Transcript 工程力学系 第九章 第九章 应力状态分析 应力状态理论 9-1 一点应力状态的概念 9-2 平面应力状态分析的解析法 9-3 平面应力状态分析的图解法 9-4 三向应力状态简介 9-5 广义虎克定律 9-6 平面应力状态的测定 9-7 复杂应力状态下的变形比能 工程力学系 第九章 应力状态分析 问题的提出 内力计算 找到危险截面位置 应力计算 找到危险点位置 然而受力状态完全相同（即危险截面和危险点相同），破 坏形态可能不同 低碳钢受扭产生平面断口 铸铁受扭产生45°螺旋面断口 为什么？ 工程力学系 第九章 应力状态分析 说明不同材料破坏的危险方位不同。 应力状态理论 解决危险方位的问题。 工程力学系 第九章 应力状态分析 §9-1 一点应力状态的概念 一、轴向拉压杆斜截面上的应力  由 x  0 得 A p     cos A 斜截面上 讨论  A A n 在纵向拉伸等直杆中截取的一段  F   A m p  p

工程力学系
第九章
第九章 应力状态分析
应力状态理论
9-1 一点应力状态的概念
9-2 平面应力状态分析的解析法
9-3 平面应力状态分析的图解法
9-4 三向应力状态简介
9-5 广义虎克定律
9-6 平面应力状态的测定
9-7 复杂应力状态下的变形比能
工程力学系
第九章 应力状态分析
问题的提出
内力计算
找到危险截面位置
应力计算
找到危险点位置
然而受力状态完全相同（即危险截面和危险点相同），破
坏形态可能不同
低碳钢受扭产生平面断口
铸铁受扭产生45°螺旋面断口
为什么？
工程力学系
第九章 应力状态分析
说明不同材料破坏的危险方位不同。
应力状态理论
解决危险方位的问题。
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第九章 应力状态分析
§9-1 一点应力状态的概念
一、轴向拉压杆斜截面上的应力

由
x  0
得
A
p  
  cos
A
斜截面上
讨论

A
A
n
在纵向拉伸等直杆中截取的一段

F
 
A
m
p

p A   A  0
x


  p cos   cos 
2
   p sin  
当   0时  0＝  0＝0
当   90 时  90＝0  90＝0
当   45 时  45＝  45＝
2
2

2
sin 2
p
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第九章 应力状态分析
二、一点应力状态
同一点各个方位上的应力大小和方向各不相同。
某一点各个不同方位的截面上的应力及其相互关系，称为
一点的应力状态
三、单元体概念
在构件内部取一个微分六面体，代表一
个点，分析 6 个微面上的应力，这个微
分六面体称为单元体
剪应力等于0的截面称为主平面；作用在
主平面上的应力称为主应力。
y
 yz
 yx
 zx
z
 zy
 xz
 xy
x
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第九章 应力状态分析
四、应力状态分类
三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力
都不等于0;
二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力
都不等于0;
单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于0
y
y
 yx
 yz
 zx
z
 yx
 xz
x
x
 xy
 xy
 zy  xy
 yx
y
x
x
x
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第九章 应力状态分析
§9-2 平面应力状态分析的解析法
 x  y  xy   yx
平面初始应力状态包括
平面应力状态的简化表示
y
y
 yx
 yx
x
 xy
 xy
x
表示
x
 xy
x
 xy
 yx
y
 yx
y
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第九章 应力状态分析
y
一、任意斜截面上的应力
设斜截面上的应力为
 yx
 
 xy
x
n


x

 xy
 yx
斜截面上的各参量的正负号规定
y
t
 从 x 轴方向逆时针为正
  拉应力为正；压应力为负
  绕单元体顺时针为正，反之为负
x
n

 xy


 yx
y
t
x
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第九章 应力状态分析
对三角形单元体建立平衡方程
F
n
x


 yx
0
n

 xy
y
x
t
 dA  ( x dA cos )cos   ( xy dA cos  )sin   ( y dAsin  )sin   ( xy dAsin  )cos   0
F  0
t
 dA  ( x dA cos )sin   ( xy dA cos )cos   ( y dAsin  )cos   ( xy dAsin  )sin   0
整理后
 
 
x  y
2

 x  y
2
 x  y
2
cos 2   xy sin 2
sin 2   xy cos 2
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第九章 应力状态分析
由斜截面上的应力表达式可知 、 随  角度不同而变
化， 、 都是  的函数，由此可求正应力和剪应力的极值。
二、主应力、主方位
将   的表达式对  求导：
 x   y

d 
 2 
sin 2   xy cos 2   0
d
 2

 = 0
可见在 ＝0 的截面上，正应力具有极值（最大或最小）
主平面
主应力
工程力学系
即
令  = 0
第九章 应力状态分析
 x  y
2
得 tg 20  
sin 2   xy cos 2  0
2 xy

2 xy
1
 0  arctg  
  
2
x
y

 x  y
将上式带入   的表达式：
 max 
min
x  y
2
  x  y 
2
 
   xy
 2 

2 xy
1
 0  arctg  
  
2
x
y

2



即平面应力状态主应力、主方位表达式



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第九章 应力状态分析
三、剪应力极值、剪应力极值平面
将  的表达式对  求导：
d 
 ( x   y ) cos 2  2 xy sin 2  0
d
tg 21 
 x  y
2 xy
1
2
  x  y 

2

xy


1  arctg 

将上式带入  的表达式：
  x  y 
2
  
   xy
 2 
2
 max
min
  x  y
1
1  arctg 
 2
2
xy




即剪应力极值、剪应力极值平面表达式
工程力学系
第九章 应力状态分析
由主应力方位角和剪应力极值方位角可知
2 xy
tg 20  
 x  y
 x  y
tg 21 
2 xy
 0  1 
tg 20  tg 21
2 0  21 

4
即：剪应力极值平面和主平面夹角为45°

2
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第九章 应力状态分析
§9-3 平面应力状态分析的图解法
一、应力圆方程
 x  y  x  y

 

cos 2   xy sin 2


2
2
斜截面应力解析表达式 
 x  y
 
sin 2   xy cos 2



2
 x  y  x  y


cos 2   xy sin 2
  
2
2
将公式的结构进行变换 
 x  y


sin 2   xy cos 2
 
2
 x  y 

2
 
 
2 

2
  x  y 
2

   xy
 2 
2
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第九章 应力状态分析
 x  y 

  x  y 
2
2
观察方程    
   
   xy
2 

 2 
2
2
  x  y 
发现此方程为圆方程，圆心  2 , 0  半径


称此圆为应力圆。
  x  y 
2




xy
2


2

   
R   x y    xy 2
 2 
2
由于应力圆最早由德
国工程师莫尔
（otto.mohr,18351918）提出，故又称
为莫尔圆。
R
A
B
O1
O
x  y
2

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第九章 应力状态分析
二、应力圆作法
(1)在坐标系内画出A1(  x ,  xy)
(2)在坐标系内画出B1(  y ,  yx)

 yx
y
A1( x , xy )
x
 xy

O
B 1( y , yx )
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第九章 应力状态分析
y
二、应力圆作法
 yx
(3)A1 B1连线与  轴交点即圆心O1
x
(4)以O1为圆心，以O1A1 为半径画圆
 xy

A1( x , xy )
O1
O
B 1( y , yx )

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第九章 应力状态分析
三、斜截面应力
(1)过A1作A1K∥x轴，交圆于K点
(2)过K作KP∥n(斜截面法线)，交圆于P点
则P点的坐标为 (  ,   )

P(  ,  )
y
 yx
K
n



 xy
x
O

O1
B 1( y , yx )
A1( x , xy )

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第九章 应力状态分析
四、主应力、主平面、剪应力极值和剪应力极值平面
应力圆与应力状态的对应关系
OO1 
x  y
A1 A0   xy
2
O1 A0 
 yx
 xy
 x  y
x
2
min
OA
OB

x  y
2
 (
 x  y
2
A1( x , xy )
K
) 2   xy2
KA和KB的射线方向即主平
面法线方向
图示主应力状态
1
2
应力圆与x轴的交点横坐标即为 
正应力极值
 max 
y
B
B0
A
O1
O
B 1( y , yx )
x  y
2
A0
0

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第九章 应力状态分析
过圆心作垂直于x轴的线，与圆
交点为Q和Q’，两点的纵坐标即
为剪应力极值
 yx
y
x  y
2
 max
 max 
min
O1Q
O1Q
 (
x  y
2
) 
2
2
xy

Q
KQ和KQ’的射线方向即剪应
力极值平面法线方向
x
 xy
1
A1( x , xy )
K
图示剪应力极值应力状态
B
B0
A
O1
O
B 1( y , yx )
Q
A0

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第九章 应力状态分析
例题1：取梁截面中C点的应力状态进行分析， C点的应力
状态如图，用解析法求解  max、0、 max、1 ，并用图
min
min
解法验证。
M
q
m
解：  x  70 MPa;  y  0 ;  xy  50 MPa;
 max 
 x  y
min
2
 (
 x  y
2
)2   xy2 
A
B
m
26
MPa
96
C
70
C
50
2 xy
2  50
tg 20  

 1.429
 x   y 70  0
 max   (
min
 x  y
2
)2   xy2  61 MPa
72.5
1  0  45 
162.5
0 
27.5
117.5
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第九章 应力状态分析
图解法验证
作C点应力状态的应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。
查A点和B点的横坐标数值，即可得到主应力为26 MPa和-96 MPa，测量
KA及KB与x轴的夹角，即可得到主平面方位角为27.5°和117.5°；
查Q点和Q’点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为± 61 MPa，测量KQ
及K Q’与x轴的夹角，即可得到剪应力极值平面方位角为27.5°和117.5°；

Q
K  min
A1(70,50)
1
A1(70,50)

K
 max
A
0
0
O1
O
B
B 1(0, 50)
O1

O
1
Q
B 1(0, 50)

工程力学系
第九章 应力状态分析
、 max
例题2：已知某点应力状态如图，用解析法求  30 、 30 、 max
min
min
并用图解法验证。
o
25
解：解析法求解
 x  40 MPa;  y  25 ;  xy  30 MPa;
 30 
x  y
o
 30 
2
 x  y
o
 max 
2
 x  y
min
 max  
min
2

 x  y
2
cos 60o   xy sin 60o  49.7MPa
cos 60o   xy sin 60o  13.1 MPa
 (
 max   min
2
o
 x  y
2
) 
2
2
xy
 44.2 MPa
51.7

MPa
36.7
 30
o
 30
o
30
40
工程力学系
第九章 应力状态分析
图解法验证
作应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。
过K点作直线与x轴呈30°角，与圆的交点的坐标即  ，
30
30
查A点和B点的横坐标数值，即可得到主应力为51.7 MPa和-36.7 MPa
o
o
查Q点和Q’点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为± 44.2 MPa

Q
B 1(25,30)
25
30
40
C (49.7,13.1)
O1
B
O
K
30
o

A
A1(40, 30)
Q
工程力学系
第九章 应力状态分析
§9-4 三向应力状态简介
只有主应力的三向应力状态称为三向主应力状态
2
1   2   3
一、三向主应力状态的应力圆
1

3
O
1
3
2
2
1

工程力学系
第九章 应力状态分析
2
二、三向主应力状态的最大剪应力
最大剪应力由 1 和  3 决定
 max  
min
 max
1
1   3
2
2
最大剪应力方位角，与 1 相差45°
 45
o
 max
3
2
1

O
 min
工程力学系
第九章 应力状态分析
2
三、斜截面上的应力
1
与三个主平面成任意角度的斜
截面上的正应力和剪应力，可
以用   坐标系某一点的坐标
值表示。
该点位于三个应力圆所围成的
阴影范围内。
x
x
3
2

3
O
1
2
1

工程力学系
第九章 应力状态分析
§9-5 广义虎克定律
一、 广义虎克定律
(一)、 单向应力状态下的虎克定律
  E


E
       
  G

 
G

E
工程力学系
第九章 应力状态分析
(二)、 复杂应力状态下的虎克定律
1
 x   x    y   z  
E
y 
1
 y    x   z  
E
z 
1
 z    x   y  

E
 xy 
 xy
G
 yz 
 yz
G
 xz 
 xz
G
工程力学系
第九章 应力状态分析
二、 体积应变
y
三向主应力状态下的虎克定律
1 
1
 1    2   3  
E
2 
1
 2    1   3  
E
3 
1
 3    1   2  
E
设变形前六面体边长分别为 a、b、c
则六面体原始体积为
V  abc
2
1
1
x
3
z
2
工程力学系
第九章 应力状态分析
变形后六面体边长分别为 a  a、b  b、c  c
受力后体积为
y
V1  (a  a)(b  b)(c  c)
 abc(1  1 )(1   2 )(1   3 )
1

V1  V
 1   2   3
V
1
3
略去高阶微量后
V1  abc(1  1   2   3 )
2
x
z
——体积应变
2
工程力学系
第九章 应力状态分析
将主应力下的广义虎克定律代入体积应变公式
  1   2   3
1  2
( 1   2   3 )
E
1
 m
K

E
K
3(1  2 )
——体积弹性模量
1
 m  ( 1   2   3 ) ——平均应力
3
工程力学系
第九章 应力状态分析
§9-6 平面应力状态的测定
一、平面应力状态的虎克定律
1
 x   y 

E
1
 y   y   x 
E

2(1   )
 xy  xy 
 xy
G
E
x 
E
   y 
2  x
1 
E
y 
   x 
2  y
1 
 xy  G xy
x 
由上公式可知：只要确定了  x、 y、 xy
则该点的应力状态就随之确定了
工程力学系
第九章 应力状态分析
y
二、平面应力状态的测定
平面应力状态任意斜截面上的线应变，
可以表示为
 

1
     90o
E
x  y
 
将
2


 x  y
2
 yx
n



 xy
cos 2   xy sin 2
  90   x   y    
o
代入上式，得
 
x y
2

x y
2
cos 2 
 xy
2
sin 2
此式表明：可以由任意三个方向得线应变表示剪应变
x
工程力学系
第九章 应力状态分析
所以只要确定一点任意三个方向的线应变，就可以确定
该点的应变分量和应力分量。
试验测定中使用应变花进行平面应力状态的测定。
y
分别测定三个线应变  0、 45、 90
 90
即可确定该点的应力状态
45
o
 45
45o
0
0
x
工程力学系
第九章 应力状态分析
§9-7 复杂应力状态下的变形比能
F
一、变形比能
F
变形比能：单位体积的变形能。
U W 
1
F
2
量纲分析
1
F L
W 2
1  F   L  1
u


 2 
  
3
V
L
2  L  L  2
三向应力状态时
u
1
 11   2 2   3 3 
2
0
L
L
工程力学系
第九章 应力状态分析
由三向应力状态虎克定律知
x 
1
 x    y   z  

E
y 
1
 y    x   z  
E
z 
1
 z    x   y  

E
所以
u
1
 12   22   32  2 ( 1 2   2 3   3 1 ) 
2E
工程力学系
第九章 应力状态分析
二、体积变形比能和形状改变比能
把三向应力状态作如下分解
m
2
1
1
3
2

2 m
m
m
m
m
1
3
其中：  m  ( 1   2   3 )

1   m
1   m
3  m
2 m
称为平均应力。
同时把变形比能分成两部分，体积改变比能uv和形状
改变比uf能，即：
u  uv  u f
1
2
其中： uv   m m   m m   m m  
1  2
( 1   2   3 ) 2
6E
工程力学系
第九章 应力状态分析
例题3：如图的刚性支座内放置一铅块，大小为1×1×1cm，材料泊松比
μ=0.33，弹性模量E=70 GMPa.
求： 1、 2、 3
F
解：由题意知
1  0
F 6 103
3  
 60 MPa
4
A 110
3
2  0
由广义虎克定律
所以
1
 2   2    1   3  
E
 2   3  0.33 60  19.8 MPa
2
2
3