Transcript 第二章群

第二章
群论
§ 2.1- § 2.2
目的与要求:
◆理解半群与么半群的定义以及左,右
单位元,左,右逆元的性质.
◆掌握群的等价定义以及元素阶的性
质.
§2.1 半群与幺半群
定义2.1.1 设( M, )为一个带有二元运算 的集合.若运算
满足结合律,则称 M
关于 是一个半群，记为（ M
，）
或简称 M为一个半群 .
注: 1 半群即为带有一个可结合的二元代数运算的集合,具
体地记,半群即为一个集合,此集合中任意两个元素可
以进行某种运算,运算的结果满足封闭性和结合律.
.
2. 半群中的代数运算 称为乘法,并简记 a  b为
为 a与 b的积.
ab
，称
定义2.1.2 设Ｍ为一个半群,其运算记为乘法 n  N , a ,Mn个
a的连乘积称为 a的n次幂,记为
n
,即
a
a  a
a

a
n
n个
易证：
但，
a a a
m n
m n
, (a )  a , a  M , m, n  N.
m n
mn
(ab)  a b , a, b  M , m  N.
m
m m
定义2.1.3 设 S 为半群.
(1) 若存在 l  S , 使得对a  S 有 la  a 则称 l 为 S 的一
个左单位元.
(2) 若存在 r  S , 使得对a  S 有 ar  a 则称 r 为 S 的一
个右单位元.
(3) 若存在 e  S , 使得对a  S 有 ea  ae  a 则称 e 为 S
的一个单位元.
注:
单位元一定既为左单位元,又为右单位元.
左单位元是右单位元么？为什么？
定理2.1.1 (1) 若半群 S 有左单位元 l ,又有右单位元 r ,
则 l  r ,且为 S 的单位元;
(2) 若半群 S 中存在单位元,则单位元必唯一.
.
半群中未必有单位元，
若有单位元则称半群为幺半群
定义2.1.4 设( M ,· ) 为一个半群, 若中存在单位元 e ,则称
M 为一个幺半群,有时记为( M , · ,e ) .
注:
(1) 单子: 无结合律的幺半群.
(2) 集合 M 带有运算 ·
1.满足封闭性


,则 M为幺半群 2.满足结合律
3.有单位元

0
(3) ( M , · ,e ) 为幺半群, a  M 规定 a  e
定义2.1.5 设 M 为一个（幺）半群，N  M ，若N 关于M 中
的运算仍为（幺）半群，则称 N 为M 的子（幺）半群
注: 验证幺半群 M 的子集 N 否为子（幺）半群，只需验
证 1 N，封闭性
定义2.1.6 设 M为一个幺半群. e为 M 的单位元, a  M
'
'
a

M
a
（1）若存在
使得 a  e 则称 a 是左可逆的,
a '为 a的一个左逆元.
''
''
aa
 e 则称a 是右可逆的,
a

M
（2）若存在
使得
a'' 为 a的一个右逆元.
（3） 若存在 b  M 使得 ab  ba  e 则称 a 是可逆的,
b 为a 的一个逆元.记为 b  a 1
注: 若 a 可逆,且 b 为 a 的逆元,则 a 一定左,右可逆,且 b
为 a 的左,右逆元.
定理2.1. 2设 M 为一个幺半群 a  M
若 a 既有左逆元 a ' ,又有右逆元 a'' 则 a '  a '' 为 a 的
逆元.
若 a 可逆,则 a 的逆元唯一.
§2. 2
群
定义2.2.1 设 G为一个幺半群. 若
G 中每一元素均可逆,
则称G 为 一个群(group).运算满足交换律的群称为交
换群或Abel群.
注: (1) 对(幺)半群,也有Abel(幺)半群的概念,即群的
Abel性仅对运算而言的.
(2) Abel群 G的运算通常用“+”表示,并称 G为加群.
(3)
半群
非空集合，运算封
闭且满足结合律
单位元(幺元)
每一个元素均可逆
幺半群
运算满足交换律
交换
幺半群
群
运算满足交换律
交换群
每一个元素均可逆
定义2.2.2 若群G 所含的元素个数有限,则称 G 是有限群，
否则称 G为无限群. 一个有限群 G 所含的元素个数 |G | 称
为群G 的阶.
定理2. 2.1设G为一个半群.则下列陈述等价:
(1) G是群;
(2)G有左单位元 l ,而且 a  G 关于这个左单位元 l 都
是左可逆 ; i.e.a  G, b  G, s.t.ba  l 
(3) G
有右单位元 r,而且 a  G关于这个右单位元 r都
是右可逆 ; i.e.a  G, b  G, s.t.ab  r 
(4) a  G 方程 ax  b, ya  b 在 G
中都有解.
第一等价定义
:
(G1 ) : 乘法封闭;
(G2 ) : 乘法结合律;
(G3 ) : 定理2.2.1(4).
第二等价定义
:
(G1 ) : 乘法封闭; (G2 ) : 乘法结合律;
(G3 ) : 定理2.2.1(2).
第三等价定义
:
(G1 ) : 乘法封闭;
(G3 ) : 定理2.2.1(3).
(G2 ) : 乘法结合律;
定理2.2.3 群 G的运算满足左,右消去律,即
ax  ay  x  y
xb  yb  x  y
推论.2.2.4在一个群中,方程ax  b和ya  b 在G中均有唯一解
推论.2.2.5 设G为群,e  G ,则 e 是 G的单位元  e 2  e .
定理2.2.6 (有限群的第四等价定义):
设G
为一个有限半群,若 G
的运算适合左,右消去律,则 G
为群
注:
有限群 G
的第四等价定义
G1 乘法封闭性

G2 乘法结合律成立
G 左、右消去律
 3
“有限”的条件不能去掉. 如
令G  Z \ 0 运算定义为普通乘法,则 G, 为幺半群,且 G满足
左、右消去律,但不为群.
.
.
定义2.2.3
m
G
e
a
 e立的最
G
设 为群, 是 的单位元，使得
小正整数 m 称为元素 a 的阶,记作 oa   m 或 a  m.
若这样的 m不存在,则称
或 a  .
.
a 是无限阶的,记作 oa  
注: (1) 当 G为加群时,其运算记为加法,单位元为0,则
ma  0 的最小正整数 m 为 oa 
(2) oe  1
(3) 群的阶和元素的阶不是一回事.
元素的阶有如下常见性质：
 
(1) oa  o a 1
(1)

(2)

(2) 若 o(a)  m, 则 (3)

(4)


a n  e  m | n；
(1)

(2)
(3) 若 o(a)  , 则 
(3)
(4)

a n  e  n  0；
a h  a k  m | (h  k )；
e  a 0 , a 1 , a m 1两两不等；
m
.
r  Z , O a r 
m, r 
 
a h  a k  h  k；
 a 2 , a 1 ,0, a1 , a 2 ,两两不等；
 
r  Z \ 0, O a r  .
§ 2.3- § 2.4
目的与要求:
◆掌握群同态的概念以及性质 ．
◆掌握变换群的定义以及Cayley定理内容和证明.
§2.3 群的同态
本节主要讨论同态的概念在群论中的应用
一、群与代数结构之间的比较
G
定理2.3.1 设G 为群，为一个带有乘法运算的非空集合，
若存在 f : G  G 为满同态映射，则 G 也是一个群
证明：（I）：显然（因为代数运算有封闭性）
（II）：由定理1.6.1可知，G 中的运算满足结合律.
e
G 中有单位元 ，设 为 G 中的单位元，
下证
为
f (e) 中的单位元:
G
a  G 则 a  G,s.t. f (a)  a 则，
f (e) f (a)  f (ea)  f (a)  a
f (a) f (e)  f (ae)  f (a)  a
（Ⅳ） ：a  G 则 a  G ，s. t. f (a)  a .于是
f (a) f (a 1 )  f (aa1 )  f (e)
f (a 1 ) f (a)  f (a 1a)  f (e)
1
f
(
a
)为 f (a) 的逆元，即 f (a1)  ( f (a))1
从而
故G 为一个群
例 (定理中的 G与G 不能调换) 设 G  {2n  1 | n  }，乘法定
义为普通乘法，G为平凡群（i.e. G  {e},ee  e ）.
 : G  G; g  e, g  G .则  为一个同态满射，但 G不是
群，而 G 是群.
二、群与群的元素之间的比较
定义 2.3.1设G 与G都是群，f 是 G 到 G 的映射，若 f 保持
运算，即 f ( xy)  f ( x) f ( y)，x, y  G 则称 f 是 G到 G 的同态.
若 f 为单射，则称 f 为单同态.
若 f 为满射，则称 f 为满同态，并称 G 与G 同态，记
作G ∽ G.
若 f 为双射，则称 f 为满同构，并称G 与G 同构，记
作G  G.
定理2.3.2 设 f 是群G 到群 G的同态.
（1）若 e 是G 的单位元，则 f (e)是G 的单位元；
（2） a  G, f (a1 )  ( f (a))1 ；
（3）a  G, o(a)  , 且 o( f (a)) | o(a) .
证明：（1）设 e 为G的单位元，则
ef (e)  f (e)  f (ee)  f (e) f (e)
由消去律知，e  f (e) .
（2）a  G, f (a) f (a1)  f (aa1)  f (e)  e  f (a1)  ( f (a))1
（3）设 o(a)  m ，则
f (a)m  f (am )  f (e)  e  o( f (a))  
且 o( f (a)) | m
注:
f
1
1

e

f
(
e
),
a

f
(
a
)
G
G
若  ，则
，逆元、
单位元互相对应.
§2.4
变换群
本节给出一种具体的群，这种群中的
元素不是通常所记的数，也未必交换.
这种群是非常重要的，它对众多的群
的本质给出了一个模板.这就是变换群
预备知识：
1.设 A 是一个非空集合，A 的一个变换即为 A
到 A 的一个映 射，设变 换： : A  A; a   (a)

为了方便起见，将 (a) 记为 a .
注意：a（仅为一个符号）仅表示 a 在变换  下的像，
而不是a 的 次方.
A
A
A
 T ( A)  {A的所有变换} ，
2. 是一个非空集合,
E(A) {A的所有一一变换} E(A) AA .若在集合
A A 上定义运算为映射的合成，即  : a  a ,  : a  a
d
定义
 
  o : a  (a )  a   ( (a))
定理2.4.1 设 A 为一个非空集合，则
(1).A A 关于变换的乘法是一个幺半群;
(2).E ( A) 关于变换的乘法是群.
由Th.2.4.1知 A A 是一个幺半群，一般地 A A 不一
定构成群.那么 A A 的一个子集构成群的必要条件
是什么呢？
定理2.4.2 假定 G 的集合 A 的若干变换作成的集合
(i.e. G  AA ),并且 A  G ，若 G 关于映射的合
成作成一个群,那么 G 只包含 A 的一一变换 .
(i.e. G  E ( A))(设 A 为集合, G  AA 且 A  G ,
若G关于映射的合成构成一个群，则 G  E ( A) ).
定义2.4.1集合 A 的若干一一变换关于映射的合成所
规定的乘法构成的一个群成为 A 的一个变换群.
(即E ( A) 的子群称为 A 的变换群.)
注: 1o. E ( A) 就为 A 的一个变换群,有时也称为一一变换群
(即一个变换群即为 E ( A) 的一个子群.)
2o. 变换群一般情况下不是交换群.
3o. 一个集合 A 除 E ( A)外还有其他的变换群
定理2.4.3 (Cayley定理)
何一个群均同构于一个变换群.
证明：设G为一个群,x  G 令
xl : G  G; g  xg  xl ( g ),g  G.
则可易知 xl 为 G的一个变换
记为
G  {lx | x  G} GL
作:  : G  G; x  xl
则易知①  为满同态
②  为单射,若: xl (1)  yl (1)  x 1  y 1  x  y
③  为同态,  ( xy)  ( xy)l
g G,( xy)l ( g)  ( xy) g结合律x( yg)  xl ( yg)  xl yl ( g)
即有  ( xy)  ( xy)l  xl  yl   ( x) ( y).
故 为 G到 G之间的一个同构.由定理2.3.1知 G 为群.且 G
.  G
注: 1o. 从上述定理的证明中可以得知,该命题对于幺半群
也成立,即有:任何一个幺半群均同构与一个变换幺
半群. ( A A 的子幺半群称为 A 的一个变换幺半群)
 xl  E (G )

2o. 该命题亦可如下证明: G L  G为一个群
同构

即:不利用Th.2.3.1,可以直接证明 GL  G为一个群
GL 称为 G的左乘变换群或左正则表示群.
3o. 该命题亦可利用右乘变换来证明:
Gr  {ar | a  G} 其中 ar : G  G; g  ar ( g )  g  a
Gr称为 G的右乘变换群或右正则表示群.
§ 2.5- § 2.6
目的与要求:
◆掌握置换群的表示以及循环分解.
◆掌握循环群的定义及分类.
§2.5 置换群
下面主要讨论上一讲中变换群的有限情况
定义2.5.1 (1)一个包含 n 个元素的有限集合的一个一一
变换称为( n 次)置换.一般用  n 表示.
(2) 一个包含 n 个元素的有限集合的所有置换构
成的群称为n 次对称群 ( 体现对称性,全体对称变换构成
的群)用sn 表示.
(3)一个有限集合的若干个置换作成的一个群叫
做一个置换群.(i.e. sn 的一个子群).
定理 2.5.1 n 次对称群 sn 的阶是 n!
定理2.5.2 每一个有限群都与一个置换群同构.
由上面的定理可得,每个有限群都可以在置
换群里找到具体的例子
那么置换群中的元素形式是怎样的呢？
设 A  {1,2,, n}
•第一种表示符号
一个置换  : A  A; ai  aki , i  1,2,, n 于是  可以由
(1, k1 ), (1, k2 ),, (1, kn ) 来决定.于是将  表示为(略去
字母 a而只记下标)
1 2  n 

 : 
 k1 k2  kn 
 (ai )  aki
注: 该表示方法中,与第一行 n 个数字的次序无关,例如
2 1  n 

 : 
 k 2 k1  k n 
一般情况下,第一行都取 1,2,, n 的次序.
•置换的第二种表示方法(循环置换的记法)
假设在 n 次置换 下 ai1  ai2  ai3    aik  ai1,
 ( ai j )  a i j 1 ,1  j  k


其它的保持不动,i.e.  (aik )  a i1


 ( ai j )  a i j , k  j  n
则称 是一个 k  循环置换(或称 项循环置换).此时,记
  (i1 i2 ik )  (i2 i3 ik i1 )    (ik i1 ik 1 )
注: 1o. 1-循环置换即为恒等置换  A  1A
2o. 2-循环置换 (i1 i2 ) 也称为对换;
3o. 并非所以的置换均为循环置换 如
例 在 S 4 中   1 2 3
4
 不是一个循环置换:
2 1 4 3
事实上, 使得每一个元均发生变动， 若 为循环
置换,则一定为一个4-循环置换,但 使得
a1  a2  a1 ，易知:
1 2 3
  
2 1 3
4 1 2 3

4 1 2 4
4
  (1 2)3 4
3
定理2.5.3(置换的第二种表示分解定理)任何一个 n 次
置换 都可以表示成为若干个互不相连的(或称为
互不相交的,i.e.无公共数字)循环置换的乘积.
进一步:每个非单位元的置换都能表示为一些不相
交的 循环置换之积,且表示法惟一.
注:
1o. 在乘积中,恒等置换(1)通常不写.
2o.该定理的证明提供一种用循环置换表示置换的方法.
定理2.5.4当 n  2 ,任何一个 n 次置换都可以表成若干个
对换的乘积
定义2.5.2 若置换  可以表示成偶数(奇数)个对换的乘积,
则称  为偶(奇)置换.
定理2.5.5 (1) sn 中的全体偶置换构成一个群,成为 n 次交
代群(或 n 次交错群),记为 An
(2)
n!
An 
2
§2.6 循环群
定义2.6.1 设G是一个群.
a  G ,若b  G, 均存在n  Z，使得b  a n ,则称G由a
生成的循环群,a叫做群G的一个生成元，记G=< a >.
定理2.6.1设 G  a  为一个循环群,则 | G | (a)具体的说
若(a)  m, 则| G | m 且 G  {e  a0 , a1, a2 ,..., am1}
若 (a)  ,则 G 为无限群且 G  {...a2 , a1, a0 , a1, a2 ...}
定理2.6.2设 G  a  为一个循环群
若 (a)  m,则G 有 ( m) 个生成元: a ,(r, m)  1.
若(a)  , 则G 有两个生成元 a 和 a 1
r
定理2.6.3 设 G 为m 阶群，则G是循环群 G有m阶元.
定理2.6.4 设G  a  为一个循环群 .
（1）若 (a)  m, 则 G  (Z ,)
（2）若 (a)  ,则 G  ( Z m Z , )
k
证明：
（1）作 ： f : G  Z ; a  k , k  Z
下证f 为一个同构，
1o. f 为映射
事实A
(
(
ah  ak  h  k , h, k  Z
ah  ak
):由h=k 易知

):若 h  k , 不妨假定h > k , 于是由ah  ak可得

h k
k k
a a a a a 即
e
0
a hk  e
从而o(a) | h  k , 此于o( a) =矛盾. 故h  k
2o. f 为单射，由事实A即得知
3o. f 为满射，显然
h k
hk
h
k
o f
f
(
a
a
)

f
(
a
)

h

k

f
(
a
)

f
(
a
)
4 . 为同态
故有G≌Z
（2）作 ：f : G  Z
; a k  k  , k  Z
mZ
事实B ah  ak  m | h  k ,
( ): m | h  k  h  k  mn  h  k  mn
 ah  ak mn  ak amn  ak e  ak
h
k
hk
a

a

a
 e  m| hk
(  ):若
1o.
2o.
3o.
f 为映射
f 为单射
f 为满射，显然
因为h –k=qm+r,0<r<m
所以a hk  a r  e  r  0
4o. f 为同态 f (ahak )  f (ahk )  [h  k ]  [h]  [k ]  f (ah )  f (ak )
故 GZ
 存在性

注: 1o. 上述定理给出了循环群这种代数系统的  数量问题
 构造问题：

o
mZ
2 . 作循环群之间的同态，
一般是 生成元 生成元
两种
§ 2.7- § 2.8
目的与要求:
◆掌握子群的定义及判别，并会验证.
◆掌握子群的陪集的概念与计算,学会运用
Lagrange定理证明
§2.7 子群
定义2.7.1 设 H 是 G群的一个非空子集，若 H对于G 的
乘法构成群，则称 H 为 G 的子群（subgroup），
记作 H  G .
注: 若对于任意一个群G，都有两个子群：{ e }与G.
这两个子群称为G的平凡子群.若 {e}  H  G, 且H  G
则称H是G的非平凡子群.若 H  G 且 H  G ，则称
H是G的一个真子群,记作 H < G .
例
1o 2Z ,   Z ,   Q,   R,   C, 
2o Q*,   R*,   C*, 
3o (Um , ) <(C* , ).
4o (Q* , )是否为( R, )的子群.(Z
mZ
, )是否为(Z , )的子群.
命题2.7.1（传递性） 若 H  K , K  G, 则H  G.
命题2.7.2（遗传性） 若 H  K , a  H , 则eH  eG , aH1  aG1
其中 eH , eG 分别表示H G中的单位元, aH1 , aG1
分别表示 a在H 和G中的逆元.
证明： (1) H  G  eH  G, 且eH eH  eH  eH eG  eH  eG
(2)a  H  a  G, aaH1  eH  eG  aaG1  aH1  aG1
•判别准则
•一般地，要验证 H  G, 不须在通过定义中
的4条逐一验证H为一个群
定理2.7.3设G为群，  H  G 则下列各命题等价
(1) H  G;
(2)a, b  H , 都有ab  H , a 1  H ;
(3)a, b  H , 都有ab 1  H .
推论2.7.4 设H1  G, H2  G, 则H1  H2  G.
注: 两个子群的并未必是子群，
定理2.7.5 （有限子群的判别法则）设G为群，H是G的一
个非空有限子集，则 H  G  a, b  H , 都有ab  H .
证明： ()显然成立.
() H  G  在H中结合律和消去律都成立,
又由假设知,在 H 中满足封闭性，即 H 为一个
满足消去律的有限半群,从而 H 是子群. 即 H  G
•生成元
  S  G, 易知子集S未必是G的
•设G为一个群，
一个子群，但我们可以由S作出一个子群来.
定义2.7.2设S是群G的一个非空子集，G的所有包含S
的子群的交仍为G的一个子群，称为G的由S生成的
子群，记为< S >. i.e.  S  {H  G | S  H}.
H
注: 1o. < S >是G中包含S的唯一的最小的子群.
i.e. H '  G, S  H ' , 则  S  H ' .
2o.可以验证< S >的一个构造性意义为：
 S  {1, S1S2 ...Sr | Si或Si1  S}
3o. a  G 当 S  {a} 时，则  S  a  为G 的一个循
环子群 i.e.  a  {am | m  }.
40 G  G , 故任何一个群均有生成元集
由此可以导出群的另一种定义：生成元集+关系集
i.e. 任何一个群均为自由群的商群.
命题2.7.3 循环群的子群仍为循环群.
推论.2.7.1 无限循环群 G 的子群，除单位元子群外，都
是无限循环群，且 G的子群的个数是无限的
推论.2.7.2 m 阶循环子群G 的阶是 m 的因数. 反之，若
n m ，则恰有一个 n 阶子群，从而 G的子群个数
等于 m 的正因子个数
§2.8 子群的陪集
定量- - 拉格朗日定理和sylow定理
群论中的定理分为两类
定性- - 同态的研究
一 陪集分解
例1 在整数加群(Z,+)中，任意给定一个正整数m，就可以
定义一个等价关系.
a ~ b  m | a  b, a, b  Z .
Z
mZ
Z
(m)
 {[0],[1],[2]...[m 1]}.
换一个观点来看：
考虑子集 H  {hm | h  Z}  mZ , 构成Z的一个子群.
于是上述等价关系可以解释为
a  b(mod m)  a  b  H ,即ab1  H .
于是，等价类[k ]  k  H .
将上述思想推广到一般情形
设 H  G ,(H是群G的一个子群),在G中定义个关系 Rl ：
我们有
aRl b  b1a  H , a, b  G.
(1)(反身性)a  G, a1a  e  H ,aRl a.
1
1 1
1
(2)(对称性)a，b G, aRb

b
a

H

(
b
a
)

H

a
b  H  bRl a.
l
1
1
1
1
1
(3)(传递性)a，b，c G，若aRb
，b
R
c

b
a
,
c
b

H

(
c
b
)(
b
a
)

c
a  H  aRl c.
l
l
故 Rl 是一个等价关系.
由此等价关系可以确定群G的一个分类
定义2.8.1 设 H  G, 由上述等价关系 Rl 所决定的类称
为H的左陪集.包含元素 a 的左陪集记为 aH .
定理2.8.1 设 H  G, a  G, 则左陪集aH  {ah | h  H }, 且G 

aH
aG
命题2.8.2 b  aH  bH  aH  aH  bH    a1b  H  bH  aH .
例2 设 S3为3次对称群. S3  {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}.
易证 H  {(1),(12)}  S3，则
(1) H  H  {(1),(12)}  (12) H
(23) H  {(23),(123)}  (123) H
(13) H  {(13),(132)}  (132) H
于是子群H把整个 S3分成三个不同的左陪集，且他们的并正好为G
G  (1) H


(13) H
(23) H

aH ，——称为 关于子群H
一般地， H  G 都有 G  a
G
的左陪集分解.
1
R
aR
b

ab
 H , a, b  G
假如考虑下列等价关系 r r
则 Rr 也是一个等价关系，也决定了 G 的一个分类.
定义2.8.1′ 设 H  G由上述等价关系
,
R所决定的类称
r
Ha.
a
为H的右陪集.包含元素 的左陪集记为
定理2.8.1′设 H  G, a  G则 Ha  {ha | h  H }

注:
且 G   Ha
aG
左、右陪集未必相等，即未必有 Ha  aH
（若 G 是 Abel 群, 则显然 Ha  aH ）
但左、右陪集的个数一定相等.
定理2.8.3 设 H  G, 记 S r  {Ha | a  G}, Sl  {aH | a  G} ，
则在 S r 和 Sl 之间存在一一双射，进而 S r  S l
.
证明：令 f : S r  Sl ; Ha  a 1 H , a  G
则：(1) Ha, Hb  S r ,
Ha  Hb  ab1  H  (a 1 ) 1 b 1  H  a 1 H  b 1 H
故右陪集 Ha 的像与 a 的选择无关，
即 f 为一个映射.
(2) f 为满射：aH  Sl 则f ( Ha1 )  aH
(3) f 为单射：Ha, Hb  S r
f (Ha)  f (Hb)  a 1 H  b 1 H  (a 1 ) 1 b 1  H  ab1  H  Ha  Hb.
故 f 为 S r 到 Sl 的一个映射
定义2.8.2 设 H  G, 在G 中的左陪集（或右陪集）的
个数称为H 在G 中的指数.记作 [G : H ] .
二、（Lagrange）拉格朗日定理
引理2.8.4 设 H  G, a  G ，则在 H 和 aH 之间存在一个
一一映射.
证明：令  : aH  H ; ah  h, h  H .
① f 为映射：ah1  ah2  h1  h2
② f 为单射：h1  h2  ah1  ah2
③ f 为满射：h  H , f (ah)  h. 故 f 为一一映射
定理2.8.5（Lagrange定理）设 G 是有限群，H  G,
则 G  [G : H ] H .
证明：因为 G   ,故 [G : H ]   ,记 [G : H ]  k ，则



G  a1 H  a2 H  ak H
又由引理2.7.4可知 a : H  H , i  1,2,, k .
从而 G  k H  [G : H ] H .
注: 1. 由Lagrange定理可知，子群 H 的阶一定整除群
G 的阶；
2. Lagrange定理的逆命题不成立，即对于 G 的每一
个因子 m ，未必有子群 H  G, 使得 H  m ；
推论2.8.6 有限群 G 的任一元 a 的阶都是 G 的因数.
推论2.8.7 素数阶群为循环群
§ 2.9- § 2.10
目的与要求:
◆掌握不变子群的概念及判别,理解与商群的关系.
◆掌握同态基本定理的内容与证明，以及满同态与
子群的关系,了解群的四大同构定理.
§2.9 不变子群与商群
.
定义2.9.1 设N 是群 G 的子群，若对 a  G ，均有
aN  Na 则称 G 是群 N 的不变子群或正规子群,
记作 N  G .
一个不变子群 N 的一个左（或右）陪集统一叫做
N 的一个陪集.
例1 ① G  G
； ② {e}  G
① a  G ，aG  {ag g  G}  G  Ga  {ga g  G}
② a  G ，ae  ea  a
例2 交换群
G 的任何一个子群都是 G 的正规子群.
.
例3 设 G是群.记 C(G)  {a  G b  G, ba  ab} ，可以证明
C (G ) 为 G 的一个子群，称为群 G 的中心.
① e  C (G)  C (G)  
② a, b  C (G)  g  G, ag  ga

  (ab) g  a(bg)  a( gb)  (ag)b
1
1
1
1
bg  gb  g  b gb  gb  b g  b  C (G)
 ( ga)b  g (ab)  ab  C (G)
例4
G  S 3 ，则
① N G
N  {(1), (123), (132)} .G
② a  G ，aN  Na
注: 不变子群的定义中的“
aN  Na ”是指两个集合相等，
而不是指“ an  na, n  N ”.
•判别准则
G
定义2.9.2 设 S1 , S2 ,, Sm 为群 的
号
m
个子集合，用记
S1S 2 S m  {s1s2 sm | si  Si , i  1,, m称为集合
}
的乘积.
S1 , S 2 ,, S m
定理2.9.1 设 N 是 G 的子群，则T.F.A.E. :
(1) N  G ；
1
(2) ana  N , a  G, n  N ；
1
(3) aNa1  N , a  G ；(或 a Na  N , a  G )
(4) aNa1  N , a  G ；
(5) N 的每一个左陪集也是 N 的一个右陪集.
证明：(1)  (2)：
an  aN  Na  n  N , s.t.an  na  ana1  n  N
：
(2) (3): 显然
(3)  (4): 只须证 N  aNa1
n  N , a  G  a 1na  N  n  a(a 1na)a 1
.
故 aNa1  N
(4)  (1): a  G, aNa1  N  Na  (aNa1 )a  aNe  aN
(1) (5): 显然
(5)  (1): a  G, 则 b  G, s.t. aN  Nb
prop 2.9.2
a  aN  Nb
  a  Na  Nb  Na  Nb    Na  Nb
a  Na 
故 Na  aN 即 N  G
注: 由此判别定理可以导出许多关于不变子群的性质, 如
1. H  G, N  G  HN  G
M  N  G
2. M  G, N  G  
MN  G
3.正规子群不具有传递性，即 N1  N 2 , N 2  N3 推不出
N1  N 3
但有遗传性 N1  N 2  N3 , N1  N3  N1  N 2
，
4. H  G, NG (H )  {g  G | gN  Ng}
定理2.9.2 设 N  G, 令
G / N  {aN | a  G} ，规定：
(aN)  (bN)  (ab) N , aN, bN  G / N
则 (G / N , ) 是一个群，称为 G 关于 N 的商群.
注: 商群 G / N 中一定要求“
N  G ”.
（否则不知道是左陪集还是右陪集之集）
推论2.9.3
| G / N | [G : N ] ，特别地，当 | G |  时，有
| G / N || G | / | N |
例5 设 G  Z , N  mZ  G, km  N. 则 Z / mZ  {[0],,[m  1]}，
[Z : N ] | Z / mZ | m
§2.10 同态基本定理与同构定理
一、同态基本定理
定理2.10.1 一个群 G 与它的每一个商群 G / N 同态.
证明：令  : G  G / N ; a  aN, a  G
显然  是 G 到 G / N 的满射.
a, b  G  (ab)  (ab) N  (aN)(bN)   (a) (b)
故  是一个满同态.
注: 1 定理2.9.1中的 称为自然同态；

2 自然同态  一定是满同态.
定义2.10.2 设  : G  G  为一个群同态. e  为 G  的
单位元,集合 Ker  {a  G | (a)  e} 称为同态
映射 的核.
注: 1 未必要求 为满射，但本书中同态均为满同态；
2 一个同态是单同态
 Ker  {e}  G
推论2.10.4 设 是 G  G / N 的自然同态，则 Ker   N .
证明：由于
G / N 的单位元是 N ，则
Ker  {a  G |  (a)  N}  {a  G | aN  N}  {a  G | a  N}  N
.
.
定理2.9.3 （同态基本定理） 设  是群 G 到群 G  的
一个同态满射，则
(1) Ker  G ；
(2) G / Ker  G  .
证明：(1)由于 e  Ker  Ker   a, b  Ker , x  G,
 的单位元. 则：
则 (a)   (b)  e1 为 G
1
 (ab1 )   (a) (b 1 )
 (b ) (b ) (bb ) ( e)e

 (a) (b) 1  e  (e) 1  e  e  e
1
ab
 Ker  Ker  G
即
1
1
1
1
又由于 ( xax )  ( x)(a)( x )  ( x)e( x)  ( x)( x)  e
1
即 xax  Ker  Ker  G
(2)令  : G / Ker  G; aKer   (a),a  G
 为一个同构映射：
.下证
.
(ⅰ)  为映射：
aKer  bKer  b 1a  Ker   (b 1a)  e   (b) 1 (a)  e   (a)   (b).
(ⅱ)  为满射：a  G, a  G, 使得  (a)  a   (aKer )   (a)  a
(ⅲ)  为单射：aKer , bKer  G / Ker，则
 (aKer)   (bKer)  (a)(b)  (b 1a)  e  b 1a  Ker  aKer  bKer
(ⅳ)  为一个同态：
aKer , bKer  G / Ker，则
 (aKer  bKer )   (abKer )   (ab)   (a) (b)   (aKer ) (bKer )

综上所述，G / Ker  G 
注: 一般地，设
Im  G 
 : G  G 为一个群同态，则 
G / Ker  Im
；
定义2.10.2 设 : A  A 为集合之间的一个满射.
(1) 设 S  A ，记 (S )  {(a) | a  S}  A 称为子集 S
在  之下的像；
1
(2)设 S   A ，记  (S )  {a  A | (a)  S } 称为子集 S 
在  之下的逆像（或后像）.
注: 一个不能多且一个不能少！
定理2.10.4 设  : G  G 是一个群之间的同态满射，
(ⅰ)
(ⅱ)
(ⅲ)
(ⅳ)
H  G, 则  ( H )  G
N  G, 则  ( N )  G
H  G , 则  1 ( H )  G
N  G , 则  1 ( N )  G
；
.
二 同构定理
f
第一同构定理 设 f : G  G为群同态，则 G / Kerf  f (G)  Im f
第二同构定理（方块定理）
H  G, K  G  HK  G, H  K  H 且有 HK / H  K / H  K
第三同构定理（分式定理）
设 K  H  G, K  G ，则① H  G  H  G （H  H / K , G  G / K ）
② GK
G H
H K
第四同构定理（对应定理）
设 f : G  G 为群的满同态，则
11
{H  G | Kerf  H}
{G 的子群} K  f ( K )  K Kerf
且正规子群对应与正规子群.