《数学建模方法及其应用》教学片
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第二章 两种初等分析方法
量纲分析方法；
案例分析：点热源的热扩散问题；
集合分析方法；
案例分析：合理分派与会成员问题
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2015年10月30日
第二章 两种初等分析方法
用量纲分析法建立的数学模型一
般都有明确的物理意义或现实意义。
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2015年10月30日
一、量纲分析方法
引例：空间点热源的热扩散问题
0) 有一热量为 e 的
瞬时热源位于原点处 (r 0) ，热量通过介
问题：设初始时刻 (t
质向无穷空间扩散，试研究扩散规律。
讨论： 如何来刻画热扩散规律？
这些规律与那些因素有关？
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2015年10月30日
一、量纲分析方法
引例：空间点热源的热扩散问题
时刻t
温度u
热量e
r
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2015年10月30日
一、量纲分析方法
对现实对象的认识主要来源于两个方面：
• 与问题相关的物理、化学、经济等自然
学科方面的知识；
• 通过对数据和现象的分析对事物的内在
规律作出合理的猜想（或推理），即可
作为模型的假设。
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一、量纲分析方法
1、量纲
量纲分析是物理学中常用的一种定性
分析方法。当对一个物理概念进行定量描述
时，总离不开它的一些特性.
比如，时间、质量、密度、速度、力等等，
这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同
的“量纲”
，记为 。
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2015年10月30日
一、量纲分析方法
1、量纲
例如，时间的量纲为 T ，长度的量纲
为 L ，速度的量纲为 [ LT 1 ] ，质量的量
纲为 M 等。
量纲分析就是基于量纲一致的原则
来分析物理量之间关系的一种方法。
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2015年10月30日
一、量纲分析方法
例如，常用的基本量纲有：
M,L,T,1
[V],[a],[F],[P][w]?
质量：[m]=M
速度： [v ]
长度：[l]=Ｌ
加速度： [ a ]
时间：[t]=T
力： [ F ]
LT
1
LT 2
MLT
2
常数:[π]=[ｅ]=１
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一、量纲分析方法
２、量纲齐次原则
用数学公式表示一个物理定律时，等号
两端必须保持量纲的一致性，这种性质称之为
量纲齐次性。
当方程中的各项具有相同的量纲时，这
个方程被称为是量纲齐次的，也只有具有相
同量纲的量才能作比较或相加、减，即物理
定律必须是量纲齐次的。
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一、量纲分析方法
２、量纲齐次原则
m1m2
例如：万有引力定律： f k
，量纲是齐次的。
2
r
动量定律： mv2
mv1 ft ，量纲也是齐次的。
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一、量纲分析方法
３、量纲分析的基本定理
定理(Buckingham_Pi):
设有 m 个物理量 q1 , q2 , , qm 满足某定律：
f (q1 , q2 , , qm ) 0 ,
X1 , X 2 , , X n 是基本量纲 (n m) 。
n
q j 的量纲可表为 [q j ] X ( j 1,2, , m) 。
aij
i
i 1
矩阵 A
( aij ) nm 称为量纲矩阵.
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一、量纲分析方法
３、量纲分析的基本定理
若 A 的秩 r ，可设线性齐次方程组 AY 0
（ Y 是 m 维 向 量 ）， 有 m r 个 基 本 解 为
yk ( yk1 , yk2 , , ykm ) , k 1,2, , m r 。
T
则 k
m
q
j 1
yk j
j 为 m r 个相互独立的无量纲的量，
且 有 F (1 , 2 , , mr ) 0 与 f (q1 , q2 , , qm ) 0 等
价，其中Ｆ为一未知函数。
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2015年10月30日
一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
(1)将与问题有关的物理量（变量和常量）收集起来，
记为 q1 , q2 , , qm ，根据问题的物理意义确定基本量
纲，记为 X1 , X 2 , , X n
时刻t
(n m)
温度u
热量e
r
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；
基本量纲：
时间：T
长度：L
温度：θ
质量：M
2015年10月30日
一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
(2) 写 出
qj
的 量 纲 [q j ]
n
X
aij
i
( j 1,2, , m) ,
i 1
A ( aij ) nm ；
热量 e （焦耳，即功的单位）
：
L
L2
W FS MaS M 2 L M 2
T
T
比热容 C （单位体积提高 1 摄氏度需要的能量）
：
e
L2 1
1
C 3 M 2 3 M
L
T L
T 2 L
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一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
u
k 为介质的扩散系数，即由 q k
确定
r
（ q 是单位时间通过单位面积的热量）。
[ e]
[e]
ML
[q] 2 [k ] [k ]
3
TL
L
TL T
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一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
(2) 写 出
qj
的 量 纲 [q j ]
1
3
e : ML2T 2
C ： M 1T 2 L1
X
aij
i
( j 1,2, , m) ,
i 1
A ( aij ) nm ；
k: ML T
n
0
0
A
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
u
r
t
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2 1 1 L
1 1 1 M
2 2 3 T
0 1 1
e c
k
2015年10月30日
一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
(3)设 q1 , q2 , , qm 满足关系
中
m
q
j 1
yj
j
，其
y j 为待定的， 为无量纲的，因此
m
[ ] X
j 1
aj
j
1 ,于是
m
a j aij yi 0( j 1,2, , n) ；
i 1
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一、量纲分析方法
y1
y2 y3
y4
y5
y6
[u r t e c k ]=1
L T
y1
y2
y3
ML T M
2
0
0
AY
0
1
2 y4
1 0
0 0
0 1
0 0
1
ML
2 1 y5
T L
1
T
3 y6
y1
2 1 1 y2 0
1 1 1 y3 0
2 2 3 y4 0
0 1 1 y5
0
y6
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2015年10月30日
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一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
m
(4)解线性方程组：
a
i 1
ij
yi 0( j 1,2, , n) ，
系 数 矩 阵 A (aij )nm , RankA r ， 则 方 程 组 有
m r 个基本解，记
yk ( yk1 , yk2 , , ykm ) , k 1,2, , m r ；
T
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一、量纲分析方法
0
0
AY
0
1
1 0
0 0
0 1
0 0
y1
2 1 1 y2 0
1 1 1 y3
0
2 2 3 y4 0
0 1 1 y5
0
y6
RankA 4 ，方程组 AY 0 有 6-4=2 个基本解，可取
T
y1 (0,2,1,0,1,1)
T
y
(
2
,
0
,
3
,
2
,
1
,
3
)
2
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2015年10月30日
一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
(5)记 k
m
q
j 1
yk j
j
，则 k 为无量纲的量 (k 1,2, , m r ) ；
y1 (0, 2, 1, 0,1, 1)T
都是方程的解
,
y
k
y
k
y
1
1
2
2
T
y
(
2,
0,
3,
2,1,
3)
2
1 r 2t 1ck 1
，
2 3 2
3
2 u t e ck
与
f (u, r, t, e, c, k ) 0 等价。
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2015年10月30日
一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
(6)由 F ( 1 , 2 , , m r ) 0 解出物理规律。
1 r 2t 1ck 1
2 3 2
3
u
t
e
ck
2
r
e 2
k
2
u (a t ) g 2 ，其中 a , g 为待定的。
c
c
a t
3
2
2
3
e 1
e
另一方面，该问题可用热传导方程求解： u
c 2 a 2t
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r2
2
4a t
2015年10月30日
一、量纲分析方法
！！注意：基本量纲的选取方法不是唯
一的，此问题也可经选取θ，Ｌ，Ｔ，
[e]=Ｅ为基本量纲，类似地可得到相应
的结果。
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2015年10月30日
一、量纲分析方法
思考题：
•量纲分析法一般能用于解决什么样的问题？
•使用量纲分析法需要那些条件？
•量纲分析法的优缺点有哪些？
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2015年10月30日
第二章 两种初等分析方法
•
一般认为，集合与集合论的有关概念和理论
都是非常抽象的，不便于在实际中应用．
•
对于实际中的许多问题，往往是其相关因素
之间的关系比较复杂，用相对通俗、简单的语
言文字难已表达。
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2015年10月30日
二、集合分析方法
•
用集合的概念、术语和子集合之间的运算关
系来解释、描述这个实际问题可能更清晰、更
直接、更方便。
•
借助于集合论的相关理论得到具有实际意义
的结果．
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
1. 问题的提出
AnTostal公司的一次会议的参加者为29位公司董
事会成员，其中9位是在职董事(即公司的雇员)．会
议要开一天,每个小组上午开三段，下午开四段，每
段会议开45分钟，从上午9:00到下午5:00每整点开始
开会，中午12:00午餐．
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
1. 问题的提出
上午每段会议都有6个小组讨论会，每个小组都
由公司的一位资深高级职员来主持．这些资深高级
职员都不是董事会的成员．因此，每位资深高级职
员都要主持三个不同的小组会．这些资深高级职员
不参加下午的讨论会，而且下午的每段会议只有4个
不同的小组会．
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
1. 问题的提出
公司董事长需要一份由公司董事参加的7段分
组会议的每个小组的分配名单．这份搭配名单要尽
可能多地把董事均匀搭配．
理想的搭配应是任意两位董事同时参加一个小
组讨论会的次数相同,与此同时，要使在不同时段的
小组会中同在一起开过会的董事总数达到最小．
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
1. 问题的提出
名单中的成员搭配还应满足下列两个准则：
(1)在上午的讨论会上，不允许一位董事参加由
同一位资深高级职员主持的两次会议．
(2)每个分组讨论会都应将在职董事均匀分配到
各小组中．
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
请给出一份1～9号在职董事、10～29号董事、
1～6号公司资深高级职员的分组搭配名单．并说明
该名单在多大程度上满足了前面提出的各种要求和
规则。
•
• 因为有的董事可能在最后一分钟宣布不参加会
议，也可能不在名单上的董事将出席会议。因此，
一个能使秘书在会前一小时接到参会与否的通知情
况下，来调整搭配分组的算法定会得到赏识．
• 如果算法还能用于不同水平的与会者同参加后
面会议中的每一类与会者搭配，那么就更理想了．
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
2. 模型的假设
（１）各场会议间及各个小组之间是相对独立的；
（２）所有的高级职员和董事会成员都严格遵守派遣
方案；
（３）若能够满足每位董事出席会议的次数都相等,
则模型被认为是最理想的；
（４）6位资深高级职员之间无差异, 同样9位在职董
事之间、20位外部董事之间也无差异．
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
3. 符号的说明
O {oi | i 1,2, ,6} 表示 6 位资深高级职员
o i ( i 1,2, ,6 )的集合；
M {mi | i 1,2,,29} 表示所董事会成员
mi （ i 1,2,,29 ）的集合；
I (9) {mi | i 1,2,,9} 表示在职董事会成员
mi （ i 1,2,,9 ）的集合；
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
3. 符号的说明
E (20) {mi | i 10,11,,29} M I (9) 表示外部董事成
员 mi （ i 10,,29 ）的集合；
G n 表示在一次分组会议中第 n(1 n 6) 组的
与会成员的集合；
Gn 表示分组会议的第 n(1 n 6) 组经第 k 次分派
(k )
（每次分派一名成员）后的会议成员集合；
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
3. 符号的说明
aij 表示董事会第 i 位成员与第 j 位成员分在同一
组的次数（ 1 i,
j 29, i j ）；
w(k ) 表示两位董事会成员分在同一组时所赋予的权重；
bij 表示资深高级职员 o i ( i 1,2, ,6 )与董事会
成员 m j (
j 1,2,,29 )在此之前是否同组的指
标，即当属于同一组时取值为 1，否则取值为 0；
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二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
3. 符号的说明
Ri
(k )
Gi
(k )
I (9) 表示在 Gi 中在职董事的数量；
(k )
hi 2 表示理事会两位内部成员在同一个讨论组
中达到 i 次的对数；
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
4. 问题分析
根据问题要求可有两个分派原则:
(1) 均衡分派原则：尽可能使得各讨论组成员人数
相等，该原则将确保各讨论组人数大致相等．
(2) 分派比例原则：各会议讨论组在职董事和外部
董事的比例大致相等．
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
4. 问题分析
方案I：
每场上午的分组会议共分为6组，一个组由位
董事成员组成，其他个组每组由位董事成员组成．
其中3个组每组有2位在职董事,而另外3个组每组只
有1位在职董事.具体对于每一个组成员的分派都是
随机的．
如果公司总裁更希望使各讨论组的成员人数尽
可能相等, 建采用这个方案，即可满足他的要求．
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
4. 问题分析
方案II：
由均衡分派原则，每组中在职董事和外部董事的
比例应该近似相等，即应大致为．由所给数据和题
目要求可知, 不存在恰好比例为的分派方案, 在这里
可以从以下结果中挑选最接近的分派方案．
上午： t1 1 : 2,t 2 1 : 2, t3 1 : 2, t 4 2 : 4, t5 2 : 5, t 6 2 : 5 ；
或者 t1 1 : 2,t 2 1 : 2, t 3 1 : 3, t 4 2 : 4, t 5 2 : 4, t 6 2 : 5 ；
下午： t1 2 : 4, t2 2 : 4, t3 2 : 5, t4 3 : 7 ．
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二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
5. 模型的建立与求解
模型Ⅰ: 第一种分派方案：
第一步：上午第一场会议的分派方案；
第二步：上午第二场会议的分派方案 ；
第三步：类似上述方法分派上午第三场会议的
分组结果．
第四步：下午分组会议的分派方案安排。
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2015年10月30日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
5. 模型的建立与求解
模型Ⅱ：第二种分派方案：
第一步：上午会议的分派方案；
第二步：下午会议的分派方案:
两种分派方案的具体方法和结果见教材。
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