Transcript 第7讲

伯努利方程
• 它表示的是动水压强、流速和水头之间的近似关
系
• 它适用于净摩擦力可以忽略的不可压缩、理想液
体
• 与惯性力、重力和压力相比，粘滞力可以忽略
• 适用于流体的无粘滞性区（即临界层以外的流体
区域）
• 恒定流（在指定区域内，不随时间变化而变化）
恒定流
• 参数的数值可能在空间上有所变化。在加登软管
喷嘴实验中，流速在特定区域保持恒定，但从入
口到出口的整个过程中，流速发生了变化（水流
在喷嘴处加速）
流体微元的加速度
• 在某条流线中，取长度为“S”
的一段微元
• 微元的流速V=dS/dt，沿流线
方向可能变化
• 在二维流场中，加速度被分
解为两部分：沿流线方向的
加速度as和沿法线方向的加速
度an
2
an 
V
R
• 沿直线流线移动的微元,an=0
an 
V
2
R
实际液体元流的加速度
• 微元的速度V(s,t)是t
和s的函数
• 全微分形式为
dV 
dV
或者
• 在恒定流中，
V
as 
dV
dt
s

dt
t
• ;加速度
V

ds 
 V ds
 s dt
V
t

dt
V
t
 0; and V  V ( s )
 V ds
 s dt

V
s
V V
dV
ds
伯努利方程的推导过程（1）
将关于线性动力的牛顿第二定律守恒应用于流体领域
PdA  ( P  dP ) dA  W sin   mV
m   V   dA ds
质量
流体的重力
dV
ds
W  m g   gdA
sin  = d z/d s
代入，联立得
- dpdA -  gdA ds
dz
  dA dsV
ds
将dA消去，简化为
注意到 VdV 
1
2
2
ds
 dp   gdz   VdV ,
dp
d (V ) ，同除以得
dV


1
2
d (V )  gdz  0
2
伯努利方程的推导过程（2）
• 积分
• 对于恒定流

•
dp


V
2
 gz  cons tan t
2
沿同一流线
对于恒定不可压缩流体
p


V
2
2
 gz  cons tan t
沿同一流线
伯努利方程
• 伯努利方程描述了在恒定流中沿同一流线的流体
微元的动能、位能、压能之和是常数
• 两点之间
p1
或

p1

p



V1
2
2

V1
 z1 
p2
2
2g
压强水头
 gz1 
p2
V


2
2g


V2
2
2

V2
 gz 2
2
2g
 z2
流速水头 z  位置水头
例1
图 E3.4 (p. 105)
从注射器喷出的水流
例2
水从水压为400KPa的水管中流出。如果将水管竖起
来，喷出来的水最高可以喷到多少米？
例3
水从一个大容器里放出。确定出口处的流速
伯努利方程的局限性
• 不能用于计算流动在某一瞬时、开始时刻或停止时刻的
状态或者变化。
• 在细长管道、流动线路有分叉、径流分离状况中，摩擦
力不能忽略。
• 管道中没有阀门