Transcript 第8讲

2.5 光的相干性
2.5.1 光源大小对干涉条纹可见度的影响
——光的空间相干性
2.5.2 光源非单色性对条纹可见度的影响
——光的时间相干性
2.5.3 干涉的定域性
2.5.4 相干性的定量描述
2.5.5 激光的相干性
2.5.1 光源大小对干涉条纹可见度的影响
——
干涉条纹可见度 V —— 表征干涉程度
在杨氏干涉实验中，如果采用点光源，则通过
干涉系统将产生清晰的干涉条纹，V = 1；如果采用
扩展光源，其干涉条纹可见度将下降。
多组条纹的叠加
以杨氏双缝干涉为例：
S1
S
S


O
P
d
P0
S
S2
R
E
若考察干涉场中的某一点P，则位于光源中点 S 的元光源(宽
度为dx)在P点产生的光强度为 ：
I  I 01  I 02  2 I 01I 02 cos cos 
若考察干涉场中的某一点P，则位于光源中点 S 的元光源(宽
度为dx)在P点产生的光强度为 ：
2π 

dI s  2 I 0 dx1  cos  
 

式中，I0 dx是元光源通过 S1 或 S2 在干涉场上所产生的光强
度； 是元光源发出的光波经 S1 和 S2 到达P点的光程差。
S C
dx
x
S1
P

P0
S
S2
E
S
距离 S 为 x 的 C 点处的元光源，在 P 点产生的光强度：
2π 

dI  2 I 0 dx1  cos ' 
 

式中，是由 C 处元光源发出的、经 S1 和 S2 到达 P 点的
两支相干光的光程差。
由图中几何关系可得到如下近似结果：
d

 x
2
CS2  CS1  d  
 R




xd
d 
 x
R



式中， = d/R 是 S1 和 S2 对S的张角。因此
'    x
于是可得：
2π


dI  2 I 0 dx 1  cos (  x )



对上式进行积分，即可得到宽度为 b 的扩展光源在P点所
产生的光强度为：
2π


I   2 I 0  I  cos (  x ) dx
b / 2




πb
2π
 2 I 0b  2 I 0
sin
cos 
π


b/2
式中，第一项与P点的位置无关，表示干涉场的平均强度，
第二项表示干涉场光强度周期性地随 变化。
由于第一项平均强度随着光源宽度的增大而增强，而第
二项不会超过2I0/ ，所以随着光源宽度的增大，条纹可
见度将下降。
根据干涉条纹可见度的定义式可求得 ：

πb
V
sin
πb

V
1
0
/ 
2/ 
条纹可见度随光源宽度的变化
b
上述讨论实际上是考察了光源的大小对扩展光源SS
照射与之相距R的平面，并通过其上二点S1 和S2的光在空
间再度会合时产生干涉的影响，它反映了光源在这两点产
生光场的空间相干特性。
当光源是点光源时，所考察的任意两点S1和S2的光场
都是空间相干的；当光源是扩展光源时，光场平面上具有
空间相干性的各点的范围与光源大小成反比。
对于一定的光波长和干涉装置，当光源宽度 b 较大，
且满足：b  R /d 或 b   / 时，通过 S1和 S2两点的光将
不发生干涉，因而这两点的光场没有空间相干性。

bC 

——光源的临界宽度
式中， = d / R 是干涉装置中的两小孔S1和S2对S的张角。
当光源宽度不超过临界宽度的1/4 时，计算可得此时的
可见度 V ≥ 0.9。此光源宽度称为许可宽度，表示为：
bC

bp 

4 4
V
1
0
通常可用 bp 确定干涉仪应用中的光源宽度容许值。
 /
b
此外，也可从另一个角度对光的空间相干性的范围进
行考察。对一定的光源宽度b，通常称光通过S1 和S2 恰好不
发生干涉时所对应的这两点的距离为横向相干宽度。用dt 表
示，则有：
dt 
R
b
用扩展光源对O点(S1S2连线的中点)的张角 来表示，则：

dt 

S1
S
S
S


R
O
S2
P
d
P0
如果扩展光源是方形的，则其相干面积为：

AC  d   
 
2
2
t
可以证明，对于圆形光源而言，其照明平面上横向相干
宽度为：
dt 
1.22

 1.22 
 0.61 
AC  π
  π

 2 
  
2
相干面积：
2
例如，直径为1 mm的圆形光源，若 = 0.6 m，在距
光源1m的地方，其横向相干宽度约为0.7mm。因此，干涉
装置中小孔S1 和S2 的距离，必须小于0.7mm才能产生干涉
条纹。而与此相应的相干面积AC ≈ 0.38mm2。
又如，从地面上看太阳是一个角直径=032=0.018rad
的非相干光源，若认为太阳是一个亮度均匀的圆盘面，且
只考虑=0.55 m的可见光，则太阳光直射地面时，它在地
面上的相干面积是直径约为0.08mm的圆面积。
用相干孔径角 C表征相干范围更直观。给定 b 和  ，
凡是在该孔径角以外的两点(如S1和S2)都是不相干的，在
孔径角以内的两点(如S1和S2)都具有一定程度的相干性。

b
S1
S1
 S1
C
 S2
R
空间相干性的反比公式：
 S
2
S2
b C  
2.5.2 光源非单色性对条纹可见度的影响
——
光源的非单色性(复色性)直接影响着条纹的可见度。
在干涉实验中， 范围内的每一种波长的光都生成各
自的一组干涉条纹，并且各组条纹除零干涉级外，相互间均
有位移。
其相对位移量随干涉光束之间光程差 的增大而增大，
所以干涉场总强度分布的条纹可见度随光程差的增大而下降，
最后降为零。
I
0

V
0
2/ 
光源非单色性对条纹的影响
(a) 强度曲线；(b) 条纹可见度曲线
为讨论光源非单色性对条纹可见度的影响，假设光源
 范围内各波长的强度相等，或k宽度内不同波数的光
谱分量强度相等。
I
I0
k0k/2 k0
k0+k/2
Δk范围内光谱分量的强度
k
则元波数宽度dk的光谱分量在干涉场产生的强度为：
dI = 2I0 dk(1+cosk)
I0表示光强度的光谱分布(谱密度) ，为常数；I0dk是在dk元
宽度的光强度。在k宽度内各光谱分量产生的总光强度为
I 
k 0  Δk / 2
k 0  Δk / 2
2 I 0 (1  cosk)dk


 
 sin  Δk 2 

 cos( k )
 2 I 0 Δk 1  
0



Δk


2
第一项常数表示干涉场平均光强度；第二项随光程差  的
大小变化，但变化的幅度越来越小。


sin  Δk 
2
条纹可见度 ：

V 

Δk
2
V
0
V 随  的变化曲线
2/ 
对一定的 ，V 随着 k 变化，k 增大，可见度 V 下降：
当 k = 0、光源为单色光源时，V = 1；
当 0 < k< 2/ 时，0 < V < 1；
当 k = 2 /  时，V = 0 。
说明：上面的讨论假设了在  (或k)内的光谱强度是等
强度分布的。实际上，光源并非等强度分布，但根据实际
光谱分布求得的可见度曲线与图示的曲线相差不大。故与
V = 0相应的最大光程差的数量级，仍可由下式决定。


sin  Δk 
2

V 

Δk
2
当
2π 2


Δk Δ
时， V = 0，完全不相干。
能够发生干涉的最大光程差叫相干长度，用  C 表示。
显然，光源的光谱宽度愈宽， 愈大，C愈小。
在实际应用中，除了利用相干长度考察复色性的影响
外，还经常采用相干时间  C来度量，定义为
C 
C
c
C 反映了同一光源在不同时刻发出光的干涉特性，凡是在
相干时间 C内不同时刻发出的光，均可以产生干涉，而在
大于 C 期间发出的光不能干涉。所以，这种光的相干性
叫光的时间相干性。
利用关系:
得:
即：

v


v
 1 1
C 

Δ  Δ
 C Δ  1
任意一个实际光源所发出的光波都是一段段有限波列
的组合，若这些波列的持续时间为 ，则相应的空间长度
为 L= c ，它们的初相位无关，因而不相干。
由同一波列分出的两个子波列，只要经过不同路径到
达某点能够相遇，就会产生干涉。
所以，实际上相干时间 C 就是波列的持续时间τ，相
干长度 C 就是波列的空间长度 L。
因此可以说，光源复色性对干涉的影响，实际上反映
了时域中不同二时刻光场的相关联程度，因而是光的时间
相干性问题。
2.5.3 干涉的定域性
1、点光源产生干涉的非定域性
2、扩展光源产生干涉的定域性
2.5.4 相干性的定量描述
1. 复相干函数和复相干度
如图，考虑扩展的非单色光源照明的杨氏干涉实验，如图。
E1(t)
S1
S
S2
E2(t) A
r1
P
r2
E
t 时刻P点的总光场为： EP (t )  E1 (t  t1 )  E2 (t  t2 )
相应的光强：
I P  EP (t ) EP* (t ) 
即：
I P  E1 (t  t1 ) E1* (t  t1 )    E2 (t  t2 ) E2* (t  t2 ) 
  E1 (t  t1 ) E2* (t  t2 )    E1* (t  t1 ) E2 (t  t2 ) 
设光场是平稳的，即统计性质与时间无关，取 t = t1，
=t1t2 。则
I P  E1 (0) E1* (0)    E2 ( ) E2* ( ) 
  E1 (0) E2* ( )    E1* (0) E2 ( ) 
I1  E1 (0) E1* (0) 
I 2  E2 ( ) E2* ( ) 
是S1、S2在P点的光强。
 E1 (0) E2* ( )    E1* (0) E2 ( )  2 Re 12 ( )
是
12 ( )  E1 (0) E2* ( )  的实部。称为互相干函数。
故：
I P  I1  I 2  2 Re 12 ( )
干涉项的存在，使P点的总强可以大于、小于或等于
I1+I2。
讨论：
当S1、S2重合时，互相干函数变为自相干函数：
11 ( )  E1 (0) E1* ( )  或 22 ( )  E2 (0) E2* ( ) 
当=0时：
11(0)  I1
22 (0)  I 2
归一化的互相干函数称为复相干度：
12 ( )
12 ( )
 12 ( ) 

11 (0)22 (0)
I1 I 2
复相干度一般是的周期函数，描述光场的相干性更方便：
当  12()=1时，表示光场完全相干；
当 0< 12()<1时，表示光场部分相干；
当 12()=0时，表示光场完全不相干。
P点的光强可用复相干度表示为：
I P  I1  I 2  2 I1I 2 Re  12 ( )
干涉条纹的可见度可表示为：
2 I1 I 2
V
 12 V   12 ( I1  I 2 )
I1  I 2
作
业
35，36，39