Transcript 第五章频域分析法

第五章
5.1
频域分析法—频率法
频率特性
一、基本概念
系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。
r(t)
系统
c(t)
一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入
r (t )  Ar sin  t
其稳态输出可写为
c(t )  Ac sin( t   )
Ac-稳态输出的振幅
 -稳态输出的相角
稳态输出的振幅与输入振幅之比,称为幅频特性。
Ac
M
Ar
稳态输出的相位与输入相位之差,称为相频特性。
二、求取频率特性的数学方法
RC网络的传递函数为
Uc ( s)
1
( s ) 

U r ( s ) Ts  1
T  RC
如果输入正弦电压信号
ur  Ar sin  t
其拉氏变换
Ar
Ur ( s)  2
s 2
所以系统的输出为
Ar
1
U c ( s )  ( s )U r ( s ) 
 2
Ts  1 s   2
查拉氏变换表，得Uc(s)的原函数uc(t)
ArT  Tt
Ar
uc (t ) 
e 
sin( t  arctan T )
2 2
1 T
1   2T 2
式中第一项为动态分量，第二项为稳态分量。
lim uc (t ) 
t 
Ar
1 T
2
2
sin( t  arctan T )
幅频特性和相频特性

0
1/2T 1/T 2/T
1/ 1   2T 2
0
0.89 0.707 0.45 0.32 0.24 0.20
- arctan  T
0
-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76
3/T 4/T
5/T

0
-78.7 -90
幅频和相频特性曲线
1
1   2T 2

sin( t  arctan T )
1
1 T
1

1  jT
2
2
e
 jarctan T


e
 jT
j
1
1 jT
RC网络的频率特性
只要把传递函数式中的s以j置换，就可以
得到频率特性，即
1
1

1  jT 1  Ts s  j
 (j )= (s )
s=j
将(j)以模幅式表示，则
  j     j  e
故幅频特性
j  j 
M       j 
相频特性
      j 
 M   e
j   
动态数学模型
频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图
三、频率特性图示法
1.直角坐标图
幅频特性：纵坐标为M，线性分度；
横坐标为，线性分度。
相频特性：纵坐标为，线性分度；
横坐标为，线性分度。
2.极坐标图
频率特性 (j )  (j ) (j )  M( ) ( )
幅相特性：以频率作为参变量，将幅频与相频
特性同时表示在复平面上。
当频率  从零到无穷变化时，
矢量(j)的端点在复平面上
描绘出一条曲线，即为幅相特
性曲线，又称奈奎斯特曲线。
惯性环节的幅相特性曲线
j

M()
 ()
0
1
0












1
O
 
0

 -90
3.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode)
对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数幅频
和对数相频两条曲线。
对数频率特性曲线的横坐标表示频率 ，并按
对数分度，单位是1/s。
对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函
数值，线性均匀分度，单位是分贝，记作dB。
对数幅频特性定义为
L( )  20lg M ( )
对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，
线性均匀分度，单位是度或弧度。

lg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.301 0.477 0.6020.6990.7780.8450.9030.954 1
采用对数坐标图的优点是：
(1) 可以将幅值的乘除转化为加减。
(2) 可以采用简便方法绘制近似的对数
幅频曲线。
(3) 扩大了研究问题的视野。在一张图
上，既画出频率特性的中、高频段特性，
又能画出其低频特性，而低频特性对分
析、设计控制系统来说是极其重要的。
对数幅频和对数相频特性曲线
5.2
典型环节的频率特性
一、比例环节(放大环节)
传递函数：
G(s)=K
频率特性: G(j)=K
幅频特性： M ( )  G(j )  K
 ( )  G(j )  0
相频特性：
对数幅频特性：L( )  20lg M ( )  20lg K
幅相曲线
伯德图
二、积分环节
1
传递函数： G ( s ) 
s
1
频率特性： G (j ) 
j
幅频特性： M ( )  G (j ) 
1

相频特性：  ( )  G(j )  90
对数幅频特性：
1
L( )  20 lg M ( )  20 lg  20 lg 

幅相曲线
伯德图
三、微分环节
传递函数： G( s )  s
频率特性： G(j )  j
对数幅频特性：L( )  20 lg G  j   20 lg 
对数相频特性：     90
幅相曲线
伯德图
四、惯性环节
1
传递函数： G ( s )  Ts  1
1
频率特性： G (j ) 
jT  1
幅相曲线
对数幅频特性：
1
L( )  20 lg G (j )  20 lg
 20 lg1  20 lg
 T 
 T 
2
2
1
 1  20 lg
 T 
对数相频特性：
    G(j )   arctanT
2
1
近似对数幅频特性：
当
1
T
时，T
1，略去 (T )2 则得
T 
L( )  20lg
扩展为只要
当
1
T
1

T
时，T
L( )  20lg
扩展为只要
地代替之。
1
T
 1  20lg1  0
，则L()=0。
1，(T )2
T 

2
2
1 ，略去1，得
 1  20lg
T 
2
 20lg T
，就以 L( )  20lg T近似
显然在转折频率
其最大误差为

 T 
1
20lg
定义
1

T
2
1
T
处，近似精度最低。
1

T
 20lg 2  3 dB
为转折频率，也是特征点。
1
其幅频特征值为 M  T   0.707
 
1
对数幅频特征值为 L  T   3 dB
 
惯性环节的伯德图
1
特征点：  , L( )  3 dB,   45
T
五、一阶微分环节
传递函数： G( s)   s  1
频率特性： G  j   j  1
对数幅频特性：
L( )  20lg G  j   20lg
 
对数相频特性： ( )  arctan 
1
特征点：  , L( )  3dB,   45

2
1
一阶微分环节的伯德图
幅相曲线
六、振荡环节
传递函数：
频率特性：
G(j ) 
 n2
1
G( s)  2

2
s  2 n s   n  s  2 2
s 1
  
 n  n
1
2
 j  2
 j   1

 
 n  n

1
2
 
2
1   j
n
 n 
对数幅频特性：
  
L( )  20lg G(j )  20lg 1  

  n 
2
2
  2  2
 

  n 
对数相频特性：
 ( )   arctan
2
n
 
1 
 n 
2
1
特征点：  n , L( )  20lg ,   90
2
幅相曲线
根据幅频特性和相频特性公式计算出频率特性
j
1
O
渐近对数幅频特性：
当n时，即/n1时，则略去/n，
近似取
L( )  20lg G(j )  20lg1  0 dB
在低频段的渐近特性是一条与横轴相重
合的直线。
当n时，即/n1时，则略去1和
近似取
2

2
n
 
 
L( )  20 lg G (j )  20 lg 
  40 lg 

 n 
 n 
这是一条在   n 处过横轴且斜率为
-40dB/十倍频程的直线。
  n为转折频率
没有考虑阻尼
比的影响。
在转折频率处渐
近特性与精确特
性线误差为
2
    2   2  2
20lg 1      

  n    n 
 0  20lg  2 
 n
对于不同的阻尼比，振荡环节的精确对数幅频特性
对数相频特性：
七、二阶微分环节
传递函数： G( s)   s  2 s  1
2 2
频率特性： G (j )    j   2  j   1
2
2
对数幅频特性：
L( )  20lg G  j   20lg
1       2 
2
对数相频特性：
 2 
    arctan 
2 2 
1


 

2
2
2
幅相曲线:   0时，M  1,   0 ;
  时，M =,  =180
二阶微分环节的伯德图
八、一阶不稳定环节
1
传递函数： G ( s )  Ts  1
1
频率特性： G (j ) 
jT  1
对数幅频特性：
L( )  20 lg G (j )  20 lg
对数相频特性：
1
 T 
2
 T 
    G(j )   arctan 

 1 
1
幅相特性:   0时，M  1,   180 ;
1
2
  时，M 
,   135 ;
T
2
  时，M =0,   90
一阶不稳定环节的伯德图
最小相位环节:
最小相位系统:
非最小相位环节:
非最小相位系统:
九、延迟环节
数学表达式： c(t )  r ( t   )
传递函数：
G( s)  e s
频率特性：
G(j )  e j
幅频特性： M ( )  G  j   1
相频特性：     G  j   
对数幅频特性：
L( )  20 lg G  j   20 lg1  0
幅相特性曲线
伯德图
伯德图
5.3 控制系统的开环频率特性
系统的开环频率特性曲线分为：开环幅相
特性曲线和开环对数频率特性曲线。
一、开环幅相特性曲线的绘制
设系统的开环传递函数由若干个典型环节
相串联
G( s)  G1 ( s)  G2 ( s)  G3 ( s)
其开环频率特性
G(j )  G1 (j )  G2 (j )  G3 (j )
G(j )  G1 (j ) e jG1 ( j )  G2 (j ) e jG 2( j )  G3 (j ) e jG3 ( j )
 G1 (j ) G2 (j ) G3 (j ) e j[G1 ( j )G 2( j )G3 ( j )]
所以，系统的开环幅频和相频分别为
M ( )  G (j )
 G1 (j ) G2 (j ) G3 (j )
 M1 ( )  M 2 ( )  M 3 ( )
 ( )  G(j )
 G1 (j )  G2 (j )  G3 (j )
 1 ( )   2 ( )   3 ( )
1.开环幅相特性曲线的绘制
例 某0型单位负反馈控制系统，系统开
K
环传递函数为 G( s )  (T1 s  1)(T2 s  1)
，试绘制
系统的开环幅相曲线。
K
解： G(j ) 
(jT1  1)(jT2  1)
当=0 时 G(j0)=K0
当= 时
G(j)=0-180
系统的开环幅相曲线
0型系统幅相特性曲线
例 某单位负反馈控制系统，系统开环传
K
递函数为 G( s) 
，试绘制系统
s(T1 s  1)(T2 s  1)
的开环幅相特性曲线。
解： G(j ) 
K
j (jT1  1)(jT2  1)
当=0 时 G(j0)= -90
当= 时 G(j)=0-270
开环幅相特性曲线
各型系统幅相特性
曲线的概略图
例 某单位负反馈控制系统，系统开环传
K ( 1 s  1)
递函数为 G( s) 
，试绘
(T1 s  1)(T2 s  1)(T3 s  1)
制系统的开环幅相特性曲线。
K (j 1  1)
解：G(j ) 
(jT1  1)(jT2  1)(jT3  1)
当=0 时 G(j0)= K0
当= 时 G(j)=0(90-270)=0-180
取T1、T2大于1，1>T3时，系统的开环幅
相特性曲线为
系统的开环幅相曲线
2.系统开环幅相特性的特点
①当频率  =0时，其开环幅相特性完全取
决于比例环节K和积分环节个数。
②0型系统起点为正实轴上一点,I型及I型
以上系统起点幅值为无穷大,相角为·90。
③当频率= 时，若n>m(即传递函数中分
母阶次大于分子阶次)，各型系统幅相曲
线的幅值等于0，相角为-(n-m)·90。
④ G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一
个关键点，其交点坐标可由下列方法确定。
G(j )  G(j ) ejG( j )  u( )  j ( )
(a) 令G(j)=-。解出与负实轴交点
处对应的频率x的值。再将x代入
|G(j)|中，求得与负实轴交点的模值。
(b) 令()=0解出x ，再将x代入
u(x)中，求得与负实轴交点的坐标。
二、伯德图的绘制
系统的开环幅频和相频
M ( )  G (j )
 G1 (j ) G2 (j ) G3 (j )
 M1 ( )  M 2 ( )  M 3 ( )
 ( )  G(j )
 G1 (j )  G2 (j )  G3 (j )
 1 ( )   2 ( )   3 ( )
系统的开环对数幅频和对数相频特性
开环对数幅频
L( )  20lg M ( )
 20lg M1 ( )  20lg M 2 ( )  20lg M 3 ( )
开环对数相频
 ( )  1 ( )  2 ( )  3 ( )
系统开环对数幅频等于各环节对数幅频之和；
系统开环对数相频等于各环节对数相频之和 。
解决这方面的问题要求掌握：
(1) 正问题能熟练地绘制系统的伯德图。
即已知系统的开环传递函数，在半对数坐
标纸上绘制出系统开环对数频率特性。
(2) 反问题会求传递函数。即已知对数幅
频特性曲线（或实验曲线），能反求其传
递函数。
解决正问题的方法与绘制对数幅频特性曲
线的步骤：
1.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
2.确定各有关环节的转折频率，并把有关
的转折频率标注在半对数坐标的横轴上。
3.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标
等于20lgK dB的点A。过A点做一直线，使
其斜率等于-20 dB/十倍频程。当=0,
=1, =2时，斜率分别是(0，-20，-40)/
十倍频程。
4.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，
该直线的斜率等于过 A 点直线的斜率加这
个环节的斜率（惯性环节加-20，振荡环
节加-40，一阶微分环节加+20的斜率），
这样过每一个转折频率都要进行斜率的加
减。
5.高频段最后的斜线的斜率应等于20(n-m) dB/十倍频程。
6.若系统中有振荡环节，当<0.4时，需
对L()进行修正。
绘制对数相频特性的步骤：
1.在半对数坐标纸上分别绘制出各环节的
相频特性曲线。
2.将各环节的相频特性曲线沿纵坐标方向
相加，从而得到系统开环对数相频特性曲
线()。
当0 时， () -·90 。
当 时，()-(n-m)·90。
例 已知单位负反馈系统如图所示，试做出
系统的开环伯德图。
解：作L():
(1)
40
40 / 4
10
K
G  s 



s( s  4)
1

1
 s(Ts  1)
s  s  1 s  s  1
4

4

因此， 开环增益 K=10
转折频率
1
1   4 (1 / s)
T
20 lg K  20 dB
L()/dB
40
-20 dB/dec
A
20
0
-20
-40
B
0.1
1
4
10
100
-40 dB/dec
/s-1
作对数相频曲线：
因为该系统是由放大、积分、惯性环节组成的，则
    1 ( )   2 ( )   3 ( )
 0  ( 90 )  (  arctan T )
因此，只要从-90°起作一惯性环节的相
频，即可得到系统的对数相频特性曲线。
对数相频特性曲线
例 已知一单位负反馈系统开环传递函数
G  s 
200  s  1

s  s  0.2  s 2  4 s  100

试作系统开环对数幅频L()和相频()。
解：作L():
200  s  1
(1) G  s  
2

0.2  100 s  5 s  1 0.01s  0.04 s  1
200
K
 10  20 lg K  20 dB
0.2  100
1  0.2, 2  1, 3  n  10,   0.2
1
20 lg
 8 dB
2

L()/dB
40
10
① G1 (s )=
s
1
② G2 (s )=
5s +1
B
-20 dB/dec
20
0
-20
-40
A
③ G3 ( s)  s  1
C
④ G4 ( s ) 
-40 dB/dec 3
0.1 0.2
1
2 1
10
D
1
0.01s 2  0.04 s  1
100
-20 dB/dec
-60 dB/dec
/s-1
作():
由系统中各环节对数相频特性叠加而得
到系统的开环对数相频特性曲线，即
    1    2    3    4    5  
系统开环对数相频特性曲线
两个概念：
系统开环对数幅频特性曲线与横轴(0 dB线)
交点的频率称为穿越频率或截止频率c。
系统开环对数相频特性曲线与线交点的频
率称为相频截止频率g。
三、最小相角系统和非最小相角系统
传递函数中没有右极点、右零点的系统，
称为最小相角系统（最小相位系统）；传递
函数中有右极点、右零点的系统，则称为非
最小相角系统（非最小相位系统）。