Transcript 8-二维流动

第八章
理想流体的有旋流动
和无旋流动

内容：
 外力→流体 →运动规律
 关系：流体运动参数 ↔ 受力

结论：
 流体运动分析
 运动速度描述
 连续性方程、运动方程、能量方程
 速度势函数、流函数、流网
 简单平面有势流动、有势流动叠加
 库塔-如可夫斯基公式
§8.1 微分形式的连续性方程
§8.2 流体微团运动分析
§8.3 理想流体运动微分方程 定解条件
§8.4 理想流体运动微分方程的积分
§8.5 涡线 涡管 涡束 涡通量
§8.6 速度环量 斯托克斯定理
§8.7 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理
§8.8 二维涡流
§8.9 速度势 流函数 流网
§8.10 简单的平面势流
§8.11 简单平面势流的叠加
§8.12 均匀等速流绕过圆柱体的平面流动
§8.13 均匀等速流绕过圆柱体的有环流平面流动
§8.14 叶栅的库塔-儒可夫斯基公式
§8.2 流体微团运动的分析
一.
二.
模型
分析
平移: u, v , w
线变形
变形
角变形
旋转
流体微团运动与刚体运动的区别？
四种运动同时出现吗？
三.
速度描述
u
u
u
u
u
u
u
u
平移
角
边
线变形
角变形
旋转
三. 速度描述

线变形速度

角变形速度、剪切变形速率

旋转角速度

亥姆霍兹速度分解定理

例
线变形速度


定义
单位时间内，单位长度流体线段的变化量。
描述
x / x AB
 xx 
dt
v
 yy 
y
w
 zz 
z
u
dx  dt / dx
u

x


dt
x
线变形速度
 xx

u
v
w

;  yy  ;  zz 
x
y
z
含义
沿速度方向的速度变化。
 u v w
 xx   yy   zz 
 
＝体积膨胀率
 x  y z
角变形速度、剪切变形速率

定义
 角变形速度
＝单位时间内，正交流体边的夹角变化量。

剪切变形速率＝角变形速度/2
v x , v y , v z
角变形速度、剪切变形速率

描述
AB→AB’：
v
y  (v B  v A )  dt 
dx  dt
x
v
dx  dt
y
v

x
d  tg(d ) 


 dt
x AB
dx
x
角变形速度、剪切变形速率
AD→AD’ ：
u
x  ( uD  u A )  dt 
dy  dt
y
u
dy  dt
x
u
y
d  tg(d ) 


 dt
y AD
dy
y
角变形速度、剪切变形速率
v z   xy   yx
v x   yz
v y   xz
1 (d  d ) 1 u dv

 (  )
2
dt
2 y dx
1 v w
  zy  ( 
)
2 z y
1 u w
  zx  ( 
)
2 z x
u
v
d 
 dt d   dt
y
x
角变形速度、剪切变形速率
v z   xy   yx

含义
1 u dv
 (  )
2 y dx
（1）速度梯度的综合体现。
（2）粘性切应力的综合体现。
速度梯度等于0，则流体没有角变形？
没有角变形，则流体速度梯度等于0？
旋转角速度

定义
单位时间内，正交流体边的夹角平分线
角度变化量。
旋转角速度

描述
1 (d  d ) 1 dv u
z 
 (  )
2
dt
2 dx y
1 w dv
x  (  )
2 y dz
1 v du
y  (  )
2 x dy
  x  y z
u
v
d 
 dt d   dt
y
x
旋转角速度
1 dv u
z  (  )
2 dx y
 含义
速度梯度的综合体现。
（1）有旋流动，角变形同时出现？
（2）有旋流动＝圆周运动？
有旋流动：
流体微团绕通过自身的转轴旋转。与流体
微团本身的运动轨迹无关。
亥姆霍兹速度分解定理

目的
在速度描述中体现流体微团运动形式。
图
亥姆霍兹速度分解定理
u
1 u v
1 w u
uH  u 
dx  (  )dy  (
 )dz
x
2 y x
2 x z
1 v u
1 u w
 (

)dy  (

)dz
2 x y
2 z x
 u   xx dx   xy dy   xz dz   y dz   z dy
平
移
线变
形运
动
角变形运动
旋转运动
亥姆霍兹速度分解定理
uH  u   xx dx   xy dy   xz dz   y dz   z dy
v
v
v
vH  v 
dx  dy  dz
x
y
z
 v   yy dy   yx dx   yz dz   z dy   x dz
w
w
w
wH  w 
dx 
dy 
dz
x
y
z
 w   zz dz   zx dx   zy dy   x dy   y dx
例


流场：
判断：ux   ky , u y  kx , uz  0
 流体运动是否存在线变形？
 流体运动是否存在角变形？
 流动是否有旋？
习题7-
§8.5 涡线 涡管 涡束 涡通量
有旋流场：
流场的全部或局部区域中连续地充满着
绕自身轴线旋转的流体微团。
一．判断

无旋：   0

有旋：   0
二． 描述

涡线 涡管 涡束 涡通量

涡线
涡线是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲
线上每一点的切线与位于该点的流体微团的
角速度的方向相重合，所以涡线也就是沿曲
线各流体微团的瞬时转动轴线。
• 方程
涡线 VS 流线

涡管 涡束
涡管：在给定瞬时，在涡量场中
任取一不是涡线的封闭曲线，通
过封闭曲线上每一点作涡线，这
些涡线形成一个管状表面。
涡束：涡管中充满着作旋转运动
的流体。
涡管 VS 流管
涡束VS 流束

涡通量
旋转角速度的值ω与垂直于角速度方向的
微元涡管横截面积dA的乘积的两倍，也称涡
管强度。
dJ  2dA
• 有限截面涡管的涡通量
J  2 n dA
A
涡通量 VS 流量
涡通量

涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。
实际观察发现，在有旋流动中流体环
绕某一核心旋转，涡通量越大，旋转速
度越快，旋转范围越扩大。
可以推测，涡通量与环绕核心的流体
中的速度分布有密切关系。
借助速度计算流体微团的角速度和涡通量。
§8.6 速度环量 斯托克斯定理
速度环量:
速度在某一封闭周线切线上的分量沿该
封闭周线的线积分。
   v  d s   ( udx  vdy  wdz )
规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针
方向，即封闭周线所包围的面积总在前进方
向的左侧；被包围面积的法线的正方向应与
绕行的正方向形成右手螺旋系统。
斯托克斯（G. G. Stokes）定理
流场内，封闭周线内有涡束时，则沿
封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所
有涡束的涡通量之和。
Γ k  J  2   n dA
A
适用：
微元涡束、有限单连通区域、空间曲面
多连通域如何算涡通量？
斯托克斯（G. G. Stokes）定理

多连通域→单连通区域
K 1  K 2  2   n dA
A
通过多连通区域的涡通量等于沿这个区
域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速
度环量总和之差。
§8.7 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理

汤姆孙（W. Thomson）定理:
正压性的理想流体在有势的质量力作用下，
沿任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环
量不随时间而变化。

对于理想不可压缩流体和可压缩正压流
体，在有势质量力作用下速度环量和旋涡都
不能自行产生、也不能自行消灭。

流场中原来有漩涡和速度环量的，永远
有漩涡和保持原有的环量；原来没有漩涡和
速度环量的，就永远没有漩涡和环量．

亥姆霍兹旋涡定理（旋涡的基本性质）

亥姆霍兹第一定理

亥姆霍兹第二定理

亥姆霍兹第三定理

亥姆霍兹第一定理
在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。
• 证明
涡管不能在流体中终止。
• 涡管的存在
•自成封闭的管圈
•起于边界、终于边界
• 亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）
正压性的理想流体在有势的质量力作用下，
涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。
• 亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）
在有势的质量力作用下，正压性的理想
流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永
远保持定值。
§8.1 微分形式的连续性方程
一.
模型：控制体
二.
原理: 质量守恒
三.
方程
四.
例
一. 模型：控制体
C
 dxB

x 2
u dx
u
x 2
y
z
G
F
dy
D
u
dx
A
x
dz
E
H
 dx

x 2
u dx
u
x 2
方程

推导
  ( u)  ( v )  ( w )



0
t
x
y
z

结论：

适用：所有
• 特例：





定常：  ( u)   ( v )   ( w )  0
x
y
z
u v w

0
不可压： 
x y z
u v
二维：

0
x y
u
一维：
 0?
x
udA  C ? V A  C ?
说明：非直角坐标参见有关书籍
推导

X向：进－出
图
 dx
u dx
m x  (  
)( u 
)dydzdt
x 2
x 2
 dx
u dx
 ( 
)( u 
)dydzdt
x 2
x 2
 ( u)

dxdydzdt
x



Y向：进－出 m    ( v ) dxdydzdt
y
y
Z向：进－出
图
 ( w )
m z  
dxdydzdt
z
总质量变化
m  m x  m x  m x

 ( 
dt )dxdydz  dxdydz
t


dtdxdydz
t
结论
  ( u)  ( v )  ( w )



0
t
x
y
z
例


流场： u x   ky , u y  kx , uz  0
判断：
 流动连续与否？
习题7-
§8.3 理想流体运动微分方程 定解条件
一.
原理: 牛顿第二定律
二.
模型：流体微团
三.
方程:
应力形式：
ma  F
d v v
f  p 

 (  v )v

dt t
1
兰姆运动微分方程：

v2
f  p  v  ( )  2(  v )

t
2
1
四.
v2

 (    PF )  v  2(  v )
2
t
含义
五.
定解条件
模型：流体微团
dz
p dx
p
x 2
fy
p
fz
dy
y
dx
o
z
x
dv
dt
fx
p dx
p
x 2
应力形式方程
 推导
图
 结论：
v x
v x
v x
1 p dv x v x
fx 


 vx
 vy
 vz
 x dt
t
x
y
z
v y
v y
v y
1 p dv y v y
fy 


 vx
 vy
 vz
 y dt
t
x
y
z
v z
v z
v z
1 p dv z v z
fz 


 vx
 vy
 vz
 z dt
t
x
y
z
d v v
f  p 

 (  v )v

dt t
1
推导

X向：
图
p dx
p dx
fxdxdydz  ( p 
)dydz  ( p 
)dydz
x 2
x 2
dvx
 dxdydz
dt
则：
v x
v x
v x
1 p dv x v x
fx 


 vx
 vy
 vz
 x dt
t
x
y
z
§8.4 理想流体运动微分方程的积分

积分前提条件：
有势质量力，正压流体，定常
v2
 (    PF )  2(  v )
2

欧拉积分: 定常无旋流动

伯努利积分:定常流动

伯努利方程
• 兰姆（H．Lamb）运动微分方程
v x
v x
v x
1 p v x
fx 

 vx
 vy
 vz
 x t
x
y
z
v y
v z
v x
v x
v x v y
v x  v z

 (v x
 vy
 vz
)  vy(

)  vz (

)
t
x
x
x
y
x
z
x
v x  v 2

 ( )  2( y v z   z v y )
t x 2
1 p  v y  v 2
fy 

 ( )  2( z v x   x v z )
  y t  y 2
1 p  v z  v 2
fz 

 ( )  2( x v y   y v x )
 z t z 2

v2
f  p  v  ( )  2(  v )

t
2
1
特例：有势质量力，正压流体

特例
1. 作用在流体上的质量力有势。
2. 流体不可压缩或为正压流体。

简化兰姆运动微分方程
v2

 (    PF )  v  2(  v )
2
t
正压流体
如果流体的密度仅与压强有关，即ρ=ρ(p) ，
则这种流场称为正压性的，流体称为正压流体。这
时存在着一个压强函数pF(x,y,z,t)
dp
pF  
 ( p)

常见的正压流体
• 常见的正压流体
1）等温（T＝T1）流动中的可压缩流体;
2）绝热流动中的可压缩流体;
3）对于不可压缩流体，
p
pF 

• 简化兰姆运动微分方程
 PF v x  v 2
1 p
 ( )  2( y v z   z v y )



fx 
t x 2
x x
 x
v x
 v2
 2( y v z   z v y )
  (    PF ) 
t
x 2
v2

 (    PF )  v  2(  v )
2
t
含义
d v v
f  p 

 (  v )v

dt t
1

在流场的某点，单位质量流体的当地加速度
与迁移加速度之和等于作用在它上面的重力
和压力之和。

质点上的动量方程。

牛顿第二运动定律的流体质点表达式。

欧拉积分：无旋定常流

简化兰姆运动微分方程
• 欧拉积分式
• 含义
x   y  z  0
• 欧拉积分式含义
对于非粘性的不可压缩流体和可压缩
的正压流体，在有势的质量力作用下作定
常无旋流动时，流场中任一点的单位质量
流体质量力的位势能、压强势能、和动能
的总和保持不变，而这三种机械能可以互
相转换。

伯努利积分：有旋定常流
• 沿某条流线求积分：
• 流线方程：dx  vx dt
dy  vy dt
2
v
• 伯努利积分：   p   const
F
2
• 含义
dz  vz dt
• 伯努利积分式的含义
对于非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压
流体，在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，
沿同一流线上各点单位质量流体质量力的位势能、
压强势能和动能的总和保持常数值，而这三种机
械能可以互相转换。
2
v
  pF   const
2

伯努利方程
质量力仅仅是重力：   gz
不可压缩流体：  const
pF 
p

2
p v
z

 const
g 2 g
说明：无旋流整个流场适用；有旋流沿流线适用。
初始条件 边界条件
•初始条件
是指在起始瞬时t＝0时，所给定的流场
中每一点的流动参数。
定常流动不需要给定初始条件。
•边界条件

是指任一瞬时运动流体所占空间的边
界上必须满足的条件。
运动学条件：边界上速度
动力学条件：边界上的力（压强）
运动学条件

例如：固体壁面
流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁
面而形成空隙，即流体与壁面在法线方向
的相对分速度应等于零。即：
vn  0

若固壁是静止的

在两种不同流体交界面上 v1n  v2n
动力学条件
外界流体或壁面作用在流体上的压
强Pamb与位于交界面或壁面上该处流体质
点的压强P的绝对值必然相等。
pamb  p
§8.8 二维涡流

模型
涡束无限长，与涡束轴垂直的所有平面
上的流动情况都一样。

结构

应用
龙卷风，旋风燃烧器，离心风机等。

结构
r  r0
有旋
涡核区
半径  压强，
抽吸作用。
旋涡强度 
抽吸作用。
环流区
r  r0
无旋、环流
涡核区与环流区压强降相等。
涡核区半径小，径向压强梯度大。
涡核区 有旋
r  r0
速度：
v r  0

  v / r  v  r
涡核区 有旋
r  r0
压强：p  1  2 ( x 2  y 2 )  C  1  2 r 2  C  1 v2  C
2
2
2
边界：r  r , p  p , v  v  r
0
0
0
0
涡核内：p  p  1 v 2  v 2


0
2
1
 p   2 r 2   2 r02
2
vr  0, v  r
涡核中心：p  p  v 2  p   2r 2
c

0

0
压降：
1 2 1
p0  pc  v0   2 r02  p  p0
2
2
环流区 无旋
r  r0
速度：
v r  0



 I    2rv  v  2r
环流区 无旋
r  r0
p v2
p v2
压强：z  
 z 

g 2 g
g 2 g
v 2
v2
 p  p 
 p 
2
2
2


1  2
 p   (
)  p  2
2 2r
8
边界：r  r0 , p  p0 , v  v0  r0

 p  p0  p 
 p 
2 2
2
8 r0
2


1 2
1
压降： p  p0  v0  2 2
2
8 r0
v
2
0
2

v r  0, v 
2r
§8.9 速度势 流函数 流网

速度势函数

流函数

流网

速度势函数φ
1. 存在条件：无旋流动。
2. 内容：φ(x,y,z,t)
•例
3. 推导
4. 性质
5. 说明

速度势函数φ推导
无旋流动：
 0
v x dx  v y dy  vz dz  d
有势力场： F  F x  F y  F z
存在力的势函数： d  Fx dx  Fy dy  Fz dz



其中： Fx   ; Fy   ; Fz   ;
x
y
z
 ( x, y, z, t ) :速度势函数 — 速度势

性质
1.速度势的梯度为
速度。

s
 vs
速度沿任意方向的分量等于速度势对于
相应方向的偏导数。
2.物理意义 AB   V  d S＝  x dx   y dy   z dz   d＝ B   A
A
B
3.不可压缩流体的有势流动中，φ满足拉普拉斯
方程，是调和函数。
2
2
2






2
   2  2  2 0
x
y
z

证明

证明
v y v z

v
x
连续方程:


0
x
y
z
  
2




 0
2
2
2
x
y
z
2
2
2
2
2
2



2
  2 2 2
x y z
拉普拉斯方程
拉普拉斯算子
说明
1. 对于柱面坐标

2. 无旋流动＝有势流动
3. 求解不可压缩流体无旋流动问题，归纳为根据
起始条件和边界条件求解拉普拉斯方程问题。

例
试证明:不可压缩流体平面流动。
v x  2 xy  x, v y  x  y  y
2
2
满足连续方程，是一个有势流动，并求出速度势。
解:(1)
v x v y

 2y 1 2y 1  0
x
y
所以：满足连续方程。
(2)
v x

v
y
 2x

2
x
y
x
所以：流动为有势流动。
v x v y

y
x
(3)
v x  2 xy  x, v y  x 2  y 2  y


d 
dx 
dy  v x dx  v y dy
x
y
 (2 xy  x)dx  ( x  y  y)dy
2
2
求F： dF  Xdx  Ydy
法1
x
y
x0
y0
F ( x, y )   X ( x, y0 )dx   Y ( x, y )dy
x
y
x0
y0
F ( x, y )   X ( x, y )dx   Y ( x0 , y )dy
法2
F ( x , y )   Xdx  f ( y )  F '   f ' ( y )
 F ( x, y)
d  (2 xy  x)dx  ( x 2  y 2  y)dy
F ( x , y )   X ( x , y0 )dx   Y ( x , y )dy
x
y
x0
x
y0
   (2 x  0  x )dx   ( x 2  y 2  y )dy
y
0
0
3
2
x2
y
y

 x2 y 

2
3
2
F ( x , y )   X ( x , y )dx   Y ( x0 , y )dy
x
y
x0
y0
   (2 xy  x )dx   (02  y 2  y )dy
x
0
y
0
2
3
2
x
y
y
 x2 y 


2
3
2
d  (2 xy  x)dx  ( x 2  y 2  y)dy
F ( x, y )   Xdx  f ( y )  F '   f ' ( y )  F ( x, y )
设  ( x, y )   v x dx  f ( y )
2
x
2
 x y
 f ( y)
2
对y求偏导:   x 2  f ( y )  x 2  y 2  y
y
3
y
y
f ( y)  

3
2
f ( y)   y  y
2
2
3
2
x
y
y
 ( x, y)  x y 


2
3
2
2
2
流函数
1. 存在条件：不可压缩流体的平面流动。

2. 内容：(x,y,z,t)
•例
3. 推导
4. 性质
5. 说明
流函数推导
（1）不可缩流体平面流动的连续方程

v y
v x v y
v x

0

x y
x
y
（2）数学： d   dx   dy  Adx  Bdy
x
y
 A B


y x
（3）平面流动的流线微分方程:
 ( x , y, z , t ) :平面流动流函数 — 流函数

性质
1. 连续性方程：
2. 在流线上ψ ＝0或ψ ＝常数。在每条流线上函
数ψ都有它自己的常数值。
3. 不可压缩流体的平面流动中， ψ 满足拉普拉斯
方程，是调和函数。
2
2
v y v x




2
   2  2  0 （

）
x
y
x
y
4. 物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通
过的体积流量等于两条流线上的流函数之差。
说明
对于不可压缩流体的平面流动，用极
坐标表示的连续方程、流函数的微分和速
度分量分别为：

例
试证明:不可压缩流体平面流动

v x  2 xy  x, v y  x  y  y
2
2
满足连续方程，并求流函数。
解:(1)
v x v y

 2y 1 2y 1  0
x
y
所以：满足连续方程。
v x  2 xy  x, v y  x 2  y 2  y
(2)


d 
dx 
dy  v y dx  v x dy
x
y
 ( x 2  y 2  y)dx  (2 xy  x)dy
F ( x , y )   X ( x , y0 )dx   Y ( x , y )dy
x
y
x0
y0
   ( y  y  x )dx   (2  0  y  0)dy
x
2
y
2
0
0
3
x
 y x  yx 
3
2

流网
平面上等势线簇和流线簇构成的正交网络。
§8.10 简单的平面势流
一、平行流
二、点源和点汇
三、点涡（势涡）
一、平行流
  u0 x  v0 y
2
p v
z

C
g 2 g

u  v x0
v  v y0
二、点源和点汇
• 点源：
在无限平面上流体从一点沿径向直线均
匀地向各方流出。
这个点称为源点。
点汇：
若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点。
这个点称为汇点。



qV

速度：2rv r * 1   qV  vr  
2r


v  0
其 中 ，qV 源 （ 汇 ） 流 强 度
：
：
( r  0)

p：
2
2

p v
p v
z

 z 

g 2 g
g 2 g
v
 qV 2
 p  p 
 p  (
)
2
2 2r
qV2 1
 p  2 2
8 r
2
r
三、点涡（势涡）
速度：v  0
r



I    2rv  v 

2r

： d  v dr  v rd   rd
r

：
2r

 1 y
 

tg
＝C
2
2
x
p：
2

2
p v
p v

 z 

z
g 2 g
g 2 g
2


v
1
  2
)  p 
 p  (
 p  p 
2
2
8 r
2 2r
2g
2
2


1
1 2
p  p0  v0 
8 2 r02
2
§8.11 简单平面势流的叠加

叠加原理
＝  i

＝  i


V＝ Vi
叠加举例
－、偶极子流=点源+点汇
二、螺旋流＝点涡＋点汇

－、偶极子流=点源+点汇
：
P（x，y）
：
A（-a，0） B（a，0）
偶极流(偶极子)
 2a↓，qv ↑；且保持2aqv=M为一有限常数。
偶极矩
r1  r2  r
P（x，y）
A（-a，0） B（a，0）
令  C
1
令
  C2
二、螺旋流＝点涡＋点汇
：  1 (  qV lnr )  等势线：r  C1e
2


qV
q
－ V
1
：  － ( lnr  qV  )  流 线 ：r  C 2e 
2
qV


v r  r   2r
速度：
v
 v  1   
  r  2r
 2  qV2
2r
p1 v12
p2 v 22
z1 

 z2 

g 2 g
g 2 g
p：
2
2

(


q
1
2
2
V) 1
 p1  p2  (v 2  v1 )  p2 
( 2  2)
2
2
8
r2 r1

v 2
 ( 2  qV2 ) 1
p  p 
 p 
2
8 2
r2
§8.12 均匀等速流绕过圆柱体的平面流动
绕圆柱无环量流动＝均匀直线流＋偶极子流
  v x
M
x

2
2
2 x  y
  v y
M
y
 
2 x 2  y 2
圆柱半径r0：
令  0
x轴
圆，半径：
速度 M  2v r 2
 0
r02
  v (1  2 )r cos
r
2
r0
  v (1  2 )r sin 
r
vr
v
柱面r =r0：速度
  0 ,180 : v  0


  90 : v max  2v

驻点
柱面r =r0：压强

定义：压力系数
p  p
cp 
 1  4 sin 2 
1 2
v
2
  0,180 : 前后驻点 cp＝1 最大
  90 : cp＝－3 最小
vr  0, v  2v sin 
达朗伯疑题
p  p
平行流无环流绕流圆柱体时，圆柱体受力和为0。
cp 
 1  4 sin 2 
1 2
v
2
§8.13 均匀等速流绕过圆柱体的有环流平面流动
FD  Fx  0
FL  Fy  v 库塔—儒可夫斯基升力公式
绕圆柱有环量流动＝绕圆柱无环量流动＋纯环流
§8.14 叶栅的库塔-儒可夫斯基公式
一.
叶栅
二.
平面叶栅作用力
一. 叶栅
1.
组成：
由叶型相同的叶片在某一旋转面上以
相等的间距排列而成。
2.
分类 d：叶栅的平均直径 (叶片半高处的直径)
（1）平面叶栅：d / h  10 ~ 15
（2）环列叶栅： d / h  10 ~ 15
栅距
进气角
出气角
高
度
额
线
叶型
二. 平面叶栅作用力
1.
2.
3.
控制体ABCDA
约定
。AB和CD远离叶栅。线段上流体速度和压强各自均等。
。两条流线在叶栅通道中的位置相同，它们的压强分布
完全相同，故流线AD与CB以外的流体作用在它们以内的
流体上的压强合力恰好大小相等，指向相反。
。控制体内流体作用在单位高度叶片上的力为：
F  Fx Fy
作用力：
。计算：
叶栅的库塔－儒可夫斯基公式
。效果：
升力系数、阻力系数
叶栅的库塔－儒可夫斯基公式

Fx  ( p1  p2 ) L 
2
(v 2 y  v1 y )(v 2 y  v1 y ) L  v y 
F y   v x 
 F  Fx2  F y2  v 
v  (v  v ) / 2  v  v
1x
2x
1x
2x
 x
v y  (v1 y  v 2 y ) / 2 几何平均速度

v  (v 1  v 2 ) / 2
不可压缩理想流体绕过叶栅作定常无旋流动时，
流体作用在叶栅每个叶片单位高度上的合力大小等于
流体密度、几何平均速度和绕叶型的速度环量三者的
乘积。合力的方向为几何平均速度矢量沿反速度环量
的方向旋转90°。
升力系数、阻力系数
FD
FL
cD 
cL 
1 2
1 2
v  A
v  A
2
2