Transcript 第七章数学物理定解问题

第一篇：理解的基础上记忆
第二篇：记忆的基础上理解
第二篇
数学物理方程
第七章 数学物理定解问题
一 数学物理方程
本篇介绍物理学中常
见的三类偏微分方程
及有关的定解问题和
这些问题的几种常见
解法。
数学物理方程是从物理问题中导出
的反映客观物理量在各个地点、各
个时刻之间相互制约关系的数学方
程。换言之，是物理过程的数学表
达。如 牛顿定律、热传导定律、
热量守恒定律、电荷守恒定律、高
斯定律、电磁感应定律、胡克定律。
数学物理方程本身（不包含定解条件）叫 泛定方程
二 边界问题
对于具体的问题，必须考虑到所研究的区域处在什么样的
环境下，即边界的区别。
体现边界状态的数学方程称为边界条件。
三 历史问题
历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：分别用薄的物体和厚的物
体敲击同一弦，研究其后的振动。
体现历史状态的数学方程称为初始条件。
一个具体的问题的求解的一般过程：
§7.1 数学物理方程的导出
导出步骤：
1 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻近部
分与它的相互作用。
2 根据物理规律，以算式表达这个作用。
3 化简、整理。
一 均匀弦的微小横振动
细长而柔软的弦线，紧绷于A、B两点之间，作振
幅极微小的横振动，求其运动规律。
1 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻近部分与
u
它的相互作用。
T2
分析：
1 力学问题：位移u(x,t)是根本
量
2 遵循牛顿第二定律
3 弦是柔软的：张力沿弦的
切线方向
θ2
θ1
T1
4 轻弦：重力是张力的几万分之一，
不考虑
5只在横向有位移，纵向没有
位移
B
x
x+dx
x
2 根据物理规律，以算式表达这个作用。
(T cos ) xdx  (T cos ) x  0(7.1.1)
u
T│x+dx
θ∣x+dx
u
(T sin  ) x  dx  (T sin  ) x  dm 2 (7.1.2)
t
2
B
θ∣x
3 化简、整理。
T│x
在微小振动近似下：
x
cos1  cos 2  1
ds 
s i n1  tg1 =
x+dx
u
|x
x
( dx ) 2  (du ) 2  dx sin  2 = tg 2 = u | x  dx
x
于是由(7.1.1)有：
T
xdx
T
弦中各点的张力相等
x
0
即T
xdx
T
x
x
2

u
于是由
(T sin  ) x  dx  (T sin  ) x  dm 2 (7.1.2)
t
弦的线密度
 2u
u
dx 2  T [
t
x
即：
令
于是：
2
u

u
dx
x  dx 
x] T
2
x
x
utt  Tu xx
a
T

utt  a uxx  0
2
由于B是任选的，所以方程适用于弦上的各处，称为
弦的振动方程
utt  a uxx  0
2
a
T

如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受
的外力为f, 则
u
u
dx 2  T 2 dx  fdx
t
x
2
2
f
utt  a uxx 

2
单位质量所受外
力，力密度
 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是
以t为自变量的常微分方程；
 弦的位移是以x,t的函数，其运动方程是以
x,t为自变量的偏微分方程。
utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
 uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。
f
utt  a uxx 

2
u
例 弦在阻尼介质中微小横振
动，单位长度的弦所受的阻力
为
T1
a1
B
a2
F=-Rut
T2
推导弦的振动方程。
解：如图 选坐标系以dx段为研究对象，弦无纵向振动
x
只在运动
的方向
X 方向：T 2 cosα2  T1 cosα1=0
Y 方向： T1 sinα1  T2 sinα2-Rutds=ma
由于微振动，则有 s i na  tga =  u |
x
1
1
x
cosa1  cosa2  1
x
x+dx
 2u
= ds 2
t
= dsutt
u
| x  dx
sin a2 = tga2 = 
x
ds 
( dx ) 2  ( du ) 2  dx
 T1 = T2 =T
T u x | x  dx  Tux |x = dxutt +
dxRut
u x | x  dx u x | x
)  u tt +Rut
T(
dx
 u
T 2  u tt +
x
2
u tt 
R

u t  a u xx  0
2
Rut
a
T

二 均匀杆的纵振动
研究均匀杆上各点沿杆长方向的纵向位移u(x,t)所遵从
的方程。
x+dx
x
解：如图选坐标系，选dx段为
研究对象,由胡克定律得dx段两
边受拉力分别为
u+du
截面积
杨氏模量
u
YS
|x
x
u
u
YS
| x  dx
x
由牛顿第二定律：
密度
YS(ux |xdx ux |x )  Sdxutt
u x | x  dx u x | x
YS
 Su tt
dx
得：
utt  Yuxx  0
此即杆的纵振动方程，
可写为：
a2  Y / 
utt  a 2u xx  0
如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度单位截面积所
上受的外力为f(x,t), 则
f
utt  a uxx 

2
单位质量所受外
力，力密度
例 用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。
a
x
x
解：如图选坐标系，选dx段为
研究对象,dx段两边受拉力分别
为
u
YS
|x
x
s1
u(x,t)
x+dx
s2
u
YS
| x  dx
x
有牛顿第二定律：
Y (Sux |xdx Sux |x )  Sdxutt Y
( S u x ) | x  dx ( S u x ) | x
dx
 S x utt
Y

( s u x )  s utt
x
s x  r   (xtga)
2
2
 2
2
Y
( x u x )  x utt
x
a  2
utt  2
( x ux )  0
x x
2
a
Y

三 均匀薄膜的微小横振动
u
仰角
T2 张力
a
T1
分析：
1 力学问题：位移u(x,y,t)是根本量
2膜是柔软的：张力在切平面
3只在横向有位移，纵向没有位移
xy平面
切方向：T 2 cosα2-T1cosα1=0
cosα2=cosα1=1
T的横向分量：
T1=T2=T
u
T sin a  Ttga  T
n
取膜的小块，则x和x+dx两边上所
受的张力：
T
u
|x
x
T
u
| x  dx
x
y
y+dy y
x
垂直黑板面
则膜在两边张力的横向作用为
(Tux |xdx Tux |x )dy  Tuxxdxdy
x+dx
x
同理，在y方向两边张力的横向分量：
Tu yy dxdy
根据牛顿第二定律：
utt dxdy  Tuxxdxdy Tu yydxdy
2
2
2

u

u

u
2 u  gu  2  2  2  u
x
y
z
utt  T (uxx  uyy )  0
拉普拉斯（Laplace）方程
utt  T 2 u  0
2u 2u
2u  2  2
x
y
2
 u 2u 2u
3u  2  2  2
x
y
z
若膜均匀，则
(a 2  T /  )
utt  a 2  2u  0
如果在位移方向上还受外力的作用，设单位面积所上受的外力
为f(x,y,t), 则
单位质量所受外
力，力密度
utt  a  2u 
2
f ( x, y , t )
此即二维波动方程

四 热传导方程
热流
分析：
x
x
1 热学问题：温度u(x,t)是根本量
2 能量守恒定律和热传导定律（傅
里叶定律）
x+dx
（1） dt时间内小段dx温度升高所需热
量： Q=
c(ρsdx)[u(x,t+dt)-u(x,t)]
u
q  k
x
dt很小 Q=cρsu t dx dt
（2） dt时间内流入小段dx热量：
q是单位时间流过单位面积的热量(热流强
度）；K为导热率，与材料有关，温度范围
不大时，视为常数。
负号：表示方向，热流方向与温度升高方
向相反，因此热传导定律是带有方向的。
（对比没有方向的胡克定律）
Q=-kux(x,t)sdt-(-kux(x+dx,t)sdt)
=ksdtuxx dx
内无热源，二者相等
Q=cρsu t dx dt =ksdtuxx dx
ut  a uxx  0
2
a2=k/(cρ)
此即一维热传导方程
若杆内有热源，热源密度（单位时间单位
体积放热量）为f, 则方程变为
f
ut  a u xx 
c
2
五 扩散方程
z
1 浓度u(x,y,z,t)是根本量
2 扩散定律
（斐克定律）
q   Du
x
q是单位时间流过单位面积的粒子数(扩散
流强度）；D为扩散系数。
可写成分量形式
u
u
u
qx   D , q y   D , qz   D
x
y
z
体内浓度的变化取决于穿过它表面的扩散流，
单位时间内x方向净流入粒子数：
( qx
x
 qx
x  dx
)dydz
u
u
 ( D
x D
x
x
x  dx
)dydz  uxx Ddxdydz
同理，单位时间内y，z方向净流入粒子数分别为：
u yy Ddxdydz
u zz Ddxdydz
根据粒子数守恒：浓度*体积对时间的变化率等于单位时间流
入的粒子数
u
dxdydz  (u xx  u yy  u zz ) Ddxdydz
t
ut  a u  0
2
此式为输运方程
a2=D
六 泊松方程
在充满了介电常数为ε的电解质，电荷的体密度为ρ（x,y,z)，
研究该区域的静电场。
势函数u(x,y,z)是根本量, 在所研究的区域中，任作一闭合曲面s，
围出一空间τ，由高斯定理：


1
d
 E  d s   

s



  E d
 E  d s  

又因为
s
所以
1

d     E d

 

所以

E 



  u  


u  

此即泊松方程，若所讨论区域无电荷，则为
u  0
对于扩散方程 ut  a u  0
，当时间足够
长，ut=0 达到稳定状态，即浓度的稳定分布方程。
2
例1 长为l的柔软均质绳索，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于
惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于
水平线的横振动方程。
Y
x x+dx
解：如图选坐标系，由于惯性离心力的
作用，绳内各处受力不同，x处的水平
拉力为
l
T（x）cosα=

x
X
1
2
 2 xdx =  2 (l 2  x 2 )
cos   1
竖直方向：
T2u x | x  dx  T1u x | x = dxutt
T2u x | x  dx T1u x | x
 utt
dx

(Tu x )  utt
x
 1
[  2 (l 2  x 2 )u x ]  utt
x 2
即
1 2  2
2
[( l  x )u x ]  0
utt  
2
x
例2 混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”放热速率正比于
d
当时尚存的水化热密度θ，即dt   B
。试推导浇灌
后的混凝土内的热传导方程。
解：浇灌后混凝土中在初始时刻存储的水化热密度为
t
θ0，则t时刻存储的水化热密度为： 


0
d

 d    B dt
t

   0 e

0
0
 Bdt
0
 Bt
T 时刻放热速率为
d
 -B  0 e  Bt
dt
以 dv=dxdydz 为研究对象，由于混凝土中放出水化热，则在 dv 中存在热源，
即在单位时间内于单位体积内放出的热量为  B
在单位时间内流入 dv 中的净热量为：
 0 e  Bt



( ku x ) + (ku y ) + ( ku z ) ]dv
[
x
z
y
考虑dv中有热源，则在单位时间内dv热量的增加为
[



( ku x ) + (ku z ) + ( ku z ) ]dv+ B  0 e  Bt dv①
x
z
y
又有热力学第一定律，在单位时间内在dv内净增加的热量
可表示为
d  (dv) cdu  cdvdu
d
 cdvdu/ dt
dt
u

  cut dv ②
 cdv
写为
t
t
①\②两式相等，所以
[



( ku x ) + (ku z ) + ( ku z ) ]+ B  0 e  Bt = cut
x
z
y
k 3u  B  0 e  Bt = cut
u t  a 2  3u 
a
k
c
B
 0 e  Bt  0
c
例3
a1
x
积分
a1
x
常用物理定理
下面概述性地描述数学物理方程建立中常用的
几个物理定律：
（1）牛顿（N ew ton）第二定律: F  ma ；
（2）胡克（H ooke）定律 在弹性限度内，弹性体
的张应力和弹性体的形变量成正比．即
张应力＝杨氏模量(Y )×相对伸长.
（3）热传导的傅里叶定律：在 dt 时间内，通过面积
元 dS 流入小体积元的热量 dQ 与沿面积元外法线方向
u
的温度变化率 n
u
dQ  k dSdt .
n
成正比，也与 dS 和 dt 成正比，即：
式中 k 是导热系数，由物体的材料决定．
（4）牛顿(Newton)冷却定律: 单位时间内从周围介
质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度
差成正比, 即：dQ=H(u1-u∑)
这里u1 是外界媒质的温度. H为比例系数．
(5) 扩散定律 即斐克（Fick）定律: 单位时间内扩
散流过某横截面的杂质量m 与该横截面积s 和浓度
梯度∂u/∂n 成正比，即：m=-Ds
∂u/∂n
式中 D 为扩散系数，负号表示扩散是向着杂质浓
度减少的方向进行的.
（6）静电场中的高斯(G auss)定律 通过任一闭曲
面的电通量，等于这个闭曲面所包围的自由电荷电
1
1
量的  倍．即：  S E  dS   V  dV
其中，  为电荷所处媒质的介电常数，  为电荷
体密度．
1) 双曲型方程（Hyperbolic Equation
）
：以波动方程
为代表的方程
2
utt  a u  f
它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声
波、电磁波的传播规律．
2) 抛物型方程（Parabolic Equation）
：以热传导方程
（或输运方程）
为代表的方程
ut  a u  f
2
它主要描述扩散过程和热传导过程所满足的规律
.
双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或
发展）的,有时也称为发展方程.
3）椭圆型方程（Elliptic Equation ）：
以泊松方程
为代表的方程
u  f ( x, y, z )
当
f ( x, y, z )  0
，即退化为拉普拉斯方程.
它是描述物理现象中稳定（或平衡状态）过程规律的
偏微分方程. 在物理现象中，它很好地描述了重力场、
静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律．
§7、2 定解条件
一 初始条件 ：
1.定义： 是研究系统的物理量在开始计时时刻的初始分布
2 初始条件的特征： 偏微分方程的对时间导数阶数对应于初始条件中的数目
一阶含时偏微分方程，有一个初始条件
u t  a 2 u  0
u( x, y, z) |t 0   ( x, y, z)
二阶含时偏微分方程，有两个初始条件：
utt  a 2u xx  0
u( x, y, z, t ) |t 0   ( x, y, z)
ut ( x, y, z, t ) |t 0   ( x, y, z)
3 注意问题：
（1）、初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，
而不是一点处的情况，
例
一根长为 l 的弦，两端固定于x和l.
距离坐标原点为 b 的位置将弦沿
着横向拉开距离 h ，如图 所示，
h
然后放手任其振动，试写出初始
b
条件．
【 解 】 初始时刻就是放手
的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有
ut ( x, t ) |t 0  0
错给出条件是
u ( x, t ) |t 0  h错

 u t ( x , t ) | t  0  0对
在
x
初始位移如图所示，除两端点固定外，弦上各点
均有一定的位移，写出如图所示的直线方程，得到初
始位移为
 bh x
u ( x, t ) t  0   h
(l  x )
l

b

x b
x b
（2）、初始条件中不含时间，只是坐标的函数或常数
哈密顿算符：▽;nabla[‘næblә]
 r  r  r
 i 
j k
x
y
z
u r u r u r
u 
i
j  k : 标量函数u的梯度
x
y
z
r u u u
r
gu 


: 矢量函数u的散度
x y z
r
r
  u : 矢量函数u的旋度
2
2
2

u

u

u
 2u  gu  2  2  2  u
x
y
z
§7、2 定解条件
一 初始条件 ：
1.定义： 是研究系统的物理量在开始计时时刻的初始分布
2 初始条件的特征： 偏微分方程对时间导数的阶数对应于初始条件中的数目
一阶含时偏微分方程，有一个初始条件
u t  a 2 u  0
u( x, y, z) |t 0   ( x, y, z)
二阶含时偏微分方程，有两个初始条件：
utt  a 2u xx  0
u( x, y, z, t ) |t 0   ( x, y, z)
ut ( x, y, z, t ) |t 0   ( x, y, z)
3 注意问题：
（1）、初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，
而不是一点处的情况，
例
一根长为 l 的弦，两端固定于x和l.
距离坐标原点为 b 的位置将弦沿
着横向拉开距离 h ，如图 所示，
h
然后放手任其振动，试写出初始
b
条件．
【 解 】 初始时刻就是放手
的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有
ut ( x, t ) |t 0  0
错给出条件是
u ( x, t ) |t 0  h错

 u t ( x , t ) | t  0  0对
在
x
初始位移如图所示，除两端点固定外，弦上各点
均有一定的位移，写出如图所示的直线方程，得到初
始位移为
 bh x
u ( x, t ) t  0   h
(l  x )
l

b

x b
x b
（2）、初始条件中不含时间，只是坐标的函数或常数
二 边界条件 ：
： 边界上的物理量始终具有的情况。
研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处
的特定“环境”，而周围环境的影响常体现为边界上
的物理状况，即边界条件．
常见的线性边界条件分为三类：
第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；
第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方
向导数的数值；
第三类边界条件，规定了所研究的物理量及其外法向导数的
线性组合在边界上的数值.
（1）第一类边界条件：
直接给出系统边界上物理量的函数形式
U（x,y,z,t）| x0 , y0 , z0  f1 ( x0 , y0 , z0 , t )
对于一维： u( x, t ) | x0  f1 (t )
比如：弦的两端固定
u( x, t ) |x0  u( x, t ) |xl  0
若弦的两端按固定规律运动
u( x, t ) |x0  f (t ) u( x, t ) |xl  g (t )
（2）、第二类边界条件：
规定了系统边界上物理量法向方向上的方向导数的函数形式。
u
|
n
x0 , y0 , z0
 f 2 ( x0 , y0 , z0 , t )
热流
例1：杆在x=a处绝热。
x
u
qx   k
x
u
| x a  0
q x | xa   k
x
u
| x a  0
所以
x
u x | xa  0
（3）
、第三类边界条件：
给出系统在边界上 u 和
u
的线性关系。
n
u
（u+h
） | x0 , y0 , z0 = f 3 ( x0 , y0 , z0 , t )
n
例：热传导的杆在x=a端自由冷却，自由冷却的意思是：
界面法向方向上的热流与杆端温度和环境的温差成正比
kux |xa  h(u | xa  ) （  环境为度）
可写为：
（u+H u x ) |x  a 

h
 f 3 (t )
边界条件概括为：
u
 u ) |u   f (t )

n
a  0 时 第一类边界条件
(a
β=0 时
第二类边界条件
a  0,   0 时，第三类边界条件
3 注意的问题：
（1）、边界条件中不是系统的初始条件
（2）、边界条件只是时间的函数
（3）、系统几个边界就有几个边界条件
三、衔接条件
1、定义：由于某种原因，由于物理量在某些点上发生突变，
则使系统分为两部分，使偏微分方程为两部分或多部分。
每个部分都满足偏微分方程，但在这点（或区域上）对方程来说，
相当于边界而又无法给出边界条件。
2、衔接条件：
如右图的弦
①连续性
u( x0  0, t ) =
1
u( x0  0, t )
F
2
x0
x
② 竖直方向受力平衡：
F(t)  T sin 1  T sin  2 =0
sin 1 = tg1 = u x ( x0  0, t )
s i n 2 = tg 2 = u x ( x0  0, t )
Tu x ( x0  0, t )  Tu x ( x0  0, t ) =  F (t )
注意问题：
1
F
2
x0
（1）、衔接条件只是时间的函数
（2）、衔接条件常常由物理规律给出。
四、常见问题的初始条件，边界条件，衔接条件：
1、当系统由于某种原因，方程只在两个子区域内成立，
给出两区域的初始状态：
x
习题1 如右图 初始位移为：
c
 h x(0  x  h)
u |t 0  
 c (l  x)(h  x  l )
 l  h
α1
F
α2
0
h
x
确定C：
c
sin a1  tga1  (1)
h
ds=dx
c
sin a2  tga 2 
( 2)
lh
力平衡条件：
F0  T1 sin a1  T2 sin a 2  0(3)

T2 cos a 2  T1 cos a1  0(4)
cosa1  cosa2  1
T1  T2  T0 (5)
（1）——（5）解出：
F0 h(l  h)
c
T0 l
F0  T0
c
c
 T0
h
lh
 F0 (l  h)
 T l x (0  x  h)

0
u |t 0  
 F0 h (l  x)(h  x  l )
 T0 l
2、杆的振动：
例 2、长为 l 的均匀杆两端拉力 F0 作用而纵振动，写出边界条件：
解：杆两端所受的拉力 F0 等于这两端面所受的杨氏弹性力
u
u
YS
| x 0   YS
| x 0   F0
n
x
u
YS
| x 0  F0
x
YS
u
u
| x l  YS
| x l  F0
n
x
若端点是自由的，则
u
u
| x l 
| x 0  0
x
x
3 杆的热传导：
例3、长为l的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为 q0 ，
写出这个热传导问题的边界条件。
解：在边界上有：
x=0 处：  k
qn =  k
u
x
u
|x 0  qn  q0
x
q0
u
|x  0  
x
k
x=l 处：  k
u
| x l  qn   q0
x
q
u
|x l  0
x
k
若端点是绝热的，则
u
u
| x l 
| x 0  0
x
x
4、电介质的衔接条件：
电势
u1  u 2

 D1n  D2 n
u1  u 2

 0 1 E1n   0 2 E2 n
电位移矢量
u1  u2

  u1
u2
 1 n   2 n
初始条件
 一维弦振动
 未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件
 初始位移
 处于平衡位置： u|t=0 = 0
 两端固定，在c点拉开距离h：
u|t=0 = hx/c，
0<x<c;
u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，c<x<L;

初始速度
 处于静止状态： ut|t=0 = 0
 在c点受冲量I： ut|t=0 = I δ(x-c)/m
边界条件举例
 典型线性边界条件
 一维弦振动
 固定端 u |x=0 =0
 受力端 ux|x=0 = F/k
 一维杆振动
 固定端 u |x=0 = 0
 自由端 ux|x=0 = 0
 受力端 ux|x=0 = F/YS
 一维热传导
 恒温端 u |x=0 = a
 绝热端 ux|x=0 = 0
 吸热端 ux|x=0 = F/k
§7、3数学物理方程的分类
一 方程的分类：
1.数学物理方程的一般形式
a11u xx  2a12 u xy  a22u yy  b1u x  b2u y  cu  f  0
其中 a11 ， a12 ， a 22 ， b1 ， b2 ，c,f 只是 x,y 的函数
2.方程的分类;
二阶偏微商项的三个系数 a11 ， a12 ， a 22 组成了一个判别式
  a122  a11a12
按其符号，将方程化为三种类型;
(1)、 a12  a11a22  0双曲型
2
（2）
、 a12  a11a22  0抛物型
2
（3） a12  a11a22  0椭圆型
2
由判别式式知;
utt  a 2u xx  0双曲型

2
u

a
u xx  0抛物型
 t
u  0
椭圆型

§7、4达朗贝尔公式
1.问题的提出：
定解问题
一 达朗贝尔公式
对于常微分方程我们常来用先求出通解，然后利用附加条件
给出通解中所含的常数，能否利用此方称来求解偏微分方程呢？
2 将方程变为通过积分可得通解的形式
若我们可将关于z(x,y)的偏微分 方程化为形式，
 z
0
xy
2
则可通过积分求出z(x,y)
以一维波动方程为例进行讨论
utt  a 2u xx  0
2
2
2 
)u  0
因为（ 2  a
2
t
x




) (  a ) u=0
可以写为（  a
t
x t
x
若令
 x  a(   )

t    
则


t  x  

= a

x
  t  x t



t 
x 


=-（  a
）
t
x
    t    x
则有：
 u
0

2
为了书写方便 ，作代换
1

x

(   )

2

t  1 (   )
 2a
  x  at

  x  at



 
 



因此有
=
 x  x 
 x     


  
 




a

=a
=a(
)
 t 
 t 
t

  





) (  a ) u=0
代入到（  a
t
x t
x
波动方程为：
2

u
2
 4a
0

则有：
 u
0

2
 u
0

2
3 积分求通解：
积分一次
u
 f ( )

再积分一次
u(  , ) =


f ( ) d + f 2 ( ) = f1 ( )  f 2 ( )
可见 f 1 , f 2 是两个任意两次可导的函数
所以通解为
u( x, t )  f1 ( x  at)  f 2 ( x  at)
4 通解的物理意义：
若 f 2 ( x) 是波在t=0时的波形。选动坐标系，以速度a沿x正向移动，
则坐标变换
 X  x  at

T  t
f 2 ( x  at)  f 2 ( X )
则静坐标系的波形 f 2 ( x)
和动坐标系的波形f2(X)完全相同，
说明t时刻的波形f2(x-at)是由t=0 时刻的波形沿+x方向平移at得来的，
即这种波保持波形不变，沿+x方向保持的运动波——行波。
同理 f1 ( x  at ) 是沿-x 方向保持的行波。
因此，波动方程的解是沿  x 方向保持的波动叠加。
5 波形的具体形状的确定
f 1 , f 2 由定解条件确定。
若所讨论的问题是在无界空间中，则无边界条件。只有初始条件，
初始条件为：
u |t 0   ( x)
ut |t 0   ( x)(  x  )
将初始条件带入通解而有：
u |t 0  f1 ( x)  f 2 ( x)   ( x), (1)
ut |t 0  af1 ' ( x)  af2 ' ( x)   ( x), (2)
将（2）积分有：
1
f1 ( x)  f 2 ( x) 
a

x
x0
 ( x)dx  f1 ( x0 )  f 2 ( x0 )(3)
由（1）（3）得：
1
1
f1 ( x) =  ( x) 
2
2a
1
1
f 2 ( x) =  ( x) 
2
2a

x

x
x0
x0
1
2
1
 ( x)dx  [ f1 ( x0 )  f 2 ( x0 )]
2
 ( x)dx  [ f1 ( x0 )  f 2 ( x0 )]
带回到通解有：
注意上述是t=0时的x, t时刻
1
1 xat
u（x,t）= [ ( x  at )   ( x  at )] 
 ( x  at)d ( x  at)

x
2
2a 0
1 xat

 ( x  at)d ( x  at)

x
2a 0
1
1 xat
1 xat
 ( )d 
 ( )d
= [ ( x  at )   ( x  at )] 


x
x
2
2a 0
2a 0
1
1 x  at
 ( )d
= [ ( x  at )   ( x  at )] 

x

at
2
2a
————达朗贝尔公式
这是偏微分方程的定解
6 定解的物理意义：
1
1 x  at
u ( x, t )  [ ( x  at )   ( x  at )] 
 ( )d 

x

at
2
2a
对于无界空间的波，其初始位移  (x) 引起波动时其一半
1
 (x) 以速度 a 分别向
2
 x 方向传播的波的叠加；
=
1
而由初始速度 (x) 引起的波动则是累积效应，它是以互为镜像的波 
2a
以速度 a 沿  x 方向传播的波的叠加。

x
0
 ( )d
 (x)
例如 弦的初始速度为零,初始位移如图

2u 0


 (x) = 2u 0

0


x  x1
x 2  x1
x2  x
x 2  x1
( x1  x 
u0
1
( x1  x 2 )
2
1
( ( x1  x 2 )  x  x 2 )
2
( x  x1或x  x 2 )
x1
x2
1
( x1  x 2 )
2
X
由达朗贝尔公式
1
1
U(x,t)= [ ( x  at )   ( x  at )] 
2
2a
1
= [ ( x  at )   ( x  at )]
2

x  at
x  at
 ( )d
t4
t3
t2
t1
t=0
x1
x2
例2 初始位移为零，初速度为：
 0 , x  ( x1 , x2 )
 ( x) = 
0，x  ( x1 , x2 )
由达朗贝尔公式
1
1
U(x,t)= [ ( x  at )   ( x  at )] 
2
2a
1
则 u(x,t)=
2a
1
=
2a

x  at


x  at
x  at

x  at
x  at
 ( )d
 ( )d
1
 ( )d 
2a
=  ( x  at )   ( x  at )

x  at

 ( )d
考察  ( x  at) 的图形
1
 (x) =
2a

x

 ( )d
 0 , x  ( x1 , x2 )
 ( x) = 
0，x  ( x1 , x2 )


0, ( x  x1 )
 x
1
1
   0 d    0 ( x  x1 )( x1  x  x2 )
2a
 2a x1
 x2
 1  d   1  ( x  x )( x  x )
0
2
1
2
 2a x 0
2
a

1
Φ(X)
x1
x2
x
Φ(X)
x1
x2
x
因此u(x,t)是如下图形的叠加传播
u( x, t )   ( x  at )   ( x  at )
t=0时
( x  at)
x
( x  at )
二、半无界空间达朗贝尔公式的应用
1、问题的提出： 以一维横振动为例
utt  a 2u xx  0, (  x  )
u |t 0   ( x), (  x  )
ut |t 0   ( x), (  x  )
1
1
U(x,t)= [ ( x  at )   ( x  at )] 
2
2a

x  at
x  at
 ( )d
而对于半无界空间，在x<0区域，初始条件不存在，如何来解决此问题？
2 解决问题的基本思路
实际问题是在x=0处存在边界条件，我们可以将半弦视为无限长度的一
部分，且将在x=0处的边界条件虚拟为x<0部分的初始条件来代替：
3 满足边界条件的虚拟x<0部分初始条件的确定（方法）
实际定解问题：
utt  a 2u xx  0,
u |t 0   ( x), (0  x  )
ut |t 0   ( x), ( 0 x  )
u |x 0  0,
将此问题视为全空间问题，则在 x  0 区域，方程解为
1
1
u(x,t)= [ ( x  at )   ( x  at )] 
2
2a
x
x-at  0  t 
a
1
1
即 u(x,t)= [ ( x  at )   ( x  at )] 
2
2a

x  at
x  at

x at
0
 ( )d
1
 ( )d 
2a

x at
0
 ( )d
满足边界条件 x=0 处是：
1
1
u | x 0  [ (at )   (at )] 
2
2a

at
0
1
 ( )d 
2a

at
0
 ( )d =0
令x=at
1
1
[ ( x)   ( x)] 
2
2a

x
0
1
 ( )d 
2a

x
0
 ( )d =0
为了满足上式，我们寻找最简单的  ( x), ( x) 且可以令
 ( x)   ( x)   ( x)   ( x)
 ( x)   ( x)   ( x)   ( x)
所以对于x=0处固定的半无界问题，我们只需要将初始条件做奇延拓即可，
就得到能够满足边界条件的达朗贝尔公式给出的解得表达形式。
这样给出解为：
1
1 x  at
x
x

at

0

U(x,t)=
(
)
[ ( x  at )   ( x  at )] 
t


(

)
d


x

at
2
2a
a
1
1 x  at
x
x

at

0

t

)
或= [ ( x  at )   (at  x)] 
（

(

)
d


at

x
2
2a
a
解的物理意义：
以初位移  0 ，初速度=0 的情况
1
x
[ ( x  at )   ( x  at )] ( x  at  0  t  )
2
a
1
x
或= [ ( x  at )   (at  x)] （ x  at  0  t  )
2
a
U(x,t)=
端点的影响表现为反射波，反射波的相位与入
射波相反，这就是所谓的半波损。
5半无界空间问题的推广：
在x=0处-为ux│x=0=0自由端 作偶延拓
 ( x)   ( x)   ( x)   ( x)
 (  x )   ( x)   ( x )   (  x )
1
1
u ( x, t )  [ ( x  at )   ( x  at )] 
2
2a
1
1
或= [ ( x  at )   (at  x)] 
2
2a

x at
0

x  at
x  at
x
 ( )d （ t  ）
a
1
 ( )d +
2a

at x
0
x
a
 ( )d （ t  )
达朗贝尔法小结：
1 解决问题
utt  a2uxx  0,(  x  )(1)
u |t 0   ( x),
(  x  )(2)
ut |t 0   ( x),
(  x  )(3)
1
1
[

(
x

at
)


(
x

at
)]

U(x,t)=
的解为：
2
2a

x  at
x  at
 ( )d
方程（1）的通解为： u( x, t )  f1 ( x  at)  f 2 ( x  at)
行波法：
对于无界空间的波，其初始位移  (x) 引起波动时其一半
1
 (x) 以速度 a 分别向
2
 x 方向传播的波的叠加；
1
而由初始速度 (x) 引起的波动则是累积效应，它是以互为镜像的波 
2a
以速度 a 沿  x 方向传播的波的叠加。

x
0
 ( )d
2 半无界空间达朗贝尔公式的应用
utt  a 2u xx  0,
u |t 0   ( x), (0  x  )
ut |t 0   ( x), ( 0 x  )
u |x 0  0,
对于x=0处固定的半无界问题，我们只需要将初始条件做奇延拓即可，
就得到能够满足边界条件的达朗贝尔公式给出的解得表达形式。
1
1 x  at
x
x

at

0

[

(
x

at
)


(
x

at
)]

t

U(x,t)=
)
 ( )d (

x

at
2
2a
a
x
1
1 x  at
x

at

0

t

)
[

(
x

at
)


(
at

x
)]

 ( )d （
或=

2
2a at  x
a
utt  a 2u xx  0,
ut |t 0   ( x), ( 0 x  )
u |t 0   ( x), (0  x  )
ux |x 0  0 ,
在x=0处-为ux│x=0=0自由端 作偶延拓
 ( x)   ( x)   ( x)   ( x)
 (  x )   ( x)   ( x )   (  x )
1
1
u ( x, t )  [ ( x  at )   ( x  at )] 
2
2a

1
1
或= [ ( x  at )   (at  x)] 
2
2a
1
 ( )d +
2a

x at
0
x  at
x  at
x
 ( )d （ t  ）
a

at x
0
x
 ( )d （ t  )
a
第二篇中三件事：
一 列泛定方程
三类方程
utt  a 2 u 
名字
f

能够处理问题
第一类经典方程， 一维弦横振动，
振动方程，波动方 一维杆纵振动，
程，双曲型方程
二维波动
第二类经典方程， 热传导，扩散
ut  a 2 u  0 热传导方程，扩散
方程，输运方程，
抛物型方程

u  

第三类经典方程， 静态分布，如静
泊松方程（非齐
电场、温度稳定
次），拉普拉斯方 分布等
程（齐次），静态
分布方程，椭圆型
方程
非齐次项及a
单位质量所受外力，
力密度
a
T

a Y/
非齐次项 f / c
f为单位时间单位体
积放热量
a  k / c
a D
电荷的体密度为ρ
二 列定解条件
三类方程 初始条件第一个
1 初始条件
初始位移
utt  a 2 u 
f

u  


初始速度
处于平衡位置： u|t=0 = 0
处于静止状
两端固定，在c点拉开距离h：态： ut|t=0 =
u|t=0 = hx/c，
0<x<c; 0
u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，c<x<L;
初始温度，初始浓度
ut  a 2 u  0
初始条
件第二
个
2 边界条件（常见）
三类方程
utt  a 2 u 
f

第一类边
界条件
第二类边界
条件
固定端 u |x=0 =0
受力端 ux|x=0 = F/k
受力端 ux|x=0 = F/YS
自由端 ux|x=0 = 0
恒温端 u |x=0 = a
绝热端 ux|x=0 = 0
吸热端(恒定热流)
ux|x=0 = q/k（注意方
向）
恒温端 u |x=0 = a
绝热端 ux|x=0 = 0
ut  a 2 u  0

u  

第三类边界
条件
三 求解：
方法有达朗贝尔法（7.4）、直角坐标系下的分离变量（数）法（傅里叶级
数法，第八章）、球坐标和柱坐标系下的分离变量（数）法（第九、十、
十一章）、格林函数法（电像法，第十二章）、傅里叶积分变换法（第十
三章）、保角变换法（第十四章）
求解思路：
泛定方程（偏微分方程）
通解
定解问题
定解条件
定解
3 补充：定解问题的适定性
如果定解条件过多、自相矛盾，则定解问题无解。