Transcript 小波分析及应用结课汇报
WAVELET 《小波分析及应用》结课汇报 School of Mechanical Engineering 组员： 费基雄 1013201062 臧家炜 1013201083 李志猛 1013201068 1.小波分析的基础知识 目录 CONTENTS 2.小波分析的发展历史 3.案例分析 A. 小波分析在铣削加工中应用 B. 小波分析在机器人控制中的应用 C. 小波包变换在刀具磨损监测中的应用 IMC 1.小波分析的基础知识 1.1 小波的概念以及常见的小波函数 小波(Wavelet)： 顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性； 而称之为“波”则是指它的搬波动性，其振幅正负相间的震荡形式[1]。 1 1, 0 t 2 1 f t 1, t 1 2 0, 其他 Haar及其傅里叶变换 f t 2 t 3 t sin cos t 2 2 Shannon小波及其傅 里叶变换 t Cte t 2 Gass小波 几种常见的小波函数 IMC 1.小波分析的基础知识 1.2 小波分析（wavelet analysis） 小波分析的概念 小波分析（wavelet analysis）或小波变换（wavelet transform）是指用有限长或 快速衰减的（称为母小波（mother wavelet））的振荡波形来表示信号。该波形 被缩放和平移以匹配输入的信号。 小波分析的应用 (1)小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是 压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可 以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法， 小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。 (2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频 分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边 缘检测等。 (3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍 流、远程宇宙的研究与生物医学方面。 IMC 1.小波分析的基础知识 1.3 小波变换的种类以及比较 连续小波变换（CWT） 离散小波变换（DWT） 小波变换 快速小波变换（FWT） 小波包分解（WPD） 连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平 移值的特定子集。快速小波转换是利用数学的算法则用来转换在时域的波 或信号变成一系列的以正交基底构成的小而有限的波—小波。 当然，快速 小波转换本身可以很轻易地扩增它的维度以符合各种不同的需求。小波包 分解是用分析树来表示小波包，即利用多次叠代的小波转换分析输入讯号 的细节部分。 IMC 1.小波分析的基础知识 1.3 小波变换与傅里叶变换的比较 比较项目 傅里叶变换 小波变换 基函数 正弦或余弦 小波函数 变换域 频域 时域与频域 计算量 O(Nlog(N)) O(N) 小波变换经常和傅里叶做比较，在后者中信号用正弦函数的和 来表示。两者主要的区别是小波变换在时域和频域都是定域的，而 标准的傅里叶只在频域上是定域的。短时傅里叶变换(Short-time Fourier transform)(STFT)也是时域和频域都定域化的，但有频率 和时间的分辨率问题。而小波分析通过多分辨分析通常可以给出更 好的信号表示。小波变换的计算复杂度也更小，只需要 O(N) 时间， 快于快速傅里叶变换的O(Nlog(N)) ，其中N代表数据大小 IMC 1.小波分析的基础知识 1.3 小波变换与傅里叶变换的比较 比较项目 傅里叶变换 小波变换 基函数 正弦或余弦 小波函数 变换域 频域 时域与频域 计算量 O(Nlog(N)) O(N) 小波变换经常和傅里叶做比较，在后者中信号用正弦函数的和 来表示。两者主要的区别是小波变换在时域和频域都是定域的，而 标准的傅里叶只在频域上是定域的。短时傅里叶变换(Short-time Fourier transform)(STFT)也是时域和频域都定域化的，但有频率 和时间的分辨率问题。而小波分析通过多分辨分析通常可以给出更 好的信号表示。小波变换的计算复杂度也更小，只需要 O(N) 时间， 快于快速傅里叶变换的O(Nlog(N)) ，其中N代表数据大小 IMC 2.小波分析的发展历史 小波变换的发展历史回顾 一些特殊的小波出 现并在某些领域零散 用一个代表是法地质 学家A.Grossman等 在1984年第一次把小 波用于处理地质数据， 另一个代表性的工作 是1981年 J.stormberg与他的 合作者发现的正交小 波基。 Y.Meyer和计算机学 者S.mallat提出了多 分辨分析的思想， Mallat给出了小波分 解与重构信号的快速 算法——塔式算法( 又称Mallat算法)，成 功地给小波分析构成 一个理论架构。 它的主要特征是，在 上述理论框架下，出 现了许多很有价值的 应用成果，也解决了 长期没有解决的应用 问题，相反地，在应 用中也提出了许多需 要解决的问题，从而 推动了小被分析理论 的发展。 孤立研究与应用阶段 小波分析理论成型期 全面和应用发展期 第一阶段 第二阶段 第三阶段 IMC 3.案例分析 [A] Wavelet 小波分析在铣削加 工中应用 IMC 小波分析在铣削加工中应用 铣削力信号的处理 小波分析在铣削加工中的应用方面 铣削颤振的识别 铣刀磨损的判断 通过分析后的信号判预 测和判断铣削过程 测试铣削过程中 的信号 对测试的信号进行 小波分析 通过分析后的信号预测 颤振 通过分析后的信号判断 铣刀磨损情况 小波分析在铣削过程中的应用步骤 IMC 小波分析在铣削加工中应用 小波分析对铣削力信号的处理 铣削力信号去噪处理 小波分析对铣削力信号的处理 铣削力信号小波分解 从图可以看出，去噪后的信号曲线变得光洁 而且较为平缓，明显的好于原始信号。通过 去噪处理的信号更加接近于实际信号。 铣削力信号去噪 通过小波分解来为后续分析铣刀的磨 损以及铣削颤振信号的识别做一些准 备。 铣削力小波分解 IMC 3.案例分析 [B] Wavelet 小波提升算法多关 节机器人滑模控制 IMC 3. 系统仿真 Wavelet 总体思路 IMC 1. 机器人轨迹跟踪变结构控制 1.1 机器人的物理特性 机器人动力学模型 惯性矩阵 2关节机器人 离心力 哥氏力 重力项 力矩 IMC 1. 机器人轨迹跟踪变结构控制 1.2 变结构控制器设计 指令信号 误差 控制目标：轨迹跟踪—要求关节向量q 尽可能好地跟踪 指定的关节角位移量. IMC 2. 小波提升算法消除信号高频噪声 多项式插补获取信号的高频分量+构建尺度函数获取信号低频分量 双正交小波构建 Wavelet 滤波器 系数 值 D9/7双正交多小波 h0 0.602 949 018 236 357 9 h1 0. 266 864 118 442 872 3 h2 - 0.078 223 266 528 988 h3 - 0.016 864 118 442 875 h4 0.026 748 757 410 809 8 g0 1.115 087 052 456 994 g1 - 0.591 271 763 114 24 g2 - 0.057 543 526 228 49 g3 0.091 271 763 114 249 [1]滤波器相对应的多项矩阵 多项矩阵 IMC 2. 小波提升算法消除信号高频噪声 [2]提升步骤，得到信号分解多项矩阵式 信号分解多项矩阵式 系数 值 a - 1. 586 134 342 b - 0. 052 980 118 54 c 0.882 911 076 2 d 0.443 506 852 2 k 1.149 604 398 9/ 7 小波滤波器的提升实现 IMC 3. 系统仿真 高频信号=0 高频信号=0 低频信号 保持不变 重构多项矩阵式 由于通常小波变换时默认的都是进行偶数二抽 取, 故此时提升变换的滤波器是非因果的. 为使 滤波成为因果可实现的,小波变换时进行奇数的 二抽取, 这相当于右移一位, 引入一个z - 1因子, 计算x ( z ) z - 1 就可以与非因果项抵消了 IMC 3. 系统仿真 Wavelet 3.案例分析 [C] Wavelet 小波包变换在刀具 磨损监测中的应用 IMC 问题背景 IMC 问题背景 数据采集 测力仪和加速度传 感器 信号处理 特征提取 特征选择 分类器 力信号滤波；时 域、频域分析和时 频域分析 有量纲特征和无量 纲特征 FCBF特征选择算 法 EAM模型、FAM 模型、K均值、朴 素贝叶斯、CART 特征的个数 合计 时域 频域 时频域 力信号 36 21 6 63 振动信号 39 24 12 75 合计 75 45 18 138 IMC 问题背景 时频域分析—小波变换 E ( D1 ) fea1 E x A1 A2 A3 D1 D2 D3 三层小波分解结构图 E ( D2 ) fea 2 E E ( A1 ) fea3 E 三层小波分解（db5小波）后各频带对应频率 IMC 问题背景 特征选择后的分类效果，红色为新刀，蓝色为初期磨损，蓝绿色为中期 磨损，绿色为严重磨损 Cfs Fcbf fisher_score IMC 解决方案 x A1 AA2 AAA3 D1 AD2 DA2 DAA3 ADA3 DDA3 AAD3 DD2 DAD3 ADD3 DDD3 三层小波包分解结构图 IMC 解决方案 经3层小波包变换提取的特征（各频段能量百分比）随刀具磨损 的变化 1代表新刀 2代表初期磨损 3代表中期磨损 4代表严重磨 损 特征1-8（对振动信号v1进行3层小波包变换，按频率从小到大排列）特征9-16（对振动信号v2进行3层小波包变换，按频率从小到大排列） IMC 解决方案 经过小波包变换提取的特征的分类效果，红色为新刀，蓝 色为初期磨损，蓝绿色为中期磨损，绿色为严重磨损 特征：2,16,,24 特征2,7,8 IMC Thanks!