mathematical modeling 01
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数学建模
Mathematical Modeling
乔琛
西安交通大学 理学院
信息与系统科学研究所
[email protected]
数学是理解世界的方法，数学是万物的度量。
-----毕达哥拉斯
自然界的规律是用数学写成的。
------伽利略
上帝亲手做过的事情，只有通过数学才能理解。
------开普勒
什么是数学模型
常见模型
玩具、照片…
~ 实物模型
风洞中的飞机…
~ 物理模型
地图、电路图…
~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行
简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
数学模型（Mathematical Model）
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在
规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，
得到的一个数学结构。它或能解释某些客观现象，或
能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展
提供某种意义下的最优策略或较好策略。
数学模型无处不在
欧氏几何、微积分、万有引力公式、虎克
定律、运动定律、库仑定律、开普勒三定
律、能量转换定律、广义相对论、化学元
素周期表、SARS、 AIDS、基因序列的分
析、人口的增长、可持续资源的开发、电
网稳定性、核试验的模拟、三峡大坝的安
全、软件的开发、交通管理、物价指数、
股票 ……
数学模型的分类
分类标准
具体类别
对某个实际问
题了解的深入
程度
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
模型中变量的
特征
连续型模型、离散型模型、确定性模型、
随机型模型等
建模中所用的
数学方法
初等模型、微分方程模型、差分方程
模型、几何模型、优化模型、图论模
型、马氏链模型
研究课题的实
际范畴
人口模型、生 态系统模型 、交通
流模型、经 济模型、 基因模型等
数学建模的核心：用数学方法来反映、描
述或模拟各种现象，揭示事物发展变化的
内在规律
数学建模课程的学习目的
大学应教给学生什么？
基础知识，学习能力，创新意识
学生应该学会什么？
如何做人;如何思维;
掌握必要的知识和运用知识的能力.
数学建模能教给学生什么？
(1) 弥补传统数学教学的不足，学习实际应用
中的数学建模方法，体会数学的应用价值
(2)
增强数学学习兴趣，培养学生应用数学
知识分析和解决实际问题以及创造的能力
(3) 学会团结合作，增强团队意识
数学建模教学的特点：
没有系统的理论或方法.
没有标准答案. 没有最好，只有更好
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循
想像力
艺术无法归纳成普遍适用的准则
洞察力
判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
对数学建模课程，
不要期望太高
Everything
Nothing
Something
A taste of modeling
放射性废物的处理问题
缘起:
处理浓缩放射性废物的做法（把这些废物装
入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英
尺的海里）是否会造成放射性污染？
让事实说话！
问题关键：
圆桶到底能承受多大速度的碰撞？圆桶和海
底碰撞时的速度有多大？
已知： 圆桶在40英尺／秒的冲撞下会发生破裂
圆桶： 55加仑 (1加仑=3.785411升)
装满放射性废物时的圆桶重量W=527.436磅
在海水中受到的浮力B=470.327磅
下沉时圆桶所受海水的阻力D=Ｃv (Ｃ= 0.08)
问题：计算圆桶沉入300英尺深的海底时,其末速度=?
y(0)=0
模型及其求解
D
根据牛顿第二定律，圆桶下沉时应满足方程 B
质量·加速度=重力-浮力-摩擦阻力
2
d y
dy
m 2 mg B c
dt
dt
y(0) 0, y '(0) 0
m2 g mB
mg B
ct / m
y
(1 e
)
t
2
c
c
y(t)
mg
Cg
t
W
W B
v(t )
(1 e
)
C
极限速度： 713.86(英尺／秒)
!
713.86 >> 40
困难：无法知道下沉到海底的时间
dy
d 2 y d d dy
d
, 2
dt
dt
dt dy dt
dy
d
m
mg B c , (0) 0
dy
m d
dy ,
mg B c
积分并代入初始条件得：
m
mg B mg B c
ln
y
2
c
c
mg B
用数值计算方法得到
v(300)≈45.1英尺／秒＞40英尺／秒
为什么要用三级火箭来发射人造卫星
• 为什么不能用一级火箭,而必须用多级火
箭来发射人造卫星?
• 为什么一般都采用三级火箭系统？
• 为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：
（i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此
轨道上作匀速圆周运动；
（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的
引力忽略不计。
分析：
km
根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: F 2
r
在地面有 km mg 得 k gR2
2
故
2
R
R
F mg
r
R为地球半径，约
为6400公里
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力，故：
mv 2
F
r
从而
g
vR
r
（2）火箭推进力及速度的分析
假设：不计空气阻力
分析：记火箭在时刻 t 的质量和速度分别为m(t) 和υ(t) ，有
dm
m(t t ) m(t )
t O ( t 2 )
dt
记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），由动量守恒定理：
m(t )v(t ) m(t t )v (t t ) (
得
dm
t )(v (t ) u ) O ( t 2 )
dt
dv
dm
m
u 由此解得： v(t ) v u ln m0
0
dt
dt
m(t )
υ0和m0一定的情况下，火
箭速度υ(t)由喷发速度u
及质量比决定。
（3）火箭推进力及速度的分析
现将火箭——卫星系统的质量分成三部分：
（i）mp（有效负载，如卫星）
（ii）mf（燃料质量）
（iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。
最终质量为 mP+mS,初始速度为0，所以末速度：
一般地
m0
v u ln
m m
s
p
ms (m f ms ) (m0 mp )
则末速度为
m0
v u ln
m (1 )m
0
p
特别地，当mP=0时
1
v u ln
为常数
（4）理想火箭模型
假设：记结构质量 mS 在 mS+mf 中占的比例为λ，假设火箭能
随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以λ与（1－λ）的
比例同时减少。
由动量守恒得
m(t )v (t ) m(t t )v (t t )
dm
dm
tv (t ) (1 )
t (v (t ) u ) O ( t 2 )
dt
dt
dv
dm
(1 )u
dt
dt
m0
v(t ) (1 )u ln
m
(
t
)
得
-m
理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，
结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP
所以最终速度为：
m0
v (1 )u ln
m
p
只要m0足够大，我们可以
使卫星达到我们希望它具
有的任意速度。
考虑到空气阻力和重力等因素，估
计（按比例的粗略估计）发射卫星
要使υ=10.5公里/秒才行，则可推
算出m0/ mp约为50,即发射一吨重的
卫星大约需要50吨重的理想火箭
（5）理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立
即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第i级火
箭的质量，mP表示有效负载。
先作如下假设：
（i）设各级火箭具有相同的λ,即i级火箭中λmi为结构质
量,（1－λ）mi为燃料质量。
（ii）设m1=k(m2+mP)，m2=kmP
考虑二级火箭：当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
v1 u ln
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
m1 m2 m p
m1 m2 m p
m1 m2 m p
m2 m p
v2 v1 u ln
u ln
m2 m p
m1 m2 m p m2 m p
m2 m p
又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍
设u=3公里/秒，且为计算方便，近似取λ=0.1，则可得
m1
m2
1
1
2
m
m
m
k
1
k 1
2
P
P
3ln
2 3ln
6ln
0.1m1
0.1m2
0.1k 1
0.1k 1
1
1
m
m
m
2
P
P
要使υ2=10.5公里/秒，则应使:
即k≈11.2，而:
m1 m2 mP
149
mP
10.5
k 1
e 6 5.75
0.1k 1
类似地，可以推算出三级火箭：
三级火箭比二级火箭
几乎省了一半
m1 m2 m3 mP
m m3 mP
m mP
2
3
m
m
m
m
m
m
m
m
m
2
3
P
2
3
P
3
P
1
3 u ln
在同样假设下:
k 1
k 1
3 3ln
9ln
0.1k 1
0.1k 1
3
要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而
（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。
是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四
级、五级等火箭进行讨论。
考虑N级火箭：
记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在
相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见下表
n（级数）
1
2
3
4
5
…
∞（理想）
火箭质量（吨）
/
149
77
65
60
…
50
• 由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，
所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭
提供了一个最好的方案。
• 当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制
作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭
（6）火箭结构的优化设计
前面假设(ii)有点强加的味道。现去掉
该假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假
设下，来讨论火箭结构的最优设计。 记：
m0
a1
m p m2 m3
a2
a3
m p m2 m3
m p m3
m p m3
mp
则
m0
a1a2 a3
, (m0 m p m1 m2 m3 )
mp
m1
a1 1,
m p m2 m3
m2
a2 1,
m p m3
m3
a3 1,
mp
a3
v
a1
a2
ln
u
(a1 1) 1 (a2 1) 1 (a3 1) 1
等价于
min [ (a1 1) 1][ (a2 1) 1][ (a3 1) 1]
subject to a1a2 a3 m0 / m p
的条件极值。
利用Lagrange乘子法，设Lagrange函数
L(a1 , a2 , a3 , )
[ (a1 1) 1][ (a2 1) 1][ (a3 1) 1]
(a1a2 a3 m0 / m p )
求导得：
L
[ (a2 1) 1][ (a3 1) 1] a2 a3
a1
L
[ (a1 1) 1][ (a3 1) 1] a1a3
a2
L
[ (a1 1) 1][ (a2 1) 1] a1a2
a3
L
a1a2 a3 m0 / m p
由对称性我们知道这3个数相等时v/u最大。
火箭结构优化设计讨论中我们得到与
假设（ii）相符的结果，这说明前面
的讨论都是有效的！