Transcript 第七章数学物理定解问题
第一篇:理解的基础上记忆
第二篇:记忆的基础上理解
第二篇
数学物理方程
第七章 数学物理定解问题
一 数学物理方程
本篇介绍物理学中常
见的三类偏微分方程
及有关的定解问题和
这些问题的几种常见
解法。
数学物理方程是从物理问题中导出
的反映客观物理量在各个地点、各
个时刻之间相互制约关系的数学方
程。换言之,是物理过程的数学表
达。如 牛顿定律、热传导定律、
热量守恒定律、电荷守恒定律、高
斯定律、电磁感应定律、胡克定律。
数学物理方程本身(不包含定解条件)叫 泛定方程
二 边界问题
对于具体的问题,必须考虑到所研究的区域处在什么样的
环境下,即边界的区别。
体现边界状态的数学方程称为边界条件。
三 历史问题
历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如:分别用薄的物体和厚的物
体敲击同一弦,研究其后的振动。
体现历史状态的数学方程称为初始条件。
一个具体的问题的求解的一般过程:
§7.1 数学物理方程的导出
导出步骤:
1 确定物理量,从所研究的系统中划出一小部分,分析邻近部
分与它的相互作用。
2 根据物理规律,以算式表达这个作用。
3 化简、整理。
一 均匀弦的微小横振动
细长而柔软的弦线,紧绷于A、B两点之间,作振
幅极微小的横振动,求其运动规律。
1 确定物理量,从所研究的系统中划出一小部分,分析邻近部分与
u
它的相互作用。
T2
分析:
1 力学问题:位移u(x,t)是根本
量
2 遵循牛顿第二定律
3 弦是柔软的:张力沿弦的
切线方向
θ2
θ1
T1
4 轻弦:重力是张力的几万分之一,
不考虑
5只在横向有位移,纵向没有
位移
B
x
x+dx
x
2 根据物理规律,以算式表达这个作用。
(T cos ) xdx (T cos ) x 0(7.1.1)
u
T│x+dx
θ∣x+dx
u
(T sin ) x dx (T sin ) x dm 2 (7.1.2)
t
2
B
θ∣x
3 化简、整理。
T│x
在微小振动近似下:
x
cos1 cos 2 1
ds
s i n1 tg1 =
x+dx
u
|x
x
( dx ) 2 (du ) 2 dx sin 2 = tg 2 = u | x dx
x
于是由(7.1.1)有:
T
xdx
T
弦中各点的张力相等
x
0
即T
xdx
T
x
x
2
u
于是由
(T sin ) x dx (T sin ) x dm 2 (7.1.2)
t
弦的线密度
2u
u
dx 2 T [
t
x
即:
令
于是:
2
u
u
dx
x dx
x] T
2
x
x
utt Tu xx
a
T
utt a uxx 0
2
由于B是任选的,所以方程适用于弦上的各处,称为
弦的振动方程
utt a uxx 0
2
a
T
如果在位移方向上还受外力的作用,设单位长度上受
的外力为f, 则
u
u
dx 2 T 2 dx fdx
t
x
2
2
f
utt a uxx
2
单位质量所受外
力,力密度
质点的位移是以t为自变量的函数,其运动是
以t为自变量的常微分方程;
弦的位移是以x,t的函数,其运动方程是以
x,t为自变量的偏微分方程。
utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。
f
utt a uxx
2
u
例 弦在阻尼介质中微小横振
动,单位长度的弦所受的阻力
为
T1
a1
B
a2
F=-Rut
T2
推导弦的振动方程。
解:如图 选坐标系以dx段为研究对象,弦无纵向振动
x
只在运动
的方向
X 方向:T 2 cosα2 T1 cosα1=0
Y 方向: T1 sinα1 T2 sinα2-Rutds=ma
由于微振动,则有 s i na tga = u |
x
1
1
x
cosa1 cosa2 1
x
x+dx
2u
= ds 2
t
= dsutt
u
| x dx
sin a2 = tga2 =
x
ds
( dx ) 2 ( du ) 2 dx
T1 = T2 =T
T u x | x dx Tux |x = dxutt +
dxRut
u x | x dx u x | x
) u tt +Rut
T(
dx
u
T 2 u tt +
x
2
u tt
R
u t a u xx 0
2
Rut
a
T
二 均匀杆的纵振动
研究均匀杆上各点沿杆长方向的纵向位移u(x,t)所遵从
的方程。
x+dx
x
解:如图选坐标系,选dx段为
研究对象,由胡克定律得dx段两
边受拉力分别为
u+du
截面积
杨氏模量
u
YS
|x
x
u
u
YS
| x dx
x
由牛顿第二定律:
密度
YS(ux |xdx ux |x ) Sdxutt
u x | x dx u x | x
YS
Su tt
dx
得:
utt Yuxx 0
此即杆的纵振动方程,
可写为:
a2 Y /
utt a 2u xx 0
如果在位移方向上还受外力的作用,设单位长度单位截面积所
上受的外力为f(x,t), 则
f
utt a uxx
2
单位质量所受外
力,力密度
例 用匀质材料制做细圆锥杆,试推导它的纵振动方程。
a
x
x
解:如图选坐标系,选dx段为
研究对象,dx段两边受拉力分别
为
u
YS
|x
x
s1
u(x,t)
x+dx
s2
u
YS
| x dx
x
有牛顿第二定律:
Y (Sux |xdx Sux |x ) Sdxutt Y
( S u x ) | x dx ( S u x ) | x
dx
S x utt
Y
( s u x ) s utt
x
s x r (xtga)
2
2
2
2
Y
( x u x ) x utt
x
a 2
utt 2
( x ux ) 0
x x
2
a
Y
三 均匀薄膜的微小横振动
u
仰角
T2 张力
a
T1
分析:
1 力学问题:位移u(x,y,t)是根本量
2膜是柔软的:张力在切平面
3只在横向有位移,纵向没有位移
xy平面
切方向:T 2 cosα2-T1cosα1=0
cosα2=cosα1=1
T的横向分量:
T1=T2=T
u
T sin a Ttga T
n
取膜的小块,则x和x+dx两边上所
受的张力:
T
u
|x
x
T
u
| x dx
x
y
y+dy y
x
垂直黑板面
则膜在两边张力的横向作用为
(Tux |xdx Tux |x )dy Tuxxdxdy
x+dx
x
同理,在y方向两边张力的横向分量:
Tu yy dxdy
根据牛顿第二定律:
utt dxdy Tuxxdxdy Tu yydxdy
2
2
2
u
u
u
2 u gu 2 2 2 u
x
y
z
utt T (uxx uyy ) 0
拉普拉斯(Laplace)方程
utt T 2 u 0
2u 2u
2u 2 2
x
y
2
u 2u 2u
3u 2 2 2
x
y
z
若膜均匀,则
(a 2 T / )
utt a 2 2u 0
如果在位移方向上还受外力的作用,设单位面积所上受的外力
为f(x,y,t), 则
单位质量所受外
力,力密度
utt a 2u
2
f ( x, y , t )
此即二维波动方程
四 热传导方程
热流
分析:
x
x
1 热学问题:温度u(x,t)是根本量
2 能量守恒定律和热传导定律(傅
里叶定律)
x+dx
(1) dt时间内小段dx温度升高所需热
量: Q=
c(ρsdx)[u(x,t+dt)-u(x,t)]
u
q k
x
dt很小 Q=cρsu t dx dt
(2) dt时间内流入小段dx热量:
q是单位时间流过单位面积的热量(热流强
度);K为导热率,与材料有关,温度范围
不大时,视为常数。
负号:表示方向,热流方向与温度升高方
向相反,因此热传导定律是带有方向的。
(对比没有方向的胡克定律)
Q=-kux(x,t)sdt-(-kux(x+dx,t)sdt)
=ksdtuxx dx
内无热源,二者相等
Q=cρsu t dx dt =ksdtuxx dx
ut a uxx 0
2
a2=k/(cρ)
此即一维热传导方程
若杆内有热源,热源密度(单位时间单位
体积放热量)为f, 则方程变为
f
ut a u xx
c
2
五 扩散方程
z
1 浓度u(x,y,z,t)是根本量
2 扩散定律
(斐克定律)
q Du
x
q是单位时间流过单位面积的粒子数(扩散
流强度);D为扩散系数。
可写成分量形式
u
u
u
qx D , q y D , qz D
x
y
z
体内浓度的变化取决于穿过它表面的扩散流,
单位时间内x方向净流入粒子数:
( qx
x
qx
x dx
)dydz
u
u
( D
x D
x
x
x dx
)dydz uxx Ddxdydz
同理,单位时间内y,z方向净流入粒子数分别为:
u yy Ddxdydz
u zz Ddxdydz
根据粒子数守恒:浓度*体积对时间的变化率等于单位时间流
入的粒子数
u
dxdydz (u xx u yy u zz ) Ddxdydz
t
ut a u 0
2
此式为输运方程
a2=D
六 泊松方程
在充满了介电常数为ε的电解质,电荷的体密度为ρ(x,y,z),
研究该区域的静电场。
势函数u(x,y,z)是根本量, 在所研究的区域中,任作一闭合曲面s,
围出一空间τ,由高斯定理:
1
d
E d s
s
E d
E d s
又因为
s
所以
1
d E d
所以
E
u
u
此即泊松方程,若所讨论区域无电荷,则为
u 0
对于扩散方程 ut a u 0
,当时间足够
长,ut=0 达到稳定状态,即浓度的稳定分布方程。
2
例1 长为l的柔软均质绳索,一端固定在以匀速转动的竖直轴上,由于
惯性离心力的作用,这弦的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于
水平线的横振动方程。
Y
x x+dx
解:如图选坐标系,由于惯性离心力的
作用,绳内各处受力不同,x处的水平
拉力为
l
T(x)cosα=
x
X
1
2
2 xdx = 2 (l 2 x 2 )
cos 1
竖直方向:
T2u x | x dx T1u x | x = dxutt
T2u x | x dx T1u x | x
utt
dx
(Tu x ) utt
x
1
[ 2 (l 2 x 2 )u x ] utt
x 2
即
1 2 2
2
[( l x )u x ] 0
utt
2
x
例2 混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”放热速率正比于
d
当时尚存的水化热密度θ,即dt B
。试推导浇灌
后的混凝土内的热传导方程。
解:浇灌后混凝土中在初始时刻存储的水化热密度为
t
θ0,则t时刻存储的水化热密度为:
0
d
d B dt
t
0 e
0
0
Bdt
0
Bt
T 时刻放热速率为
d
-B 0 e Bt
dt
以 dv=dxdydz 为研究对象,由于混凝土中放出水化热,则在 dv 中存在热源,
即在单位时间内于单位体积内放出的热量为 B
在单位时间内流入 dv 中的净热量为:
0 e Bt
( ku x ) + (ku y ) + ( ku z ) ]dv
[
x
z
y
考虑dv中有热源,则在单位时间内dv热量的增加为
[
( ku x ) + (ku z ) + ( ku z ) ]dv+ B 0 e Bt dv①
x
z
y
又有热力学第一定律,在单位时间内在dv内净增加的热量
可表示为
d (dv) cdu cdvdu
d
cdvdu/ dt
dt
u
cut dv ②
cdv
写为
t
t
①\②两式相等,所以
[
( ku x ) + (ku z ) + ( ku z ) ]+ B 0 e Bt = cut
x
z
y
k 3u B 0 e Bt = cut
u t a 2 3u
a
k
c
B
0 e Bt 0
c
例3
a1
x
积分
a1
x
常用物理定理
下面概述性地描述数学物理方程建立中常用的
几个物理定律:
(1)牛顿(N ew ton)第二定律: F ma ;
(2)胡克(H ooke)定律 在弹性限度内,弹性体
的张应力和弹性体的形变量成正比.即
张应力=杨氏模量(Y )×相对伸长.
(3)热传导的傅里叶定律:在 dt 时间内,通过面积
元 dS 流入小体积元的热量 dQ 与沿面积元外法线方向
u
的温度变化率 n
u
dQ k dSdt .
n
成正比,也与 dS 和 dt 成正比,即:
式中 k 是导热系数,由物体的材料决定.
(4)牛顿(Newton)冷却定律: 单位时间内从周围介
质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度
差成正比, 即:dQ=H(u1-u∑)
这里u1 是外界媒质的温度. H为比例系数.
(5) 扩散定律 即斐克(Fick)定律: 单位时间内扩
散流过某横截面的杂质量m 与该横截面积s 和浓度
梯度∂u/∂n 成正比,即:m=-Ds
∂u/∂n
式中 D 为扩散系数,负号表示扩散是向着杂质浓
度减少的方向进行的.
(6)静电场中的高斯(G auss)定律 通过任一闭曲
面的电通量,等于这个闭曲面所包围的自由电荷电
1
1
量的 倍.即: S E dS V dV
其中, 为电荷所处媒质的介电常数, 为电荷
体密度.
1) 双曲型方程(Hyperbolic Equation
)
:以波动方程
为代表的方程
2
utt a u f
它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程,或声
波、电磁波的传播规律.
2) 抛物型方程(Parabolic Equation)
:以热传导方程
(或输运方程)
为代表的方程
ut a u f
2
它主要描述扩散过程和热传导过程所满足的规律
.
双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化(或
发展)的,有时也称为发展方程.
3)椭圆型方程(Elliptic Equation ):
以泊松方程
为代表的方程
u f ( x, y, z )
当
f ( x, y, z ) 0
,即退化为拉普拉斯方程.
它是描述物理现象中稳定(或平衡状态)过程规律的
偏微分方程. 在物理现象中,它很好地描述了重力场、
静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律.
§7、2 定解条件
一 初始条件 :
1.定义: 是研究系统的物理量在开始计时时刻的初始分布
2 初始条件的特征: 偏微分方程的对时间导数阶数对应于初始条件中的数目
一阶含时偏微分方程,有一个初始条件
u t a 2 u 0
u( x, y, z) |t 0 ( x, y, z)
二阶含时偏微分方程,有两个初始条件:
utt a 2u xx 0
u( x, y, z, t ) |t 0 ( x, y, z)
ut ( x, y, z, t ) |t 0 ( x, y, z)
3 注意问题:
(1)、初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布,
而不是一点处的情况,
例
一根长为 l 的弦,两端固定于x和l.
距离坐标原点为 b 的位置将弦沿
着横向拉开距离 h ,如图 所示,
h
然后放手任其振动,试写出初始
b
条件.
【 解 】 初始时刻就是放手
的那一瞬间,按题意初始速度为零,即有
ut ( x, t ) |t 0 0
错给出条件是
u ( x, t ) |t 0 h错
u t ( x , t ) | t 0 0对
在
x
初始位移如图所示,除两端点固定外,弦上各点
均有一定的位移,写出如图所示的直线方程,得到初
始位移为
bh x
u ( x, t ) t 0 h
(l x )
l
b
x b
x b
(2)、初始条件中不含时间,只是坐标的函数或常数
哈密顿算符:▽;nabla[‘næblә]
r r r
i
j k
x
y
z
u r u r u r
u
i
j k : 标量函数u的梯度
x
y
z
r u u u
r
gu
: 矢量函数u的散度
x y z
r
r
u : 矢量函数u的旋度
2
2
2
u
u
u
2u gu 2 2 2 u
x
y
z
§7、2 定解条件
一 初始条件 :
1.定义: 是研究系统的物理量在开始计时时刻的初始分布
2 初始条件的特征: 偏微分方程对时间导数的阶数对应于初始条件中的数目
一阶含时偏微分方程,有一个初始条件
u t a 2 u 0
u( x, y, z) |t 0 ( x, y, z)
二阶含时偏微分方程,有两个初始条件:
utt a 2u xx 0
u( x, y, z, t ) |t 0 ( x, y, z)
ut ( x, y, z, t ) |t 0 ( x, y, z)
3 注意问题:
(1)、初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布,
而不是一点处的情况,
例
一根长为 l 的弦,两端固定于x和l.
距离坐标原点为 b 的位置将弦沿
着横向拉开距离 h ,如图 所示,
h
然后放手任其振动,试写出初始
b
条件.
【 解 】 初始时刻就是放手
的那一瞬间,按题意初始速度为零,即有
ut ( x, t ) |t 0 0
错给出条件是
u ( x, t ) |t 0 h错
u t ( x , t ) | t 0 0对
在
x
初始位移如图所示,除两端点固定外,弦上各点
均有一定的位移,写出如图所示的直线方程,得到初
始位移为
bh x
u ( x, t ) t 0 h
(l x )
l
b
x b
x b
(2)、初始条件中不含时间,只是坐标的函数或常数
二 边界条件 :
: 边界上的物理量始终具有的情况。
研究具体的物理系统,还必须考虑研究对象所处
的特定“环境”,而周围环境的影响常体现为边界上
的物理状况,即边界条件.
常见的线性边界条件分为三类:
第一类边界条件,直接规定了所研究的物理量在边界上的数值;
第二类边界条件,规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方
向导数的数值;
第三类边界条件,规定了所研究的物理量及其外法向导数的
线性组合在边界上的数值.
(1)第一类边界条件:
直接给出系统边界上物理量的函数形式
U(x,y,z,t)| x0 , y0 , z0 f1 ( x0 , y0 , z0 , t )
对于一维: u( x, t ) | x0 f1 (t )
比如:弦的两端固定
u( x, t ) |x0 u( x, t ) |xl 0
若弦的两端按固定规律运动
u( x, t ) |x0 f (t ) u( x, t ) |xl g (t )
(2)、第二类边界条件:
规定了系统边界上物理量法向方向上的方向导数的函数形式。
u
|
n
x0 , y0 , z0
f 2 ( x0 , y0 , z0 , t )
热流
例1:杆在x=a处绝热。
x
u
qx k
x
u
| x a 0
q x | xa k
x
u
| x a 0
所以
x
u x | xa 0
(3)
、第三类边界条件:
给出系统在边界上 u 和
u
的线性关系。
n
u
(u+h
) | x0 , y0 , z0 = f 3 ( x0 , y0 , z0 , t )
n
例:热传导的杆在x=a端自由冷却,自由冷却的意思是:
界面法向方向上的热流与杆端温度和环境的温差成正比
kux |xa h(u | xa ) ( 环境为度)
可写为:
(u+H u x ) |x a
h
f 3 (t )
边界条件概括为:
u
u ) |u f (t )
n
a 0 时 第一类边界条件
(a
β=0 时
第二类边界条件
a 0, 0 时,第三类边界条件
3 注意的问题:
(1)、边界条件中不是系统的初始条件
(2)、边界条件只是时间的函数
(3)、系统几个边界就有几个边界条件
三、衔接条件
1、定义:由于某种原因,由于物理量在某些点上发生突变,
则使系统分为两部分,使偏微分方程为两部分或多部分。
每个部分都满足偏微分方程,但在这点(或区域上)对方程来说,
相当于边界而又无法给出边界条件。
2、衔接条件:
如右图的弦
①连续性
u( x0 0, t ) =
1
u( x0 0, t )
F
2
x0
x
② 竖直方向受力平衡:
F(t) T sin 1 T sin 2 =0
sin 1 = tg1 = u x ( x0 0, t )
s i n 2 = tg 2 = u x ( x0 0, t )
Tu x ( x0 0, t ) Tu x ( x0 0, t ) = F (t )
注意问题:
1
F
2
x0
(1)、衔接条件只是时间的函数
(2)、衔接条件常常由物理规律给出。
四、常见问题的初始条件,边界条件,衔接条件:
1、当系统由于某种原因,方程只在两个子区域内成立,
给出两区域的初始状态:
x
习题1 如右图 初始位移为:
c
h x(0 x h)
u |t 0
c (l x)(h x l )
l h
α1
F
α2
0
h
x
确定C:
c
sin a1 tga1 (1)
h
ds=dx
c
sin a2 tga 2
( 2)
lh
力平衡条件:
F0 T1 sin a1 T2 sin a 2 0(3)
T2 cos a 2 T1 cos a1 0(4)
cosa1 cosa2 1
T1 T2 T0 (5)
(1)——(5)解出:
F0 h(l h)
c
T0 l
F0 T0
c
c
T0
h
lh
F0 (l h)
T l x (0 x h)
0
u |t 0
F0 h (l x)(h x l )
T0 l
2、杆的振动:
例 2、长为 l 的均匀杆两端拉力 F0 作用而纵振动,写出边界条件:
解:杆两端所受的拉力 F0 等于这两端面所受的杨氏弹性力
u
u
YS
| x 0 YS
| x 0 F0
n
x
u
YS
| x 0 F0
x
YS
u
u
| x l YS
| x l F0
n
x
若端点是自由的,则
u
u
| x l
| x 0 0
x
x
3 杆的热传导:
例3、长为l的均匀杆,两端有恒定热流进入,其强度为 q0 ,
写出这个热传导问题的边界条件。
解:在边界上有:
x=0 处: k
qn = k
u
x
u
|x 0 qn q0
x
q0
u
|x 0
x
k
x=l 处: k
u
| x l qn q0
x
q
u
|x l 0
x
k
若端点是绝热的,则
u
u
| x l
| x 0 0
x
x
4、电介质的衔接条件:
电势
u1 u 2
D1n D2 n
u1 u 2
0 1 E1n 0 2 E2 n
电位移矢量
u1 u2
u1
u2
1 n 2 n
初始条件
一维弦振动
未知函数对时间为二阶,需要两个初始条件
初始位移
处于平衡位置: u|t=0 = 0
两端固定,在c点拉开距离h:
u|t=0 = hx/c,
0<x<c;
u|t=0 = h(L-x)/(L-c),c<x<L;
初始速度
处于静止状态: ut|t=0 = 0
在c点受冲量I: ut|t=0 = I δ(x-c)/m
边界条件举例
典型线性边界条件
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0
受力端 ux|x=0 = F/k
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0
自由端 ux|x=0 = 0
受力端 ux|x=0 = F/YS
一维热传导
恒温端 u |x=0 = a
绝热端 ux|x=0 = 0
吸热端 ux|x=0 = F/k
§7、3数学物理方程的分类
一 方程的分类:
1.数学物理方程的一般形式
a11u xx 2a12 u xy a22u yy b1u x b2u y cu f 0
其中 a11 , a12 , a 22 , b1 , b2 ,c,f 只是 x,y 的函数
2.方程的分类;
二阶偏微商项的三个系数 a11 , a12 , a 22 组成了一个判别式
a122 a11a12
按其符号,将方程化为三种类型;
(1)、 a12 a11a22 0双曲型
2
(2)
、 a12 a11a22 0抛物型
2
(3) a12 a11a22 0椭圆型
2
由判别式式知;
utt a 2u xx 0双曲型
2
u
a
u xx 0抛物型
t
u 0
椭圆型
§7、4达朗贝尔公式
1.问题的提出:
定解问题
一 达朗贝尔公式
对于常微分方程我们常来用先求出通解,然后利用附加条件
给出通解中所含的常数,能否利用此方称来求解偏微分方程呢?
2 将方程变为通过积分可得通解的形式
若我们可将关于z(x,y)的偏微分 方程化为形式,
z
0
xy
2
则可通过积分求出z(x,y)
以一维波动方程为例进行讨论
utt a 2u xx 0
2
2
2
)u 0
因为( 2 a
2
t
x
) ( a ) u=0
可以写为( a
t
x t
x
若令
x a( )
t
则
t x
= a
x
t x t
t
x
=-( a
)
t
x
t x
则有:
u
0
2
为了书写方便 ,作代换
1
x
( )
2
t 1 ( )
2a
x at
x at
因此有
=
x x
x
a
=a
=a(
)
t
t
t
) ( a ) u=0
代入到( a
t
x t
x
波动方程为:
2
u
2
4a
0
则有:
u
0
2
u
0
2
3 积分求通解:
积分一次
u
f ( )
再积分一次
u( , ) =
f ( ) d + f 2 ( ) = f1 ( ) f 2 ( )
可见 f 1 , f 2 是两个任意两次可导的函数
所以通解为
u( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
4 通解的物理意义:
若 f 2 ( x) 是波在t=0时的波形。选动坐标系,以速度a沿x正向移动,
则坐标变换
X x at
T t
f 2 ( x at) f 2 ( X )
则静坐标系的波形 f 2 ( x)
和动坐标系的波形f2(X)完全相同,
说明t时刻的波形f2(x-at)是由t=0 时刻的波形沿+x方向平移at得来的,
即这种波保持波形不变,沿+x方向保持的运动波——行波。
同理 f1 ( x at ) 是沿-x 方向保持的行波。
因此,波动方程的解是沿 x 方向保持的波动叠加。
5 波形的具体形状的确定
f 1 , f 2 由定解条件确定。
若所讨论的问题是在无界空间中,则无边界条件。只有初始条件,
初始条件为:
u |t 0 ( x)
ut |t 0 ( x)( x )
将初始条件带入通解而有:
u |t 0 f1 ( x) f 2 ( x) ( x), (1)
ut |t 0 af1 ' ( x) af2 ' ( x) ( x), (2)
将(2)积分有:
1
f1 ( x) f 2 ( x)
a
x
x0
( x)dx f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )(3)
由(1)(3)得:
1
1
f1 ( x) = ( x)
2
2a
1
1
f 2 ( x) = ( x)
2
2a
x
x
x0
x0
1
2
1
( x)dx [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )]
2
( x)dx [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )]
带回到通解有:
注意上述是t=0时的x, t时刻
1
1 xat
u(x,t)= [ ( x at ) ( x at )]
( x at)d ( x at)
x
2
2a 0
1 xat
( x at)d ( x at)
x
2a 0
1
1 xat
1 xat
( )d
( )d
= [ ( x at ) ( x at )]
x
x
2
2a 0
2a 0
1
1 x at
( )d
= [ ( x at ) ( x at )]
x
at
2
2a
————达朗贝尔公式
这是偏微分方程的定解
6 定解的物理意义:
1
1 x at
u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
( )d
x
at
2
2a
对于无界空间的波,其初始位移 (x) 引起波动时其一半
1
(x) 以速度 a 分别向
2
x 方向传播的波的叠加;
=
1
而由初始速度 (x) 引起的波动则是累积效应,它是以互为镜像的波
2a
以速度 a 沿 x 方向传播的波的叠加。
x
0
( )d
(x)
例如 弦的初始速度为零,初始位移如图
2u 0
(x) = 2u 0
0
x x1
x 2 x1
x2 x
x 2 x1
( x1 x
u0
1
( x1 x 2 )
2
1
( ( x1 x 2 ) x x 2 )
2
( x x1或x x 2 )
x1
x2
1
( x1 x 2 )
2
X
由达朗贝尔公式
1
1
U(x,t)= [ ( x at ) ( x at )]
2
2a
1
= [ ( x at ) ( x at )]
2
x at
x at
( )d
t4
t3
t2
t1
t=0
x1
x2
例2 初始位移为零,初速度为:
0 , x ( x1 , x2 )
( x) =
0,x ( x1 , x2 )
由达朗贝尔公式
1
1
U(x,t)= [ ( x at ) ( x at )]
2
2a
1
则 u(x,t)=
2a
1
=
2a
x at
x at
x at
x at
x at
( )d
( )d
1
( )d
2a
= ( x at ) ( x at )
x at
( )d
考察 ( x at) 的图形
1
(x) =
2a
x
( )d
0 , x ( x1 , x2 )
( x) =
0,x ( x1 , x2 )
0, ( x x1 )
x
1
1
0 d 0 ( x x1 )( x1 x x2 )
2a
2a x1
x2
1 d 1 ( x x )( x x )
0
2
1
2
2a x 0
2
a
1
Φ(X)
x1
x2
x
Φ(X)
x1
x2
x
因此u(x,t)是如下图形的叠加传播
u( x, t ) ( x at ) ( x at )
t=0时
( x at)
x
( x at )
二、半无界空间达朗贝尔公式的应用
1、问题的提出: 以一维横振动为例
utt a 2u xx 0, ( x )
u |t 0 ( x), ( x )
ut |t 0 ( x), ( x )
1
1
U(x,t)= [ ( x at ) ( x at )]
2
2a
x at
x at
( )d
而对于半无界空间,在x<0区域,初始条件不存在,如何来解决此问题?
2 解决问题的基本思路
实际问题是在x=0处存在边界条件,我们可以将半弦视为无限长度的一
部分,且将在x=0处的边界条件虚拟为x<0部分的初始条件来代替:
3 满足边界条件的虚拟x<0部分初始条件的确定(方法)
实际定解问题:
utt a 2u xx 0,
u |t 0 ( x), (0 x )
ut |t 0 ( x), ( 0 x )
u |x 0 0,
将此问题视为全空间问题,则在 x 0 区域,方程解为
1
1
u(x,t)= [ ( x at ) ( x at )]
2
2a
x
x-at 0 t
a
1
1
即 u(x,t)= [ ( x at ) ( x at )]
2
2a
x at
x at
x at
0
( )d
1
( )d
2a
x at
0
( )d
满足边界条件 x=0 处是:
1
1
u | x 0 [ (at ) (at )]
2
2a
at
0
1
( )d
2a
at
0
( )d =0
令x=at
1
1
[ ( x) ( x)]
2
2a
x
0
1
( )d
2a
x
0
( )d =0
为了满足上式,我们寻找最简单的 ( x), ( x) 且可以令
( x) ( x) ( x) ( x)
( x) ( x) ( x) ( x)
所以对于x=0处固定的半无界问题,我们只需要将初始条件做奇延拓即可,
就得到能够满足边界条件的达朗贝尔公式给出的解得表达形式。
这样给出解为:
1
1 x at
x
x
at
0
U(x,t)=
(
)
[ ( x at ) ( x at )]
t
(
)
d
x
at
2
2a
a
1
1 x at
x
x
at
0
t
)
或= [ ( x at ) (at x)]
(
(
)
d
at
x
2
2a
a
解的物理意义:
以初位移 0 ,初速度=0 的情况
1
x
[ ( x at ) ( x at )] ( x at 0 t )
2
a
1
x
或= [ ( x at ) (at x)] ( x at 0 t )
2
a
U(x,t)=
端点的影响表现为反射波,反射波的相位与入
射波相反,这就是所谓的半波损。
5半无界空间问题的推广:
在x=0处-为ux│x=0=0自由端 作偶延拓
( x) ( x) ( x) ( x)
( x ) ( x) ( x ) ( x )
1
1
u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
2
2a
1
1
或= [ ( x at ) (at x)]
2
2a
x at
0
x at
x at
x
( )d ( t )
a
1
( )d +
2a
at x
0
x
a
( )d ( t )
达朗贝尔法小结:
1 解决问题
utt a2uxx 0,( x )(1)
u |t 0 ( x),
( x )(2)
ut |t 0 ( x),
( x )(3)
1
1
[
(
x
at
)
(
x
at
)]
U(x,t)=
的解为:
2
2a
x at
x at
( )d
方程(1)的通解为: u( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
行波法:
对于无界空间的波,其初始位移 (x) 引起波动时其一半
1
(x) 以速度 a 分别向
2
x 方向传播的波的叠加;
1
而由初始速度 (x) 引起的波动则是累积效应,它是以互为镜像的波
2a
以速度 a 沿 x 方向传播的波的叠加。
x
0
( )d
2 半无界空间达朗贝尔公式的应用
utt a 2u xx 0,
u |t 0 ( x), (0 x )
ut |t 0 ( x), ( 0 x )
u |x 0 0,
对于x=0处固定的半无界问题,我们只需要将初始条件做奇延拓即可,
就得到能够满足边界条件的达朗贝尔公式给出的解得表达形式。
1
1 x at
x
x
at
0
[
(
x
at
)
(
x
at
)]
t
U(x,t)=
)
( )d (
x
at
2
2a
a
x
1
1 x at
x
at
0
t
)
[
(
x
at
)
(
at
x
)]
( )d (
或=
2
2a at x
a
utt a 2u xx 0,
ut |t 0 ( x), ( 0 x )
u |t 0 ( x), (0 x )
ux |x 0 0 ,
在x=0处-为ux│x=0=0自由端 作偶延拓
( x) ( x) ( x) ( x)
( x ) ( x) ( x ) ( x )
1
1
u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
2
2a
1
1
或= [ ( x at ) (at x)]
2
2a
1
( )d +
2a
x at
0
x at
x at
x
( )d ( t )
a
at x
0
x
( )d ( t )
a
第二篇中三件事:
一 列泛定方程
三类方程
utt a 2 u
名字
f
能够处理问题
第一类经典方程, 一维弦横振动,
振动方程,波动方 一维杆纵振动,
程,双曲型方程
二维波动
第二类经典方程, 热传导,扩散
ut a 2 u 0 热传导方程,扩散
方程,输运方程,
抛物型方程
u
第三类经典方程, 静态分布,如静
泊松方程(非齐
电场、温度稳定
次),拉普拉斯方 分布等
程(齐次),静态
分布方程,椭圆型
方程
非齐次项及a
单位质量所受外力,
力密度
a
T
a Y/
非齐次项 f / c
f为单位时间单位体
积放热量
a k / c
a D
电荷的体密度为ρ
二 列定解条件
三类方程 初始条件第一个
1 初始条件
初始位移
utt a 2 u
f
u
初始速度
处于平衡位置: u|t=0 = 0
处于静止状
两端固定,在c点拉开距离h:态: ut|t=0 =
u|t=0 = hx/c,
0<x<c; 0
u|t=0 = h(L-x)/(L-c),c<x<L;
初始温度,初始浓度
ut a 2 u 0
初始条
件第二
个
2 边界条件(常见)
三类方程
utt a 2 u
f
第一类边
界条件
第二类边界
条件
固定端 u |x=0 =0
受力端 ux|x=0 = F/k
受力端 ux|x=0 = F/YS
自由端 ux|x=0 = 0
恒温端 u |x=0 = a
绝热端 ux|x=0 = 0
吸热端(恒定热流)
ux|x=0 = q/k(注意方
向)
恒温端 u |x=0 = a
绝热端 ux|x=0 = 0
ut a 2 u 0
u
第三类边界
条件
三 求解:
方法有达朗贝尔法(7.4)、直角坐标系下的分离变量(数)法(傅里叶级
数法,第八章)、球坐标和柱坐标系下的分离变量(数)法(第九、十、
十一章)、格林函数法(电像法,第十二章)、傅里叶积分变换法(第十
三章)、保角变换法(第十四章)
求解思路:
泛定方程(偏微分方程)
通解
定解问题
定解条件
定解
3 补充:定解问题的适定性
如果定解条件过多、自相矛盾,则定解问题无解。