Transcript 第9章Z变换
第九章 Z变换
9.1 引言
1730年英国数学家棣莫弗(De Moivre)
将生成函数的概念用于概率论的研究,
其实这就是Z变换。
19世纪拉普拉斯(P.S.Laplace),20世
纪沙尔(H.L.Seal)等人在这一方面继续
作出了贡献。
Z变换在当时并没有发挥多大作用
到了20世纪50~60年代,控制系统和数
字计算机的出现为Z变换开拓了应用的空
间。
Z变换在离散信号系统中的地位相当于拉
氏变换在连续信号系统中的地位。
9.2 Z变换
1、Z变换的引出
从采样信号的拉氏变换出发:
X (s)
0
x ( t ) ( nT s )e st dt
T s 为采样间隔。
,其中,
于是有:
X (s)
x (n )e
snt s
n0
如果令 z e st ,则:
s
X (z)
x ( n ) z ,当采样间隔取 1 时, z e
n0
n
s
2、Z变换的定义
与拉氏变换类似,Z变换也有单边及双边
Z变换之分。
双边 Z 变换:
X (z)
n
x
(
n
)
z
n
单边 Z 变换又分右边序列和左边序列:
右边序列:
左边序列:
X ( z ) x(n) z n
n0
X (z)
0
n
x
(
n
)
z
n
3、典型序列的Z变换
1)离散冲激信号: (n )
X ( z ) (n) z n 1
n0
2)阶跃信号: u (n )
X ( z ) z n
n0
,采用等比序列求和公式
X ( z ) u (n) z n
n0
1
[1 ( ) N ]
z
1
1
Z
1
z[1 ( ) N ]
z
z 1
N
,
N
等比无穷序列要收敛,要求后项与前项的比值的
模必须小于 1,即要求 | z | 1 ,有:
z
X (z)
z 1
3) 斜线信号: x ( n ) nu ( n ) ,
z n
根据: n 0
1
1 1 / z ,| z | 1 (前面阶跃信号 Z 变换的
结果)
1
z
将等式两边分别对 求导:
nz
( n 1)
n0
1
(1 1 / z ) 2 ,即
X ( z ) nz n
n0
1
z
(1 1 / z ) 2 z ( z 1) 2
n
x
(
n
)
a
u (n) ,
4)指数序列:
X ( z ) a n z n
n0
1 (a / z ) N
1 a / z
为保证收敛要求:| z || a |
N
z
za
5)余弦序列: x ( n ) cos( w0 n )u ( n ) ,
由指数序列的 Z 变换:
X (z)
n
a z
n0
n
1 (a / z ) N
1 a / z
N
z
z a
jw 0
a
e
令
,则当| z || a | 即 | z | 1 时
e
jw 0 n
z n
n0
z
z e
jw 0
,
jw 0
a
e
同理:令
,则当| z || a | 即 | z | 1 时
e
n0
jw 0 n
z
n
z
z e jw 0 ,
故:
e jw 0 n z n
n0
e jw 0 n z n
n0
2 cos( w 0 n ) z
即
n0
n
z
z
z e jw 0
z e jw 0 ,
z
z
jw 0
ze
z e jw 0
1
z
z
(
可见, cos( w 0 n ) 的 Z 变换为 2 z e jw 0 z e jw 0 ) ,
z ( z cos w 0 )
为: z 2 2 z cos w 0 1
6)正弦序列的 Z 变换
同样的方法:
1
z
z
(
)
sin( w 0 n ) 的 Z 变换为 2 j z e jw 0
jw 0
,
ze
z sin w 0
为: z 2 2 z cos w 0 1
9.3 Z变换的基本性质
1、线性
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z ) , y (n ) 的 Z 变换为Y ( z ) ,
则:
a x ( n ) b y ( n ) 的 Z 变换为 a X ( z ) b Y ( z )
2、时移
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z )
则:
x ( n m ) 的 Z 变换为 z m X ( z )
3、Z域微分
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z )
则:
nx (n ) 的 Z 变换为 z
d [ X ( z )]
dz
4、初值定理
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z )
则:
x ( 0 ) lim X ( z )
z
5、终值定理
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z )
则:
lim x ( n ) lim [( z 1) X ( z )]
n
z 1
9.4 Z变换的收敛域
Z变换中的z是一个复数
Z 变换的收敛是要满足绝对可和条件:
x(n) z n
n
值判定法。
,根据级数理论,有比值判定法和根
比值判定法:令
x ( n 1) z n 1
x ( n 1) z 1
lim
lim
n
n
n
x(n) z
x(n)
若 1 ,则收敛
若 1 ,则发散
若 1 ,则可能收敛,也可能发散。
根值判定法:令
lim
n
n
x ( n ) z n lim z 1 n x ( n )
n
若 1 ,则收敛
若 1 ,则发散
若 1 ,则可能收敛,也可能发散。
对有限长序列 x(n)
X (z) 在z 平面点点收敛。
下面分析各类无限长序列的收敛问题,采用根值
法,(采用比值法也一样)
无限长序列包括,右边序列,左边序列和双边序列。
n
x
(
n
)
a
u(n)
对右边序列
lim n x(n)zn lim n (a / z)n (a / z)
n
n
Z的
虚轴
|a|
当 1 ,即 z a 时,收敛,如图:
Z的
实轴
收敛域
n
x
(
n
)
a
u(n)
对左边序列
lim n x(n)zn lim n (z / a)n z / a
n
n
Z的
虚轴
|a|
当 1 ,即 z a 时,收敛,如图:
Z的
实轴
收敛域
n
n
x
(
n
)
a
u
(
n
)
b
u(n)
对双边序列
根据右边序列的结论,要求
|a| |b|
z a
根据左边序列的结论,要求
z b
故当 a z b 时收敛
Z的
虚轴
收敛域
Z的
实轴
9.5 逆Z变换
1、长除法
z
X ( z)
例:求
( z 1)2 的逆变换x(n)
做长除有:
X ( z) z 1 2z 2 nzn
x
(
n
)
nu
(
n
)
所以有:
可见,长除法是将 Z 变换分解成一个累加序列
然后总结规律。
2、部分分式展开法
这一方法同拉氏反变换中的方法基本相同
z2
X ( z) 2
例:求
z 1.5z 0.5 的逆变换x(n)
z2
2z
z
X ( z)
( z 1)(z 0.5) z 1 z 0.5
n
x
(
n
)
(
2
0
.
5
)u ( n )
所以有:
9.6 Z变换与拉氏变换的关系
jw
由 z e ,并令Ts 1 ,则 z e
sTs
s
S域
s jw
s
jw
s
jw
s
z
e
e
故对 域的虚轴,有
,而
可见 s 域的虚轴对应的是 Z 域的单位圆。
这就是复变函数论中需要阐述的基
本问题,即空间的映射问题。
Z的虚部
Z域
半径为1
Z的实部
jw
s jw
S域
故对 s 域的左半平面,有 0 ,而
z es e jw e e jw , 0 意味着 Z 的模
小于 1。
s
可见 域的左半平面对应的是 Z 域的单
位圆内。
Z的虚部
Z域
半径为1
Z的实部
jw
s jw
S域
故对 s 域的右半平面,有 0 ,而
z es e jw e e jw , 0 意味着 Z 的模
大于 1。
s
可见 域的右半平面对应的是 Z 域的单
位圆外。
Z的虚部
Z域
半径为1
Z的实部
jw
s jw
S域
故对 s 域中条带,有 1 2 ,
jw
jw
s
e
e
e
e
z
,这就意味着 Z 的
而
2
1
e
e
模为介于 和 之间。
s
可见 域的虚轴的条带对应的是 Z 域的
Z的虚部
Z域
圆环。
Z的实部
9.7 总结
在这一章,我们从采样信号拉氏变换的定义引
出了Z变换,Z域是复数域。Z变换在离散信号
分析中的地位相当于拉氏变换在连续信号分析
中的地位。
Z变换本身又分为单边和双边Z变换,一般情况
下,我们分析的是因果信号,所以单边Z变换
与双边Z变换是相同的。
我们给出了典型序列的Z变换以及Z变换的性质。
介绍了Z变换的收敛域的确定方法
在逆Z变换的方法中,我们有选择地介绍
了长除法和部分分式法,其中部分分式
法的过程同拉氏变换中的部分分式法是
相同的。
最后我们介绍了拉氏变换的S空间同Z变
换的Z空间之间的映射关系,它们之间是
一种典型的复变函数关系。