Transcript 第9章Z变换

第九章 Z变换
9.1 引言



1730年英国数学家棣莫弗（De Moivre）
将生成函数的概念用于概率论的研究，
其实这就是Z变换。
19世纪拉普拉斯（P.S.Laplace），20世
纪沙尔（H.L.Seal）等人在这一方面继续
作出了贡献。
Z变换在当时并没有发挥多大作用


到了20世纪50~60年代，控制系统和数
字计算机的出现为Z变换开拓了应用的空
间。
Z变换在离散信号系统中的地位相当于拉
氏变换在连续信号系统中的地位。
9.2 Z变换
1、Z变换的引出
从采样信号的拉氏变换出发：
X (s) 


0
x ( t )  ( nT s )e  st dt
T s 为采样间隔。
，其中，
于是有：
X (s) 

 x (n )e
 snt s
n0
如果令 z  e st ，则：
s
X (z) 

 x ( n ) z ，当采样间隔取 1 时， z  e
n0
n
s
2、Z变换的定义

与拉氏变换类似，Z变换也有单边及双边
Z变换之分。
双边 Z 变换：
X (z) 

n
x
(
n
)
z

n  
单边 Z 变换又分右边序列和左边序列：

右边序列：
左边序列：
X ( z )   x(n) z n
n0
X (z) 
0
n
x
(
n
)
z

n  
3、典型序列的Z变换
1）离散冲激信号：  (n )

X ( z )    (n) z n  1
n0
2）阶跃信号： u (n )

X ( z )   z n
n0
，采用等比序列求和公式

X ( z )   u (n) z n
n0
1
[1  ( ) N ]
z

1
1
Z
1
z[1  ( ) N ]
z

z 1
N 
，
N 
等比无穷序列要收敛，要求后项与前项的比值的
模必须小于 1，即要求 | z | 1 ，有：
z
X (z) 
z 1
3) 斜线信号： x ( n )  nu ( n ) ，

 z n 
根据： n  0
1
1  1 / z ，| z | 1 （前面阶跃信号 Z 变换的
结果）
1
z
将等式两边分别对 求导：

 nz
 ( n 1)
n0

1

(1  1 / z ) 2 ，即
X ( z )   nz  n 
n0
1
z

(1  1 / z ) 2  z ( z  1) 2
n
x
(
n
)

a
u (n) ，
4）指数序列：

X ( z )   a n z n
n0
1  (a / z ) N

1 a / z
为保证收敛要求：| z || a |

N 
z
za
5）余弦序列： x ( n )  cos( w0 n )u ( n ) ，
由指数序列的 Z 变换：
X (z) 


n
a z
n0
n
1  (a / z ) N

1 a / z

N 
z
z  a
jw 0
a

e
令
，则当| z || a | 即 | z | 1 时


e
jw 0 n
z n 
n0
z
z  e
jw 0
，
 jw 0
a

e
同理：令
，则当| z || a | 即 | z | 1 时

e
n0
 jw 0 n
z
n
z

z  e  jw 0 ，
故：


e jw 0 n z  n 
n0


e  jw 0 n z  n 
n0

2 cos( w 0 n ) z
即
n0
n
z
z

z  e jw 0
z  e  jw 0 ，
z
z


jw 0
ze
z  e  jw 0
1
z
z
(

可见， cos( w 0 n ) 的 Z 变换为 2 z  e jw 0 z  e  jw 0 ) ，
z ( z  cos w 0 )
为： z 2  2 z cos w 0  1
6）正弦序列的 Z 变换
同样的方法：
1
z
z
(

)
sin( w 0 n ) 的 Z 变换为 2 j z  e jw 0
 jw 0
，
ze
z sin w 0
为： z 2  2 z cos w 0  1
9.3 Z变换的基本性质
1、线性
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z ) ， y (n ) 的 Z 变换为Y ( z ) ，
则：
a  x ( n )  b  y ( n ) 的 Z 变换为 a  X ( z )  b  Y ( z )
2、时移
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z )
则：
x ( n  m ) 的 Z 变换为 z  m  X ( z )
3、Z域微分
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z )
则：
nx (n ) 的 Z 变换为  z
d [ X ( z )]
dz
4、初值定理
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z )
则：
x ( 0 )  lim X ( z )
z
5、终值定理
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z )
则：
lim x ( n )  lim [( z  1) X ( z )]
n 
z 1
9.4 Z变换的收敛域

Z变换中的z是一个复数
Z 变换的收敛是要满足绝对可和条件：


x(n) z n  
n  
值判定法。
，根据级数理论，有比值判定法和根
比值判定法：令
x ( n  1) z  n 1
x ( n  1) z  1
lim
 lim
 

n
n 
n 
x(n) z
x(n)
若   1 ，则收敛
若   1 ，则发散
若   1 ，则可能收敛，也可能发散。
根值判定法：令
lim
n 
n
x ( n ) z  n  lim z  1  n x ( n )  
n 
若   1 ，则收敛
若   1 ，则发散
若   1 ，则可能收敛，也可能发散。
对有限长序列 x(n)
X (z) 在z 平面点点收敛。
下面分析各类无限长序列的收敛问题，采用根值
法，（采用比值法也一样）
无限长序列包括，右边序列，左边序列和双边序列。
n
x
(
n
)

a
u(n)
对右边序列
  lim n x(n)zn  lim n (a / z)n  (a / z)
n
n
Z的
虚轴
|a|
当  1 ，即 z  a 时，收敛，如图：
Z的
实轴
收敛域
n
x
(
n
)

a
u(n)
对左边序列
  lim n x(n)zn  lim n (z / a)n  z / a
n
n
Z的
虚轴
|a|
当  1 ，即 z  a 时，收敛，如图：
Z的
实轴
收敛域
n
n
x
(
n
)

a
u
(
n
)

b
u(n)
对双边序列
根据右边序列的结论，要求
|a| |b|
z  a
根据左边序列的结论，要求
z  b
故当 a  z  b 时收敛
Z的
虚轴
收敛域
Z的
实轴
9.5 逆Z变换
1、长除法
z
X ( z) 
例：求
( z 1)2 的逆变换x(n)
做长除有：
X ( z)  z 1  2z 2   nzn
x
(
n
)

nu
(
n
)
所以有：
可见，长除法是将 Z 变换分解成一个累加序列
然后总结规律。
2、部分分式展开法
这一方法同拉氏反变换中的方法基本相同
z2
X ( z)  2
例：求
z 1.5z  0.5 的逆变换x(n)
z2
2z
z
X ( z) 


( z 1)(z  0.5) z 1 z  0.5
n
x
(
n
)

(
2

0
.
5
)u ( n )
所以有：
9.6 Z变换与拉氏变换的关系
jw
由 z  e ，并令Ts  1 ，则 z  e
sTs
s
S域
s    jw
s
jw
s

jw
s
z

e

e
故对 域的虚轴，有
，而

可见 s 域的虚轴对应的是 Z 域的单位圆。
这就是复变函数论中需要阐述的基
本问题，即空间的映射问题。
Z的虚部
Z域
半径为1
Z的实部
jw
s    jw
S域
故对 s 域的左半平面，有  0 ，而
z  es  e  jw  e  e jw ，  0 意味着 Z 的模

小于 1。
s
可见 域的左半平面对应的是 Z 域的单
位圆内。
Z的虚部
Z域
半径为1
Z的实部
jw
s    jw
S域
故对 s 域的右半平面，有  0 ，而
z  es  e  jw  e  e jw ，  0 意味着 Z 的模

大于 1。
s
可见 域的右半平面对应的是 Z 域的单
位圆外。
Z的虚部
Z域
半径为1
Z的实部
jw
s    jw
S域
故对 s 域中条带，有 1     2 ，
jw

  jw
s
e

e

e

e

z
，这就意味着 Z 的
而
2
1
e
e
模为介于 和 之间。
s
可见 域的虚轴的条带对应的是 Z 域的

Z的虚部
Z域
圆环。
Z的实部
9.7 总结



在这一章，我们从采样信号拉氏变换的定义引
出了Z变换，Z域是复数域。Z变换在离散信号
分析中的地位相当于拉氏变换在连续信号分析
中的地位。
Z变换本身又分为单边和双边Z变换，一般情况
下，我们分析的是因果信号，所以单边Z变换
与双边Z变换是相同的。
我们给出了典型序列的Z变换以及Z变换的性质。



介绍了Z变换的收敛域的确定方法
在逆Z变换的方法中，我们有选择地介绍
了长除法和部分分式法，其中部分分式
法的过程同拉氏变换中的部分分式法是
相同的。
最后我们介绍了拉氏变换的S空间同Z变
换的Z空间之间的映射关系，它们之间是
一种典型的复变函数关系。