Transcript Најважније теореме о простим бројевима

“ОТКРИВЕН НОВИ, НАЈВЕЋИ
ПРОСТ БРОЈ”
ВАЉ Е ВО , 2 6 . 2 . 2 0 1 3 .
ВЕЉКО ЋИРОВИЋ
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ
БРОЈЕВИМА
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Теорема (Еуклид). Постоји бесконачно много
простих бројева.
Доказ. Претпоставимо супротно, тј. да постоји
коначно много простих бројева:
p1 , p2 ,, pn
а да су сви остали природни бројеви сложени.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Тако би и број
m  p1 p2  pn  1
по претпоставци био сложен.
Па би био дељив са неким од простих бројева који
су побројани. Међутим, он при дељењу са сваким
од ових бројева даје остатак 1. Контрадикција.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Основни став аритметике
Теорема. Сваки природан број n,
већи од 1, може се на јединствен
начин представити у облику
производа простих чинилаца.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
ЈЕДОСТАВНИ ПРИМЕРИ:
2 x 3 x 3 = 18
2
2x 3 = 18
42=2 x4 3 x 7
48=2 x 3
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Канонска факторизација броја n  N
1
2
k
n  p1 p2  pk
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
n
1  2
a

p
p

p
1
2
n
Теорема. Нека је
канонска
факторизација природног броја а, тада су сви
његови делиоци облика:
1
2
n
d  p1 p2  pn
где су, 0  i  i , i  1, n
Па, је укупан број позитивних делилаца броја а једнак:
(1  1)( 2  1)( n  1)
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Теорема. Ако је p прост број и
важи p|ab, тада је p|a или p|b.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Теорема. За произвољан број k  N
постоји k узастопних сложених
природних бројева.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Један такав низ узастопних сложених бројева је:
a1  (k  1)k (k  1) 3  2 1  2  (k  1)!2
a2  (k  1)k (k  1) 3  2 1  3  (k  1)!3

ak  (k  1)k (k  1) 3  2 1  k  1  (k  1)! k  1
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Две важне теореме у вези са простим
бројевима из модуларне аритметике
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Теорема (Мала Фермаова) Ако је p прост број и p
не дели цео број a, тада је
a
p 1
 1(mod p)
Теорема (Вилсон) Ако је p прост број, тада је
( p  1)! 1(mod p)
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
РАСПОДЕЛА ПРОСТИХ
БРОЈЕВА У СКУПУ ПРИРОДНИХ
P - скуп свих простих бројева
 ( x) | { p : p  x, p  P} |
Функција која броји све просте бројеве мање од броја х.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Последица Теореме (Еуклид)
lim  ( x)  
x 
- Постављано је питање да ли се, и поред оваквог
понашања, ова функција може асимптотски
проценити неком другом функцијом која би
пружила више информација о њој.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Главни резултати:
 (Чебишев) Постоје позитивни бројеви А и В, тако
да је за све x>2:
Ax
Bx
  ( x) 
ln x
ln x
 (Адамар, Вале-Пусен) (У литератури на
енглеском Prime Number Theorem - PNT)
lim
x 
ln x
 ( x) 
1
x
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Уламова спирала
Stanislaw Ulam, 1963.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Прости бројеви у аритметичким низовима
(Дирихлеова теорема)
Постоје узајамно-прости природни бројеви d и a,
такви да постоји бесконачно много простих
бpојева облика dn + a
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
ПРИМЕРИ АРИТМЕТИЧКИХ НИЗОВА СА ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Аритметички низ
Првих 10 чланова
1 + 2n
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
1 + 4n
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, …
3 + 4n
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, …
1 + 6n
7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, …
5 + 6n
5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, …
1 + 8n
17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, …
3 + 8n
3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, …
5 + 8n
5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, …
7 + 8n
7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, …
1 + 10n
11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, …
3 + 10n
3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, …
7 + 10n
7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, …
9 + 10n
19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, …
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Хвала на пажњи!