Transcript 第三节 生成函数定义及其性质 主要内容 生成函数的定义 牛顿二项式定理 生成函数的性质 生成函数与序列的对应关系 一、生成函数定义 设序列{an}，构造形式幂级数 n G(x) = a0 + a1x + a2x + … + anx + … 称 G(x)为{an}的生成函数. 实例： {C(m,n)}的生成函数为 G(x)= 1 + C(m,1)x +

第三节 生成函数定义及其性质
主要内容
生成函数的定义
牛顿二项式定理
生成函数的性质
生成函数与序列的对应关系
一、生成函数定义
设序列{an}，构造形式幂级数
2
n
G(x) = a0 + a1x + a2x + … + anx + …
称 G(x)为{an}的生成函数.
实例：
{C(m,n)}的生成函数为
2
G(x)= 1 + C(m,1)x + C(m,2)x + … = (1+x)
给定正整数 k, {kn}的生成函数为
1
G(x) = 1+ kx + k x + k x + … =
1-kx
2
2
3
3
m
二、牛顿二项式定理
1．牛顿二项式系数：设 r 为实数，n 为整数，

n0
0
r 
    1
n0
 n   r ( r  1)...(r  n  1)
n0

n!

2. 牛顿二项式定理
设为实数，则对一切 x,y，|x/y|<1 有

( x  y) 
   n  n
   (  1)...(  n  1)


  
x
y
,
其
中
 n
n!
n 0 
 n

   n  n
( x  y )     x y
,
n 0 n 
   (  1)...(  n  1)
其 中   
n!
 n


当  = m 时，变成二项式定理

 m  n mn
( x  y )     x y
,
n 0 n 
m

 m n
(1  z )     z ,
n 0 n 
m
当 = -m 时，
     m  (  m )(  m  1）
...( m  n  1)
   
 
n!
 n  n 
 m  n  1
( 1) n m( m  1)...(m  n  1)


 ( 1) n 
n
n!


(1  z )
m

(1  z )  m 
1
(1  z )
m
1

 (1)
n m 

n 0

  m  n  1
 z n
  
n
n 0


(1  z )
1
m  1,
 1  x  x 2  ...
1 x

1
n
m  2,

(
n

1
)
x

(1  x ) 2 n  0
m
n  1 n
 z
n

| z | 1
| z | 1
三、生成函数的性质
线性性质：
1. bn=an, 则 B(x)= A(x)
2. cn=an+bn, 则 C(x)=A(x)+B(x)
乘积性质：
n
3． cn   ai bn i , 则C ( x )  A( x )  B( x )
i 0
移位性质：
0
4． bn  
 a n l
n l
n l
, 则 B( x )  x l A( x )
a0 , a1 , ... , an , ...
0, 0, ... , 0, bl , bl 1 , ...,bl  n ,...


l个0
A( x ) 
5．bn=an+l , 则
B( x ) 
a0 , a1 , ... , al , al 1 , ...
b0 , b1 , ...
l 1
 an x n
n 0
l
x
求和性质：
n
6． bn   ai , 则 B( x ) 
i 0
A( x )
1 x
b0  a0
b1 x  a0 x  a1 x
...
bn x n  a0 x n  a1 x n  ...  a n x n
...
B( x )  a0
1
1
1
 a1 x
 ...  a n x n
 ...
1 x
1 x
1 x


i n
n 0
7． bn   ai , 且 A(1)   ai 收 敛 ，则 B( x ) 
A(1)  xA( x )
1 x
换元性质：
8．bn=nan, 则 B(x)=A(x)
求导与积分性质：
9．bn=nan, 则 B(x)=xA’(x)
an
1x
10．bn=
, 则 B( x )   A( x )dx
x0
n1
四、生成函数与序列的对应关系
1． 给定序列{an}或关于 an 的递推方程, 求生成函数 G(x)
利用级数的性质和下述重要级数

1
  xn
1  x n 0

1
  ( 1) n x n
1  x n 0
(1 
1
x) 2
 1 ( 1  1)...(1  k  1)
1 k
2
   2  x  1   2 2
xk
k!
k  0 k 
k 1

 1

( 1) k 1 1  3  5...(2k  3)
k 1
2 k k!

( 1) k 1  2k  2  k
 x
 1  k
x  1   2 k 1 
k 1
( k  1)!
k  k 1 
k 1 2 k !2
k 1 2

( 1) k 1 ( 2k  2)!
xk
k

例 1 求序列{an}的生成函数
（1）an = 7 3n
（2）an = n(n+1)


解：
（1） G( x )  7  3 x  7  ( 3 x )n 
n
n
n 0
（2）

x
G ( x )dx
0

x
H ( x )dx
0

x
G ( x )dx
0
G( x )  (
n 0

  nx
n1
n 1

n 0
x
,
1 x
x2
(1  x ) 2
x2
(1  x )
2
)' 
H ( x) 

 nxn1
n 1
 x n 1 


 x H ( x ),
2
7
1  3x
2x
(1  x ) 3
H ( x) 
1
(1  x ) 2
2．给定序列{an}的生成函数，求 an .
部分分式化成基本幂级数的生成函数表达式
2  3  6x2
例 2 已知 {an}的生成函数为 G ( x）
，求 an
1  2x
2  3  6x2
2
G ( x）

 3x
1  2x
1  2x

 2  (2 x )  3 x 
n
n 0

n1
 2 n1 ,
an   2

 2  3  7, n  1

n1 n
2
x  3x

n 0
第四节 生成函数的应用
主要内容
求解递推方程
计数多重集的 r 组合数
不定方程的解
整数拆分
一、求解递推方程
例 1 an– 5an-1 + 6an-2 = 0
a0 = 1, a1 = -2
n
n
公式法：通解 an = C1 2 + C23

an = 52 – 43
n
生成函数法：
G(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …
-5x G(x) =
-5a0x -5a1x2 -5a2x3 - …
6x2 G(x) =
+6a0x2 +6a1x3 + …
(1-5x+6x2)G(x) = a0 + (a1-5a0)x
1  7x
5
4
G( x ) 


2
1  2x 1  3x
1  5x  6x


 5  2 x  4  3n x n
n 0
n
n
n
an  5  2  4  3n
n 0
n
n1

hn   hk hn k ,

k 1
h  1
 1
例2
解：设{hn}的生成函数为
H ( x) 
2


 hk x
k 1

k
n 2
H ( x) 
n 2
 hn x n
n 1

  hl x l
l 1
n 1
 x  hk hn k
n

k 1


 hn x n
n 2
 H ( x )  h1 x  H ( x )  x
H 2 ( x)  H ( x)  x  0
H ( x) 
1  1  4x
1  1  4x
(舍 去 ） ，H ( x ) 
2
2
1
1  (1  4 x ) 2
1
1 1
H ( x) 
  (1  4 x）2
2
2 2
 ( 1) n 1  2n  2 
1 1
( 4 x ) n ]
  [1   2 n1 
2 2
n 1 n 2
 n1 
( 1) n  2n  2 
( 1) n 2 2 n x n
  2 n 
n 1 n 2
 n1 
 1  2n  2 
 x n
  
n 1 n  n  1 

1  2n  2 

hn  
n n1 
二．多重集的 r 组合数
S={n1a1, n2a2,…, nkak}的 r 组合数就是不定方程
x1 + x2 + …+ xk = r
xi  ni
的非负整数解的个数
G( y)  (1  y  ... y n1 )(1  y  ... y n2 )...(1  y  ... y nk )
的 yr 的系数
例3
S ={3a, 4b, 5c}的 10 组合数
解：生成函数 G(y)
= (1+y+y2+y3)(1+y+y2+y3+y4)(1+y+y2+y3+y4+y5)
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
= (1+2y+3y +4y +4y +3y +2y +y )(1+y+y +y +y +y )
= (1 + … +3y10+2y10+y10 + …)
N = 6
{a,a,a,b,b,b,b,c,c,c}, {a,a,a,b,b,b,c,c,c,c},
{a,a,a,b,b,c,c,c,c,c}, {a,a,b,b,b,b,c,c,c,c},
{a,a,b,b,b,c,c,c,c,c}, {a,b,b,b,b,c,c,c,c,c}
三．不定方程的解的个数
1．基本模型
x1 + x2 + …+ xk = r
xi 为自然数
G ( y )  (1  y  ...) 
k

1
(1  y ) k

(  k )(  k  1)...( k  r  1)
( y )r

r!
r 0
  k  r  1
( 1) r ( k )( k  1)...(k  r  1)
r r
 y r

( 1) y   
r
r!
r 0
r  0


 k  r  1

r


N = 
2．带限制条件
x1 + x2 + … + xk = r
l i  x i  ni
生成函数 G(y)=
( y l1  y l1 1  ...  y n1 )( y l2  y l2 1  ...  y n2 )
... ( y ln  y ln 1  ...  y nk )
3．带系数
p1x1 + p2x2 + … + pkxk = r
xi  N
生成函数 G(y)=
(1  y p1  y 2 p1  ...)(1  y p2  y 2 p2  ...)
... (1  y pk  y 2 pk  ...)
例4
1 克砝码 2 个，2 克砝码 1 个，4 克砝码 2 个，问
能称出哪些重量，方案有多少？
解： 1 x1 + 2 x2 + 4 x3 = r
0  x1  2,
0  x2  1,
2
2
0  x3  2
4
8
G(y) = (1+y+y )(1+y )(1+y +y )
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
= 1+y+2y +y +2y +y +2y +y +2y +y +2y +y +y
重量
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方案
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
如果重物放右边，允许砝码放在天平两边，则
G(y)=(y-2+y-1+1+y+y2)(y-2+1+y2)(y-8+y-4+1+y4+y8)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
=5+3y+4y +3y +5y +3y +4y +3y +4y +2y +2y +y +y
称 0 克：
称 1 克：
1 | 1
1,1 | 2
4 | 4
1,1,4 | 2,4
1 | 1
2 | 1,1
4 | 1,2,1
2 | 2
4 | 1,1,2
称 2 克： 1,1 | 2
4 | 2,2
1,1,2 | 4
四．整数拆分
1．拆分的分类
有序
无序
不重复
4 = 4
4 = 1+3
4 = 3+1
4 = 4
4 = 1+3
重复
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
=
=
=
=
=
=
=
=
4
1+3
3+1
2+2
2+1+1
1+2+1
1+1+2
1+1+1+1
=
=
=
=
=
4
1+3
2+2
2+1+1
1+1+1+1
2．无序拆分
基本模型：将 N 无序拆分成正整数 a1,a2,…,an
a1x1 + a2x2 + … + anxn = N
不允许重复
G( y)  (1  y a1 )(1  y a2 )...(1  y an )
允许重复
G ( y )  (1  y a1  y 2a1  ...)(1  y a2  y 2a2  ...)
... (1  y an  y 2an  ...)

1
(1  y a1 )(1  y a2 )...(1  y an )
例 5 证明任何正整数都可以唯一表示成 2 进制数.
对应于将任何正整数 N 拆分成 2 的幂，
20, 21, 22, 23, …,
且不允许重复.
G ( y )  (1  y )(1  y 2 )(1  y 4 )(1  y 8 )...
1  y2 1  y4 1  y8

...
2
4
1 y 1 y 1 y

1

  yn
1  y n 0
对于所有的 n, an = 1，这就证明唯一的表法.
例6
给定 r,求 N 允许重复无序拆分成 k 个数（kr）的方法数
N 允许重复无序拆分成 k 个数（kr）的方案
 N 允许重复无序拆分成正整数 k（kr）的方案
做下述 Ferrers 图
将图以 y =x 对角线翻转 180 度，
得到共轭的 Ferrers 图，
16 = 6+5+3+2 （k  4）
对应每个数不超过 4 的拆分.
16 = 4+4+3+2+2+1
这种拆分数的生成函数为
G( y ) 
1
(1  y )(1  y 2 )...(1  y r )
3 . 有序拆分
(1) 将 N 允 许 重 复 地 有 序 拆 分 成 r 个 部 分 的 方 案 数 为
C(N-1,r-1)
设 N= a1+a2+…+ar 是满足条件的拆分，则令
Si 
i
 ai ,
i  1,2,...r
k 1
0  S1  S 2  ...  S r  N
r-1 个 Si 取值为 1,2,…,N-1，方法数为 C(N-1,r-1).
推论：对 N 做任意重复的有序拆分，方案数为
 N  1
  r  1   2 N 1
r 1

N
(2) 不允许重复有序拆分：不允许重复无序拆分 + 全排列
第五节 指数型生成函数
一、指数型生成函数的定义
设{an}为序列，称

xn
Ge ( x )   an
n!
n 0
为{an}的指数生成函数.
例 1 给定正整数 m, an = P(m,n), {an}的指数生成函数为


  m
xn
m!
n
Ge ( x )   P ( m, n)

x     x n  (1  x )m
n! n0 n!( m  n)!
n 0
n 0 n 
例 2 bn=1, 则{bn}的指数生成函数为

xn
Ge ( x )  
 ex
n 0 n!
二、性质
设数列{an},{bn}的指数生成函数分别为 Ae(x)和 Be(x), 则

xn
Ae ( x )  Be ( x )   cn
n!
n 0
 n
,其中 cn    a k bn k
k  0 k 
n
证：



xn
xk
xl
 cn n!  Ae ( x )  Be ( x )  (  ak k! )  (  bl l! )
n 0
k 0
l 0

n
 xn
a
b
  x n  k  n k  
n 0
k  0 k ! ( n  k )! n 0 n!

 n
  k ak bn k
k  0 
xn

n 0 n!
n
n
ak n! bn k
 k!  ( n  k )!
k 0
三、应用
多重集的排列问题
设 S={n1a1,n2a2,…,nkak}为多重集，
则 S 的 r 排列数{ar}的指数生成函数为
Ge ( x )  f n1 ( x ) f n2 ( x ) ... f nk ( x )
x2
x ni
f ni ( x )  1  x 
 ... 
2!
ni !
i  1, 2, ... , k
考察指数生成函数展开式中 xr 的项，
x m1 x m2 x mk
...
m1 ! m2 ! mk !
其中
即
m1 + m2 + … + mk= r
0  mi  ni, i = 1,2,…,k
（*）
x m1  m2  ... mk
xr
r!

m1 ! m2! ... mk ! r! m1 ! m2 ! ... mk !
r!
ar = 
m1 ! m 2 ! ... mk !
其中求和是对满足方程（*）的一切非负整数解来求.
一个非负整数解对应了{m1a1, m2a2,…,mkak}，即 S 的 r 组合
r!
而该组合的全排列数是
，因此 ar 代表了 S 的 r 排列数.
m1 ! m 2 ! ... m k !
例 3 由 1,2,3,4 组成的五位数中，要求
1 出现不超过 2 次，但不能不出现，2 出现不超过 1 次，
3 出现可达 3 次，4 出现偶数次.求这样的五位数个数.
解：
x2
x2 x3
x2 x4
Ge ( x )  ( x 
)(1  x )(1  x 

)(1 

)
2!
2!
3!
2!
4!
x2
x3
x4
x5
 x5
 18
 64
 215
 ...
2!
3!
4!
5!
N = 215
例4
红、白、兰涂色 1n 的方格，要求偶数个为白色，
问有多少方案？
解
设方案数为 an
x2
x2
Ge ( x )  (1 
 ...)(1  x 
 ...)2
2!
2!
1 x
1 3x 1 x
x
2x
 (e  e ) e  e  e
2
2
2

1  n xn 1  xn
3n  1 x n
 3
 

2 n 0
n! 2 n  0 n!
2 n!
n 0
an 
3n  1
2
解法 2
递推方程
an = 2an-1 + (3  an-1)
n-1
a1 = 2
n-1
an = an-1 + 3
*
n-1
a n = P3 ,
*
n
解得 P = 3/2, a n = 3 /2
n
通解 an = C + 3 /2
代入初值得 C = 1/2
n
解为 an = (3 +1)/2