研究生考试概率统计辅导(1)
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Transcript 研究生考试概率统计辅导(1)
生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是
概率的问题
-------拉普拉斯
我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢，力战
的未必得胜,智慧的未必得粮食，明哲的未必得资财，
灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，是在乎当时的机会.
概率论与数理统计
数理学院应用 数学系
汪忠志
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概率统计
第一章 随机事件和概率
第二章 随机变量及其分布
第三章 随机变量的数字特征
第四章 大数定律和中心极限定理
第五章 数理统计初步
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概率统计
第一章
随机事件和概率
一、 主要内容及要求
二、 重要公式与结论
三、 典型例题分析与解答
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一、主要内容及要求
第一章
随机事件和概率
1）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、
交、并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定
律.会用事件的关系表示随机事件.
A B , A B A B , A B AB,
A B A AB AB , A B ,
A B ;A B .
A A , A A
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第一章
随机事件和概率
2) 掌握概率的定义及性质，会求常用的古典
概型中的 概率；
(1) 若A1 , A2 ,是两两互不相容事件, 则
P ( A1 A2 ) P ( A1) P ( A2 )
( 2) A B P ( B A) P ( B ) P ( A)
(3) P ( A ) 1 P ( A)
(4) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB)
(5) P ( B A) P ( B ) P ( AB)
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第一章
随机事件和概率
3)熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全
概公式，事件的独立性及性质求概率。
P AB
(1) P A B
;
P B
( 2) P AB P AP B A;
( 3) P B P Ak P B Ak ;
n
k 1
P( A )P(B | A )
P( A B)
k
k
k
( 4) P ( A | B )
,
k
n
P( B)
P( A )P( B | A )
j
j
j 1
(5) P AB P A P B.
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第一章
随机事件和概率
二、重要公式与结论
1. A AB AB 或 B AB A B
P ( A) P ( AB ) P ( AB )
P ( A B ) P ( AB ) P ( A) P ( AB ).
2. A与B相互独立
P ( AB ) P ( A) P ( B )
P ( B | A) P ( B )
P ( B | A) P ( B | A ).
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第一章
随机事件和概率
3.A与B, A 与B, A与B , A 与B 中有一组相互独
立, 则其余三组也相互独立.
一般地,若 ( A1 , A2 ,, Am )与( B1 , B2 ,, Bn )相互
独立, 则
f ( A1 , A2 ,, Am )与g( B1 , B2 ,, Bn )
也相互独立.
其中f,g表示加、减、乘、取对立事件运算.
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第一章
随机事件和概率
三、典型例题分析与解答
例1 设A、B是两个随机事件,
P ( A) 0.4, P ( AB ) 0.2, P ( B | A) P ( B | A ) 1.
则 P( A B )
分析: P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
由 P ( B | A) P ( B | A ) 1
P ( B | A) 1 P ( B | A ) P ( B | A )
P ( AB ) P ( A) P ( B )
A与B相互独立
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第一章
P ( AB ) 0.2
P( B)
0.5.
P ( A) 0.4
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
随机事件和概率
P ( A) [1 P ( B )] P ( A) P ( B )
0.4 (1 0.5) 0.4 (1 0.5) 0.7.
例2 设A、B的概率均大于零,且
P ( A B ) P ( A) P ( B ),
则
(1) A与B互不相容;
(2) A与B互相对立;
(3) A与B相互独立;
(4) A与B互不独立.
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第一章
随机事件和概率
分析: 由 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
P ( A B ) P ( A) P ( B )
A、B互不相容 AB .
P ( AB ) 0
设 X ~ N (0,1), A " x 0" , B " x 0" , 则
P ( AB ) P ( x 0) 0, 但AB " x 0" .
由P ( AB ) 0 P ( A) P ( B ) 选(4).
例3 设A、B、C为三个随机事件,其中P(B)>0,
0<P(C)<1.且B、C相互独立.证明:
P ( A | B ) P ( A | BC ) P (C ) P ( A | BC ) P (C ).
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第一章
随机事件和概率
P ( AB )
P( A | B)
分析:
P( B)
P ( A | BC ) P (C ) P ( A | BC ) P (C )
P ( AB )
P ( A | BC ) P ( B ) P (C ) P ( A | BC ) P ( B ) P (C )
P ( A | BC ) P ( BC ) P ( A | BC ) P ( BC )
P ( ABC ) P ( ABC )
P ( ABC ABC ).
证: 由 AB AB C AB C
P ( AB ) P ( ABC ) P ( ABC )
P ( A | BC ) P ( BC ) P ( A | BC ) P ( BC )
P ( A | BC ) P ( B ) P (C ) P ( A | BC ) P ( B ) P (C ) 结论.
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第一章
例4 设X与Y相互独立,其中
1
X ~ B( 3, ), Y ~ N (1,4),
4
则概率 P{max( X ,Y ) 1}
随机事件和概率
分析: 设A " X 1", B "Y 1", 则
P{max( X ,Y ) 1} 1 P{max( X ,Y ) 1}
1 P{ X 1,Y 1} 1 P ( A B )
1 [1 P ( A B )] P ( A B )
P ( A) P ( B ) P ( AB )
P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ).
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第一章
随机事件和概率
而P ( A) P ( X 1) 1 P ( X 1) 1 P ( X 0)
1 3
27 37
1
1 (1 ) 1 , P ( B ) P (Y 1) ,
4
64 64
2
故P{max( X ,Y ) 1} P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
37 1 37 1 101
1
.
64 2 64 2 128
注:1 P {max( X ,Y ) z0 } P { X z0 ,Y z0 };
2 P {min( X ,Y ) z0 } P { X z0 ,Y z0 }.
3 P {max( X ,Y ) z0 } P { X z0或Y z0 };
4 P {min( X ,Y ) z0 } P { X z0或Y z0 }.
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第一章
随机事件和概率
例5 有100个零件,其中90个一等品,10个二等
品,随机取2个安装在一台设备上,若2个零件中有i
(i=0,1,2)个二等品,则该设备的使用寿命服从参数
为=i+1的指数分布,试求:
(1) 设备使用寿命超过1的概率;
(2) 若已知该设备的使用寿命超过1,则安装
在该设备上的2个零件均为一等品的概率是多少?
i=0,1,2
解:设Bi=“任取两个零件中有i个二等
品”,
A=“设备的使用寿命超过1”,
X=“设备的使用寿命”,
则X的密度函数为:
e x , x 0,
f ( x)
i 1, i 0,1,2.
x 0.
0,
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第一章
随机事件和概率
2
C
C C
C10
而P ( B0 )
, P ( B1 )
, P ( B2 ) 2 .
2
C
C100
C100
x
1
又P ( A | B0 ) P ( X 1 | B0 ) e dx e ;
2
90
2
100
1
90
1
10
1
P ( A | B1 ) P ( X 1 | B1 ) 2e 2 x dx e 2 ;
1
P ( A | B2 ) P ( X 1 | B2 ) 3e 3 x dx e 3 .
1
(1) 由全概率公式知:
2
P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi ) 0.32.
i 0
(2) 由贝叶斯公式知:
P ( AB0 ) P ( B0 ) P ( A | B0 )
P ( B0 | A)
0.93.
P ( A)
P ( A)
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第一章
随机事件和概率
例6 从[0,1]中随机地取两个数,求其积不小于
3/16, 其和不大于1的概率.
解法一:设所取的两个数为x,y,则样本空间为:
0 x 1
(1)
0 y 1
0 x 1
0 y 1
有利场合为:
3 ( 2)
xy 16
x y 1
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第一章
随机事件和概率
如图:(1)对应区域为正方形 G ,面积为 L(G ) =1;
3
xy
(2)对应区域为阴影部分 G A ,由
16 ,可得
x y 1
1 3
3 1
M
N
两交点 ( , )和 ( , ).阴影部分G A 的面积为:
4 4
4 4
L(G A ) =
3
4
1
4
x2
3
3
ln x )
[(1 x )
]dx =( x
2 16
16 x
3
4
1
4
=
1 3
ln 3 .
4 16
L(G A ) 1 3
P
(
A
)
ln 3 ≈0.044.
∴ 所求的概率为:
=
=
L(G ) 4 16
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第一章
随机事件和概率
解法二 设从[0,1]中随机地取出的两个数为 和
, 则由 、 取值的等可能性知:( , )服从区域
{( x , y )|0≤ x ≤1,0≤ y ≤1} 上 的 均 匀 分 布 , 即
( , )～U {[0,1]×[0,1]}.所以二维随机变量
( , )的密度函数为:
1, 0 x , y 1;
p( x , y ) =
.
其它.
0,
3
故所求的概率为: P ( , 1) =
16
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第一章
xy
3
16
随机事件和概率
1 3
p( x , y )dxdy = 1dxdy = L(G A ) = ln 3
4 16
G
且 x y 1
A
≈0.044.
其中 G A ={( x , y )| xy
3
, x y 1 }, L(G A ) 表
16
示 G A 的面积.
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例7 袋中有a 只白球，b 只红球，
（1）从袋中不放回地取球 k 次, 每次一只，求
第 k 次取得的是白球的概率（ k a b）
（2）从袋中不放回地将球一个个取出，直到剩
下的球的颜色都相同为止，求剩下的球都
是白球的概率
解 (1) 记事件 A 为第k 次取得白球
E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，
重复 k 次
a
k
k 1
.
则 n Pa b n A a Pa b 1 P( A)
ab
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解二 E1: 球编号，任取一球，记下颜色，放在
一边， 将球全部取出进行排列
1: n (a b)! n A a (a b 1)!
1
a
P( A)
.
ab
上面两个解法都用排列计算, 下面用组合计算
解三 E2: 球不编号将a + b 个球有次序地排
成一排， 观察 a 个白球的排列位置，每种排
法都是等可能的
a
a 1
a
P( A)
.
2: n 2 Ca b n A Cab1
ab
结论：无放回地取球, P ( A ) 与 k 无关
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解四 把 a + b 个球编号，前a 个为白球, 后b 个
为红球. 样本空间为 1 , 2 ,, ab
i
表示第 k 次摸出第 i 号球. 易见每个球都可
能在第 k 次被摸到, 且被摸到的可能性相同. 我
们要求的是事件 A 1 , 2 ,, a 的概率
a
P( A)
.
ab
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注 取样本空间为第 k
次摸出的球的全部可能的
结果 , 这是本解法的关键.
形象地说 , 不从 摸球人 的角度看问题 ,而
从球的角度看问题 ,看哪一个球在第 k 次被摸到.
这里的样本空间 是最小的了, 它仅含 a
+ b 个样本点 .若再减少一个样本点 ,就不能保
证等可能性了.
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(2) 设所求的事件为 B , 此事件相当于“ 将球全
部取出, 最后 取得白球 ” 这一事件，故
a
P( B) P( A)
.
ab
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EXERCIES
1.设A, B, C为随机事件，
0 P(C ) 1, 如果P( A C ) P( B C ),
P( A C ) P( B C ), 求证 : P( A) P( B).
2.设A, B, C为随机事件，P(C ) 0, 求证 : A C与B独立的
充要条件是A与B独立。
3.已知甲袋中有2个黑球，
3个白球，乙袋中有1个黑球，
4个白球，
丙袋中有3个黑球，
2个白球，先从甲、乙两袋中各取一球方入
丙袋，求：（1）丙袋中白球数X的数学期望；（2）从丙袋中
17
17
人取一球是白球的概率。
(1) ; (2) .
5
35
4.设A, B为随机事件，且P( B) 0, P( A B) 1.则必有
( A).P( A B) P( A);
( B).P( A B) P( B);
(C ).P( A B) P( A);
( D).P( A B) P( B);
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C
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5.设A, B为随机事件，且P( A) p, P( AB) P( A B ).则P( B) ?
6.设A, B为随机事件，且P( A) P( B) 0.9, P( AB) 0.2,.则
P( A B) P( AB ) ?
7.设A, B为随机事件，且0 P( B) 1, AB AB ,.则
P( A B) P( A B ) ?
8.一批处理品，其中10%为正品。现用某种设备对其进行检验
。如果是非正品，检验结果为正品的概率是0.3。现从这批产品
中随机取一件，检验结果为正品，试求它确实为正品的概率
如果对取出的同一产品进行n次独立重复检验，各次检验的结
果均为正品，问n至少取多少，才能有90%以上的把握断言该
产品确实为正品（ln 0.3 1.2, ln 0.12 14.42).
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9. Suppose a jar has n chips numbered 1,2, , n. A person draws a
chip , returns it , draws another, returns it , and so on until he gets
a chip which has been drawn before and then stops. Let X be the
number of drawings requird to acomplish this objective. Find the
probabilit y distributi on of X .
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概率统计
第二章
随机变量及其分布
一、 主要内容及要求
二、 重要公式与结论
三、 典型例题分析与解答
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第二章
随机变量及其分布
一、主要内容及要求
1)掌握随机变量分布函数的定义:
F ( x ) P{ X x }
2)会求离散型随机变量的分布函数;会求离散
型随机变量的分布率.
1
X -1
pk
1
4
2
3
1
2
1
4
1
2
-1 0
1
2
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1
4
3
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x
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第二章
随机变量及其分布
3)掌握连续型随机变量概率密度的性质:会确
定密度函数中的未知参数;掌握分布函数与概率密
度的关系,会运用概率密度求连续型随机变量取值
落在实轴某一区间上的概率.
(1) F ( x )
x
(2)
f ( t )dt;
f ( x )dx 1;
x2
(3) P{ x1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x1 ) f ( x )dx;
x1
(4) F ( x ) f ( x ).
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第二章
随机变量及其分布
4)掌握二项分布的概率背景,即会把实际问题
中服从二项分布的随机变量构设出来,运用有关公
式求概率.
若 X 表示n重贝努里试验中成功出现的次数,
则 X ~ B ( n , p ).
PX k C p 1 p
k
n
n k
k
k 0， 1， ， n
5)掌握泊松分布:
PX k
k
k!
e
k 0， 1， 2，
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第二章
6)掌握均匀分布:
1
f x b a
0
随机变量及其分布
X ~ U [a , b]
a xb
其它
7)掌握指数分布:
e x
f x
0
x0
x0
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第二章
随机变量及其分布
8)掌握正态分布及其性质,理解一般正态分布
函数与标准正态分布函数的关系,会查表求概率,
正态变量的线性变换仍然是正态变量.
X ~ N ( , )
2
1
f ( x)
e
2
( x )2
2 2
, xR
X ~ N 0， 1 :
x
1
2
e
x2
2
x
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第二章
随机变量及其分布
1
1
若X ~ N (0,1), 则 (0)
, (0) ,
2
2
(a) 1 a , P(| X | a) 2(a) 1.
x
FX ( x ) P{ X x} (
)
P{a X b} (
b-
若X ~ N ( , ),
) (
a
).
2
有Y aX b ~ N a b, (a ) 2 .
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第二章
随机变量及其分布
9)掌握二维离散型随机变量分布率的定义;会
求二维离散型随机变量的分布率;
10)掌握二维连续型随机变量概率密度的性质,
会运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在
平面某一区域上的概率.
P{( X , Y ) G } f ( x , y )dxdy.
G
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第二章
随机变量及其分布
11)掌握二维均匀分布的定义及性质. A
1
x， y D y
f x， y A
G
0 x， y D
P{( X , Y ) G }
G
B
f ( x , y )dxdy .
A
B
D
x
12)会求边缘分布率和边缘概率密度.
f X x
f x， y dy
fY y
f x， y dx
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第二章
Y
X
x1
y1
y2
…
yj
p11
p12
p1 j
x2
p21
p22
…
…
xi
pi1
pi 2
p j
p1
p2
p2 j
随机变量及其分布
…
…
…
p2
…
pi
…
pij
…
p j
pi
p1
…
13)掌握随机变量独立性的充分必要条件:
pij pi p j
f x， y f X x fY y
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第二章
随机变量及其分布
14)掌握正态分布的性质:
如果随机变量 X 1， X 2， ， X n 相互独立，
Xi
~ N ，
i
2
i
n
令： Z a i X i，
i 1
n
n
2 2
则 Z ~ N a i i， a i i
i 1
i 1
15)会求二维离散型随机变量和连续型随机变量
的极值分布。
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二、重要公式与结论
第二章
随机变量及其分布
1.设X ~ N ( , 2 ), 则
f ( x)
1
e
2
P{a X b} P(
( x )2
2 2
a-
, xR
x-
b-
b-
a
(
) (
).
)
1
特别地, P ( X ) P ( X ) .
2
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第二章
随机变量及其分布
2.设X 1 , X 2 ,, X n相互独立, 且X i ~ N ( i , i2 ),
则
n
n
n
i 1
i 1
i 1
2 2
k
X
~
N
(
k
,
k
i i
i i i i ).
注:若X1,X2不相互独立,则k1X1+k2X2不一定服
从正态分布.
1
, a x b,
3.( X ,Y ) ~ f ( x , y ) (b a )( d c )
0,
其它.
X与Y相互独立,且分别服从[a,b]与[c,d]上的均匀
分布.
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第二章
随机变量及其分布
4.若( X ,Y ) ~ N ( 1 , 2 , 12 , 22 , ), 则
1 X ~ N ( 1 , ),Y ~ N ( 2 , ), 且 XY ;
2
1
2
2
2 X与Y相互独立 XY 0;
3 (ax by ) ~
N (a1 b 2 , a 2 12 b 2 22 2ab 1 2 );
4 X关于Y y或Y关于X x的条件分布也
是正态分布.
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第二章
随机变量及其分布
三、典型例题分析与解答
例1 设X为随机变量,若矩阵
2
2 3
A 0 2 X
0 1
0
的特征值全为实数的概率为0.5,则
(1) X服从[0,3]上的均匀分布;
1
( 2) X ~ B( 2, );
2
(3) X服从参数为1的指数分布;
(4) X~N(1,2).
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分析: E A
第二章
2
3
2
0
2
X
0
1
随机变量及其分布
( 2)( 2 2 X ),
1
由题设, P (4 4 X 0) P ( X 1),故应选(4).
2
例2 设X、Y相互独立, 且均服从正态分布
1
N ( , 2 ) ( 0), 若概率P (aX bY ) , 则
1
1
1 2
(1)a b ;
( 2)a , b ;
2
2
2
1
1
1
( 3)a , b ; (4)a b .
2
2
2
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第二章
随机变量及其分布
分析: (aX bY ) ~ N (( a b) , (a 2 b 2 ) 2 ),
1
由题设, P (aX bY ) (a b) ,
2
即a-b=1,故应选(2).
例3 设 X ~ N ( , 2 ), 分布函数为F(x), 则对
任意实数x,有:
(1)F ( x ) F ( x );
( 2)F ( x ) F ( x );
( 3)F ( x ) F ( x ) 1; (4)F ( x ) F ( x ) 1.
分析: P ( X x ) P ( X x ) f (X )
F ( x) 1 F ( x)
选(4).
O x x X
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第二章
随机变量及其分布
注: 若(X,Y)服从密度为f(x,y)的分布,则
P{ ( X ,Y ) z }
f ( x , y )dxdy.
( x , y ) z
例4 设X、Y为相互独立同分布的连续型随机
1
变量,证明: P{ X Y } .
2
证: 设X的分布函数为F(x), 概率密度为f(x).
由题设,可设Y的分布函数为F(y),概率密度为f(y),则
(X,Y)的联合概率密度为: f(x,y)=f(x)f(y). 故
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第二章
P( X Y )
随机变量及其分布
f ( x , y )dxdy dx
x
x y
f ( x ) [F ( y )
x
f ( x ) f ( y )dy
yx
y
]dx
o
f ( x )[1 F ( x )]dx
x
[1 F ( x )dF ( x )
1
1 1
2
[1 F ( x )]
0 ( ) .
2
2 2
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第二章
随机变量及其分布
例5 设X、Y相互独立,其中
X 1 2
1 2
p
3 3
而Y服从参数为1的指数分布,则P{X-Y>0}=
分析: P{ X Y 0} f ( x , y )dxdy ?
x y 0
解: P{ X Y 0}
P{ X Y 0, X 1} P{ X Y 0, X 2}
P{ X 1,Y 1} P{ X 2,Y 2}
P ( X 1) P (Y 1) P ( X 2) P (Y 2)
1 1 y
2 2 y
1 1
e dy e dy 1 (e 2e 2 ).
3 0
3 0
3
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第二章
随机变量及其分布
注:Z g( X ,Y ), ( X ,Y )服从密度为f ( x , y )的分布,
分布函数F ( z ) P{ Z z } P{ g( X ,Y ) z }.
先求出Z=g(X,Y)的值域[c,d],则
(1) 当z c时, 有F ( z ) 0;
( 2) 当z d时, 有F ( z ) 1;
( 3) 当c z d时, 有F ( z )
f ( x , y )dxdy.
g ( x , y ) z
dF ( z )
密度函数f ( z )
.
dz
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第二章
随机变量及其分布
例6 设(X,Y)在区域 D {( x , y ) | 0 x 2,0 y 2}
上服从均匀分布,求Z=(X+Y)2的概率密度.
分析: Z=(X+Y)2的值域为:[0,16]. y
(将(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)代入确定). 2
D x y z
解: (X,Y)的联合概率密度为:
o x y z 2 x
1
, ( x , y ) D,
f ( x, y ) 4
0,
其它.
记F ( z ) P ( Z z ) P (( X Y )2 z ), 有 :
(1) 若z 0, 则F ( z ) 0;
( 2) 若z 16, 则F ( z ) 1;
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第二章
( 3) 若0 z 4, 则F ( z )
随机变量及其分布
f ( x, y )dxdy
( x y )2 z
0 x y
1
1
1 1
z
2
dxdy
dxdy ( z ) ;
4
4 0 x y z
4 2
8
z
(4) 若4 z 16, 则F ( z )
0 x y
1
dxdy
4
z
1 2 1
1
2
[2 (4 z ) ] 1 (4 z )2 ].
4
2
8
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第二章
随机变量及其分布
故分布函数为:
0,
z 0,
z
,
0 z 4,
8
F (z)
1
1 (4 z )2 , 4 z 16,
8
1,
z 16.
从而概率密度函数为:
1
0 z 4,
8,
dF ( z )
1
1
f (z)
, 4 z 16,
dz
2 z 8
其它.
0,
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第二章
随机变量及其分布
例7设X在满足P(X=0)=1,Y为任一随机变量,则
X与Y相互独立.
分析: X与Y相互独立 F ( x , y ) FX ( x ) FY ( y )
离散型
P ( X xi ,Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j )
连续型
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
记Ax " X x", B y "Y y", 则
F ( x , y ) FX ( x ) FY ( y )
P ( X x ,Y y ) P ( X x ) P (Y y )
P ( Ax , B y ) P ( Ax ) P ( B y ).
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第二章
随机变量及其分布
证: 记Ax " X x", B y "Y y", 则
0,
FX ( x ) P ( X x ) P ( Ax )
1,
x 0,
x 0.
1 若x 0, 则FX ( x ) P ( Ax ) 0, P ( Ax ) 1,
0 F ( x , y ) P ( X x ,Y y ) P ( Ax , B y ) P ( Ax ) 0
F ( x , y ) 0 FX ( x ) FY ( y );
2 若x 0, 则FX ( x ) P ( Ax ) 1 P ( Ax ) 0,
F ( x , y ) P ( Ax , B y ) P ( B y ) P ( B y Ax ) P ( B y )
FY ( y ) FX ( x ) FY ( y ).
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第二章
随机变量及其分布
总之,对于任意x、y恒有:F ( x , y ) FX ( x ) FY ( y ),
即X与Y相互独立.
注:讨论随机变量X与Y的相互独立性通常转化
分布函数来讨论: F ( x , y ) FX ( x ) FY ( y ).
例8 设二维随机变量(X,Y)~N(0,0,1,1,0), 则
X
P ( 0)
Y
解: 由二维正态分布的性质可知:
X~N(0,1), Y~N(0,1), 且X与Y相互独立.
X
故: P ( 0) P ( X 0,Y 0) P ( X 0,Y 0)
Y
1 1 1 1 1
P ( X 0) P (Y 0) P ( X 0) P (Y 0) .
2 2 2 2 2
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概率统计
第三章
随机变量的数字特征
一、 主要内容及要求
二、 重要公式与结论
三、 典型例题分析与解答
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EXERCISES
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第三章
随机变量的数字特征
一、主要内容及要求
1)熟练掌握期望定义和性质.
EX x k pk
i 1
EX xf ( x )dx
n
n
i 1
i 1
E ( a i X i ) a i EX i
EXY EXEY X与Y不相关
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第三章
随机变量的数字特征
2)会求随机变量函数的数学期望.
设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数,
则 EY pk g( x k )
k 1
g( x ) f ( x )dx
EY
若 Z g( X , Y )
则 EZ
g( x , y
i , j 1
EZ
i
j
) pij
g( x , y ) f ( x , y )dxdy
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第三章
随机变量的数字特征
EX 2 EX
3)熟练掌握方差的定义和性质.
DX E ( X EX )
2
D(cX ) c DX
2
2
D(aX bY ) a 2 DX b 2 DY 2abE ( X EX )(Y EY )
a 2 DX b 2 DY 2abCOV ( X , Y )
若 X , Y 不相关，
则 D(aX bY ) a 2 DX b 2 DY .
4)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均
匀分布、正态分布、指数分布的期望值和方差值.
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第三章
随机变量的数字特征
5)掌握协方差和相关系数的定义,不相关的定
义及独立与不相关的关系.
COV( X, Y ) = E( X – EX )( Y-EY ) = E XY –EX EY
XY
COV ( X , Y )
DX DY
若 XY 0，称 X,Y 不相关。
若X，Y 独立，则 X , Y 不相关。
(反之，不然）
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第三章
随机变量的数字特征
二、重要公式与结论
D( X ) EX 2 ( EX )2
EX 2 D( X ) ( EX )2 .
2. cov( X ,Y ) E ( XY ) ( EX ) ( EY )
E ( XY ) cov( X ,Y ) ( EX ) ( EY ).
3. 随机变量的函数Z g( X ,Y ) :
1 若( X ,Y )的概率密度为f ( x , y ),则
1.
或
或
Eg( X ,Y )
g( x , y ) f ( x , y )dxdy.
特别地,若(X,Y)的概率密度f(x,y)仅在D上非零,
则:
Eg( X ,Y ) g( x , y ) f ( x , y )dxdy.
D
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第三章
随机变量的数字特征
2 若Z g( X ,Y )的概率密度为f ( z ),则
E ( Z ) Eg( X ,Y ) zf ( z )dz .
3 若Z g( X ,Y ) h[ g ( X ,Y )],U g ( X ,Y )的
1
1
概率密度为f ( u), 则
E ( Z ) Eh(U ) h( u) f ( u)du.
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第三章
随机变量的数字特征
三、典型例题分析与解答
例1 设某一机器加工一种产品的次品率为0.1,
检验员每天检验4次,每次随机抽取5件产品进行检
验,若发现次品多于1件,就要调整机器,求一天中调
整机器次数Y的概率分布及Y2的数学期望EY2.
分析: 令A=“机器需要调整”,若p=P(A),则
Y ~ B(4, p).
设X=“取出的5件产品中的次品数”,则
X ~ B(5,0.1).
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第三章
随机变量的数字特征
于是, p P ( A) P ( X 1) 1 P ( X 1)
1 P ( X 0) P ( X 1) 0.082.
即
Y~B(4,0.082), 其分布率为:
P (Y k ) C4k 0.082k (1 0.082)4 k , k 0,1,2,3,4.
EY np 4 0.082;
DY np(1 p ) 4 0.082 (1 0.082).
EY 2 DY ( EY )2 0.4087.
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第三章
随机变量的数字特征
例2 设A、B相互独立,且P(A)=P(B)=0.5.定义:
A发生,
1,
1, B发生,
X
;
Y
.
1, A不发生.
1, B不发生.
试求: (1) ( X ,Y )的联合分布率 ;
( 2) D( X Y );
( 3) XY ( X与Y的相关系数).
解: 由题设易知:
1
P ( A) P ( B ) P ( A ) P ( B ) .
2
又A、B相互独立, 所以A 与B, A与B , A 与B 都
相互独立.
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第三章
随机变量的数字特征
从而易求得:
1 1 1
P ( X i ,Y j ) P ( X i ) P (Y j ) .
2 2 4
i , j 1,1.
故(X,Y)的联合分布率为:
Y
\
X
1
1
1
1
4
1
4
1
1
.
4
1
4
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第三章
随机变量的数字特征
(2) 由(1)易求得X+Y的概率分布为:
( X ,Y ) X Y p
1
( 1,1)
2
4
1
X Y 2 0 2
( 1,1)
0
1 1 1.
4, 即
p
1
4 2 4
(1,1)
0
4
1
(1,1)
2
4
1
1
1
E ( X Y ) 2 0 2 0.
4
2
4
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第三章
随机变量的数字特征
1 2 1 2 1
E ( X Y ) ( 2) 0 2 2.
4
2
4
2
2
故 D( X Y ) E ( X Y )2 [ E ( X Y )]2 2 0 2.
(3) 由题设易知X,Y的概率分布分别为:
X
p
1 1
1 1
2 2
1 1
1 1
与
p
2 2
Y
EX EY 0.
又由(1)易求得XY的概率分布为:
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( X ,Y )
XY
( 1,1)
1
( 1,1)
1
(1,1)
1
(1,1)
1
p
1
4
1
4,
1
4
1
4
第三章
即
XY
p
随机变量的数字特征
1 1
1 1.
2 2
E ( XY ) 0 cov( X ,Y ) E ( XY ) EX EY 0,
故
XY
cov( X ,Y )
0.
D( X ) D(Y )
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第三章
随机变量的数字特征
例3 设(X,Y)在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三
角形区域G上服从均匀分布,U=X+Y,求D(U).
分析: 这是一个求二维随机变量(或叫两个随
机变量)的函数U=X+Y的方差问题, 因为已知联合
密度,故最简单的做法是直接用函数期望公式计算.
为了比较还另给出了两种解法.
y (0,1)
解法一: 三角形区域:
(1,1)
G {( x , y ) | 0 x 1,0 y 1, x y 1}.
G
于是(X,Y)的联合密度为:
2, ( x , y ) G ,
f ( x, y)
其它.
0,
o
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(1,0)
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x
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第三章
随机变量的数字特征
D( X Y ) E[( X Y ) ] [ E ( X Y )]2
2
2( x y )2 dxdy [ 2( x y )dxdy]2
G
G
1
1
0
1 x
(
1
1
0
1 x
2( x y ) dy )dx [ (
2
2( x y )dy )dx ]2
11 4 2 1
( ) .
6
3
18
y (0,1)
解法二: 三角形区域:
(1,1)
G {( x , y ) | 0 x 1,0 y 1, x y 1}.
G
于是(X,Y)的联合密度为:
2, ( x , y ) G ,
o
(1,0) x
f ( x, y)
0, ( x , y ) G .
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第三章
以f1(x)表示X的概率密度,则
f1 ( x )
随机变量的数字特征
f ( x , y )dy
0,
1
1 x 2dy 2 x ,
x 0或x 1,
0 x 1.
1
2
2
EX 0 2 x dx 3
1
2
2
DX
EX
(
EX
)
.
1
1
18
2
EX 2 x 3dx
0
2
2
1
同理可得: EY ; DY .
3
18
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第三章
随机变量的数字特征
现在求X和Y的协方差:
5
E ( XY ) 2 xydxdy 2 xdx ydy ;
0
1 x
12
G
1
1
5 4
1
cov( X ,Y ) E ( XY ) EX EY .
12 9
36
于是,
DU D( X Y ) DX DY 2 cov( X ,Y )
1 1 2
1
.
18 18 36 18
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第三章
随机变量的数字特征
解法三: 三角形区域:
y (0,1)
(1,1)
G {( x , y ) | 0 x 1,0 y 1, x y 1}.
G
于是(X,Y)的联合密度为:
2, ( x , y ) G ,
f ( x, y)
其它.
0,
o
(1,0)
x
以f(u)表示U=X+Y的概率密度,则:
当u<1或u>2时,显然有 f(u)=0;
当1≤u≤2时,有:
2, 0 x 1且0 u x 1,
f ( x, u x )
其它.
0,
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第三章
随机变量的数字特征
由随机变量之和的概率密度公式有:
1
f ( u) f ( x , u x )dx 2dx 2( 2 u).
u1
故随机变量U的概率密度为:
1 u 2,
2( 2 u),
f ( u)
u 1或u 2.
0,
4
E ( X Y ) EU uf ( u)du 2 u( 2 u)du ;
1
3
2
2
11
E ( X Y ) EU u f ( u)du 2 u ( 2 u)du ;
1
6
11 16 1
2
2
DU EU ( EU ) .
6 9 18
2
2
2
2
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第三章
随机变量的数字特征
例4 设(X,Y)在 D {( x , y ) | 0 x 1,0 y 1}
上服从均匀分布,Z=(Y-X)2,求E(Z)和D(Z).
解法一: 正方形区域:
y (0,1)
(1,1)
D {( x , y ) | 0 x 1,0 y 1}.
D
于是(X,Y)的联合密度为:
1, ( x , y ) D,
o
(1,0) x
f ( x, y)
0, ( x , y ) D.
EZ E (Y X ) ( y x ) f ( x , y )dxdy
2
2
D
1
dx ( y x ) dy ;
0
0
6
1
1
2
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第三章
随机变量的数字特征
EZ 2 E (Y X )4 ( y x )4 dxdy
D
2
dx ( y x ) dy ;
0
0
15
2 1
1
2
2
DZ EZ ( EZ ) .
15 36 45
1
1
4
解法二: 正方形区域:
D {( x , y ) | 0 x 1,0 y 1}.
于是(X,Y)的联合密度为:
1, ( x , y ) D,
f ( x, y)
0, ( x , y ) D.
y (0,1)
(1,1)
D
o
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(1,0)
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x
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第三章
随机变量的数字特征
因此X、Y相互独立且都服从[0,1]上均匀分布.
EZ E (Y X )2 E (Y 2 2 XY X 2 )
1
1 1 1 1
EY 2 EX EY EX 2 .
3
2 2 3 6
2
2
EZ 2 E (Y X )4 ( y x )4 dxdy
D
2
dx ( y x ) dy ;
0
0
15
1
1
4
2 1
1
DZ EZ ( EZ ) .
15 36 45
2
2
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第三章
随机变量的数字特征
解法三: 正方形区域:
y (0,1)
(1,1)
D {( x , y ) | 0 x 1,0 y 1}.
D
于是(X,Y)的联合密度为:
1, ( x , y ) D,
o
(1,0) x
f ( x, y)
0, ( x , y ) D.
因此X、Y相互独立且都服从[0,1]上均匀分布.
Z (Y X )2的概率密度为 :
f (z )
1
EZ zf ( z )dz .
6
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第三章
随机变量的数字特征
1
例5 设 ( X ,Y ) ~ N (1,2,1,4, ).求E | 2 X Y | 和
8
D | 2X Y | .
分析:
1 E | 2 X Y | | 2 x y | f ( x , y )dxdy ?
2 Z | 2 X Y | ~ f ( z ).
解: 令Z1 2 X Y , 则Z | 2 X Y || Z1 | .
由题设, X ~ N (1,1), Y ~ N ( 2,4), XY
E ( 2 X Y ) 2 EX EY 2 2 0,
D( 2 X Y ) 4 DX DY 4 cov( X ,Y )
1
.
8
4 4 4 XY DX DY 9.
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第三章
随机变量的数字特征
2X Y
( 2 X Y ) ~ N (0,9) U
~ N (0,1).
3
于是,
u2
1 2
E | 2 X Y | E | 3U | 3 E | U | 3 | u |
e du
2
6
6
6
ue du
( e )
.
2 0
2
2
0
D | 2 X Y | E | 2 X Y |2 ( E | 2 X Y |)2
u2
2
u2
2
D( 2 X Y ) ( E ( 2 X Y ))
2
9
18
18
.
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第三章
随机变量的数字特征
例6 某流水作业线上生产的每个产品为不合
格的概率是p,当生产出k个不合格品时, 即停工检
修一次,试求在两次检修之间所生产的产品总数的
数学期望和方差.
解: 设X表示两次检修之间所生产的产品数,
Xi表示生产出第i-1个不合格品后至出现第i个不合
格品时所生产的产品数,则有:
k
X X i , 且X 1 , X 2 ,, X k 独立同几何分布 :
i 1
P ( X i j ) (1 p) j 1 p, j 1,2,.
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第三章
随机变量的数字特征
1
1 p
EX i , DX i 2 , i 1,2,, k .
p
p
k
k
k
EX E X i EX i ,
p
i 1
i 1
k (1 p )
DX D X i DX i
.
2
p
i 1
i 1
k
k
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第三章
随机变量的数字特征
例 7 掷一个均匀的骰子直至 6 个点数都出现为止,
记这时总的投掷次数为 .求 E .
解:令( 1 =1)表示出现第一个点数需要的抛掷次
数,( i = i )表示出现第 i 个点数需要的抛掷次数( i =2,3…
6
6),则 i .
i 1
而 E 1 =1,对 i ≥2,i 实际上是等待新的点数出现
的等待时间,服从几何分布,每次投掷时新点数出现的
i 1
,它的均值为概率的倒数,
概率是 16
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第三章
随机变量的数字特征
6
即: E i
( i =2,3,…,6).
6i 1
6
6
所以 E =
=14.7,即为所求.
i 1 6 i 1
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10.三兄弟分父亲的遗产，共有价值相等的36份。商定用
掷两颗骰子的方法决定每一份财产的归属。把两颗骰子
的点数之和从2至12的各种可能分成三各区间：
2 ~ 5，
6 ~ 8，
9 ~ 12。老大要最短的6 ~ 8，老二要了2 ~ 5，老三自然就
是9 ~ 12了。每份财产掷两可骰子，点数之和落在谁的区
间里，就归谁。问平均来讲，三弟兄各得几份财产？老
大要了最短的区间是真心为了照顾弟兄们，还是利用他
们的无知让他们上当？你有没有办法把2 ~ 12分成三各子
集，使得按照类似的规则把财产均匀地分给三兄弟？
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EXERCISES
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