Transcript 第三章 应变状态 物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析 位移的单值连续性质 目录 §3.1 变形与应变概念 §3.2 主应变与主应变方向 §3.3 应变协调方程 §3.1 变形与应变概念 • 由于外部因素 ——载荷或温度变化 • 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式 • 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保 持初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改 变了物体内部各个点的相对位置。

第三章 应变状态
物体变形
位移与应变的基本关系－几何方程
应变状态分析
位移的单值连续性质
目录
§3.1
变形与应变概念
§3.2
主应变与主应变方向
§3.3
应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素 ——载荷或温度变化
• 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化
• 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
持初始状态相对位置不变。
• 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改
变了物体内部各个点的相对位置。
§3.1 变形2
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短
切应变——棱边之间夹角（直角）改变
§3.1 变形3
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
u
x 
x
v u
 xy  
x y
v
y 
y
 yz
w v


y z
w
z 
z
 zx
u w


z x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零
微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
§3.1 变形4
• 几何方程——位移导数表示的应变
• 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形
• 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动
• 刚性位移可以分解为平动与转动
• 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
§3.1 变形5
转动矢量描述微分单元体的刚性转动
转动分量
1 w v
 ),
2 y z
x  (
1 u w
1 v u

) , z  (  )
2 z x
2 x y
y  (
位移增量是由两部分组成的
 du   0
  
 dv     z
dw  
y
  
 z
0
x

x

 y  dx 
   1
  x  dy     yx
2



0   dz   1

 2 zx
1
 xy
2
y
1
 zy
2
1 
 xz 
2
dx 

1
 
 yz  dy 
2  
 dz 

z

刚体转动
变形位移增量
位移增量
微分单元体的刚性转动与协调相关
§3.2 主应变与主应变方向
• 变形通过应变描述
• 应变状态—— 坐标变换时，应变分量是
随之坐标改变而变化。
• 应变分量的转轴公式
• 应变张量
 i ' j '  nii' n jj' ij
1
1 

 xy
 xz 
 x
2
2
11 12 13 

1
1  
 ij    yx  y
 yz    21  22  23 

2  
2
 31  32  33 
1
1

 zy  z
zx
 2

2
§3.2 主应变2
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变
分量均可确定。因此应变状态就完全确定。
•坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为
一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应变主轴
• 应变主轴—— 切应变为0的方向
•
主应变—— 应变主轴方向的正应变
§3.2 主应变3
主应变确定
——应变主轴方向变形
1
1
( x   )l   xy m   xz n  0
2
2
1
1
 xyl  ( y   )m    yz n  0
2
2
1
1
 xzl   yz m  ( z   )n  0
2
2
x 
1
 xy
2
1
 yx
2
1
 zx
2
y 
1
 zy
2
1
 xz
2
1
 yz  0
2
z  
l，m，n齐次线性方程组
非零解的条件为方程系
数行列式的值为零
应变状态特征方程
展开   J1  J 2  J 3  0
3
2
§3.2 主应变4
应变不变量
J 1   ii   x   y   z
1 2
J 2   x y   y x   z x  ( xy   yz2   zx2 )
4
J 3   ij
第一，第二和第
三应变不变量
• 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐
标变换不影响应变状态是确定的。
• 应变不变量就是应变状态性质的表现
§3.2 主应变5
•应力张量——应变张量
公式比较
•应力不变量——应变不变量
•主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性
类似
•各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的
§3.2 主应变6
• 体积应变
u v w



x y z
.
V * V

 x   y  z
V
• ——弹性体一点体积的改变量
• 引入体积应变有助于
•
简化公式
•
解释
§3.3 应变协调方程
• 数学意义：
• 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量
描述
• 力学意义——变形连续
• 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元
体变形的约束
§3.3 应变协调2
• 例3-1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,
求其位移。
• 解：
u
3 2
 x 
 y 
 xy
x
 3x
v
 2y
y
u 
2
x  f ( y)
 v  y 2  g ( x)
v u


 f ' ( y )  g ' ( x)  xy
x y
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必
须满足一定的条件。以下我们将着手建立这
一条件。
§3.3 应变协调3
 要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，
则六个应变分量必须满足一定的条件。
 从几何方程中消去位移分量，第一式和第
二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加
可得
 2 y
 2 xy
 x

v u
 2 
(  )
2
x
y
xy x y
xy
2
2
 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数
 前后两式相加并减去中间一式，则
§3.3 应变协调4
 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数
 前后两式相加并减去中间一式，则
 yz
 xz  xy
 2u



2
x
y
z
yz
对x求一阶偏导数，则
 yz  xz  xy

 2 x
(


)2
x
x
y
z
yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
§3.3 应变协调5
 2 y
 2 xy
 x


2
2
x
y
xy
2
2
2
 2 z   y   yz


2
2
 y
z
yz
•应变协调方程
•——圣维南
（Saint Venant）方程
  x   z   xz


2
2
z
x
xz
 yz  xz  xy

 2 x
(


)2
x
x
y
z
yz
2
2
2
 2 y
  yz  xz  xy
(


)2
y x
y
z
xz
  yz  xz  xy
 2 z
(


)2
z x
y
z
xy
§3.3 应变协调6
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相
矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如
变形不满足一定的关系，变形后的单元体将
不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或
嵌入现象。
•为使变形后的物体保持连续体，应变分量必
须满足一定的关系。
§3.3 应变协调7
•证明——应变协调方程是变形连续的 必要和
充分条件。
•变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位
移分量为单值连续函数。
•目标——如果应变分量满足应变协调方程，则
对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得
单值连续的位移分量。
•利用位移和转动分量的全微分，则
du 
u
u
u
1
1
dx  dy  dz   x dx  (  xy   z )dy  (  xz   y )dz
x
y
z
2
2
 x
 x
 x
d x 
dx 
dy 
dz
x
y
z
轮换x , y, z，可得du，
dv和dy，dz
§3.3 应变协调8
如通过积分，计算出
1
2

u  u0 
P0 P
1
1
(  xy   z )dx   y dy  (  yz   x )dz
2
2

v  v0 
P0 P
w  w0 

P0 P
x   
0
x
1
1
(  xz   y )dx  (  yz   x )dy   x dz
2
2

P0 P
y  
0
y

P0 P
z   
0
z
1
2
 x dx  (  xy   z )dy  (  xz   y )dz

P0 P
 x
 x
 x
dx 
dy 
dz
x
y
z
 y
x
dx 
 y
y
dy 
 y
z
dz
 z
 z
 z
dx 
dy 
dz
x
y
z
是单值连续的，则问题可证。
保证单值连
续的条件是
积分与积分
路径无关
§3.3 应变协调9
根据格林公式
 y  z
1  xz  xy
(

)

2 y
z
y
z
1  u w
 v u
  [ (  ) (  )
2 y z x z x y
1  w v  x

(  )
2 x y z
x
 x 1  xz  xy
 (

)
x 2 y
z
 x 1  yz  y


y
2 y
z
 x  z 1  yz


z
y 2 z
回代
 x
 1

(  xy   z )
y
x 2
 x
 1

(  xz   y )
y
x 2
 1
 1
(  xz   y ) 
(  xy   z )
y 2
z 2
 y
 1

(  yz   x )
z
y 2
 y
 1

(  xy   z )
x
y 2
 1
 1
(  xy   z ) 
(  yz   x )
z 2
x 2
 z
 1

(  xz   y )
x
z 2
 z
 1

(  yz   x )
y
z 2
 1
 1
(  yz   x ) 
(  xz   y )
x 2
y 2
§3.3 应变协调10
回代到第四式
x   
0
x

P0 P
1  xz  xy
1  yz  y
 z 1  yz
(

)dx  (

)dy  (

)dz
2 y
z
2 y
z
y 2 z
x单值连续的必要与充分条件是
1   xz  xy
 1  yz  y
(

) (

)
2 y y
z
x 2 y
z
  z 1  yz
 1  yz  y
(

) (

)
y y 2 z
z 2 y
z
2
2
 2  z   y   yz


2
2
yz
y
z
 2 y
  yz  xyz  xy
(


)2
y x
y
z
xz
•同理讨论y，z的单值连续条件，可得其它4
式——变形协调方程。
•由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连
续的必要和充分条件。
§3.3 应变协调11
•变形协调方程——
•单连通域位移单值连续的必要和充分条件
•多连通域位移单值连续的必要条件
•充分条件是位移的连续补充条件
§3.3 应变协调12
位移边界条件
应变满足变形协调方程，保证弹性体内部
的变形单值连续。
边界变形协调要求边界位移满足位移边界
条件。
位移边界条件——临近表面的位移或和变
形与已知边界位移或变形相等。
§3.3 应变协调13
• 如果物体表面的位移已知，称为位移边界
• 位移边界用Su表示。
• 如果物体表面的位移
u , v, w, 已知
• 边界条件为
u u
vv
• 称为位移边界条件
ww
§3.3 应变协调14
• 设物体表面为S
• 位移已知边界Su
则
S＝Su＋Ss
• 面力已知边界Ss
• 弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边
界构成的。
• 任意一段边界，可以是面力边界，或者位移
边界。
• 面力边界和位移边界在一定条件下是可以转
换的，例如静定问题。
§3.3 应变协调15
•某些问题，边界部分位移已知，另一部分面
力已知，这种边界条件称为混合边界条件。
不论是面力边界条件，位移边界条件，还是
混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件
数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。