Transcript DFT求解

数字信号处理期中复习
2015/4/13
数字信号处理
1
数字信号处理前半学期主要内容

第三章





DFS、DFT求解（利用定义和性质）
圆周卷积
序列的插值和抽取
频域抽样理论和DFT逼近DFS（频谱混叠、频谱泄漏、栅栏
效应）
第四章



基2的FFT算法的画图方法（DIF、DIT）
FFT算法中的一些概念（计算量、级数、各级的系数）
CZT变换（公式和实现的流图）
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信号与系统
2
DFT求解

利用公式进行求解
N 1
N 1
n 0
n 0
X ( K )  DFT [ x(n)]   x(n)WNnk  x(n)e

等比级数求和公式
j
2
nk
N
1  a N
N 1
a  1
1 1 N 1 j 2N nr 1r  mN

n
n
a   1 a
,当 a  1时 a ＝
, e


1  a N n 0
n 0
n 0
0r为其他
 N a  1

N 1

欧拉公式
e j  cos  j sin 

WNnk 的一些特殊点
WNnk  e
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j
2
nk
N
n
N
2
n
N
4
WN  (1)n WN  ( j )n
信号与系统
3
DFT求解

利用性质进行求解（P110）

移位性质 时域移位:DFT[x((n+m))N RN (n)  WN mk X (k )

卷积性质

共轭对称性

nl
频域移位:IDFT[X((k+l))
R
(
n
)]

W

N N
N x ( n)

时域卷积，频域相乘x1 (n)  x2 (n)  X 1 (k ) X 2 (k )


1
频域卷积，时域相乘

x
(
n
)
x
(
n
)

X 1 (k )  X 2 (k )
1
2

N

x(n)为实序列，X (k )  X * (( N  k )) N RN (k )
1
DFT {Re[ x(n)]}  X ep (k )  [ X ((k )) N  X * (( N  k )) N ]RN (k )
2
DFT {xep (n)}  Re[ X (k )], DFT {xop (n)}  j Im[ X (k )]
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信号与系统
4
3.17
(1)(2) 利用性质解题，利用求和公式求出结果
5
j w
2
5
j w
2
5
j w
2
 j5w
1

e
e
(e  e
)
X 1 (e jw )   e  jwn 

1
1
1
 jw

j
w
j
w

j
w
1

e
n 0
2
2
2
e
(e  e
)
5
sin w
2 e j 2 w

1
sin w
2
5
sin w
2  ( w)  2 w
X 1 (e jw ) 
1
sin w
2
4
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信号与系统
5
3.17
（1）图形
5
4
3
2
1
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4
2
0
-2
-4
-2
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信号与系统
6
3.17
n
X
(
k
)

DFT
[(

1)
x1 ((n))10 R10 ( N )]
（3）求 3
n
n
 j n
解： x3 (n)  (1) x1 ((n))10 R10 (n)  (1) x2 (n)  e x2 (n)
N
n
2
N
2
 W
N
x (n)  X 2 ((k  )) N RN (k )(时域调制）
2
（4）求 x4 (n)  IDFT[ X 2ep (k )]
解： IDFT[ X 2ep (k )]  Re[ x2 (n)]  x1 ((n))10 R10 (k )
（5）求 x5 (n)  IDFT[Im[ X 2 (k )]]
解：
DFT [ xop (n)]  jIM [ X (k )]
1
j
 x5 (n)  IDFT [ DFT [ x2op (n)]]   jx2op (n)  [ x2 ((n)) N  x2* (( N  n))10 ]R10 (n)
j
2
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信号与系统
7
圆周卷积

圆周移位




反折：补足N点、周期延拓、反折、取主值区间
移位：补足N点、周期延拓、移位、取主值区间
反折移位：补足N点、周期延拓、反折、移位、取
主值区间
圆周卷积


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利用图表法进行求卷积
利用圆周卷积代替线卷积的条件L>N＋M－1
信号与系统
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序列的插值与抽取

要点
1
 I : 表示每个时域点之间插入I  1个零点，频谱变为原来的 ，幅度不变
I
 D : 表示每隔D个时域点之间抽取1个点，频谱变为原来的D倍，幅度为原来的
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信号与系统
1
D
9
3.23

输入
x ( n) 
sin w1n
n
w1 sin( w1n)
DTFT [ x(n)]  DTFT [
]
 w1n

w1

DTFT [ Sa( w1n)]
w1 

 1 w  w1
 w1
由题意可知：x( n)  I  3  低通wc 
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
5
信号与系统
 D  5  y ( n)
10
3.23
3
(a ) w1  
5
X (e jw )
1
由题意可知：
x( n)  I  3 
低通wc 


5
D  5  y ( n)
  w1



3
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w1
3
 w
  1
5 3
 5w1
信号与系统
w1
1
1
w1
3
w1 
3 5

w

w

w

w
1
5
5w1
3
11
3
(b) w1  
5
由题意可知：
x( n)  I  3 
低通wc 


5
D  5  y ( n)
X (e jw )
1
  w1




w1
3
1
w1
3


5
1 5
5

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w1
1
信号与系统

w

w

w

w
12
3.24
1
(a) wn  
4


4
X (e jw )
1
 wn
wn
1


4

8

wn
2

4
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 wn


4
1
w
 wn
8 2

w
w
1
8


8

wn
2
wn 
2 8
w
1
2
D2
wn
wn
4
wn 

2 8
w
1
2

4
wc 
wn 
2 8

I 2
1

1
 wn  
w
w
wn
2
wn
2
X (e jw )
1
(b) wn  
4



4
4
信号与系统
w
13
3.24
1
(a) wn  
2
1
(b) wn  
2
X (e jw )
X (e jw )
1

  wn
2
2 wn



1
2
1
wn 
2

1
2
2
 wn  
w
2


2
2
2
D2
2wn
w
wc 

2 wn



2

1
2
2
wn

1
2
2
 2wn
w
w
2
w



2
2
w
I 2



4
4

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w
wc 


4
4




4
4
2
w

信号与系统


4
4
w
w
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DFT逼近模拟信号的傅立叶变换

正确认识 T0 , F0 , f s , Ts
f (t )
T0 : 所取的记录长度，时间函数的周期
F0 : 频率函数的抽样间隔，频谱分辨力
Ts
f s : 抽样频率
T0
Ts : 时域采样的时间间隔
t
F ( w)
F0
fs
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信号与系统
f
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DFT逼近模拟信号的傅立叶变换

抽样定理:

频谱泄漏：时域数据乘以窗函数，造成突然截断，频
谱展宽。克服办法：提高数据长度N，整周期采样，
采用适当的窗函数。
栅栏效应：只能观测基频整数倍的频谱，克服办法：
补零加长。
频谱分辨率：频谱分辨率与实际长度成反比。


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fs  2 fh
信号与系统
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2001级期中考题

题：对 x(t )  2 cos(20t )  5 cos(100t )以ts＝0.005s
采样3个不同时间段0.1s,0.125s,1.125s,对
每种情况，说明它的DFT频谱。（即信号的基
频，采样后信号频谱最大值所处的频率，频谱
是否会产生什么现象).
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信号与系统
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第四章




掌握DITDIF基2蝶形图画法
 注意系数，画图方式
DFT、FFT运算量
2
 DFT需要N 次复数乘法,(N-1)N次复数加法
N
 FFT需要 2 log 2 N 次复乘，N log 2 N 次复加
线性调频Z变换的运算流程图
重叠保留法和重叠相加法
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信号与系统
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