Transcript 运动学习题课

刚体定轴转动运动学
转动方程:
  f (t)
角速度:

角加速度:
 
d
d
dt
d 
2

dt
匀变速运动:
   0  t
dt
   0  2
   0   0t 
 

vp    r
任一点的速度
任一点的加速度
2
2
2
1
t
2
2
 

2
ap    r  r
a   R
第三章
an 
2
vp
R
[例1]
已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM＝0.4m，
在某瞬时测得 a M  40 m/s 2 ,  30 
求：
转动方程;

t＝5s时，Ｍ点的速度和
向心加速度的大小。
M
解：
 
a    R  a  sin 
a
R

a sin 

40  sin 30 
R
  0  0 ,    0 t 
 50 rad/s
2
0 .4
1
t
2
2

1
 50  t
2
转动方程  25t 2
第三章
2
 25 t
2

t＝5s时，Ｍ点的速度和向心加速度的大小
   0   t  50 t , v M  R   0 . 4  50 t  20 t
当ｔ＝5s时，
a
n
M
v M  20  5  100 m/s
v M2
100 2


 25000 m/s
R
0 .4
第三章
2
M
刚体平面运动运动学
一．概念与内容
1. 刚体平面运动的定义
刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变．
2. 刚体平面运动的简化
可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平
面内的运动代替刚体的整体运动．
3. 刚体平面运动的分解
分解为 随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）
绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）
4. 基点
可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．
第三章
5.瞬心
任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点
瞬心位置随时间改变．
每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．
这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同．
 =0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时
平动, 瞬时平动与平动不同．
第三章
6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例．
7. 求平面图形上任一点速度的方法
基点法：
速度投影法：
速度瞬心法：



v B  v A  v BA ,
A 为基点


v B AB  v A AB
vB

 BP   , v B  BP . P 为瞬心
其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．
求平面图形上任一点加速度的方法
8.8.求平面图形上一点加速度的方法
基点法：a p  a A    r     (  r ) ，A为基点, 是最常用的方法
第三章
速度投影定理的证明
vB
v B  v A    rAB
rA B  rA B e
B
A
(  r A B )  e
vA
(  rAB )  e  0
v B  e  v A  e  (  rAB )  e
第三章
vB  e  v A  e
二．解题步骤和要点
1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动
形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体．
2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速
度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(图形角加速
度)
3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量．
(基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；
速度投影法: 不能求出图形 ;
速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）
第三章
[例2] 画出图示作平面运动构件的速度瞬心的位置以及角速
度转向（各轮子均为纯滚动）．
轮C作平面运动，
P1为速度瞬心，C
BD作平面运动，
P2为速度瞬心，BD
AB作平面运动，
P3为速度瞬心， AB
轮O作平面运动，
P１为其速度瞬心，O
杆AB作平面运动
P2为速度瞬心， AB
第三章
作业中的问题
3.15
 


v p  v0    rp



v0  v0i





r p  r sin  i  r cos  j
   k





v p  v 0 i  (   k )  ( r sin  i  r cos  j )


 ( v 0   r cos  ) i   r sin  j
因无滑滚动，接触点B速度为零，=π
v p  v0



v p  v 0 (1  cos  ) i  v 0 sin  j
(1  cos  )  sin   v 0
2
2
第三章
p

    


a p  a 0    r     (  r  )
v0   r
y
o

v0
x
B


v B  (v0   r )i  0
2  2 cos 
  

a p    (  r  )




 (   k )  [(   k )  ( r sin  i  r cos  j )]


2
2
   r cos  j   r sin  i    r p v 0   r
2
2
ap 
v0
r


v0  v0i



r p  r sin  i  r cos  j

   k

第三章
3.16
y
A
D

r AB
C
B
已知:AB=a, BC=b。求vB

x







v A  vi
1.基点法 v B  v A    r AB
  k



a
rAB  a cos  i  a sin  j
cos  
sin  
2
2
a b





v B  v i   k  ( a cos  i  a sin  j )
O
 

v
2.基点法
v B    rOB
OA 
b
a b
2

A
D
余弦定理
OB  [ OA  a  2 a  OA cos(    / 2 )]
2
B
 C
vB
v B    OB
第三章
2
1/ 2
2
AM  2 r cos 
3.17
在M点为极点的极坐标中，p点轨迹为
r p  2 r cos   a
  90
C
0
 OMC 
B
O
A

P
M
 COM
瞬心C 的坐标为
MC  2 r sin 


 ACM 
2
为等腰三角形


2
OC 的长为r 瞬心C 的轨迹为圆，r
瞬心C 的空间极迹
第三章
第三章
第三章
刚体定点运动运动学
刚体定点转动时，转轴随时间不断变化，是三维空间运动问题
运动情况比刚体的定轴转动和平面平行运动复杂得多。
刚体上任一点P的速度和加速度
描述刚体定点转动通常采用固结在刚体
上随刚体运动的动坐标系o-xyz（原点在固

定点o上） 任一点P的速度为
 dr


r
 
加速度为

dt



 
d
d

a 

 r    (  r )
dt
dt

  
d

2 

 r   (  r )   r
dt


d

2

r  R
dt
第三章
ω
M
R
P
r
O


R是P点到
的⊥距离。
刚体一般运动
刚体一般运动时，刚体内任一点的速度及加速度只需在定点


运动的公式中添加基点的速度 v A 和基点的加速度 a A

 

  vA    r


 


d 
a  aA 
 r     (  r )
dt

  

d 
2
 aA 
 r    (  r )   r 
dt

矢量 r 是P点相对于基点A的位矢
第三章
第三章
[例3]当飞机在空中以定值V沿半径为R的水平圆形轨道C转弯时，求
当螺旋桨尖端B与中心A联线和垂线成角 时，B点的速度及加速度.已知
螺旋桨的长度AB= l ，螺旋桨自身旋转的角速度为  1 。
解：螺旋桨作一般运动，取A点为动坐标系原点。如图示
飞机绕Z轴转动角速度
（1）总角速度


 V 
  1 j 
k
R


（1）

B  A    r


 V 

 V j  ( 1 j 
k )  ( l sin  i  l cos  k )
R



l
  1 l cos  i  V (1 
sin  ) j   1 l sin  k
R
1
l

2 2
2
2
|  B | [ 1 l  V ( 1 
sin  ) ] 2
R
第三章
（2）B的加速度

d
dt
 1
2
V 

a  
i
R

dj
dt


V dk
R dt
 1

dj
dt

V  
V 

  1 0  j   1
k j  
i
R
R


 

 
a B  a A    r    (  r )
  V 


1
 
i 
i  ( l sin  i  l cos  k )
R
R
 V 
 Vl


 ( 1 j 
k )  ( 1 l cos  i 
sin  j   1 l sin  k )
R
R
2
2
 2V  l


V
V l
2
1
 (
  1 l sin  
sin  ) i 
cos j   1 l cos  k
2
R
R
R
V
2
1
2V  1 l
V
V l

2
2
2
2
2
| a | [(
 1 l sin   2 sin  )  (
cos  )  ( 1 l cos  ) ] 2
R
R
R
2
2
第三章
作业：3.4），3.31）
第三章


A
h

o
第三章
第三章
第三章
第三章
第三章
第三章
第三章