Transcript 多面体1

多面体
制作人:香山中学 梁洁萍
简单多面体
棱柱与凌锥
1多面体
由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体,自然界许多
物体都成多面体形状如图(1-1)
图1-1
2.棱柱与它的性质
我们常见的一些物体,例如三棱镜,方转以及螺杆的头部等,都成棱柱的形状.
如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每想邻两个面的交线互相平行,这
样的多面体叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余
的各个面叫做棱柱的侧面;两侧面公共边叫做棱柱的侧棱;两底面所在的
平面的公垂线段叫做棱柱的高(公垂线段的长度也简称高).
3.平行六面体与长方体
底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体.侧棱与底面垂直的平
行六面体叫做直平行六面体.(图1-7(2)),底面是矩形的直六面体叫
做长方体(图1-7(3)),棱长都相等的长方体叫做正方体(图1-7(4).
（1）
（2）
（3）
（4）
图1-7
定理:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平行
定义
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做
多面体的棱,棱和棱的公共点叫做多面体的顶点,连接不在同一面
上的两个顶点的线段叫做多面体的体积.
把一个多面体的任一个伸展成平面,如果其余的面都位于这个平
面的同一侧,这样的多面体叫做凸多面体(图1-1左下图).但图980右下图中的多面体则不是凸多面体.一个多面体至少有四个面,
多面体按它的面数分别叫做四面体,五面体,六面体等.
例1。已知正三棱柱ABC-A’B‘C’的各邻长是1（图1-6）M是底面上BC边的中
点，N是侧棱CC‘上的点，且CN=1/4CC’，求证：AB‘垂直MN。
证明：设
A‘
B’
则由已知条件和正三棱柱的性质
C’
A
AB  a, AC  b, AA'  c
a  b  c  1, a * a  1, a * c  b * c  0
1
1
AB '  a  c, AM  (a  c), AN  b  C
2
4
MN  AN  AM  
B
1
1
1
a b c
2
2
4
1
1
1
1 1
1
C AB ' * MN  (a  c)(  a  b  c)    cos 60   0
2
2
4
2 2
4
 AB'  MN
已知:平行六面体ABCD-A’B’C’D’(图1-8).求证:对角线AC’,BD’,CA’,DB’相交与
一点O,且在O点处互相平分.
1
( AB  AD  AA)
2
设P,M,N分别是BD’,CA’,DB’的中点,同样可证
证明:设点O是AC’的中点,则
D’
C’
A’
B’
D
C
1
AP  ( AB  AD  AA')
12
AM  ( AB  AD  AA)
2 1
AN 
A
B
AO 
2
( AB  AD  AA)
由此可知O,P,M,N四点重合
定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长平方和.
D’
A’
A
D
2
2
2
2
已知长方体AC’中,AC’是一条对角线(图1-9),求证: AC '  AB  AD  AA '
C’
证明:  AC '  AB  AD  AA'
B’ C
 AC '  ( AB  AD  AA') 2
1
B
 AB  AD
, AB  AA', AA'  AD
2
2
2
 AC '  AB  AD  AA'
AN 
2
( AB  AD  AA')
所以即证知得
棱椎与其性
质
思
如果一个多面体的一个面是多面形，其余各面是一个
公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥。棱锥的底
面可以是三角形，四边形，五边形------我们把这样的凌锥
别叫做三凌锥（图1-9（1）），四凌锥（图1-9（2）），
五凌锥（图1-9（3））-------
考
定理：如果凌锥被平行于底面的平面所截，那么所
得的截面与底面相似，截面面积与底面的面积的比
图1-9(1)
等于顶点到截面的距离与凌锥的高的平方比.
(2)
已知：如图1-10，在棱锥S-AC中，SH是高，截面
A‘B’C‘D‘E’平行于底面并与SH交于H‘。
S
A’ E’
C’
A B’ E
H’
C
B
求证:截面A’B’C’D’E’∽底面ABCDE,且
D’
D
S A'B 'C 'D 'E '
SH '2

S ABCDE
SH 2
证明：因为截面平行与底面，所以A‘B’//AB，B‘C’//BC，
C‘D’//CD，-----因而A' B' C'  ABC, B' C' D'  BCD,  
S
又因为过SA，SH的平面与截面和底面
分别相交于AH‘和AH。
E’
A’
E
所以A’H‘//AH，得
D’
B’
C’
D
A
H
C
B
A' B ' SA' SH '


AB
SA
SH
B ' C ' SH '
同理

BC
SH
AB '
B' C '
SH '


AB
BC
SH
SA'B 'C 'D'E ' A' B'2 SH '2



2
SABCDE
AB
SH 2
如果一个凌锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影
是底面的中心，这样的凌锥叫做正凌锥。
正棱锥有下面的一些性质:
(1)正凌锥各侧棱相等,各侧棱都相等的等腰三角形,各等腰三角
形底边上的高相等(它叫做正凌锥的斜高)(图1-11).
S
S
A’
B’
E
A
O
C’
C
D
A
B
C
B
例2.已知正三凌锥S-ABC的高SO=l,求经过SO的中点O’平行与底面的截面
的面积（图1-12）。
2
2
解：连接OM，OA，在直角 SOM , OM  l  h
A' B' C'
AB  2 AM  2OM * tan 60  2 3 * l 2  h2
3
3
h '2 1
2
2
2 sA ' B 'C '
SA B C
AB 
*4*3( l h ),
 
4
4
SA B C h 2 4
 sA'B 'C ' 
3 3 2
(l  h 2 )
4
5直棱柱和正凌锥的的直观图的画法：
画法:（1）画轴，画x’轴，y’轴，z’轴，记坐标原点为O‘点，使
x' o' y'  45(135), x' o' z'  90
(2)画底面，按轴，轴画正六边形的直观图ABCDE。
（3）画侧棱，过A、B、C、D、E、F各点分别作轴的平行线，并且
在这些平行线上截取AA’、BB‘、CC’、DD‘、EE’、FF‘，使它们都等
于棱长。
（4）成图，顺次连接A’、B‘、C’、D‘、E’、F‘，并加以整理（去辅助
线，将别遮挡的部分改为虚线），就得到正六棱柱的直观图。
E’
Y’
F’
D’
B’
A’
C’
A’
B’
Z’
E
D
O
B
C
X’
D’
C’
F
F
A
E’
F’
E
D
A
B
C
例3.划一个底面边长为5cm,高为11.5cm的正五棱锥的
直观图比例尺是1/5.
画法:(1)画轴,x‘轴,y’轴,z’记坐标原点为o’,使 xoy   45 xoz   90
（图1-14(1))
（2）画底面，按x’轴，y’轴，画五正无边形的直观图ABCDE，按比例尺取
边长等于5÷5=1(cm)，并且使正无边形的中心对应于o’点。
（3）画高线，在z’轴上取=11.5÷5=2.3(cm)
(4)成图.连接SA,SB,SC,SD,DE,并加以整理,就得到所画的正无棱锥的正棱
锥的直观图(图1-14(2)).
Z’
S
Y’
D
D
C
E
O’
A
B
图1-14(1)
X’
C
E
A
(2)
B
正多面体
每一个面都是相同边数的正多面形,每一个顶点都为端点,都有相
同棱数的凸多面体,叫做正多面体.
正多面体只有四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体
5种(图1-15),它们的展开图分别为:
练
习
1求证：直棱柱的侧棱与高相等，经过不相邻的两侧棱的截面都是矩形。
2已知以正方体的一个顶点为端点的
三棱长a、b、c，求它的对角线
(2)a=7,,b=11,c=4
（1）a=3,b=4,c=5
3画一个底面边长是3cm，高为4.5cm的正三凌锥的直观图（不写
画法）
4已知直棱柱ABC-A‘B’C‘中， ABC  90, CB  1, CA  3 , AA'  6
M是CC’的中点，求证：BA' 
AM
B‘
D’
C‘
M
A
D
C
谢谢观看