Transcript Историјат, откривање највећег познатог простог броја, теореме

БЕОГРАД, 17. 5. 2013.
Вељко Ћировић
ИСТОРИЈАТ, НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ,
ОТКРИЋЕ НАЈВЕЋЕГ ПРОСТОГ БРОЈА,
ОТВОРЕНИ ПРОБЛЕМИ
Речено је...
 “ Математичари су узалуд покушавали до данас да открију неку
правилност у низу простих бројева, а имамо разлога да верујемо
да је то мистерија у коју људски ум никада неће продрти. “
Леонард Ојлер
 “ 2, 3, 5 и 7 су прости бројеви; 9 није прост, али у црним рупама,
изван хоризонта догађаја, све је могуће.“
Стивен Хокинг
 “ Ко би помислио да би нешто тако једноставан као природни
бројеви (1, 2, 3, 4, ...) могло родити нешто тако збуњујућие као што
су прости бројеви (2, 3, 5, 7, 11, .. )? “
И. Барнас
 “ Ни једном другом делу теорије бројева није својствено толико
мистерије и милости као у изучавању простих бројева.”
Мартин Гарднер
Уводне напомене

Простим бројевима бавиле су се древне
цивилизације – кинеска, вавилонска,
египатска, грчка

Еуклид је још пре око 2300 година доказао да
је скуп простих бројева бесконачан

Простим бројевима су се бавили чувени
математичари: Диофант, Ферма, Мерсен,
Ојлер, Голдбах, Лежандр, Ландау, Лукас ...

Рачунари су као и у већину математичких
теорија и проблема, унели револуцију и у
теорију бројева
Који су, уопште, бројеви прости?
Нека су m и n природни бројеви. Кажемо да
број m дели број n ако постоји природан број t
такав да важи:
mt = n
Записујемо: m | n (број m дели број n).
Природни број n је прост ако је већи од 1 и
дељив једино бројевима 1 и n.
Сваки природни број је дељив неким простим
бројем
ПРВИХ НЕКОЛИКО ПРОСТИХ БРОЈЕВА
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311
313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397
401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479
487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577
587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757
761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857
859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953
967 971 977 983 991 997...
ОТКРИВЕН НАЈВЕЋИ ПОЗНАТ ПРОСТ БРОЈ
Тим америчких математичких и
компјутерских стручњака
предвођених Керисом Купером
са Универзитета у Централном
Мизурију је у јануару ове
године објавио нови, највећи
прост број.
ОТКРИВЕН НАЈВЕЋИ ПОЗНАТ ПРОСТ БРОЈ

То је М48 или четрдестосми по реду Мерсенов број и он је
једнак
и у декадном бројевном систему се записује са
17.425.170 цифара.


Ако се на једној страни папира формата А4 може
записати око 3750 цифара (50 редова по 75 цифара),
онда би добијени број био књига од ''свега'' 4.647 страна.
Иначе највећи до тада познати прост број био је М47 =
243.112.609 - 1, који је откривен 2008. године и имао је
преко 13 милиона декадних цифара.
НАЈВЕЋИ ПРОСТИ ИЗ РАНИЈИХ ПЕРИОДА
Прост број
Број цифара
Година
открића
Проналазач
231 – 1
10
1772.
Ојлер
2127 – 1
39
1876
Лукас
114(2127 – 1) + 1
41
1951
Милер + EDSAC 1
22281 – 1
687
1952
Лемер + SWAC
23217 – 1
969
1957
Ризел + BESC
24253 – 1
1281
1961
–1
1332
1961
29689 – 1
2917
1963
29941 – 1
2993
1963
211213 – 1
3376
1963
219937 – 1
6002
1971
24423
Гурвиц + IBM 7090
Џилис + JLIAC 2
Тукерма + IBM 360
Бесконачност скупа простих бројева
Теорема (Еуклид). Постоји бесконачно много
простих бројева.
Доказ. (Еуклидов) Претпоставимо супротно, тј. да
постоји коначно много простих бројева:
p1 , p2 ,, pn
а да су сви остали природни бројеви сложени.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Тако би и број
m  p1 p2  pn  1
по претпоставци био сложен.
Па би био дељив са неким од простих бројева који
су побројани. Међутим, он при дељењу са сваким
од ових бројева даје остатак 1. Контрадикција.
Основни став аритметике
Теорема. Сваки природан број n,
већи од 1, може се на јединствен
начин представити у облику
производа простих чинилаца.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
ЈЕДОСТАВНИ ПРИМЕРИ:
2 x 3 x 3 = 18
2
2x 3 = 18
42=2 x4 3 x 7
48=2 x 3
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Канонска факторизација броја n  N
1
2
k
n  p1 p2  pk
p1 , p2 ,, pk
су различити прости бројеви
1 ,  2 ,,  k
су природни бројеви
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
n
1  2
a

p
p

p
1
2
n
Теорема. Нека је
канонска
факторизација природног броја а, тада су сви
његови делиоци облика:
1
2
n
d  p1 p2  pn
где су, 0  i  i , i  1, n
Па, је укупан број позитивних делилаца броја а једнак:
(1  1)( 2  1)( n  1)
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Теорема. Ако је p прост број и важи
p|ab, тада је p|a или p|b.
Пример: 3|2973 тј. 3| 991  3
и не дели први већ други фактор овог производа.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Теорема. За произвољан број k  N
постоји k узастопних сложених
природних бројева.
НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Један такав низ узастопних сложених бројева је:
a1  (k  1)k (k  1) 3  2 1  2  (k  1)!2
a2  (k  1)k (k  1) 3  2 1  3  (k  1)!3

ak  (k  1)k (k  1) 3  2 1  k  1  (k  1)! k  1
ДВЕ ВАЖНЕ ТЕОРЕМЕ
Теорема (Мала Фермаова) Ако је p прост број и p
не дели цео број a, тада је
a  a (mod p )
p
a
p 1
 1(mod p )
Теорема (Вилсон) Ако је p прост број, тада је
( p  1)! 1(mod p)
Примери примене

Неки једноставни примери примене Мале
Фермаове теореме:
53 - 5 = 120 – дељиво је са 3
72 - 7 = 42 – дељиво је са 2
КРИТЕРИЈУМИ ПРОВЕРЕ “ПРОСТОСТИ”
Једноставније методе:
 Метод пробног дељења
 Ератостеново сито
Методе за проверу простости бројева
специјалног вида:
 За Фермаове бројеве
Ератостеново сито
Ератостеново сито
Ератостеново сито
Ератостеново сито
Ератостеново сито
Ератостеново сито
РАСПОДЕЛА ПРОСТИХ БРОЈЕВА У СКУПУ ПРИРОДНИХ
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Простих
Простих
Простих
Простих
Простих
Простих
Простих
Простих
Простих
Простих
Простих
Простих
Простих
Простих
бројева мањих од 10 има 4
бројева мањих од 100 има 25
бројева мањих од 1 000 има 168
бројева мањих од 10 000 има 1229
бројева мањих од 100 000 има 9592
бројева мањих од 200 000 има 17984
бројева мањих од 300 000 има 25997
бројева мањих од 400 000 има 33860
бројева мањих од 500 000 има 41538
бројева мањих од 600 000 има 49098
бројева мањих од 700 000 има 56543
бројева мањих од 800 000 има 63951
бројева мањих од 900 000 има 71274
бројева мањих од 1 000 000 има 78498
РАСПОДЕЛА ПРОСТИХ БРОЈЕВА У СКУПУ ПРИРОДНИХ
P
- скуп свих простих бројева
Функција која броји све просте бројеве мање од броја х.
 ( x) | { p : p  x, p  P} |
Графици функције
График функције
Бесконачност...
Последица Теореме (Еуклид)
lim  ( x)  
x 
- Постављано је питање да ли се, и поред оваквог
понашања, ова функција може асимптотски
проценити неком другом функцијом која би
пружила више информација о њој.
Апроксимације
Главни резултати:
 (Чебишев) Постоје позитивни бројеви А и В, тако
да је за све x>2:
Ax
Bx
  ( x) 
ln x
ln x
 (Адамар, Вале-Пусен) (У литератури на
енглеском Prime Number Theorem - PNT)
lim
x 
ln x
 ( x) 
1
x
Покушају уочавања неких правилности
Уламова спирала
Stanislaw Ulam, 1963.
Покушају уочавања неких правилности
Пример генерисања простих бројева
Прости бројеви у аритметичким низовима
(Дирихлеова теорема)
За свака два узајамно проста природна броја d и
a, постоји бесконачно много простих бpојева
облика а+nd
Поднизови аритметичких низова
ПРИМЕРИ АРИТМЕТИЧКИХ НИЗОВА СА ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА
Аритметички низ
Првих 10 чланова
1 + 2n
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
1 + 4n
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, …
3 + 4n
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, …
1 + 6n
7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, …
5 + 6n
5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, …
1 + 8n
17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, …
3 + 8n
3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, …
5 + 8n
5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, …
7 + 8n
7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, …
1 + 10n
11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, …
3 + 10n
3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, …
7 + 10n
7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, …
9 + 10n
19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, …
ПРОСТИ БРОЈЕВИ ПАЛИНДРОМИ


Палиндромни бројеви су бројеви који се исто
читају и са лева на десно и са десна на лево
2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353,
373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10 301,
10 501, 10 601, 11 311, 11 411, 12 421, 12 721,
12 821, 13 331, 13 831, 13 931, 14 341, 14 741,
15 451, 15 551, 16 061, 16 361, 16 561, 16 661,
17 471, 17 971, 18 181, 18 481, 19 391, 19 891,
19 991 ...
ПРОСТИ БРОЈЕВИ – ПОСЕБНОГ ОБЛИКА
 Мерсенови бројеви су бројеви облика 2р – 1,
где је р неки прост број.
 Мерсенови прости бројеви су:
3 = 22 – 1, 7 = 23 – 1, 31 = 25 – 1,
127 = 27 – 1, 8191 = 213 – 1 ...
 Сви Мерсенови бројеви нису прости.
На пример:
211 – 1 = 2047 = 23  89
ПРОСТИ БРОЈЕВИ – ПОСЕБНОГ ОБЛИКА
 Фермаови бројеви су бројеви облика 2к + 1, где
је к облика 2n (n је неки природан број).
 Познато је да су
Fо = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
прости бројеви.
 Пети Фермаов број
F5 = 232 + 1 = 4294967297= 641  6700417
није прост!
ПОЛУ-ПРОСТИ БРОЈЕВИ
 Полу-прости бројеви или pq-бројеви су природни
бројеви који представљају производ два (не
обавезно различита) проста броја
 Првих неколико су: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25,
26, ...
 Најевћи познат полу-прост број је квадрат
највећег познатог простог броја
ПОЛУ-ПРОСТИ БРОЈЕВИ
 Полупрости број је или квадрат простог броја или
“бесквадратни број” (број који није дељив
квадратом неког броја).
 Имају велику примену у криптографији и теорији
бројева
БЛИЗАНЦИ
 Прости бројеви који се разликују за 2 називају се
простим бројевима близанцима
 Примери: (3,5), (5,7), (11,13), (41,43), (101,103),
(311,313),...
ЗАБЛУДЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Неупућени често кажу: Ако је к природан
број, онда су бројеви облика 6к – 1 или 6к
+ 1 прости. То није тачно, јер бројеви

35 = 66 – 1 и 25 = 64 + 1 јесу облика 6к – 1
или 6к + 1, али нису прости.

Тачно је следеће: Сви прости бројеви већи
од 3 су облика 6к – 1 или 6к + 1.
ЗАБЛУДЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Заблуде о простим бројевима
имали су и велики математичари.

Ферма је сматрао да су сви, већ
поменути, Фермаови бројеви
прости

Његову заблуду је разоткрио
Ојлер када је 1732. године
доказао да је пети Фермаов број
F5 = 232 + 1 = 4294967297=
= 641  6700417
сложен број.
ОТВОРЕНИ ПРОБЛЕМИ
По угледу на чувеног немачког
математичара Хилберта, који је на
Другом међународном конгресу
математичара, који је одржан у Паризу
1900. године, поставио 23 чувена
математичка проблема, на 5.
Међународном конгресу математичара
који је 1912. године одржан у Кембиџу,
такође немачки математичар, Едмунд
Ландау поставио је четири проблема из
теорије бројева који су везани за просте
бројеве:
ГОЛДБАХОВА ХИПОТЕЗА
(Први Ландауов проблем)
Сваки паран број већи од 2, може се приказати
као збир два проста броја, а сваки непаран број
већи од 5 може се приказати као збир три проста
броја.
 Проблем датира из 1742. године када је Голбах
дати проблем предочио Леонарду Ојлеру.

Проблем до данас није решен!
ПРОБЛЕМ ПРОСТИХ БРОЈЕВА БЛИЗАНАЦА
(Други Ландауов проблем)
 Да ли је простих бројева ‘’близанаца’’ коначно или
бесконачно много?
Највећи данас познати пар простих бројева близанаца
је 3756801695685  2666669  1
који је откривен децембра 2011 и који садржи 200700
цифара.
 Верује се да проблем простих бројева ‘’близанаца’’
један од најстаријих нерешених математичких
проблема, јер његови извори датирају још из старогрчке
математике.

ХИПОТЕЗА ЛЕЖАНДРА
(Трећи Ландауов проблем)
Да ли за сваки природан број n између бројева
n2 и (n + 1)2
постоји бар један прост број?

 Проблем је формулисан почетком 19 века.
До данас није решен!
ПРОБЛЕМ ПРОСТИХ БРОЈЕВА ОБЛИКА n2 + 1
(Четврти Ландауов проблем)
Да ли је простих бројева облика
n2 + 1
коначно или бесконачно много?

Проблем до данас није решен!
О ФЕРМАОВИМ БРОЈЕВИМА
До сада познати Фермаови прости бројеву су:
3, 5, 17, 257, 65537
Отворено је следеће питање:
 Да ли Фермаових простих бројева има
бесконачно много (Ајнштајн 1844.)?
Прости бројеви у криптографији
 Бројеви и њихова сложеност имају веома
значајну улогу у одржавању сигурности
криптосистема
 Тајност криптосистема са јавним кључем заснива се на
тешко решивим или нерешивим математичким
проблемима.
 За асиметричне шифарске алгоритме, као што је
«РСА» најзначајнији су прости бројеви.
 У већини асиметричних алгоритама за
генерисање кључева користе се велики прости
бројеви са преко стотину цифара
Прости бројеви у криптографији
 У криптографији алгоритми своју тајност не заснивају на
непознавању алгоритма, већ на употреби једносмерних
функција, за чије је проналажење инверзног поступка
тежак математички проблем. Чак и тешко решив
рачунарским машинама у реалном времену.
 Улога простих бројева:
 да се користе за генерисање кључева
 да се неке њихове особине користе као једносмерне
функције.
 У избору пара кључева најчешће се користе два jaкa велика проста броја p и q.
Њихов производ се тешко факторише!
Прости бројеви у криптографији
Тестови за испитивање “простости”
 Пробабилистички (вероватносни)
 Стварни тестови
Алгоритам пробабилистичких тестова:
 Случајан изор неког броја а (сведок сложености)
 Провера одређених односа бројева а и n(који се тестира)
 Ако проверавани односи не важе тест се прекида, иначе се
наставља до постизања одређене сигурности
Најпознатији тестови су: Фермаов, Соловеј-Штрасенов, МилерРабинов, Леманов. Најоптималнији, по броју операција и
пројектованој сигурности, је Милер-Рабинов тест.
Прости бројеви у криптографији
СТВАРНИ ТЕСТОВИ
 Њихов резултат је тврдња да је број прост или сложен
(други назив “алгоритни доказивања да је број прост”)
 Сложенији су од вероватносних тестова, па се често
пре њихове примене примењују вероватносни
 Значајнији су:
 Лукас-Лемеров тест за Мерсенове бројеве
 Тестирање факторизацијом броја n-1
 Тест Јакобијевих сума
 Пепинов тест
Прости бројеви у криптографији
 При генерисању кључева за употребу у крипто-
систему, при избору простих бројева p и q
најзначајније је водити рачуна о следећим
параметрима:
 p и q треба узимати као довољно велике да би
факторизација њиховог производа била рачунски
веома тешка
 p и q треба да буду случајни велики прости
бројеви, како би покушај њиховог откривања
алгоритмима грубе силе био немогућ
ТРИБИНА: ПРОСТИ БРОЈЕВИ
Вељко Ћировић
[email protected]