Transcript 第三章控制系统的数学模型

第三章
控制系统的数学模型
第1,2小节
微分方程与传递函数
一、微分方程
数学模型是用来描述系统中各种信号(或变
量)的传递和转换关系的。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务
是建立系统的数学模型。
输入-输出模型
着重描述的是系统输入量和输出量之间的
数学关系
状态空间模型
着重描述的是系统输入量与内部状态之间
以及内部状态和输出量之间的关系
3
建模方法：
建立数学模型的方法主要有机理法和实
验法(系统辨识)
机理法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物
理、化学定律列写出变量间的数学表达式，
并实验验证。
实验法(系统辨识)
对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃
信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据
系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨
识出系统的数学模型。
机理建模步骤
(1) 建立物理模型。必要的简化和假设
(2) 列写原始方程。根据系统内在规律(牛
顿运动学，能量守恒、物料守恒等)建立各
物理量之间的数学关系
(3) 选定系统的输入-输出变量及状态变量 ，
消去中间变量，建立模型
RLC电路系统的数学模型
ur (t )  L
di (t )
 Ri (t )  uc (t )
dt
i (t )  C
duc (t )
dt
d 2uc (t )
duc (t )
 LC

RC
 uc (t )
dt 2
dt
d 2uc (t )
duc (t )
LC

RC
 uc (t )  u r (t )
2
dt
dt
机械系统的数学模型
例2.1 带阻尼的质量弹簧系
统如图所示，当外力F(t)作 F(t)
用于系统时，系统将产生运
动，试写出外力F(t)与质量
块的位移x(t)之间的动态方
f
程。其中弹簧的弹性系数为
k，阻尼器的阻尼系数为f，
质量块的质量为m。
k
M
x(t)
F克服弹簧恢复力和阻尼力，使M向下运动，
产生加速度
固定端
分析质量块M受力，有:
F(t)
k与变形长度相关
(1)外力F
(2)弹簧恢复力kx(t)
M
x(t)
(3)阻尼力
f
(4)惯性力
与变形速
度相关
固定端
由于M受力平衡，所以
式中：x 为M的位移(m)；
f 为阻尼系(N·s/m);
k 为弹性系数(N/m)。
二、传递函数
线性系统的输入-输出关系：
方程两端进行拉氏变换：
在零初始条件下：
1.传递函数的定义
线性定常系统在输入、输出零初始条件
的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变
换之比，称为该系统的传递函数。
12
2.传递函数与微分方程之间存在转换关系：
例：已知直流电动机以电枢电压
为输
入量，以角速度
为输出量的微分方程：
其中，
为已知的定常参数，求相
应的传递函数。
解：将微分方程两边各项取拉氏变换：
电动机的传递函数为：
3.传递函数的因式分解形式(零极点形式)
Kg ：传递函数的增益
- zi(i=1,2,…,m):传递函数的零点
-pj(j=1,2,…,n):传递函数的极点
(n ≥ m)
以电动机系统的闭环传递函数为例，认识
传递函数中的一些术语：
系统的闭环特征方程，即令分母多项式等于
零：
系统的最高阶次，是特征方程的最高阶次，
系统的闭环极点，也称为特征根，是闭环特
征方程的解：
系统的闭环零点，是分子多项式等于零时的
解。
三、传递函数的性质
1、传递函数仅适用于线性定常系统；
2、传递函数是系统的数学模型，描述输入变
量和输出变量之间的动态变化关系，不同
的物理系统可以具有相同的传递函数；
3、传递函数表征系统本身的一种属性，表示
输入与输出之间的一种函数关系，它与输
入信号的大小和性质无关；
4、传递函数是关于复变量s的有理真分式，
它的分子，分母的阶次是n ≥m
19
5.传递函数为系统的单位脉冲响应函数的拉
普拉斯变换。
系统的单位脉冲响应为：
传递函数的拉氏反变换为该系统的单位脉冲
响应函数
系统的单位阶跃响应为：
四、基本RLC网络的复阻抗
电阻、电容、电感与电压、电流之间满足
广义的欧姆定律。
RLC:
时域:
拉式
变换:
复阻抗:
例：列写RC网络的传递函数
.将复阻抗1/sC代替电容C，输入输出函数变
为复函数
.将复阻抗1/sC代替电容C ，输入输出函数变
为复函数
.利用欧姆定理：
1/sC1与R1并联，而后再与R2和1/sC2串联，
求得输入端的总阻抗
.将复阻抗1/sC代替电容C ，输入输出函数变为
复函数
.利用欧姆定理：
1/sC1与R1并联，而后再与R2和1/sC2串联，
求得输入端的总阻抗R2和1/sC2对Ui(s)进行
分压，得到输出Uo(s)
化简，并写成输出/输入的形式：
关于并联电路阻抗的计算：
例:
1.阻抗替换：
2.1/sC与R并联：
3.输入端总阻抗：
4.输出端分压：
5.传递函数：
第三章
控制系统的数学模型
第3小节
系统结构图(1)
一、系统结构图的四个基本要素
系统方框图图由若干基本符号构成。构成
动态结构图的基本符号有四种，即信号线、
传递方框、综合点和引出点。
(1)信号线
表示信号输入、输出的通道。箭头代表信
号传递的方向。
31
(2)函数方块
G(s)
方框的两侧为输入信号线和输出信号线，
方框内写入该输入、输出之间的传递函数
G(s)。
32
(3) 综合点
省略时也表示＋
＋
综合点亦称加减点，表示几个信号相加、
减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，
负信号需在信号线的箭头附近标以负号。
33
(4)分支点
表示同一信号传输到几个地方。从一个分
支点引出的多个信号是同一个变量 。
34
二、闭环控制系统的结构图
1.常用术语：
.前向通道：
.反馈通道：
.开环传递函数：
2.典型环节的传递函数
(1) 比例环节
(2) 惯性环节
极点：
(3) 积分环节
传递函数为：
Ti
积分时间常数
(4) 微分环节
微分环节的输出和其输入量的导数成比例
微分时间常数
(5) 延时环节
Pade近似
泰勒近似
(6) 振荡环节
阻尼比
自然振荡频率
时具有一对共轭复极点：
例 电枢控制式直流电动机的方框图表示
电枢回路：
电枢反电势：
电磁力矩：
力矩平衡：
1.确定输入：
输出：
2.根据各信号之间的关系串联出方框图
惯性
比例
三、简单方框图的等效变换
思路
在保证总体动态关系(输入-输出之间的
传递函数)不变的条件下，设法将原结构逐
步地进行归并和简化，最终尽量将多回路的
复杂结构简化成单回路结构。
(1)串联结构的等效变换
串联结构的等效变换
两个串联的方框可以合并为一个方框，合
并后方框的传递函数等于两个方框传递函
数的乘积。
U(s)
R(s)
G1(s)
C(s)
G2(s)
R(s)
G1(s) • G2(s)
C(s)
(2)并联结构的等效变换
等效变换证明推导(1)
G1(s)
R(s)
C1(s)


G2(s)
C2(s)
C(s)
并联结构的等效变换
R(s)
G1(s)
C1(s)


G2(s)
C2(s)
C(s)
并联结构的等效变换图
G1(s)
R(s)
G2(s)
R(s)
两个并联的

C(s) 方框可以合并
为一个方框，

合并后方框的
传递函数等于
C2(s)
两个方框传递
函数的代数和
C1(s)
 G1(s)  G2(s)
C(s)
(3) 反馈结构的等效变换
C(s) = ?
R(s)
E(s)
B(s) 
G(s)
H(s)
C(s)
R(s)
反馈结构传递函数=
G( s )
C(s)
1  H ( s)G( s)
前向通道传递函数
1-/+开环传递函数
第三章
控制系统的数学模型
第3小节
系统结构图(2)
二、复杂结构图的等效变换
(1)综合点(比较点、汇合点)的后移
两个输入：R(s)、Q(s)
一个输出：C(s)
问题：
要保持原来的信号传递
关系不变，？ 等于什么。
？
Q(s)
综合点后移之证明推导（移动前的情形）
R(s)
Q(s) 
G(s)
C(s)
55
综合点后移之证明推导（移动后的情形）
R(s)
C(s)
G(s)

？
Q(s)
56
综合点后移证明推导（移动前后）
R(s)
Q(s) 
G(s)
R(s)
C(s)
G(s)
C(s)

？
Q(s)
移动后
移动前
57
综合点后移证明推导（移动后）
R(s)
G(s)
C(s)

？
Q(s)
58
综合点后移等效关系图
59
(2)综合点前移
综合点前移证明推导（移动前）
R(s)
C(s)
G(s)
Q(s)

61
综合点前移证明推导（移动后）
R(s)
C(s)
G(s)

？
Q(s)
62
综合点前移证明推导（移动前后）
移动后
移动前
63
综合点的移动（前移）
64
综合点前移的等效关系
(3)综合点之间的移动
结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。
(4)分支点后移等效变换图
67
(5)分支点前移等效变换图
(6)分支点之间的移动
相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。
分支点、综合点前后移动的规律：
分支点向前移动时，移动支路上需乘以G(s)。
分支点向后移动时，移动支路上需除以G(s)。
分支点
综合点向后移动时，移动支路上需乘以G(s)。
综合点向前移动时，移动支路上需除以G(s)。
综合点
结构图等效变换方法
1 三种典型结构可直接用公式
2 相邻综合点可互换位置、可合并
3 相邻引出点可互换位置、可合并
注意事项：
1 不是典型结构不可直接用公式
2 分支点与综合点相邻，不可互换位置
练习分支点移动
H2
G1
G3
G2
H3
H1
G4
1
G4
H2
G1
G3 a G4
G2
H3
H1
b
练习综合点移动
G3
G1
无用功
G2
G2
H1
错！
G3
G1
G2
G1
H1
作用分解
G4
G1
H1
G2
G3
H3
G4
G1
H1
H1
G2
G3
H3
H3
例2：系统动态结构图如下图所示，试求系统
传递函数C(s)/R(s)。
例题特点
具有引出点、综合交叉点的多回路结构。
解题思路
消除交叉连接，由内向外逐步化简。
解题方法(一)之步骤1
将综合点2后移，然后与综合点3交换。
H 2 ( s)
R(s )
1
3
－
G1 ( s )
－
B
G2 ( s )
G3 ( s )
－
2
A
H 3 ( s)
H1 ( s)
G4 ( s )
C
C (s )
解题方法(一)之步骤2
R(s)
1
-
3
G1 ( s )
-
G2 ( s )
?
C(s)
G3 ( s )
-
2
H 3 ( s)
H1 ( s)
G4 ( s )
解题方法(一)之步骤3
R(s)
1
G2 ( s ) H 2 ( s )
3
G1 ( s)
-
-
G2 ( s )
G3 ( s )
-
2
H 3 ( s)
H1 ( s)
G4 ( s )
C(s)
解题方法(一)之步骤4
内反馈环节等效变换
1
G2 ( s ) H 2 ( s )
3
R(s)
G1 ( s )
-
-
G2 ( s )
-
G3 ( s )
2
H3 (s)
H1 ( s)
85
G4 ( s )
C(s)
解题方法(一)之步骤5
内反馈环节等效变换结果
R(s)
1
3
G1 (s)
-
G2 ( s )
-
G3 ( s )
1  G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )
H 3 ( s)
H1 ( s)
后续步骤忽略。。。。。。
C(s)
G4 (s)
解题方法(二)之步骤1
将综合点③前移，然后与综合点②交换。
H 2 ( s)
R(s )
1
3
－
G1 ( s )
－
G3 ( s )
G2 ( s )
－
2
B
A
H 3 ( s)
H1 ( s)
G4 ( s )
C
C (s )
解题方法(三)
引出点A后移
H 2 ( s)
R(s )
1
3
－
G1 ( s )
－
B
G2 ( s )
G3 ( s )
－
2
A
H 3 ( s)
H1 ( s)
G4 ( s )
C
C (s )
解题方法(四)
引出点B前移
H 2 ( s)
R(s )
1
3
－
G1 ( s )
－
B
G2 ( s )
G3 ( s )
－
2
A
H 3 ( s)
H1 ( s)
G4 ( s )
C
C (s )
结构图化简步骤小结
确定输入量与输出量。如果作用在系统上
的输入量有多个，则必须分别对每个输入
量逐个进行结构图化简，求得各自的传递
函数。
若结构图中有交叉联系，应运用移动规则
，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路
结构。
对多回路结构，可由里向外进行变换，直
至变换为一个等效的方框，即得到所求的
传函数。
第三章
控制系统的数学模型
第4小节
信号流图与梅森公式
一、信号流图
节点
用圆圈表示，代表系统
中的变量
支路
有向线段，表示变量之
间的因果关系，线段上
方写传递函数
基本单元
系统方框图
系统微分方程
系统信号流图
1.信号流图有关术语
输入节点(或源节点)： 只有信号输出支路
的节点,如R、N。
输出节点(或阱节点)： 只有信号输入支路
的节点,如C。
混合节点：
既有输出支路，又
有输入支路的节点,
如E、P、Q。
增
益：两个节点之间的传递函数。如：
E、P之间的传递函数为G1，则增
益也为G1。
前向通路：信号由输入节点到输出节点传递
时，每个节点只通过一次的通路
称为前向通路。
如：R→E→P→G→C。
前向通路总增益：前向通路上各支路增益的
乘积
回
路：起点和终点在同一节点，而且信号
通过每一节点不多于一次的闭合
通路。
回路增益：回路中所有支路增益的乘积。
不接触回路：指相互间没有公共节点和支路的
回路。
2.信号流图的基本性质
①节点标志系统的变量。每个节点标志的
变量是所有流进该节点的信号之代数之
和，从同一节点流出的信号均用该节点
的变量表示。节点同时表示了综合点和
分支点。
②支路相当于乘法器，信号流经支路时，
被乘以支路增益而变换为另一信号。
③信号在支路上只能沿箭头单向传递，保
证因果关系。
3.信号流图与结构图的对应关系
信号流图
结构图
源节点
输入信号
阱节点
输出信号
混合节点
综合点，引出点
支路
方框
支路增益
传递函数
前向通路
回路
互不接触回路
例
速度反馈系统信号流图
Md(s)
-1
Ur(s)
∆U(s) U(s)-Ea(s) Ia(s)
1/Ra
Kd
1
KA
-kb
-kt
1/(Js+f) Ω(s)
1
Ω(s)
例
系统结构图求信号流图
二、梅森(Mason)公式
G(s)表示从某个输入信号到某个输出信号的
传递函数
系统特征式：
∆(s) =1 - 所有不同单回路的传递函数之和
+每两个不接触回路的传递函数乘积之和
-每三个不接触回路的传递函数乘积之和
+ …… - ……
Qi(s):
从该输入到该输出的某前向通道的
传递函数；
∆i(s) ：将前向通道Qi(s)从信号流图中去除
后，剩余子图的特征式。
∆i(s) =1–子图中所有单回路的传递函数之和
+ 子图中两两不接触回路的传递函数乘
积之和 – 子图中三三不接触回路的传
递函数乘积之和 + …… - ……
梅森公式举例(1)
试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)
求解步骤之一
找出前向通路数n
前向通路数：n=1
求解步骤之二
确定系统中的单回路数
寻找反馈回路之一
H4
-
R(s)
G1
-
G2
G3
G5
G6
-
-
H2
H3
H1
单回路1：
L1 = －G1G2G3 G4G5G6 H1
G4
1
C(s)
寻找反馈回路之二
单回路2：
L2 = - G2G3H2
H4
-
R(s)
G1
-
G2
G3
G4
G5
G6
-
-
H2
2
H3
1
H1
C(s)
寻找反馈回路之三
单回路3：
L3 = - G4G5H3
H4
R(s)
-
G1
-
G2
-
H2
G3
2
G4
G5
C(s)
G6
-
H3
3
1
H1
寻找反馈回路之四
单回路4：
L4 = - G3G4H4
单回路2：
L 2 = - G 2G3 H2
R(s)
G1
-
H4
-
G2
-
H2
4
G3
2
G4
单回路3：
L3 = - G4G5 H3
G5
C(s)
G6
-
H3
3
1
H1
单回路1：
L1 = －G 1G2 G3G 4G5 G6H 1
利用梅森公式求传递函数(第1步)
利用梅森公式求传递函数(第2步)
求子特征式 1
H4
-
R(s)
G1
-
-
G2
H2
G3
2
4
-
G4
G5
H3
C(s)
G6
3
1
H1
将第一条前向通道从图上除掉后的图，再
用特征式 ∆ 的求法，计算∆1
H4
-
R(s)
G1
-
-
G2
H2
G3
2
4
-
G4
G5
H3
C(s)
G6
3
1
H1
将第一条前向通道从原图上去除后，
原图不再具有回路，故：
利用梅森公式求传递函数(第3步)
梅森公式举例(2)
试求如图所示的系统的传递函数。
求解步骤之一：确定单回路
G4
R
G1
G2
H1
G3
H2
C
G4
R
G1
G2
H1
G3
H2
C
G4
R
G1
G2
H1
G3
H2
C
G4
R
G1
G2
H1
G3
H2
C
G4
R
G1
G2
H1
G3
H2
C
求解步骤之二：确定前向通路
G4
R
G1
G2
H1
G3
H2
C
G4
R
G1
G2
H1
前向通路数：n  2
G3
H2
C
求解步骤之三：求总传递函数
梅森公式举例(3)
求对例2做简单的修改后的传递函数
G4
R
G1
G2
H1
G3
H2
C
求单回路1
G4
R
G1
G2
G3
H2
H1
C
求单回路2
G4
R
G1
G2
G3
H2
H1
C
求单回路3
G4
R
G1
G2
G3
H2
H1
C
求单回路4
G4
R
G1
G2
G3
H2
H1
C
两两互不接触的回路1
G4
R
G1
G2
G3
H2
H1
C
两两互不接触的回路2
G4
R
G1
G2
H1
G3
H2
C
求前向通路1
G4
R
G1
G2
G3
H2
H1
C
求前向通路2
G4
R
G1
G2
H1
G3
H2
C
求系统总传递函数