног рада): У
положају равнотеже, укупни рад на произвољним
виртуалним померањима (виртуални рад) везане
материјалне тачке или система материјалних тачака
једнак је нули.
 
Fi  FWi  0 - ЗА i-ту МАТЕР. ТАЧКУ
   
Fi  δsi  FW i  δ si  0  δAi  δAWi  0
- ЗА i-ту МАТЕР. ТАЧКУ
 
 
 Fi  si   FW i  si  0  Ai  AWi  0
- ЗА СИСТЕМ МАТЕРИЈАЛНИХ ТАЧАКА
 F1  y1  F2  y2  FB  yB  0
 y1  h1;  y2  h2;  yB  l
  0
1
FB   F1h1  F2 h2 
l
Лагранж-Даламберов принцип виртуалних померања
(виртуалног рада)
Збир радова силе инерције, активне
  
ma  F  FW
силе и силе везе на могућим

 
(виртуалним) померањима једнак је
F j  F  FW  0 нули.
    

F j  δs  F  δs  FW  δs  0  δA j  δA  δAW  0

   

F ji  δsi  Fi  δsi  FWi  δsi  0
 δA   δA   δA
ji
i
Wi
 δA ji  δAi  δAWi  0


Fj  m  a
0
 δA   δA  0 - ЗА ИДЕАЛНЕ ВЕЗЕ  AWi  0
X  m x x  Y  m y y  Z  m z z  0
ji
i
i
i i
i
i
i i
i
i
i i
i