Transcript + - + 典型环节的传递函数

自动控制原理
第2章
控制系统的数学模型
孙 韬
2010.9
主要内容
 系统数学模型概述
 传递函数
 动态结构图
 控制系统的传递函数
 本章小结
系统数学模型概述

数学模型的定义
数学模型是对实际系统的一种数学抽象。它是在
一定条件下既反映了实际物理过程的本质特征又忽
略了许多次要因素而建立起来的、形式简单且便于
应用控制理论分析和设计系统的数学描述。
数学模型是控制系统的输入和输出之间动
态关系的数学表达式。它是分析和设计自动
控制系统的基础。
系统数学模型概述

为什么要建立系统的数学模型？
首先，我们需要了解系统的具体的性能指标，希望能够
从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。那么，只是
定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的；
另一方面，许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系
统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，
我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，
即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的
任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。
系统数学模型概述

数学模型的种类
在经典控制理论中,所给出的数学模型一种是外部
描述(仅反映被控量和输入量之间关系);一种是内部
描述(不仅反映被控量和输入量之间关系,而且反映
系统内部变量之间以及与被控量和输入量之间的关
系).

外部模型——微分方程,传递函数,频率特性

内部模型——动态结构图(方框图),信号流图，
状态方程
系统数学模型概述

各种数学模型之间的关系
动态结构图
信号流图
线性系统
传递函数
微分方程
频率特性
系统数学模型概述

数学模型的建立方法
目前工程上采用的方法主要是
a.分析计算法
根据支配系统的内在运动规律以及系统
的结构和参数，推导出输入量和输出量之
间的数学表达式，从而建立数学模型——
适用于简单的系统。
系统数学模型概述

数学模型的建立方法
b.工程实验法
是利用系统的输入——输出信号来建
立数学模型的方法。通常在对系统一无所
知的情况下，采用这种建模方法。
输入
黑盒
输出
系统数学模型概述
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时
称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起
用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实
际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一
般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素
来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确
性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，
也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过
于复杂。
系统数学模型概述
 微分方程的建立
微分方程是控制系统最基本的数学模型，要
研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。
一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，
首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元
件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消
去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的
微分方程。
系统数学模型概述

微分方程的建立举例:
RLC电路：研究
在输入电压ur(t)作用
下，电容上电压uc(t)
的变化。
r
ur(t)
L
i(t)
C
uC(t)
依据：基尔霍夫电压定律
di ( t )
ur ( t )  ri ( t )  L
 uc ( t )
dt
duC ( t )
i(t )  C
dt
代入并整理得:
d 2 uC ( t )
duC ( t )
LC
 rC
 uC ( t )  ur ( t )
2
dt
dt
系统数学模型概述

微分方程的建立举例:
在图示弹簧阻尼系
统中，质量为m的物体
受到外力F的作用，产
生位移y，求系统的运
动方程。
输入量——外力F
输出量——位移y
ma
根据牛顿定律
f 
ky
m
dy
dt
y
m
0
2
d y
F a 2
dt
 F  F  FS  F f
dy
——阻尼器阻力
F

f
f
FS  ky ——弹簧阻力
dt
系统数学模型概述

微分方程的建立举例:
已知二串联液体储罐，试建
立数学模型。
输入量——进水量Qin，阀2开度
变化引起的流量变化Qf(扰动)
输出量——出水罐液位高度h2
C1,C2——储罐1，2的容量系数
R1,R2——阀1，阀2的阻尼系数
Qh——液位h2的变化引起的流量变化
Qf——阀2开度的变化引起的流量变化
系统数学模型概述

微分方程的建立举例:
dh1
Qin  Q1  C1
dt
dh2
Q1  (Qh  Q f )  C 2
dt
1
1
Q1 
h1
Qh 
h2
R1
R2
dQ f
d 2 h2
dh2
R1C1 R2C 2
 ( R1C1  R2C 2 )
 h2  R2Qin  R2Q f  C1 R1 R2
dt 2
dt
dt
2
f
2
2
1 2
1
2
2
2 in
2 f
1 2
2
dQ
d h
dh
TT
 (T  T )
 h  R Q  R Q T R
dt
dt
dt
系统数学模型概述
 列写系统运动方程的步骤
确定系统的输入量和输出量
根据系统所遵循的基本定律，依次列
写出各元件的运动方程
消中间变量，得到只含输入、输出量
的标准形式
传递函数
拉普拉斯变换
传递函数的定义
传递函数的性质
传递函数的求取
典型环节的传递函数
拉普拉斯变换复习
1 拉氏变换的定义

L[ f (t )]  F (s)   f (t )  e dt
 st
0
 F ( s ) 像函数

 f ( t ) 原函数
2 常见函数的拉氏变换
1 t  0
f
(
t
)

（1）阶跃函数

0 t  0

1  st  1
1
 st
L 1 t     1 e dt  e    0  1 
0
s
s
s
0
f (t )  e at
（2）指数函数


0
0

L[ f (t )]   eat  e st dt   e s a t dt
1 (s  a)t
1
1
e
 

( 0 1) 
0

sa
sa
sa
拉普拉斯变换复习
（3）正弦函数

t 0
0
f (t )  
sin t t  0
L  f(t)   sin  t  e dt 
0
 st

1 jt  jt
 st


e

e

e
dt
0 2 j 




1 -(s- j )t (s  j )t
dt
e
0 2 j e

1  1 (s  j )t

e

2 j  s  j

0
1 (s  j )t

e
s  j

0 


1  1
1  1
2 j






2 j  s  j s  j  2 j s 2   2 s 2   2
拉普拉斯变换复习
4 拉氏变换的几个重要定理
La f1(t)  b f 2(t)  a F1(s)  b F2(s)
（1）线性性质
（2）微分定理 L  f   t    s  F  s   f  0 

证明： 左 




-st
 st
f   t   e st dt   e st df  t   e f  t  0   f  t  de

0
0
0

 0 - f  0    s  f  t  e st dt  sF  s   f  0   右
0
 f  n  t    s n F  s   s n-1 f  0   s n- 2 f   0  


   t   s F s
0初条件下有： L f
n
n
 sf  n-2  0   f  n 1  0 
拉普拉斯变换复习
例2 求
解.
L (t )  ?
 t   1t 
Lδt   L1t 
例3 求
解.
1
 s   δ  0   1  0  1
s
Lcos( t )  ?
cos t 
1

sin  t 
s

 2
Lcos t   Lsin  t    s  2
2
2
s



s



1
1
拉普拉斯变换复习
 f  t  dt   1  F  s 
L
（3）积分定理

 s
1
零初始条件下有： L  f t dt   F s 
s
进一步有：


1
L    f  t  dt n   n F  s 

 s
 n个


例4 求 L[t]=?

t   1t dt
1 1
1





L t   L   1 t  dt 
解.
s s
s2
t2
t2 
  t dt
例5 求 L    ?
2
2
1
1 1
2







解.
L t 2   L  t dt

 s s2
s3
拉普拉斯变换复习
L f (t  0 )  eτ0 s  F (s)
（4）实位移定理
证明：

左   f (t  0 )  ets dt
0
令


 0
t  0  
f ( )  e
 s (  0 )
d  e
 0 s



f ( )  e s d  右
0
0 t  0

f
t

  1 0  t  a , 求F ( s)
例6
0 t  a

解.
f (t )  1(t )  1(t  a )
1
1  e  as
 as 1
L  f (t )  L 1(t ) 1(t  a)   e  
s
s
s
拉普拉斯变换复习
L e At f (t )   F ( s  A)
（5）复位移定理
证明： 左 


0

 ( s  A)t
dt
e f (t )  e dt  0 f (t )  e
 t s
At

s

A

s
令


  f (t )  e s t dt  F (s )  F ( s  A)  右

0
例7
1
1


L e   L 1 t   e  
s s  s  a s  a
例8

s
L  e -3t  cos 5t    2
s  52
at
at
s3

2
2


s

3

5

s s 3
拉普拉斯变换复习
（6）初值定理
lim f ( t )  lim s  F ( s )
t 0
s
证明：由微分定理


0
df (t )  s t
 e dt  s  F ( s )  f (0)
dt

df (t )  st
 e dt  lim  s  F ( s )  f (0) 
s  0
s 
dt
 df (t )
左
 lim e  st dt  0  lim  s  F ( s )  f (0)   0
0
s 
dt s 
lim 
f (0)  lim f (t )  lim s  F ( s)
t 0
f t   t
例9
1
F ( s)  2
s
s 
1
f (0)  lim s  F ( s )  lims  2  0
s
s
s
拉普拉斯变换复习
（7）终值定理
lim f ( t )  lim s  F ( s )
t 
证明：由微分定理
s0


0
（终值确实存在时）
df ( t )  s t
 e dt  s  F ( s )  f (0)
dt
df ( t )  s t
lim
 e dt  lims  F ( s )  f (0)
s0 0
s 0
dt
t

 df ( t )
st
df (t )
左
 lime dt  0 df (t )  lim

0
t 
0
dt s 0
 lim f ( t )  f (0)  右  lims  F ( s )  f (0)

t 
1
例10 F ( s ) 
s( s  a )(s  b)
ω
例11 F s   2
s  ω2
s0
1
1
f    lims

s 0
ss  a s  b  ab
ω
s 2
0
f   sinωt t  lim
2
s0
s ω
传递函数的定义
定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量
拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。
设线性定常系统（元件）的微分方程是
n
n 1
d
d
d
a0 n c( t )  a1 n1 c( t )    an1 c( t )  an c( t )
dt
dt
dt
m
m 1
d
d
d
 b0 m r ( t )  b1 m 1 r ( t )    bm 1 r ( t )  bm r ( t )
dt
dt
dt

c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入.
传递函数的定义

则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系
统传递函数为：
m 1
C ( s ) b0 s  b1 s    bm 1 s  bm
G( s ) 

n
n 1
R( s ) a0 s  a1 s    an1 s  an
m
N ( s )  a0 s  a1 s
n
n 1
(n  m )
   a n 1 s  a n
N ( s )  0即是系统的特征方程。
分母中s的最高阶次n即为系统的阶次。
传递函数的定义

注意：
零初始条件的含义——（1）输入作用在t=0后才
作用于系统，因此，系统的输入量及其各阶导数在
t=0-时的值均为零。（2）输入信号加于系统之前，
系统是相对静止的，所以，系统的输出量及其各阶导
数在t=0-时的值均为零。
r (0  )  r(0 )  ...  r
( m 1 )
(0  )  0
( n 1 )

c(0  )  c(0 )  ...  c
(0  )  0
传递函数的性质
 传递函数
m 1
C ( s ) b0 s  b1 s    bm 1 s  bm
G( s ) 

n
n 1
R( s ) a0 s  a1 s    an1 s  an
m
m
C ( s)
G( s) 

R( s)
K  ( s  zi )
i 1
n
 (s  p )
j 1
j
( n  m)
传递函数的性质
1.线性定常系统或元件的运动方程与传递函数一一对
应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述。
2.传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特
性，它与其输入信号的形式无关，但和输入信号的
作用位置及输出信号的取出位置有关。
3.传递函数是复变量s的有理分式，且分子、分母多
项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数n大
于等于分子多项式的次数m
传递函数的性质
4.传递函数中的-zi和-pj分别成为系统的零点和极点，它们
也与系统的结构和参数有关.
5.物理结构不同的系统可以有相同形式的传递函数.
6.传递函数是系统的单位冲激响应。
7.一个传递函数只能表示一个输入量与一个输出量之间
的关系，如果是多输入多输出系统,则需要传递函数矩
阵表示。
8.传递函数不能表示中间变量的变化对系统的影响。
传递函数的求取方法

直接法——利用微分方程求拉氏变换
dn
d n 1
d
a0 n c( t )  a1 n1 c( t )    a n1 c( t )  a n c( t )
dt
dt
dt
dm
d m 1
d
 b0 m r ( t )  b1 m 1 r ( t )    bm 1 r ( t )  bm r ( t )
dt
dt
dt
m 1
C ( s ) b0 s  b1 s    bm 1 s  bm
G( s ) 

n
n 1
R( s ) a0 s  a1 s    an1 s  an
m
传递函数的求取方法

复阻抗法——对电路系统采用复频域模型
I R
U R
I L (s )
U L (s )
R
di L
U L ( s)
uL ( t )  L
 Z L ( s) 
 sL
dt
Ls
I L ( s)
U L ( s )  sLI L ( s )
1
uC ( t ) 
C
I C (s )
U C (s )
uR ( t )  Ri R ( t )
U R ( s)
 Z R ( s) 
R
U R ( s )  RI R ( s )
I R ( s)
1
sC
i
C
( t )dt
I L ( s)
UC ( s) 
sC
U L ( s)
1
 ZC ( s) 

I L ( s)
sC
传递函数的求取方法
•二阶电路系统的传递函
数
R
Ur(s) I(s)
sL
1
sC
UC(s) U C ( s ) 
1
sC
1
R  sL 
sC
UC ( s)
1

2
U r ( s ) LCs  RCs  1
U r ( s)
传递函数的求取方法
•对于电路系统，用复频域模型求取传递函数
1
sC 1
+
+
R1
U1(s)
-
T1  R2C2
R2
1
sC 2
U2(s)
-
R2
K
R1  R2
R1 R2
T2 
(C 1  C 2 )
R1  R2
1
R2
sC2
1
R2 
sC2
U 2 (s) 
U1 ( s )
1
1
R1
R2
sC1
sC2

1
1
R1 
R2 
sC1
sC2
U 2 ( s) K (T1s  1)
G(s) 

U1 ( s )
T2 s  1
传递函数的求取方法
•对于电路系统，用复频域模型求取传递函数
C1
Z1
U 0 (s)   U i (s)
Z0
R1
U 0 (s)
R1 R0C0 s  1

U i (s)
R0 R1C1s  1
C0
Ui
R0
∞
-
+
+
R0
Z0 
R0C0 s  1
U0
Z1 
T0 s  1
G(s)   K
T
s

1
1
R
1
R1C1s  1
典型环节的传递函数

概述
系统的传递函数的一般表达式为
m 1
b0 s  b1s 
G ( s) H ( s) 
n 1
n
a0 s  a1s 
m
c
b

bm 1s  bm
an 1s  an
K  ( i s  1) ( s  2 l l s  1)
l 1
e
i 1
d
s
v
2 2
l
 (T s  1) (T
j 1
j
k 1
s  2 k Tk s  1)
2 2
k
典型环节的传递函数

概述
比例环节
G( s) 
一阶微分环节
b
c
i 1
d
l 1
e
二阶微分环节
K  ( i s  1) ( l2 s 2  2 l l s  1)
s v  (T j s  1) (Tk2 s 2  2 k Tk s  1)
j 1
积分环节
k 1
惯性环节
振荡环节
纯微分环节
s
e s
延迟环节
典型环节的传递函数

概述
环节是根据微分方程划分的，不是
具体的物理装置或元件。
一个环节往往由几个元件之间的运
动特性共同组成。
同一元件在不同系统中作用不同，
输入输出的物理量不同，可起到不同
环节的作用。
典型环节的传递函数

放大环节/比例环节
b
G( s) H ( s) 
K  ( i s  1) ( s  2 l l s  1)
i 1
d
s
v
l 1
e
2 2
l
 (T s  1) (T
j 1
传递函数：
c
j
X c ( s)
G( s ) 
K
X r ( s)
运动方程式： xc (t )  Kxr (t )
K ——环节的放大系数
k 1
s  2 k Tk s  1)
2 2
k
例1：齿轮传动
例2：晶体管放大器
典型环节的传递函数

惯性环节
G( s) 
b
c
i 1
d
l 1
e
j 1
k 1
K  ( i s  1) ( l2 s 2  2 l l s  1)
s v  (T j s  1) (Tk2 s 2  2 k Tk s  1)
X c ( s)
K

传递函数： G( s) 
X r ( s) Ts  1
dx (t )
运动方程式：T c  xc (t )  Kxr (t )
dt
K——环节的放大系数
T——环节的时间常数
!储能元件
！输出落后于输入
量，不立即复现突
变的输入
例1：弹性弹簧
例2：RC惯性环节
典型环节的传递函数

弹性弹簧
dy
k ( x  y)  B
dt
B—阻尼器阻尼系数；k—弹簧刚度
运动方程式
X ( s)
1
 B / k  s 1
Y ( s)
dy
B  ky  kx
dt
传递函数
Y ( s)
k
1
G( s) 


X ( s) Bs  k  B / k  s  1
典型环节的传递函数

积分环节
G( s) 
b
c
i 1
d
l 1
e
j 1
k 1
K  ( i s  1) ( l2 s 2  2 l l s  1)
s v  (T j s  1) (Tk2 s 2  2 k Tk s  1)
传递函数：
运动方程式：
X c ( s) K
G( s ) 

X r ( s) s
dxc (t )
 Kxr (t )
dt
K ——环节的放大系数
xc ( t )  K  xr ( t )dt ！积分
0
t
输入突然除去
积分停止
输出维持不变
！记忆
例1：电容充电
例2：积分运算放大器
典型环节的传递函数

积分环节——！具有明显的滞后作
用
如当输入量为常值 A 时，
1
x0 (t ) 
T
1
0 Adt  T At
t
输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0
时的值A。
！改善系统的稳态性能
典型环节的传递函数

电容充电
1
uc 
C
i
ur
uc

t
0
idt
C
1
UC ( s)  I ( s)
Cs
I (s )
1
sC
U C (s)
UC ( s) 1
G( s) 

I ( s ) Cs
典型环节的传递函数

积分运算放大器
C
R
ur
∞
+
U R (s)
1
RCs
+
uc
U C (s)
duc
ur
 C
R
dt
1 t
uc  
ur dt

RC 0
1
UC ( s)  
U R ( s)
RCs
UC ( s)
1
G( s ) 

U R ( s)
RCs
典型环节的传递函数

微分环节
s
G( s) 
b
c
i 1
d
l 1
e
j 1
k 1
K  ( i s  1) ( l2 s 2  2 l l s  1)
s v  (T j s  1) (Tk2 s 2  2 k Tk s  1)
理想微分
传递函数：
X ( s)
G( s)  c
 Ks
X r ( s)
运动方程式：
dx r (t )
xc (t )  K
dt
例1：测速发电机
例2：RC微分网络
例3：理想微分运放
例4：一阶微分运放
实际微分
惯性
T0
KT 有限
传递函数：
G( s) 
X c ( s) KTs

X r ( s) Ts  1
典型环节的传递函数

RC微分网络
1
ur  iR 
C
C
ur
i
uc
R
0
uc  iR
T  RC
U R (s)
 idt
t
Ts
Ts  1
UC ( s)
Ts
G( s ) 

U R ( s ) Ts  1
U C (s)
典型环节的传递函数

理想微分运算放大器
R
C
ur
uc
dur
C

dt
R
∞
-
+
uc
+
dur
uc   RC
dt
U C ( s )   RCsU R ( s )
U R (s)
 RCs
U C (s)
UC ( s)
G( s ) 
  RCs
U R ( s)
典型环节的传递函数

一阶微分运算放大器
R0
C
R0
dur

uc  R1C
 ur
R1
dt
∞
ur
R1
U R (s)
+
 K (Ts  1)
+
uc
U C (s)
R0
 U C ( s )  ( R1Cs  1)U R ( s )
R1
UC ( s)
R0
  ( R1Cs  1)
U R ( s)
R1
典型环节的传递函数

振荡环节
G( s) 
b
c
i 1
d
l 1
e
j 1
k 1
K  ( i s  1) ( l2 s 2  2 l l s  1)
例1：弹簧阻尼系统
s v  (T j s  1) (Tk2 s 2  2 k Tk s  1)
例2：RLC串联网络
X c ( s)
K
传递函数： G( s) 
 2 2
X r ( s) T s  2Ts  1
2
dxc (t )
2 d xc (t )
 2T
 xc (t )  Kxr (t )
运动方程式：T
2
dt
dt
K——环节的放大系数
T ——环节的时间常数
 ——环节的阻尼比
不同形式
储能元件
能量转换
0<<1 产生振荡
1 两个串联的惯性环节
振荡
典型环节的传递函数

弹簧阻尼系统
X (s)
1K
G( s) 

F (s) M s 2  B s  1
K
K
典型环节的传递函数

RLC串联网络电路
R
Ur(s)
sL
I(s)
1
sC
UC(s)
U R (s)
UC ( s)
1
G( s ) 

U R ( s ) LCs2  RCs  1
1
LCs 2  RCs  1
U C (s)
典型环节的传递函数

二阶微分环节
G( s) 
b
c
i 1
d
l 1
e
j 1
k 1
K  ( i s  1) ( l2 s 2  2 l l s  1)
s v  (T j s  1) (Tk2 s 2  2 k Tk s  1)
传递函数： G(s)  X c (s)  K ( 2 s 2  2s  1)
X r ( s) 2
dxr (t )
2 d xr (t )
运动方程式：
xc (t )  K [
 2
 xr (t )]
2
dt
dt
K ——环节的放大系数
1 两个串联的一阶微分环节
T ——环节的时间常数
 ——环节的阻尼比
典型环节的传递函数

延滞环节
例：水箱进水管的延滞
运动方程式：
xc (t )  xr (t  )
—环节的时间常数
传递函数：
G(s) 
X c ( s)
 e s
X r ( s)
e s  1  s 
超越函数近似处理
e
s
1
 s 
e
1
1  s 
 2s2
2!

 3s3
3!
 ....
 2 s 2  3s3
2!

1

1  s
3!
 ....  1  s
典型环节的传递函数

延滞环节与惯性环节的区别
惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由
于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输
出值。
延迟环节从输入开始之初，在0 ~τ时间内没
有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。